Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

  Topik dalam

  Limit fungsi

  Limit fungsi

  Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

  Langsung ke:

   Limit suatu

  mendasar dalam

  

  Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap

  

  masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p.

  

  Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L

  

  ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f

  Pengintegralan dengan:

  diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p,

  

  hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat

  

  dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata

  

  dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f

   dikatakan tidak memiliki limit.

  Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

  Daftar isi

  

   o

   o

   o

  

   Sejarah

  Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleng pada 1817,

  

  memperkenalkan dasar-dasar teknikamun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

  embahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan olehda dasawarsa 1850-an

  n sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

  Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh

  

   Definisi Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

  

  Bila f : R R terdefinisi pada garisn p, L R maka kita menyebut limit

  f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

uk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan

  bahwa |f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

   Limit searah

• Limit saat: x → x ≠ x → x . Maka, limit x → x tidak ada.

  Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai atau

  Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada

  

p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak

ada.

  Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.

  Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

   Limit fungsi pada ketakhinggaan Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

  Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

  Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai: jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ε bilamana x > S. Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R

  

Rujukan