SOLUSI AL setda JABAR menutup

SOLUSI AL JABAR

ADI RAHMAT, S.E.,M.M

Konsep Dasar
• Metode Al jabar dilakukan melalui penyelidikan
optimasi secara bertahap sampai diperoleh
penyelesaian yang optimal. Pada setiap tahap
penyelesaian dilakukan pengujian mengenai kelaikan
(feasibelity) penyelesaian yang bersangkutan dan
penyidikan (detection) mengenai kemungkinan
perbaikan optimalitas untuk tahap penyelesaian
berikutnya.

Sebuah penyelesaian tahap pertama
dimulai, perlu dilakukan standarisasi
rumusan model, yakni mengubah kendalakendala
yang
masih
berbentuk
pertidaksamaan

menjadi
berbentuk
persamaan.
Caranya
ialah
dengan
memasukkan unsur variabel semu pada
ruas kiri fungsi kendala. Untuk fungsi
kendala yang bertanda
(kecil sama
dengan) dilakukan penambahan varia el
se ja g
(slack variable). Sedaangkan
fungsi kendala bertanda
(besar sama
dengan) dilakukan pengurangan varia el
surplus (surplus variabel).

Contoh:
4X1 + 2X2  60 menjadi 4X1 + 2X2 + X3 = 60

2X1 + 4X2 ≥ 48 menjadi 2X1 + 4X2 - X3 = 48
Penyelesaian metode al jabar diawali dengan me-nolkan semua variabel keputusan, ini merupakan
penyelesaian tahap pertama. Kemudian dilanjutkan
dengan penyelesaian tahap-tahap berikutnya, dengan
mempertimbangkan kelaikan dan optimalitasnya.
Pekerjaan dikatakan selesai/penyelesaian dianggap
optimal apabila pada suatu tahap penyelesaian tertentu
tidak
terdapat
lagi
kemungkinan
perbaikan
optimalitasnya.

Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan
metode al jabar, setelah model permasalahannya
dirumuskan, adalah sebagai berikut:
• lakukan standarisasi rumusan model
• kerjakan penyelesaian tahap pertama dengan
me-nol-kan semua variabel keputusan

• berdasarkan
koefisien-koefisien
variabel
keputusan yang terdapat pada fungsi tujuan,
tentukanlah salah satu variabel dengan
optimalitas ter aik (sesuai dengan masalahnya:
maksimisasi atau minimisasi

Persoalan Laba Maksimum
Sebuah perusahaan roti yaitu PT. Rotiku, akan
memproduksi dua jenis roti yaitu jenis roti bolu dan jenis
roti selai. Untuk memproduksi roti tersebut diperlukan
bahan baku tepung dan gula. Tepung tersedia sebanyak
60 kg sedangkan gula tersedia sebanyak 48 kg dengan
rincian penggunaan sebagai berikut: 1 buah roti bolu
memerlukan 4 kg tepung dan 2 kg gula dan 1 buah roti
selai memerlukan 2 kg tepung dan 4 kg gula. Apabila
dijual roti bolu laku dengan harga Rp. 8.000 per buah dan
roti selai laku dengan harga Rp. 6.000,- per buah. Berapa
roti bolu dan roti selai harus diproduksi supaya hasil

penjualan maksimal?

Membuat Tabel Persoalan liniernya
Output

Input

Roti bolu

Roti selai

(X1)

(X2)

Tepung (Kg)

4

2

60

Gula (Kg)

2

4

48

8.000

6.000

Harga (Rp/unit)

Fungsi tujuannya
Fungsi Pembatasnya

Pembatas

: F (z) = 8.000 X1 + 6.000 X2
: 4X1 + 2X2  60 Pers (1)
2X1 + 4X2  48 Pers (2)
X1 ; X2  0

Untuk mengubah ketidaksamaan tersebut harus
ditambah/disisipkan variable baru yang disebut
dengan slack variabel. Misalnya X3 dan X4
P
e
n
y
e
l
e
s
a
i

a
n

a. Standarisasi Rumusan Model
Fungsi tujuan
F (z) = 8.000 X1 + 6.000 X2 + 0X3 + 0X4
Fungsi kendala
4X1 + 2X2 + X3  60
2X1 + 4X2 + X4  48
X1 ; X2 ; X3 ;X4  0
Catatan :
X3 dan X4 merupakan produk baru yang menggunakan
bahan mentah sisa dan nilainya dianggap sama dengan nol. Banyaknya
variabel sisipan ini tergantung daripada jumlah persamaan kendala
yang digunakan. Jika dua persamaan maka ditambah dua variabel
sisipan begitu pula selanjutnya.

b. Me-Nol-Kan semua variabel keputusan masalah
Rumus pemecahan dasar (basic feasible solution)
dengan rumus:

n'
k '
m (n  m) '
Dimana:
n = banyaknya variable
m = banyaknya persamaan yang tersedia
‘ = factorial

Dari permasalahan pada kasus, n = 4 dan m = 2

4'
k
2' (4  2)'

4,3,2,1
k
2,1(2,1)

24

k
4

k=6
Jadi terdapat 6 pemecahan dasar dalam menjawab permasalahan yakni:
1) X1 dan X2 = 0
2) X1 dan X3 = 0
3) X1 dan X4 = 0
4) X2 dan X3 = 0
5) X2 dan X4 = 0
6) X3 dan X4 = 0

Catatan :

dari keenam pemecahan tersebut carilah nilai F (z) yang maksimum (terbesar).

Perhitungan
1. X1 dan X2 = 0

(cari persamaan yang memiliki variabel X1 dan X2)

4X1 + 2X2 + X3 = 60

X3 = 60

2X1 + 4X2 + X4 = 48

X4 = 48

F (z)

= 8.000 X1 + 6.000 X2 + 0X3 + 0 X4
= 8.000 (0) + 6.000 (0) + 0 (60) + 0 (48)
=0+0+0+0
= 0 (berarti tidak ada penjualan)

Berarti: nilai F (z) = 0 maknanya pada saat X1 = 0, X2 = 0, X3 = 60 dan X4 = 48
maka nilai penjualan yang diperoleh adalah 0, karena yang berharga adalah X1
dan X2 sedangkan X3 dan X4 harganya nol.

Perhitungan
2. X1 dan X3 = 0
4X1 + 2X2 + X3 = 60

2X2 = 60
X2 = 30

2X1 + 4X2 + X4 = 48
4(30) + X4 = 48
X4 = 48 - 120
X4 = -72
Berarti: Jika nilai yang diperoleh negatif maka tidak dilanjutkan ke
perhitungan pencarian maks profitnya karena tidak ada produksi
yang negatif berarti tidak layak.

Perhitungan
3. X1 dan X4 = 0
2X1 + 4X2 + X4 = 48

4X1+2X2 + X3 = 60
2(12) + X3= 60
24 + X3= 60
X3= 60-24
X3= 36

4X2 = 48
X2 = 12

Perhitungan
F (z)

= 8.000 X1 + 6.000 X2 + 0X3 + 0 X4
= 8.000 (0)+6.000 (12)+0 (36) + 0 (0)
= 0 + 72.000 + 0 + 0
= 72.000

Berarti: Pada saat X1 dan X4 sama dengan nol
dan X2 sama dengan 12 serta X3 sama
dengan 36 maka maks profitnya mencapai
Rp. 72.000,-

Perhitungan
4. X2 dan X3 = 0
4X1 + 2X2 + X3 = 60

4X1 = 60
X1=15

2X1 + 4X2 + X4 = 48
2(15) + 0 + X4 = 48
30+ X4 = 48
X4 = 48 -30
X4 = 18

F (z)

= 8.000 X1 + 6.000 X2 + 0X3 + 0 X4
= 8.000 (15)+6.000 (0) + 0 (0) + 0 (18)
= 120.000 + 0 + 0 + 0
= 120.000

Berarti:
Pada saat X1 = 15; X2 = 0;
X3 = 0 dan X4 = 18 maka maks
profitnya mencapai Rp. 120.000,-

Perhitungan
5. X2 dan X4 = 0
2X1 + 4X2 + X4 = 48

2X1 = 48
X1 = 24

4X1+2X2 + X3 = 60
4(24) + 0 + X3= 60
96 + X3= 60
X3= 60-96
X3= -36
Berarti: Jika nilai yang diperoleh negatif maka tidak
dilanjutkan ke perhitungan pencarian maks profitnya
karena tidak ada produksi yang negatif berarti tidak layak.

Perhitungan
6. X3 dan X4 = 0
4X1 + 2X2 + X3 = 60

4X1 + 2X2 = 60

2X1 + 4X2 + X4 = 48

2X1 + 4X2 = 48

4X1 + 2X2 = 60 (1)
2X1 + 4X2 = 48 (2)

4X1 + 2X2 = 60
4X1 + 8X2 = 96 -6X2 = -36
X2 = -36/-6
X2 = 6

2X1 + 4X2 = 48
2X1 + 4(6) = 48
2X1 + 24 = 48
2X1= 48 - 24
2X1= 24
X1= 12
F (z)

= 8.000 X1 + 6.000 X2 + 0X3 + 0 X4
= 8.000 (12) + 6.000 (6) + 0 (0) + 0 (0)
= 96.000 + 36.000 + 0 + 0
= 132.000

Berarti: Pada saat X1 = 12; X2 = 6; X3 = 0 dan X4 = 0
maka maks profitnya mencapai Rp. 132.000,-

c. Menentukan salah satu variabel dengan
optimalitas ter aik
Dari enam alternatif pemecahan masalah tersebut,
maka dapat dikatakan bahwa alternatif ke 6
(enam) merupakan alternatif yang memberikan
nilai optimasi terbaik, yakni: Rp. 132.000,- dengan
nlai X1 = 12 dan X2 = 6. Jadi, sebanyak 12 buah
roti bolu dan 6 buah roti selai harus diproduksi
supaya hasil penjualan maksimal dengan
keterbatasan bahan baku gula 60 kg dan tepung 48
kg. Maka penjualan mencapai Rp. 132.000,-

LATIHAN
•
•
•
•
•
•

Mahasiswa diminta mencari sebuah usaha
Kemudian cari informasi apa yang diproduksi usaha
tersebut dan pilih dua produksi saja dengan menggunakan
bahan baku yang sama
Selanjutnya mahasiswa diminta mencari informasi berapa
bahan baku yang digunakan untuk memproduksi satu
satuan hasil produksi dan ketersediaan bahan baku saat ini.
Selanjutnya cari juga informasi berapa harga masing-masing
satuannya.
Buatlah tabel masukan, aktivitas dan keluaran.
Buatlah fungsi laba maksimum dan fungsi pembatasnya.
U tuk la a aksu u f z da u tuk iaya i i u f
u tuk perta yaa erapa la a ya g dapat dihasilka
dan berapa barang pertama dan kedua yang dapat
diproduksi.

SOLUSI AL JABAR
MINIMUM COST
ADI RAHMAT, S.E.,M.M

Persoalan Minimum Cost
Sebuah perusahaan roti yaitu PT. Rotiku melakukan
percobaan akan memproduksi dua jenis roti yaitu jenis
roti bolu dan jenis roti selai. Untuk memproduksi barang
tersebut diperlukan bahan baku tepung dan gula. Tepung
tersedia sebanyak 3 kg sedangkan gula tersedia sebanyak
2 kg dengan rincian penggunaan sebagai berikut: 1 buah
roti bolu memerlukan 2 ons tepung dan 1 ons gula dan 1
buah roti selai memerlukan 1 ons tepung dan 1 ons gula.
Pembuatan kedua roti tersebut memakan biaya masingmasing Rp. 50 per buah dan roti selai Rp. 30,- per buah.
Berapa roti bolu dan roti selai harus diproduksi supaya
biaya yang dikeluarkan minimum dengan keterbatasan
bahan baku tepung 3 kg dan gula 2 kg?

Membuat Tabel Persoalan liniernya
Output

Input

Roti bolu

Roti selai

(X1)

(X2)

Tepung (ons)

2

1

30

Gula (ons)

1

1

20

50

30

Biaya (Rp/Buah)

Fungsi tujuannya
Fungsi Pembatasnya

Pembatas

: F (c) = 50 X1 + 30 X2
: 2X1 + 1X2  30 Pers (1)
X1 + X2  20 Pers (2)
X1 ; X2  0

Untuk mengubah ketidaksamaan tersebut harus
ditambah/disisipkan variable baru yang disebut
dengan slack variabel. Misalnya X3 dan X4
P
e
n
y
e
l
e
s
a
i
a
n

a. Standarisasi Rumusan Model
Fungsi tujuan
F (c) = 50 X1 + 30 X2 - 0X3 - 0X4
Fungsi kendala
2X1 + 1X2 – X3 = 30
X1 + X2 – X4 =20
X1 ; X2 ; X3 ;X4  0
Catatan :
X3 dan X4 merupakan produk baru yang menggunakan
bahan mentah sisa dan nilainya dianggap sama dengan nol. Banyaknya
variabel sisipan ini tergantung daripada jumlah persamaan kendala
yang digunakan. Jika dua persamaan maka ditambah dua variabel
sisipan begitu pula selanjutnya.

b. Me-Nol-Kan semua variabel keputusan masalah
Rumus pemecahan dasar (basic feasible solution)
dengan rumus:

n'
k '
m (n  m) '
Dimana:
n = banyaknya variable
m = banyaknya persamaan yang tersedia
‘ = factorial

Dari permasalahan pada kasus, n = 4 dan m = 2

4'
k
2' (4  2)'

4,3,2,1
k
2,1(2,1)

24
k
4

k=6
Jadi terdapat 6 pemecahan dasar dalam menjawab permasalahan yakni:
1) X1 dan X2 = 0
2) X1 dan X3 = 0
3) X1 dan X4 = 0
4) X2 dan X3 = 0
5) X2 dan X4 = 0
6) X3 dan X4 = 0

Catatan :

dari keenam pemecahan tersebut carilah nilai F (z) yang maksimum (terbesar).

Perhitungan
1. X1 dan X2 = 0

(cari persamaan yang memiliki variabel X1 dan X2)

2X1 + X2 - X3 = 30

X3 = -30

X1 + X2 - X4 = 20

X4 = -20

Berarti: nilai negatif

Perhitungan
2. X1 dan X3 = 0
2X1 + X2 - X3 = 30

X2 = 30

X1 + X2 - X4 = 20
30 - X4 = 20
X4 = 20 - 30
X4 = 10
F (c)

= 50 X1 + 30 X2 - 0X3 - 0 X4
= 50 (0) + 30 (30) - 0 (0) - 0 (10)
= 0 + 900 - 0 - 0
= 900

Berarti: pada X2 = 30 dan X4 = 10 biaya minimum 900

Perhitungan
3. X1 dan X4 = 0
X1 + X2 - X4 = 20

X2 = 20

2X1+ X2 - X3 = 30
20 - X3= 30
- X3= 30-20
- X3= 10
X3= -10

Berarti: nilai negatif

Perhitungan
4. X2 dan X3 = 0
2X1 + X2 - X3 = 30

2X1 = 30
X1=15

X1 + X2 - X4 = 20
15 + 0 - X4 = 20
15 - X4 = 20
-X4 = 20 -15
-X4 = 5
X4 = -5

Berarti: nilai negatif

Perhitungan
5. X2 dan X4 = 0
X1 + X2 - X4 = 20

2X1 + X2 - X3 = 30
2(20) + 0 - X3= 30
40 - X3= 30
- X3= 30-40
- X3= -10
X3= 10

X1 = 20

F (c)

= 50 X1 + 30 X2 - 0X3 - 0 X4
= 50 (20) + 30 (0) - 0 (10) - 0 (0)
= 1000 + 0 - 0 - 0
= 1000

Berarti: pada X1 = 20 dan X3 = 10 biaya minimum 1000

Perhitungan
6. X3 dan X4 = 0
2X1 + X2 - X3 = 30
X1 + X2 - X4 = 20

2X1 + X2 = 30
X1 + X2 = 20 X1 = 10

2X1 + X2 = 30
X1 + X2 = 20

X1 + X2 = 20
1(10) + X2 = 20
10 + X2 = 20
X2 = 20 - 10
X2 = 10
F (z)

= 50 X1 + 30 X2 - 0X3 - 0 X4
= 50 (10) + 30 (10) - 0 (0) - 0 (0)
= 500 + 300 - 0 - 0
= 800

Berarti: Pada saat X1 = 10; X2 = 10; X3 = 0 dan X4 = 0
maka biaya minimum adalah Rp. 800,-

c. Menentukan salah satu variabel dengan
optimalitas ter aik
Dari enam alternatif pemecahan masalah tersebut,
maka dapat dikatakan bahwa alternatif ke 6
(enam) merupakan alternatif yang memberikan
nilai minimum terbaik, yakni 800 dengan nilai X1
= 10 dan X2 = 10.
Jadi, dengan hanya memproduksi masing-masing
10 unit diperoleh biaya minimal sebesar Rp. 800,-

Soal
BAYU FURNITURE memproduksi 2 jenis produk yaitu
meja dan kursi yang harus diproses melalui
perakitan dan finishing. Proses perakitan memiliki
60 jam kerja sedang proses finishing memiliki 48
jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja
dibutuhkan 4 jam perakitan dan 2 jam finishing,
sedangkan satu kursi membutuhkan 2 jam
perakitan dan 4 jam finishing. Laba untuk tiap meja
$8 dan tiap kursi $6. Sekarang kita harus
menentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja
dan kursi yang harus diproduksi, agar menghasilkan
laba maksimal.
37