Edisi Khusus Desember 2009 | JURNAL PENELITIAN SAINS a ning ganjil

Jurnal Penelitian Sains

Edisi Khusus Desember 2009 (A) 09:12-03

Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan
dengan Persamaan Fungsional
Ning Eliyati, Novi Rustiana Dewi, dan Roni Simanjuntak
Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia

Intisari: Lapangan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dimana setiap elemen satuan yang bukan nol
mempunyai invers perkalian. Apabila diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan yang memuat Q(bilangan rasional)
dan memenuhi persamaan fungsional g(X in ) = f (X i )n dengan n ∈ Z{0, 1}, 1 ∈ N maka akan diselidiki sifat homomorfisma lapangan pada fungsi f . Dari hasil penelitian yang didapat dari teorema 4.21 adalah jika n > 1 maka f = g = 0
dan e−1 f : K → K̄ adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K dan jika n < 0, maka ē = f (1) 6= 0, e−1 f :
K → K̄ adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K ∗ dan g = en−1 f

Kata kunci: homomorfisma lapangan, persamaan fungsi
Abstract: Field is comutatif ring with elemen where the non zero of unit elemen has multiplication invers. Let be
give additive function f ,g from a field which Q and satisfying a functional equation g(X in ) = f (X i )n where n ∈ Z{0, 1},
1 ∈, N will be observed characteristic of field homomorphism in function f according to the result is got from theorem
4.21 that is if n > 1 then f = g = 0 and e−1 f : K → K̄ is field homomorphism for allx ∈ K and if n < 0, then
ē = f (1) 6= 0, e−1 f : K → K̄ is field homomorphism for all x ∈ K ∗ and g = en−1 f

Keywords: field homomorphism, functional equation
Desember 2009

1
1.1

PENDAHULUAN
Latar belakang

istem bilangan real atau sistem bilangan kompleks
S
memiliki dua operasi biner dasar, yaitu operasi
penjumlahan dan perkalian. Teori grup belum cukup
merangkum semua struktur aljabar dari kedua sistem
bilangan, karena suatu grup hanya berkaitan dengan
satu operasi biner saja. Oleh karena itu dibahas struktur aljabar dengan dua operasi biner yang disebut
ring. Ring terbentuk dari suatu himpunan tak kosong
dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan
(+) dan operasi perkalian (·). jika suatu ring terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas

(elemen satuan) maka disebut ring dengan elemen satuan. Ring merupakan struktur yang lebih luas dari
grup dan digunakan sebagai dasar untuk membahas
lapangan.
Lapangan adalah satu ring komutatif dengan elemen
satuan yang setiap elemen yang bukan nol mempunyai
invers perkalian. Karena lapangan merupakan sebuah
ring komutatif maka semua sifat-sifat ring berlaku
pula dalam lapangan.
Diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan
yang memuat Q memenuhi persamaan fungsional
g(X in ) = (f (X i ))n maka akan diselidiki sifat homomc 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya


rfisma lapangan pada fungsi untuk menjelaskan persoalan ini secara terperinci, maka peneliti tertarik untuk meneliti lebih lanjut,dimana tujuannya mengkaji
sifat-sifat homomorfisma lapangan pada persamaan
fungsional g(X in ) = (f (xi ))n .Yang dibatasi pada homomorfisma lapangan dari fungsi yg aditif. Manfaatnya memperkuat pemahaman tentang homomorfisma
lapangan dan menambah wawasan untuk kajian persamaan fungsional.
1.2

Tinjauan Pustaka

Berbagai teorema dan definisi yang berhubungan
dengan ring, lapangan, dan homomorfisma lapangan
merupakan dasar pembahasan pada hasil dan pembahasan yang dihimpun dari berbagai sumber.
Suatu ring komutatif R dikatakan mempunyai elemen satuan (unity) yang dinotasikan dengan e jika
e · a = a · e = a untuk setiap a ∈ R Ring yang
demikian dikatakan ring dengan unity [1] . Pada ring
komutatif dengan elemenPsatuan berlaku teorema bin
nomial yaitu: (a+b)n = k−0 (nk )ak an−k dan teorema
binomial dipergunakan dalam pembahasan [2] .
Definisi 1: Misalkan R ring dengan unity. Jika a ∈
R dan b ∈ R sehingga a · b = b · a = e maka b disebut
0912-03-13

Ning dkk./Mengkarakterisasi Homomorf . . .

JPS Edisi Khusus (A) 09:12-03

invers perkalian dari a dan a disebut unit [1] .

1. Jika f : K → K̄ merupakan fungsi aditif dengan
K dan K̄ adalah lapang yang memuat Q dan
dipenuhi f (x2 ) = (f (x))2 untuk semua x ∈ K
maka f homomorfisma lapangan.

Definisi 2: Sebuah ring komutatif dengan elemen
satuan yang tidak memiliki pembagi nol disebut
daerah integral [2] .
Meurut Fraleigh [3] Lapangan
adalah suatu ring komutatif F dengan elemen satuan bilamana himpunan F yang memenuhi aksiomaaksioma:

2. Jika f, g : K → K̄ merupakan fungsi aditif dengan
K dan K̄ adalah lapangan yang memuat Q dan
dipenuhi f (x1 ) = g(x1 ) untuk setiap 1 ∈ N dan
x ∈ K maka f = g.

1. (F, +) grup abelian;

3. Jika f, g : K → K̄ merupakan fungsi aditif dengan
K dan K̄ adalah lapangan

yang memuat Q dan
Qr
dipenuhi (g(xa ))β = i=1 f (xai )βi .Dengan e =
f (1) 6= 0, maka e−1 f : K → K̄ adalah homomorfisma lapangan dan g = g(1)e−1 f

2. (F {0}) grup abelian; dan
3. Distributif.
Contoh 1 (Q, +, ·) adalah lapangan terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian.

4. Jika f, g : K → K̄ adalah fungsi aditif yang injektif dengan n < 0 dimana f dan g memenuhi
persamaan fungsional yang memenuhi g(xin ) =
(f (x1 ))n untuk semua x ∈ K ∗ maka f = g = 0
atau e = f (1) 6= 0, e−1 f : K → K̄ adalah homomorfisma lapangan dan g = en−1 f

Definisi 3: Misalkan (K, +, ·) dan (L, +, ·) masingmasing adalah suatu lapangan. Suatu pemetaan f :
K → L dikatakan injektif jika dan jika hanya untuk
setiap yang memenuhi:
1. f (a + b) = f (a) + f (b);

3

2. f (a · b) = f (a) · f (b);

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1

3. f (1) = 1, f (0) = 0.
Definisi 4: Misalkan K dan L adalah lapangan.
Suatu pemetaan f : K → L dikatakan injektif jika dan
jika hanya untuk setiap a, b, ∈ K dengan f (a) = f (b)
maka a = b.
Menurut Hungerfoord [4] apabila pemetaan f suatu
homomorfisma dari lapangan K ke lapangan L, maka
himpunan elemen-elemen K yang petanya adalah elemen nol dari L disebut kernel dari f dan dinyatakan
notasi ker(f ). Ker (f ) = {x ∈ K|F (x) = 0̄, 0̄ ∈ L},
Ker (f ) yang sama dengan nol dari homomorfisma lapangan selalu memenuhi pemetaan injektif dan sebaliknya f pemetaan injektif jika kernelnya sama dengan
nol. Jika f : R → R memenuhi f (x + y) = f (x) + f (y)
untuk semua x, y, ∈ R maka (f ) disebut fungsi aditif.

Lemma tentang Homomorfima Lapangan

Lemma 1: Diberikan K dan K̄ adalah lapangan
yang Q. Misalkan f : K → K̄ adalah fungsi aditif
yang memenuhi
f (x2 ) = (f (x))2 untuk semua x ∈ K

(1)

maka f adalah homomorfisma lapangan [5] .
Bukti Akan ditunjukkan bahwa f adalah homomorfisma lapangan. f adalah fungsi f (x+y) = f (x)+f (y).
Dengan mengambil x, y ∈ K, ruas kiri pers.(1) menghasilkan f ((x + y)2 ) = f (x2 + 2xy + y 2 ). Karena f
fungsi aditif maka:
f ((x + y)2 ) = f (x2 ) + f (2xy) + f (y 2 )

(2)

Sementara itu, ruas kanan dari pers.(1) menghasilkan
Lemma 1: Misalkan f : Q → Q memenuhi f (x +

y) = f (x) + f (y)∀x ∈ Q maka f (ax) = af (x)
untuk a ∈ Q. Menurut Halter-Koch and Reich L
[5]
Persamaan fungsional adalah suatu persamaan dimana variabel berupa suatu fungsi. Sehingga terlebih
dahulu harus diketahui variabel fungsi yang memenuhi
persamaan tersebut.
2

METODELOGI PENELITIAN

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian sebagai berikut;

f (x + y))2 = (f (x))2 + 2f (x)f (y) + (f (x))2

(3)

Karena f (x2 ) = (f (x))2 untuk semua x ∈ K, maka
diperoleh f (xy) = f (x)f (y) untuk semua x, y ∈ K
maka terbukti bahwa f adalah suatu homomorfisma
lapangan.

Lemma 2: Misalkan K dan K̄ adalah lapangan yang
memuat Q, dan misalkan f, g : K → K̄ adalah fungsi
aditif sedemikian hingga f (xl ) = g(xl ) untuk setiap
l ∈ N dan x ∈ K, sehingga f = g.

0912-03-14

Ning dkk./Mengkarakterisasi Homomorf . . .
Bukti Jika x ∈ K dan t ∈ Q maka berdasarkan
teorema binomial
(1 + tx)l =

l
X

(lk )lk txl−k

JPS Edisi Khusus (A) 09:12-03
Karena f adalah fungsi aditif maka pers.(5) menjadi:

(4)

k=0

diperoleh
f ((1+tx)l ) = f (1+ltx+

l(l − 1)
(tx)2 +· · ·+tl xl ) (5)
2

f ((1 + tx)l ) = f (1) + tlf (x) + (

l(l − 1) 2
t )f (f x2 ) + · · · + tl f (xl ) = ϕ(t)
2

untuk suatu polinomial ϕ ∈ K̄(t). Penurunan ϕ(t)
terhadap t untuk t = 0 menghasilkan

Bukti Misalkan x ∈ K dan t ∈ Q maka berdasarkan
teorema binomial

′

ϕ (t) = lf (x)

(1 + tx)l =

Di sisi lain,

a
X

1k txa−k

(8)

k=0

g((1+tx)l ) = g(1+ltx+

l(l − 1)
(tx)2 +· · ·+tl xl ) (6)
2

sehingga (karena g adalah fungsi aditif)
g((1 + tx)l ) = ψ(t)
untuk suatu polinomial ψ ∈ K̄(t). Penurunan ψ(t)
′
terhadap t untuk t = 0 menghasilkan ϕ (0) = lg(x)
Selanjutnya karena f (x1 ) = g(x1 ) untuk setiap 1 ∈
′
N maka diperoleh ℘ (t) = ψ(t) untuk setiap e ∈ Q
′
′
sehingga ℘ = ψ. Karena ℘ (0) = ψ (0) atau lf (x) =
lg(x) untuk setiap l ∈ N dan x ∈ k akibat f (x) = g(x)
untuk setiap x ∈ K, maka f = g.

Karena g adalah fungsi aditif maka pers.(8) menghasilkan
(g(1 + tx)a )β = ϕ(t)
(9)
dengan ℘ ∈ K̄(t) adalah suatu polynominal pada K̄.
Untuk f fungsi aditif diperolah (berdasarkan teorema binomial)
f ((1 + tx)a )β = ϕi (t)

(10)

dengan ϕi ∈ K̄(t) adalah suatu polynomial pada K̄.
QrSelanjutnya dari pers.(7) diperoleh ϕ(t) =
i=1 ϕi (t) untuk semua t ∈ Q, sehingga

Lemma 3: Misalkan K dan K̄ adalah lapangan yang
memuat Q, dan misalkan f, g : K → K̄ adalah fungsi
aditif yang memenuhi fungsional yang berbentuk

℘=

r
Y

℘i ∈ K̄(t)

(11)

i=1

(g(xa ))β =

r
Y

f (xai )βi

(7)

Telah diketahui bahwa

i=1

untuk semua x ∈ K dan i = 1, 2, 3, . . . , r, dengan
r,
β, a1 , . . . , ar , β1 , . . . , βr ∈ N sehingga aβ =
Pa,
r
−1
f : K → K̄
i=1 ai βi , dan jika e = f (1) 6= 0 maka e
adalah homomorfisma lapangan dan g = g(1)e−1 f

℘i (t) = (e + tai f (x) + t2

Pers.(13) pada t = 0 menghasilkan

Qr

℘(t) = (g(1) + atg(x) + t2 (a2 )g(x2 ) + . . . + ta g(xa ))β
(12)
Karena itu, pers.(12) pada t = 0 menghasilkan ℘(0) =
g(1)β dan

a1 (ai − 1)
f (x2 ) + . . . + ta−1 f (xa−1 ) + ta f (xa ))β
2

i=1

℘i (0) =

Qr

β
i=1 (e) ,

0912-03-15

sehingga diperoleh g(1)β =

(13)

Qr(e)β
i=1

Ning dkk./Mengkarakterisasi Homomorf . . .
Qr
Dengan menurunkan persamaan ϕ = i=1 ϕ, diperoleh
′
r
r
X
Y
′
ϕi
(14)
ϕi
ϕ =
ϕ
i=1 i
i=1
atau
ϕ
Qr

Xϕ
ϕ
i
=
ϕ
ϕ
i
i=1

′

r

′

ϕi

i=1

=

ϕ ϕ=ϕ

(15)

r
Y

ϕi

′
′
r
X
ϕn ϕ i − ϕ ϕ

ϕn ϕ = ϕ2

r

Dengan ϕ =

i

i

ϕ2i

i=1

Qi=1
r

ϕi

ϕn ϕ = ϕ2

ϕ2i

i=1

ϕi )

′
′
r
X
ϕn ϕ 1 − ϕ ϕ

i

i

i

i=1

Qi=1

Dan jika kedua ruas dalam pers.(14) diturunkan dan
hasilnya dikalikan dengan ϕ diperoleh

′

n

atau (karena ϕ =

JPS Edisi Khusus (A) 09:12-03

i

+ϕ

′
r
r
X
ϕ Y

i

i=1

ϕi

i

ϕi

i=1

i=1

ϕi

(16)

,

menghasilkan
+

r
Y

ϕi

Pr

′
r
r
X
ϕ Y

i

ϕi

i=1

i=1

ϕi

i=1

′
r
X
ϕ

i

αβ(g(1))−1 g(x) = e−1 f (x)

ϕi
(17)

i=1

diperoleh bentuk

′
′
r
X
ϕ n ϕ1 − ϕ ϕ

i

i

i

ϕ−

i2

′

r
X

αi βi .

(19)

i=1

′

ϕi
i=1 ϕi ,

i=1

′
r
X
ϕ

Karena αβ =

Pr

i=1

αi βi , diperoleh hasil

g(x) = e−1 f (x)

′

+ϕ ϕ ,

(20)

Selanjutnya akan ditinjau kaitan (18). Pada t = 0
ruas kiri persamaan tersebut menghasilkan

sehingga
X ϕn ϕ i − ϕ ϕ
ϕn ϕ − (ϕ )2
i i
i
=
2
2
ϕ
ϕ
i
i=1
r

′

′

Selanjutnya, bentuk

ϕ
ϕ

′

′

=

Pr

′

ϕi
i=1 ϕi

′
r
X
ϕ” ϕ − ϕ 2

i

i

i=1

(18)

ϕ2i

untuk t = 0

=

r
X

′

ϕ” ϕ − ϕ 2
2
−2
= β(g(1))−1 2(α
α(g(x))2 ,
2 )g(x )−β(g(1))
ϕ2
(21)
sedangkan dari ruas kanannya dihasilkan

2
−2
i
βi (e)−1 2(α
(αi f (x))2
2 )f (x ) − βi (e)

(22)

i=1

Akibat pers.(18), (19), dan (20) diperoleh
r
r
X
X
a2i βi − a2 β)
e−2 f (x)2 (
a2i βi − a2 β) = e−1 f (x2 )(
i=1

(23)

i=1

yang uraiannya menghasilkan

3.2

Mengkarakterisasi Homomorfisma
Lapangan

(e−2 f (x))2 = e−1 f (x2 )
(e−1 f (x))2 = e−1 f (x2 )
(e−2 f (x))2 = (e−1 f )(x2 ).

Sebelum mengkarakterisasi homomorfisma lapangan
dengan persamaan fungsional, akan definisikan terlebih dahulu Q∗ = Q − {0}, dan K ∗ = K − {0} dengan
K adalah lapangan. Selanjutnya akan dibuktikan teorema berikut .

Karena itu menurut lemma 1: e−1 f adalah homomorfisma lapangan.

Teorema 1 : Misalkan K dan K̄ adalah lapangan
yang memuat Q , n ∈ Z{0, 1}, l ∈ N dan f, g : K → K̄

0912-03-16

Ning dkk./Mengkarakterisasi Homomorf . . .
adalah fungsi aditif yang injektif jika n < 0. Misalkan
f dan g memenuhi persamaan fungsional
1n

l

n

g(x ) = (f (x )) untuk semua x ∈ K

∗

(24)

JPS Edisi Khusus (A) 09:12-03
Selanjutnya, karena g adalah fungsi aditif maka
g(

Maka f = g = 0 atau e = f (1) 6= 0, e−1 f (1) : K →
K̄adalah homomorfisma lapangan dan g = en−1 f .
Bukti: Akan ditinjau dua kasus yaitu:
Untuk n > 1. Jika x ∈ K atau t ∈ Q maka berdasarkan teorema binomial
1n
X

(1 + tx)1n =

1
1
) = g((lm
)lm
o
(x0 + xlm+0
xl2 m2
1
+ . . . + (lm
+(lm
1 )
lm )
1
(x + xlm+1 )lm
1
(27)
(xlm + xlm+lm )lm

Karena g fungsi aditif maka pers.(38) menjadi
1
l2 m

(f (x

1k tx1n−k

k=0

)m

g((1 + tx)1n ) = ϕ(t)

l2 m

(f (x

(f (1 + tx)l )β = ψ(t)

lm
X

=

dengan ϕ, ψ ∈ K̄ adalah polinomial. Karena g(x1n ) =
f (xl )n untuk x ∈ K ∗ maka ϕ(t) = ψ(t) untuk semua
t ∈ Q, sehingga diperoleh ϕ = ψ. Jika koefisien dari
t dibandingkan maka diperoleh 1ng(x) = 1nen−1 f (x)
Untuk semua l ∈ N dan n ∈ Z{0, 1} yang mengakibatkan g(x) = en−1 f (x)∀xeK ∗
Karena e 6= 0 dengan mengambil α = 1n,
β = 1, α1 = l, β1 = n, r = 1 dengan
r, α, β, α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βr ∈ N maka pers.(24) dapat ditulis sebagai:

Dan berdasarkan lemma 3 maka e−1 f adalah homomorfisma lapangan.
Untuk n < 0. Ambil m = −n, m ∈ N dan f, g
adalah fungsi injektif, e = f (1) 6= 0. Pers.(24) dapat
ditulis sebagai

Jika x ∈ K dan 1 + x

(1 + xlm )lm =

lm(lm−j)
(lm
j )x

x

=

lm
X
j=0

(lm
j )

(xj )

dengan

k=0

((f ((xk + xlm+k )l )m

(29)

k=0k6=j

lm
Y

1
(f (xl2 m ))2
=

lm
X

lm−j
(lm
j )t

f ((xk + txlm+k )l )m

k=0

lm
Y

f ((xk + λtxlm+k )l )m (30)

k=0k6=j

g(xl

2

m2 +l2 m

) = f (xl

2

m−1 m

) f (xl

2

m+m

)

(31)

Dengan mengambil α = l2 m2 + l2 m, β = 1, β1 =
m, α2 = l2 , pers.(31) menjadi
β

a1 β1

(25)

a2 β2

=

r
Y

f (xai )β1 ,

i=1

yang berdasarkan lemma 3, e−1 f : K → K̄ adalah
homomorfisma lapangan.
Untuk x ∈ K̄ maka pers.(23) memenuhi
(26)

Perkalian ruas kanan dan kiri pada pers.(26) dengan
1
menghasilkan
xl2 m2 (1+xlm )lm
1

(28)

Jika λ ∈ Q∗ sedemikian hingga 1 + (λx)lm 6= 0 maka
x dapatQdiganti dengan λx, lalu membaginya dengan
2
2
lm
klm
λ−l m
∈ Q∗ , dan dengan mengambil t =
k=0 λ
lm
λ diperoleh

em g(xlm ) = em g(

j=0

l2 m2

1
+ xlm+j )l )m

((f ((xk + xlm+k )l )m

(g(x )) = f (x ) f (x )

6= 0 maka
lm
X

lm
Y

lm
Y

(lm
j )

j=0

a

lm

(f (xj

Untuk (f ((xk + txlm+k )l )m diperoleh

i=1

∗

))m

j=0

f (xαi )βi

1
1
g( lm ) =
x
(f (xl ))m

(lm
j )

j=0

1

Selanjutnya, ruas kanan pers.(24) menghasilkan

r
Y

lm
X

Perkalian
Kedua
ruas
pers.(40)
Qlm
k
lm+k l m
(f
((x
+
x
)
)
menghasilkan
k=0

Karena g adalah fungsi aditif maka:

(g(xα ))β =

=

1
= (e−1 f )xlm
(x−1 )lm

Jadi diperoleh em g(xlm ) = (e−1 f )xlm .
Berdasarkan lemma 3 terbukti bahwa em g = e−1 f ,
karena itu

1
+ xlm+j )lm

g=
0912-03-17

e−1 f
= e−m−1 f = en−1 f
em

Ning dkk./Mengkarakterisasi Homomorf . . .
4

KESIMPULAN DAN SARAN

Dari bahasan dapat disimpulan sebagai berikut: Jika
mempunyai dua lapangan K dan K̄ memuat Q dan
dua fungsi adtif f, g : K → K̄ yang memenuhi persamaan fungsional untuk setiap x ∈ K ∗ maka
1. Jika n > 1, makae = f (1) 6= 0, e−1 f : K → K̄
adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈
K.
2. Jika n < 0, maka e = f (1) 6= 0, f : K → K̄ adalah
homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K. dan
g = en−1 f
DAFTAR PUSTAKA
[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Suharti dan Sukirman, 1994, Struktur Aljabar, Universitas
Terbuka Depdikbud, Jakarta
Wahyudin, 2000, Pengantar Aljabar Abstrak, Delta
Bawean, Bandung
Fraleigh, J. B., 1993, A First Course in Abstract algebra.
Fifth Edition. Addison Weslay Publishing Company
Reading, California
Hungerfoord, T.W., 1984, Graduate Texts in Mathematics,
Springer - Verlag, New York
Halter-Koch, F. And L. Riech, 2000, Characterization of
Homomorphism And Derivation By Functional Aequation
Math, 59, Pp.298-305

0912-03-18

JPS Edisi Khusus (A) 09:12-03