Integral lipat dua pada daerah persegi panjang
001
Integral lipat dua pada daerah persegi panjang y¾ Integral tunggal Integral dari fungsi kontinu y
=
f
(x) pada selang tutup [a,b] didefinisikan sebagai
Dx i y = f (x) b n f x dx f x dx f c x
( ) ( ) lim ( ) , = = D i i
 i
1 =
Ú [ , ] a b Ú a P
|| || Æ
P x x x b
{a , , n } suatu partisi untuk [a,b], = =
1 º, = 0 a c i b x
ΠDx = = D
- c x x P x i [x i ,x i ], i i i , dan || || maks .
- 1 -1 i
Luas D f x dx ( ) =
1 i n
a b
£ £
Ú [ , ] N ≥ z
¾ Integral lipat dua Integral lipat dua dari fungsi z = f (x,y)
f
R
kontinu z (x,y) pada persegi panjang tutup =
=
a x b c y d
{(x,y) : , } didefinisikan sebagai £ £ £ £
n f x y dA f c d A
( , ) lim ( , ) , = D
i i i  i
1 =
ÚÚ R P
|| || Æ
y R P
suatu jaring untuk R, (c i ,d i ) komp.jaring ke-i, Œ
P A i i i , dan || || maks DA = Dx Dy = D . x dA i
1 i n £ £
B f x y dA Volum ( , ) =
R ÚÚ N
≥ ¾ f x y dA
Integral berulang Integral lipat dua ( , ) ÚÚ R y
dihitung dengan menyatakannya sebagai
b d d b d f x y dA f x y dydx f x y dxdy ( , ) ( , ) ( , ) .
= = R a c c a
ÚÚ Ú Ú Ú Ú c
Kedua integral yang terakhir dikenal sebagai inte-
- = - £ £ £ £
- = - = - = - - + = - = - >
- = - = -
Contoh Hitunglah
1
1 2 2 1 2 1 3 / 3 / 2 / 0 1
( )
( ) ( )
( ) ( )
x e dx
3 / y x
Ú Ú ¾ Ubahlah urutannya dalam dy dx karena
y x I x e dx dy
1 2 3 / 0 1 .
Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú
1
= + = + +
= - + = ◊ = = = - ªp p p p p p p p p
I x y e dydx e x y d x y dy
e x y dy e y dy
e d y e esin( ) sin( ) ( )
cos ( ) 2cos
2 (sin ) 2 2( 1) 3, 4366. y y y y y y/2 /2 sin sin
/2 /2 sin sin /2 /2 sin sin
( ) ( )
sin( ) y x y e dy
sin
¾ Ubahlah urutannya dalam dx dy karena
= + Ú Ú .
1
2
I x y e dydx
1
I x e dx dy x e dy dx x e d dx x e dx x e dx x e dx x dx e d x dx e e e e e
y x y x y x
y x x x
x x y x x x1 0,5696
( 1)
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2 1/ 2 1/
2
2
2
1
1
1
1
2
2 2 / 2 1/ 2 1/
2
p p
sin( )
yÚ Ú Ú Ú Ú Ú
Ú Ú Ú Ú
Ú Ú2 1 1
( 2 ) ( 2 ) (3 9 ) (2 8 ) 6.
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
ÚÚ Ú Ú Ú
Ú Ú
Cara lain2
2
2
3
2
3
( )
ÚÚ .
R x xy dA R x y x y
2 ( 2 ) , {( , ): 1 2,1 3}
Contoh Hitunglah
R
x xy dA x xy dy dx x y xy dx
x x x x dx x x dx( ) ( ) ( )
/2 sin
2 3 2
ÚÚ Ú Ú Ú
Ú Ú
Contoh Hitunglah= - + + = - = -
x xy dA x xy dxdy x x y dy y y dy y dy
6. R
( 2 ) ( 2 ) 4 3 1
3
3
1
8
3
1
1
1
3
3
1
1
1
1
2
3
2
2
3
- Ú sukar dihitung.
- =
- Ú sukar dihitung.
- = = = = = - = - = - - = - + = - + + - = - - ª
Integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang y y y persegi panjang R
fungsi y (x)
= b d d b (x) fungsi fungsiD x = g ( y ) x = d ( y )
D D y
( y ) ( y )
g d
fungsi a (x) y
(x) = a c c a x b x
0 x 0 a b x
Daerah D Tipe 1
Daerah D Tipe 2¾ f
Akan dihitung integral lipat dua dari fungsi kontinu z (x,y) pada dae- =
D D
rah . (gambar kiri) Daerah dibatasi beberapa kurva kontinu dan dapat
= {(x,y) £ £ £ £
a x b c y d dibingkai oleh persegi panjang R : , }.
¾ Daerah tipe-1
Proyeksi D terhadap sumbu x adalah selang tutup [a,b], batas bawahnya kurva kontinu y (x) dan batas atasnya kurva kontinu = a
y D a x b y
(x), yaitu : , (x) (x)}. (gambar tengah) = b = {(x,y) £ £ a £ £ b
f
Integral berulang dari fungsi z (x,y) pada daerah D tipe-1 adalah =
b ( ) x
b
f x y dA f x y dydx ( , ) = ( , ) .
D a x ÚÚ Ú Ú a ( )
¾ Daerah tipe-2 Proyeksi D terhadap sumbu y adalah selang tutup [c,d],
batas bawahnya kurva kontinu x (y) dan batas atasnya kurva kontinu = g
x D c y d x
(y), yaitu : , (y) (y)}. (gambar kanan) = d = {(x,y) £ £ g £ £ d
f
Integral berulang dari fungsi z (x,y) pada daerah D tipe-2 adalah =
d ( ) x
d
f x y dA f x y dxdy ( , ) = ( , ) .
D c x ÚÚ Ú Ú g ( )
¾ Integral berulang pada daerah tipe-1 dapat diubah ke daerah tipe-2 de- ngan cara mencari invers batas daerahnya. ¾ Bentuk limit jumlah integral lipat dua pada daerah tipe-1 dan tipe-2 f x y x y D n ( , ), ( , )
Œ Ï f x y dA F c d A F x y
= Ì Â i
( , ) lim ( , ) , ( , ) , = D
i i i
1 =
ÚÚ D
|| || P Æ
x y R D 0 , ( , ) Π-
Ó P
suatu jaring untuk R, (c i ,d i ) komp.jaring ke-i, Œ
P A i i i , dan || || maks .
DA = Dx Dy = D
i
Arti geometri integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang
z zS: z f (x,y), (x,y) D = ΠS : z f (x,y), (x,y) D
= Πbidang bidang y tetap x tetap (//xoz) (//yoz) irisan S de- irisan S dengan ngan bidang bidang x tetap y tetap y c 0 d c
0 d a y a y g ( y ) x y d ( )
(x) (x) a b b b daerah D daerah D x y bergerak x tetap x y tetap x bergerak Untuk bidang x tetap (a Untuk bidang y tetap (c £ x £ b) yang memotong £ y £ d) yang memotong
daerah D di (x) dan (x), luas irisannya adalah daerah D di (x) dan (y), luas irisannya adalah
a b g d x y( ) ( ) b d
L x ( ) f x y dy ( , ) L y ( ) f x y dx ( , ) =
= x y
Ú ( ) Ú ( ) a g
Volum benda padatnya adalah Volum benda padatnya adalah b b ( ) x d d ( ) y b d
V L x dx ( ) f x y dydx ( , )
V L x dx ( ) f x y dxdy ( , ) = = = = a a x c c y
Ú Ú Ú ( ) Ú Ú Ú ( ) a g
Integral lipat dua untuk menghitung luas daerah
Untuk menghitung luas daerah D tipe-1 dan tipe-2 ambillah z (x,y) = f = 1, maka secara nu- merik volum benda yang dihasilkan sama dengan luas daerah D.
z
¾
Luas daerah tipe-1
bidang z = 1 D a x b y
{(x,y) : , (x) (x)} = £ £ a £ £ b adalah
D b ( ) x
b
dA dy dx = .
D a x ÚÚ Ú Ú a ( ) c d
¾ Luas daerah tipe-2 y a
D c y d x
{(x,y) : , (y) (y)} = £ £ g £ £ d
D
adalah
b d y
d ( )
dA dx dy .
=
x
Contoh Gambarkan daerah pengintegralan
3
y
2 £
£ 2, x
x
= {(x,y) : £
D
2 . Jadi daerah pengin- tegralan I adalah
x
4, dan batas bawahnya parabol y =
diperoleh ren- tang x dari 0 sampai 2, batas atasnya garis y =
= + Ú Ú
x I x x y dydx
2
4
2 4
2
2
¾ Dari bentuk
4
2 x = 0 x = y
2
3 y = x
y y = 4
, ubahlah urutan integralnya kemudian hitunglah I.
= + Ú Ú
x I x x y dydx
2
4
3
2 4
£ 4}, yang diperlihatkan gambar di samping.
1 D
Untuk mengubah urutan integralnya, proyeksi dae- rah D diubah dari ke sumbu x menjadi ke sumbu y. Hasilnya adalah rentang y dari 0 sampai 4, batas ki- rinya adalah sumbu y (garis x
2
1
3
3
3
4
4
2
2
1
4
4
4
2 0 0 0 0 3/ 2 3/ 2 3/ 2
4
2
4
2
4
2
3
2 2 2 2 2 1 10 2 2 1 . y y y
0 1 2 x Daerah pengintegralan
2
4
3
¾ Catatan Dalam kasus ini integralnya lebih mudah dihitung dengan cara
Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú
= + = + + Ê ˆ Ê ˆ = + = - Ë ¯ Ë ¯
= - = - = -
I x x y dxdy x y d x y dx x y dy y y dy
y y dy y dy
3 ( )
1
6
6
2
1
1
6
3
4
4
4
= 0), dan batas kanan- nya adalah invers fungsi y
£ 2 adalah
D
dapat ditulis dalam bentuk
D
£ 4, maka daerah
y
, 0 £
x y =
x
£
£
2 , 0
x
=
¾ Karena invers dari y
2 .
x
=
= {(x,y) :
y
4
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Integral I adalah
¾
= + = + Ú Ú Ú Ú .
y x
I x x y dydx x x y dxdy
2 0 0
4
3
4
£ 4, 0
3
4
2 4
2
¾ Jadi perubahan urutan integral I adalah
¾
x
£
£ y }.
2
2
2
Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x
- y a
=
2
2
- 2
z a dan tabung x .
=
z
z
2
2
x y a = y
- 2
2 z = a x a
- 2
2 a y = a x
- 2
2
2
2
- a x z a
= B D
1 B a y a y
0 a x a
2
2
2
- a x y a =
x Daerah x pengintegralan Benda B di oktan pertama
1 untuk benda B
1
¾ Pada gambar kiri diperlihatkan dua tabung yang beririsan dengan kedua
1 Volum B = 8 kali volum B
sumbu berpotongan di titik asal (0,0,0). Irisan kedua tabung adalah ben- da B yang di oktan pertama diperlihatkan gambar kiri.
¾ Pada gambar tengah diperlihatkan irisan kedua tabung di oktan pertama.
2
2
z a x
Benda B terletak di bawah permukaan tabung dan di atas
1 = -
2
2
2
lingkaran di bidang yang terletak di kuadran 1. Volum ta- = bung yang akan dicari sama dengan 8 kali volum benda B .
- x y a xoy
1 ¾
B
Pada gambar kanan diperlihatkan daerah pengintegralan untuk benda
1 ,
2
2
2
- y a yaitu daerah D di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran x .
= Daerah D dapat dituliskan dalam bentuk
2 D x y x a y a x
- 2
{( , ) : 0 , 0 } = £ £ £ £ ¾ Volum benda B yang dibatasi dua tabung adalah
2
2
- a a x
2 V B a x dy dx
8 volum
- 2
1 0 0
8 = =
Ú Ú
2 a a x a
- 2
2
2
2
2
2
2
a x dy dx a x a x dx = 8 = 8 - ◊ - -
Ú Ú Ú a a
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
a x dx a x x a a a
8
8
8 5 . = = = = - - -
3
3
3 Ú ( )
- 2 yang ber- potongan di (
- 1,1) dan (2,4) membentuk daerah
- 2
- 1 0 1 2
- = = = + - = + - = + - - + - =
- 2, dan sumbu x. Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua dalam dua cara kemudian hitunglah luas D.
- 2 berpotongan di titik (2,4) karena x ≥ 0.
- 2
- 2, dan batas kanan- nya kurva .
- 2 y = x 2 , x
- 2 - 1 0 1 2 x
- = =
- 2,2] = [-2,0] » [0,2]. Dengan melihat batas atas dan batas bawahnya di setiap selang ini diperoleh
- = = +
- = = - - = - + = - + = - + =
- P ( 2, 2 3) rum jam dan q negatif jika searah jarum jam.
- P
- 2
- x y = 2 y x lam koordinat kutub, ditulis r ( ).
- 2
- D D
- D r q
- r a =
- i i i i
- a q *
- r A r r r
- i i i i i
- i i i
- 2
- x y y
- 2
- 2
- D
- 1
- 1
- 2
- /6 p
- p p p
- y
- z
- =
- x y =
- 2 2 y
- V z dA r r dr d
- 2
- p
8
- 2
- 2
- y
- x y =
- 2 2 x
- 2
- z x y dan bidang z 2y.
- 2
- 2
- 2 y =
- 3
- 2
- = +
- y
- = + ¤
- = = .
- = + = = = - = - - = - = - = - = -
- y
- a a x
- a
- r
{( , ):0 4, 2 } D x y y y x y
adalah selang [
x
pada sumbu
¾ Proyeksi D
ÚÚ Ú Ú .
y D y L dA dxdy
2
4
= £ £ - £ £ dan luas D adalah
x y
= Akibatnya,
y
batas kirinya garis x =
¾ Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,4],
x
= dan garis y =
¾ Kurva x y
≥
= y
2 x
2
= - £ £ £ £ - » £ £ £ £ - dan luas D adalah
{( , ): 2 0,0 2} {( , ):0 2, 2} D x y x y x x y x x y x
2
1
Ú Ú Ú Ú D
L dxdy y y dy y y dy
y y y y2 5 8 8 5 . y y
2
1 ( 2)
1
1
2
4
2
2
4
4
4
( ) ( )
ÚÚ Ú Ú Ú Ú ¾ Dengan integral lipat dua yang pertama, luas daerah D adalah
x x
D x
L dA dy dx dy dx2 2 0
2
2
3 x y =
y 4 (2,4) y
= x
x
2
2
2
2
2
( )
Luas D adalah
{( , ): 1 2, 2} D x y x x y x = - £ £ £ £ +
2
=
1
2 dan garis y
x
=
x Ilustrasi Kurva y
( -1,1)
= x
2 y
3 2 y = x
y 4 (2,4)
1
2
x
2
= garis y =
x y
yang dibatasi kurva ,
D
ÚÚ Ú Ú Ú Contoh Gambarkan daerah
L dA dydx x x dx
x x x
2 4 . x
D x
2 ( 2 ) 2 2 4
3
3
2
3
2
1
1
1
1
1
8
1
3
1 D
P ( r , ) q
Koordinat kutub Sistem koordinat kutub terdiri
dari dua komponen, titik kutub O dan sumbu kutub
r radius
berbentuk sinar dari O ke kanan. Dalam sistem ini
vektor
2 P
titik diidentifikasi sebagai
O q Œ\ titik kutub sumbu kutub
P (r, ), r q = OP dan q = –(OP,sb-kutub). y
Radius vektor OP ≥ 0; q positif jika berlawanan ja-
¾ Ilustrasi Jarak titik ( 2, 2 3) ke O(0,0) ada- r P =
4
2 n n lah 4 dan , .
q = –(OP,sb-kutub) = p p +
Œ]
3 q
2
4
2
1
1 2 x P P
"
Koordinat kutubnya: ( 4, ) ( , 4, ) , p p -
3
3 ttk-ktb sb-ktb y
Kaitan koordinat kutub dengan kartesis y P r
( , q )
P
(r, ) P(x,y) q r sin q
P ( x , y )
2
r r x y x cos
= = r q y
= r sin q memenuhi q
x q y r cos x q x
r r y
cos , sin q = q =
Fungsi dalam kordinat kutub Fungsi dengan pe-
2 r = 2 sin q r
ubah bebas dan peubah tak bebas sehingga (r, ) q q
1
2
2
membentuk koordinat kutub dinamakan fungsi da-
= f q
2
y
¾ Ilustrasi y
Lingkaran x = 2y dalam koordinat
r c =
kutub diperoleh dengan penggantian x cos = r q
c parameter
2 dan y sin 2r sin
= r q. Dari r = q diperoleh persa-
x y
maan lingkarannya r ( ) sin = f q = 2 q.
¾ Ilustrasi
Aturan r = c, c parameter adalah kelu- arga lingkaran berpusat di (0,0) dan q = k, k pa-
q = k x k parameter rameter adalah keluarga sinar berasal dari (0,0).
Integral lipat dua dalam koordinat kutub y
¾ Dengan transformasi integral ke koordinat i r q = b q = q kutub (x,y) = (r cos q, sin q ) diperoleh D i q i -1 q = q i f x y dA f r r rdrd
Dr ( , ) ( cos , sin ) ,
= q q q
jaring
ÚÚ ÚÚ i kutub DA
{(r, ) : ) ( )} = q a £ q £
b, p(q £ £ q
D r b = r r = i
¾ Luas daerah
r r i = -1( r i *, i *) q D r q
= {(r, ) : £ £ ) £ £ ( )} q a q b, p(q q
adalah
= q a q ( )
b q
0 x dA rdrd rdrd .
= q = q
D = D D A r r q ÚÚ ÚÚ Ú Ú
D D p ( )
¾ Buatlah jaring untuk koordinat kutub (lihat gambar) r konstan (lingkaran)
1
1 i
( )
dan (sinar) . Pilihlah titik *, * dengan ( ) q konstan q ŒD = + .
2
2
2
i A r r r r r r r r
1 D q
¾ Karena ( )( )
D = ◊ p = D q = D D , maka da- q - + -
1 i i i 1 i i 1 i i i
2 p
2 ( )
lam koordinat kutub berlaku dA = r dr d q.
D
Contoh Gambarkan daerah di kuadran pertama yang terletak dalam
2
2
2
2 lingkaran x y 2x dan di luar lingkaran x y 2y kemudian hitung-
= + + = lah luasnya dengan integral lipat dua sistem koordinat kutub.
y r
¾ Gunakan transformasi (x,y) (r cos sin ), di-
= q, q
2
2
2
2
2 =
2
y
peroleh x 2x 2r cos 2 cos = ¤ r = q ¤ r = q
2
2
2
1 (1,1) y
dan x 2y 2r sin 2 sin = ¤ r q ¤ r = q. + =
daerah D
¾
Kedua lingkaran berpotongan di (0,0) dan (1,1),
D x
1 0 1
2
1
yang dalam koordinat kutub (0, ) dan 2, q p .
4 ( )
2
1 x y = 2 x
1 D r r ¾ Luas {( , ):0 , 2sin 2cos }
= q £ £ q p q £ £ q ∫ y
4 q = p /4
2cos p /4 2cos q p /4 q
2
1 1 r = 2 cos q L r drd r d
= q = q
2 ( )
Ú Ú 2sin q Ú 2sin
q
r = 2 sin q
p /4 p /4
2 D
d d
2(cos sin ) 2cos2 = q q q = q q
= q Ú Ú daerah D 2 x
/4 p = sin 2 = 1. q
2
2
y Contoh Jika daerah terletak di dalam lingkaran x 2y dan di luar
=
2
2
2
2
y x y dA lingkaran x = 1, hitunglah I = .
D
ÚÚ
y r¾ Gunakan transformasi (x,y) (r cos sin ), di-
= q, q
r
2
2
2
2
2 = 2 sin q x y r x y
peroleh 2y 2 sin dan
1 = ¤ = q = + +
D
q =
5 p /6 q = p /6 r
¤ =
1. Kedua lingkaran ini berpotongan di titik
1
5
1, 1, p dan p , sehingga daerah D adalah
6
6 ( ) ( )
1 x
5
1 D r r ( , ) : ,1 2sin .
= q p q p £ £ £ £ q
6
6 { }
3
2
3
1 ¾ d d C
3 Ú Ú
Gunakan sin (1 cos ) cos cos cos , diperoleh q q = - q q = q q
5 /6 2sin p q 5 /6 p 2sin q
2
3
1 I x y dA r r drd r d
= = ◊ q = q
3 D ( )
ÚÚ Ú Ú p /6
1 Ú p /6
1 5 /6 5 /6 p p
3
3
1
1
8
d(8sin 1) cos 8cos
= q q = q q q - -
3 3 3 Ú p /6 ( )
1
5
1
2 = - 3 4 3 3 4 3 = 2 3 ª 2,766.
3
6
6
9 (
)
2
2
Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x 4,
=
bidang xoy, dan bidang y 4.
=
z r
¾ Gunakan transformasi (x,y) (r cos sin ), di-
= q, q
y z = +
4
peroleh
bidang y z r
4 ¤ z = 4 sin q
datar
2
2
dan daerah pengintegralannya adalah
4 D r
{(x,y) : 2 2} = £ q £ p, £ £
tabung tegak D
¾ Volum benda padatnya adalah x y
2 p
2
(4 sin )
= = q q
2
ÚÚ D Ú Ú
2
2
2 D p p
2
3
1
8 r r d d
2 sin 8 sin
2 x
= q q = q q - -
3
3
( ) Ú ( ) Ú
2
2
8
8
=
8 cos = 16 + - - = 16 .
q q p p
Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida
2
z x y
dan bidang z 4. = =
z
2
2
¾ Proyeksi B pada xoy adalah D x y x y = {( , ): + £ 4}. z =
4 ¾ r
Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, sin q ), di-
2
2 B z x y z r
peroleh batas bawah adalah , = ¤ =
B
batas atas B adalah z 4, dan daerah D adalah =
D r r {( , ):0 2 ,0 2}.
= q £ £ q p £ £ D
2
2
2 ¾
Volum benda padat B adalah
x
2 p
2
y
2
2
2 V x y dA r rdrd
4 ( ) (4 ) = - ( ) = q
2 D
ÚÚ Ú Ú
2
2
4
2 2 p 2 2 p
3
2
4
1
D r r drd r r d
(4 )
2 = q = q
4 Ú Ú Ú ( )
2 p
= q = p
Ú
d
4 8 .Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida
2
2
= =
z ¾
Proyeksi B pada xoy adalah daerah
bidang
2
2
z = 2 y D {( , ): x y x y 2 }. y
= + £ ¾ r
Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, sin q ), di-
2
2
B z x y z r
peroleh batas bawah adalah ,
B
= ¤ =
benda B z
batas atas adalah z 2y 2r sin = ¤ = q, dan dae-
B padat
rah D adalah D r r
= {( , ):0 q £ £ q p ,0 £ £ 2sin }. q D
¾ Volum benda padat B adalah 2 y x
2
2 V y x y dA
2 ( ) = ( )
D ÚÚ y
p 2sin q
2
2 r r rdrd
2 y D
(2 sin ) = q q x
Ú Ú
2sin p q p
4
4
2
1
4 0 2 x r r d d sin sin = q q = q q
3
4
3 Ú ( ) Ú
p
4
3
1
1
4
3
1 d cos2 cos 4 .
= q q q = ◊ p = p - +
3
8
2 8 3 8
2
q
2
x
y a
ÚÚ
= = + £ >
x y D I e dA D x y x y a a
2 , {( , ): , 0.
2
2
( )
2
2
Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Contoh Hitunglah
q q q q q q q q p p
p p q q p p p q p
1
1
1
1
4 2sec
4
1
1
1
x
I x y dy dx r rdrd r drd
r d d d4
4
3
12
( ) 2cos
1 2sin 3 (3 3 ).
2 = a
¾ Gunakan transformasi (x,y)
2
2
= = - - = - = - = - Ú Ú Ú Ú
p p p p q q q q p
I e rdrd e d r d e d e d e
2 ( ) (1 ) (1 ) . a a r r a r a a
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
= (r cos q,
2 p, £
r
sin q ), daerah
D
menjadi D =
{(r, q ) |
£ q £
r
2
£
a }.
¾
Integralnya adalah
2
2
/3
1 2sec
4 /3 /3 /3
2 q = 0
1
( )
= 2 adalah 2,2 3 ( ) , yang dalam koordinat kutub adalah
x
dengan garis
y x = -
16
2
¾ Titik potong kurva
= £ £ £ £ - .
{ } D x y x y x
16
2 ( , ):2 4,0
4 x ¾ Daerah pengintegralannya adalah
2 r = 2 sec q
4, p .
=
= 4 x
= - r
16 y x
2
4 (2,2 3 )
/3
Ú Ú . y q = p
x I x y dy dx
( )
16 2 2 3/2 2 0
4
2
Contoh Hitunglah
3
¾ Gunakan transformasi (x,y)
2 2 0 2sec 2sec
{( , ) : 0 , 2sec 4}
3
4 16 /3 4 /3 4 2 2 3/2
2
( )
( )
( ) ( )¾ Integral lipat duanya adalah ( )
q
f r r r
3 ( , ) ( )
2 3/2
f x y x y
2 2 3/2 ( , ) ( )
q q p q = £ £ £ £ . Dalam koordinat kutub:
D r r
3
= (r cos q,
2
r
sin q ), diperoleh x
= 2 ¤ r cos q = 2 ¤ r = 2 sec q,
2
16
y x = - ¤ x
2 =
1
16, y ≥ ¤ r
2 =
16, 0 £ q £ p ¤ r =
4, 0 £ q £ p
, dan sumbu x positif ¤ q =
0, sehingga dalam koordinat kutub
D D
Transformasi integral lipat dua ke koordinat kurvilinear ¾
Transformasi x = r cos sin q dan y = r q menghasilkan
f x y dA f r r rdrd
( , ) ( cos , sin ) , = q q q
D D ÚÚ ÚÚ * r q
dengan D = {(r, q ) | a £ q £
b, p(q ) £ £ ( q )}. Karena
∂ x ∂ x
cos sin
( , ) x y ∂ ∂ r ∂ qq q
2
2
r r (cos sin ) ,
= = = q q = +
∂ ( , ) r q ∂ y ∂ y r
sin cos
q q
r ∂ ∂ q
maka transformasi integral lipat dua ke koordinat kutub dapat ditulis
∂ ( , ) x y f x y dA f r r dr d ( , ) = ( cos , sin ) .
q q q
( , ) r D D ∂ q
ÚÚ ÚÚ ¾ x x y y