KUNCI MATEMATIKA UTS XII

UJI KOMPETENSI TENGAH SEMESTER A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c Pembahasan L =

_

 

2

0

2 _dx

x =



₂1₁

_x

21



2₀

 =





2 0 3

31

x

=



 



3 3 1 3 3

1

₍₂₎

_

₍₀₎

₌ 3 8

2. Jawaban: a Pembahasan:













sin



2x 1



C 2

1 dx 1 2x cos

C b ax sin a 1 dx b ax cos

  

 

  

 

3. Jawaban: c.  5 117 Pembahasan:

Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari : y = x2 _{+ 1}

y = x + 3

Substitusikan nilai y, didapat : x2 _{+ 1 = x + 3}

x2 _{+ 1 – x – 3 = 0}

x2 _{– x – 2 = 0}

( x – 2 ) ( x + 1 ) = 0 x = 2 atau x = – 1

V =

_



b

a

x g x

f 2( ) 2( ) dx



=

_



   2

1

2 2

2 _{( 1) dx}

) 3

(x x



=

_



     2

1

2 4

2 _{6 9) ( 2 1) dx}

(x x x x



=

_



     2

1

2 4

2 _{6x 9 x 2x 1) dx}

x



=

_



    2

1

2

4 _{x 6x 8 dx}

x



=

1 2 ) 8 3 3 1 5 1

( 5 3 2

   

 x x x x



= ( 1) 3( 1) 8( 1))

3 1 ) 1 ( 5 1 ( ) 2 ( 8 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 5 1

(_ 5 _ 3 _ 2 _{   } 5 _{ } 3 _{ } 2 _{ }



= 3 8)

3 1 5 1 ( ) 16 12 3 8 5 32

(       

= 33) 3 9 5 33

(  



= 30)

5 33 ( 



= 30)

5 3 6 ( 



= 

5 2

23 = 

5 117 4. Jawaban: c

Pembahasan:









3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3

3 2 1 5 2 1 5 2 1 3 2 1 5 3 2 1 3

6 cos 5 6 sin 3 3 cos 5 3 sin

x cos 5 x sin 3 dx x sin 5 x cos

3 3

6 3

6

    



         

   



 

  

   



 

  

 

 

  



5. Jawaban: a

Pembahasan: Ingat! sin 2x = 2 sin x cos x



cos

x

sin

x



dx

2 π

0

2



2

sin

x



cos

x



dx

π

0 2





Misalkan u = sin x dan du = cos x dx



cos

x



dx

x

sin

2 π

0 2



= u du ₃1u ₃1 sin₂ 0 ₃1 3

2 0 3 2

0

2 _

    

  

     

 

 



 

6. Jawaban: d

Pembhasan: Ingat! sin 2x = 2 sin x cos x

π 2

sin 2x cos x dx



�

π 2

2 sin x cos x cos x dx





_�

π 2

2

2 cos x sin x dx





_�

Misalkan u = cos x dan du = - sin x dx cos π

2 = 0

cos  = -1

π 2

sin 2x cos x dx



�

=

0 2 1

-2u du

=

 

 

0

3 3 3

1

2_u 2 ₀ 2 _{1 0} 2

3 _ 3 3 3

� � � �

  _{� � �}   _� 

� � � �

= 2 3



7. Jawaban: a

Pembahasan: Ingat! sin 2x = 2 sin x cos x

dx

x

cos

2x

sin

2 0





dx

x

cos

x

cos

x

sin

2

2 π

0





2

2

cos

x

sin

x

dx

π

0

2





Misalkan u = cos x dan du = - sin x dx

cos 2



= 0 cos 0 = 1

dx

x

cos

2x

sin

2 π

0



=

-

2u

du

0 1

2



=

 

 



  

       

   

 3 3

01 1

1 3 2 0

3 2 3

2_u3

= 3 2 8. Jawaban: c

Pembahasan:







1

=

dx

x +

-x

0

2

₃

₇

3

 

 

2 13 2

3 16 7 2 3 1 0 1 7 1 2 3 1 7

2

3 3 2

1

0 2 3

          

 

 

 

 x x .

x

9. Jawaban: d Pembahasan:





 

 





1

4 1 4 1 0 cos 0

2 cos 2

cos x dx x sin 2x

2 2

2 2

2 1 0 2

2 1

0

      

    

 

               

 

  



10. Jawaban: c Pembahasan:



sin

x

-

cos

x



dx

2 0

2 2





= [-  . cos x + sin x]

0

= ( –  . cos  + sin  ) – ( – 0 . cos 0 + sin 0 ) = (  + 0 ) – ( 0 + 0 ) = 

11. Jawaban: d Pembahasan:

V =

_



b

a

x g x

f 2( ) 2( ) dx



V =

_

 

1 0

2 2

2 _{1) (0) dx}

2 ( x



V =

_

 

1 0

2

4 _{4 1 dx}

4x x



=

0 1 3

4 5

4 5 3

   

 



 x x

x



= 

  

 

  (1) 1

3 4 ) 1 ( 5

4 5 3



=   

15 47 15

15 20 12 1

3 4 5 4

    



  

    

 

 

12. Jawaban: e

Pembahasan:



8

sin

x6

cos

x8

dx

=    cos14x12cos2xC

7 2 xdx 2 sin x 14 sin 4

13. Jawaban: a Pembahasan:

Dengan mensubtitusikan u = x4 _{– 12x  du = 4x}3 _{– 12 dx}

Subtitusikan nilai dx =

_

_

du

3 x 4

1

3 _











    x  3 C

16 1 dx x 12 x 3

x3 4 10 3 8

14. Jawaban: c Pembahasan:

Misal u = 2x3 _{+ 8, maka du = 6x}2

18x2 _{= 3 du}



2x 8



C 6 2x 8 C 6

C u 2 1 3

du u 3 du u 3 dx 8 x 2

x 18

3 2

1 3 2

1

2 1 3

2

  

  

 

  

 





15. Jawaban: a Pembahasan:

+ -









0 0 _{3 2 4} 1 ₁

1 1 0 _{2 2 4} 2 ₁

0

1 1 ₀ 1 1 1 1

2 4 2 4 4 4

1 1 1 1 ₀ 1 2 4 2 4 4 1 1 1

Jadi, luas total L =

4 4 2

L x x dx x x

L x x dx x x







� �

� � � � � �

    �_�  _��  _���_�  �_���  _{� �}� �

� � � �

  �_�  �_{� �}� �_� 

 

�

�

16. Jawaban: c. (4, 2) Pembahasan:

B  perpotongan x + 2y ≤ 8 dan 0≤y≤2 x + 2y = 8

x + 2.2 = 8 x = 4

Jadi, B (4, 2) 17. Jawaban: d

Pembahasan:

Titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, -2) dan (3, 0).

6 3 2 maka atas ke grafik karena

6 3 2

6 2

3

2 6 3

0 3

0 2

0 2

1 2

1 1

2 1

  



  

 

    

    

y x y

x x y

x y

x y

x x

x x y y

y y

18. Jawaban: b

Pembahasan: Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau irisan dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan x ≥ 0, y ≥ 0 dan 2x + y ≤ 4

19. Jawaban:d. (

7 6

,

7 25

) Pembahasan:

Dperpotongan x+2y≤8 dan 5x+3y≥15 x +2y = 8  5 5x + 10y = 40 5x+3y =15  1 5x + 3y = 15

7y = 25 y = 25₇ x + 2y = 8

x + 2. 25₇ = 8  x = ₇6 Jadi, D( ₇6 , 25₇ ) 20. Jawaban: b

Pembahasan: Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau irisan dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 12, dan 3x – y ≥ -3, (x, y  B). Perhatikan gambar berikut!

y

x 6

III

4 0

II I IV

V

-1 3 4

21. Jawaban: d Penyelesaian:

roti asin sebanyak x kaleng roti manis y kaleng

Model matematika, yaitu:

Roti asin Roti Manis Jumlah

30 50 120

roti asin diproduksi paling sedikit 30 kaleng, maka x ≥ 30 roti manis diproduksi paling sedikit 50 kaleng, maka y ≥ 50 pabrik roti memproduksi 120 kaleng setiap hari, maka x + y = 120 22. Jawaban: d. 10

Penyelesaian:

Titik koordinat x + y ≤ 4, yaitu: (0,4) dan (4,0) Titik koordinat 2x + y ≤ 6 yaitu: (0,6) dan (3,0) Titik koordinat x ≥ 0 dan y ≥ 0

x + y = 4 2 + y = 4 2x + y = 6 y = 2 x = 2

f(x,y) = 2x + 3y O. (0,0) 0 . 0 + 0 = 0 A. (0,4) 2 . 0 + 4 = 4 B. (2,2) 2 . 2 + 3 . 2 = 10 C. (3,0) 2 . 3 + 3. 0 = 6 Jadi, nilai maksimumnya adalah 10 23. Jawaban: d

Penyelesaian:

Titik koordinat 2x + y ≤ 4, yaitu: (0,4) dan (2,0) Titik koordinat x + 2y ≤ 6, yaitu: (0,3) dan (6,0) Titik koordinat 3x + 2y ≥ 6, yaitu: (0,3) dan (2,0)

24. Jawaban: a Penyelesaian:

banyaknya kecap kualitas I adalah x banyaknya kecap II adalah y Model matematika, yaitu:

Kecap K I Kecap K II Persediaan

Jumlah x y 50 botol

Harga Rp 4.000,00 Rp 3.000,00 Rp 200.000,00

x + y < 50 ; 4x + 3y < 200 ; x > 0 ; y > 0 25. Jawaban: a.

Pembahasan: Misalkan mobil = x Bus = y

Misal Bus (m2₎

Mobil x 6

Bus y 24

Batasan 58 600

x + y  58

6x + 24y  600 , maka x + 4y  100 (x,y)  bilangan cacah dan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah x + y ≤ 58

x + 4y ≤ 100 x ≥ 0 y ≥ 0

(x,y)  bilangan cacah B. Uraian

1. Penyelesaian:

a. cos3x C

9 1 x 5 sin 10

1 C x 3 cos 3 1 3 1 x 5 sin 5 1 2 1 dx x 3 sin 3 1 x 5 cos 2 1

 

  

 



 

  

 



b.





cos3x C

3 1 x 4 sin 4 1 dx x 3 sin x 4

cos   

 

c.

_



4

cos

4

x



3

sin

3

x



dx



sin4x

-

cos3x



C

d.





sin4x sin3x C

4 1 dx x 3 cos 3 x 4

cos   

 

2. Penyelesaian:

a.      sin2x 6xC

2 1 x 2 1 dx ) 6 x 2 sin x 3

b. x)dx 4 1 sin x 2 1 cos x 2 ( 6    C x 4 1 cos 4 x 2 1 sin 2 x 7 2 C x 4 1 cos 4 1 1 x 2 1 sin 2 1 1 x 7 2 x 4 1 sin x 2 1 cos x 2 7 7 6           

c. _{cos2x 5x C}

2 1 x 20 3 C x 5 x cos 2 1 x 4 5 3 dx ) 5 x 2 sin x 5 3

( 3 4 4 _{  }

         d. C x 5 1 cos 5 x 3 sin 3 1 x 32 1 C x 5 1 cos 5 x 3 sin 3 1 x 8 4 1 dx ) x 5 1 sin x 3 cos x 4 1 ( 8 8 7             

3. Penyelesaian:

a. 1





7

0 2x5 dx

�

















 

 

   









1

1 7 8 8 8 8 8

0

0 8 8

1 1 1 1 1

2 5 dx 2 5 2.1 5 2.0 5 7 5

16 16 16 16 16

1 1 1

7 5 5.764.801 390.625 5.374.176 335.886

16 16 16

x �_� x � �_{� �}  � �_{� �}  � �_{� �}  �_�

� � � � � � � �

� �

 _�  _�   

�

b. 1





9

0 3x6 dx

�

















 

 









1 10

1 9 10 10 10 10 0

0

3 6 1 1

3 6 dx 3.1 6 3.0 6 3 6

30 30 30

1 1

59.049 60.466.176 60.407.127 2.013.570,9

30 30

x

x ��  �� _��    �_� �_�   �_�

� �

� �

     

�

c.

0cos3 dxx



�

 

 





0 0 1 1

cos3 dx sin3 sin3 sin3 0 0

3 3 x x    � � _{� �}   � �

�

d. 2

0 sin cos dxx x



�

 





 

2 2 0 0

1 1 1 1 1

sin cos dx cos2 cos2 cos2 0 1 1 2

4 4 2 4 4 2

x x x



 _{� � � � � �}

 �_� �_�  � � �_{� �} �       

� �

�

4. Penyelesaian:

Model matematika, yaitu:

Sawo Manggis Maksimum

Banyaknya buah (kg)

x y 60

Pembelian 2.500 2.000 140.000

Keutungan 1.500 1.250

Banyaknya buah sawo dan manggis yang dapat ditampung di tempat pedagang tersebut memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 60

Banyaknya buah sawo dan manggis yang dapat dibeli oleh pedagang memenuhi pertidaksamaan 2.500x + 2.000y ≤ 140.000

Oleh karena x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya buah sawo dan manggis maka x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah fungsi tujuan z = f(x, y) = 1.500x + 1.250y

dengan fungsi kendala x + y ≤ 60

2.500x + 2.000y ≤ 140.000 x ≥ 0

y ≥ 0

5. Penyelesaian:

Misalkan roti A = x dan roti B = y, maka:

Jenis Roti Tepung Mentega Harga

A 200 gr 25 gr 3.600

B 100 gr 50 gr 2.400

Persediaan 3 kg = 3.000 gr 1,1 = 1.100 gr a. Model matematika

Roti A = 200x + 100y  3.000 Roti B = 25x + 50y  1.100 Banyaknya roti A adalah x ≥ 0 Banyaknya roti B adalah y ≥ 0

b. Fungs tujuan z berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknya roti yang dibuat, yaitu z = 3.600 x + 2.400y.

V =

_

 b

a

x g x

f 2( ) 2( ) dx 

V =

_

 

1

0

2 2

2 _{1) (0) dx} 2

( x 

V =

_

 

1

0

2

4 _{4 1 dx}

4x x

 =

0 1 3

4 5

4 5 3

   

 



 x x

x



= 

  

 

  (1) 1

3 4 ) 1 ( 5

4 5 3



=   

15 47 15

15 20 12 1

3 4 5 4

    



  

    

 

 

12. Jawaban: e

Pembahasan:



8

sin

x6

cos

x8

dx

=    cos14x12cos2xC

7 2 xdx 2 sin x 14 sin 4

13. Jawaban: a Pembahasan:

Dengan mensubtitusikan u = x4 _{– 12x  du = 4x}3 _{– 12 dx} Subtitusikan nilai dx =

_

_

du

3 x 4

1

3 _











    x  3 C

16 1 dx x 12 x 3

x3 4 10 3 8

14. Jawaban: c Pembahasan:

Misal u = 2x3 _{+ 8, maka du = 6x}2 18x2 _{= 3 du}



2x 8



C 6 2x 8 C 6

C u 2 1 3

du u 3 du u 3 dx 8 x 2

x 18

3 2

1 3 2

1

2 1

3 2

  

  

 

  

 





15. Jawaban: a Pembahasan:

+ -









0

0 _{3 2 4}

1 ₁

1 1

0 _{2 2 4}

2 ₁

0

1 1 ₀ 1 1 1 1 2 4 2 4 4 4 1 1 1 1 ₀ 1

2 4 2 4 4 1 1 1

Jadi, luas total L =

4 4 2

L x x dx x x

L x x dx x x







� �

� � � � � �

    �_�  _��  _���_�  �_���  _{� �}� �

� � � �

  �_�  �_{� �}� �_� 

 

�

�

16. Jawaban: c. (4, 2) Pembahasan:

B  perpotongan x + 2y ≤ 8 dan 0≤y≤2 x + 2y = 8

x + 2.2 = 8 x = 4

Jadi, B (4, 2) 17. Jawaban: d

Pembahasan:

Titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, -2) dan (3, 0).

6 3 2 maka atas ke grafik karena

6 3 2

6 2

3

2 6 3

0 3

0 2

0 2

1 2

1 1

2 1

  



  

 

    

    

y x y

x x y

x y

x y

x x

x x y y

y y

18. Jawaban: b

Pembahasan: Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau irisan dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan x ≥ 0, y ≥ 0 dan 2x + y ≤ 4

19. Jawaban:d. (

7 6

,

7 25

) Pembahasan:

Dperpotongan x+2y≤8 dan 5x+3y≥15 x +2y = 8  5 5x + 10y = 40 5x+3y =15  1 5x + 3y = 15

7y = 25 y = 25₇ x + 2y = 8

x + 2. 25₇ = 8  x = ₇6 Jadi, D( ₇6 , 25₇ ) 20. Jawaban: b

Pembahasan: Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau irisan dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 12, dan 3x – y ≥ -3, (x, y 

B). Perhatikan gambar berikut!

y

x 6

III

4 0

II I IV

V

-1 3 4

21. Jawaban: d Penyelesaian:

roti asin sebanyak x kaleng roti manis y kaleng

Model matematika, yaitu:

Roti asin Roti Manis Jumlah

30 50 120

roti asin diproduksi paling sedikit 30 kaleng, maka x ≥ 30 roti manis diproduksi paling sedikit 50 kaleng, maka y ≥ 50 pabrik roti memproduksi 120 kaleng setiap hari, maka x + y = 120 22. Jawaban: d. 10

Penyelesaian:

Titik koordinat x + y ≤ 4, yaitu: (0,4) dan (4,0) Titik koordinat 2x + y ≤ 6 yaitu: (0,6) dan (3,0) Titik koordinat x ≥ 0 dan y ≥ 0

x + y = 4 2 + y = 4 2x + y = 6 y = 2 x = 2

f(x,y) = 2x + 3y O. (0,0) 0 . 0 + 0 = 0 A. (0,4) 2 . 0 + 4 = 4 B. (2,2) 2 . 2 + 3 . 2 = 10 C. (3,0) 2 . 3 + 3. 0 = 6 Jadi, nilai maksimumnya adalah 10 23. Jawaban: d

Penyelesaian:

Titik koordinat 2x + y ≤ 4, yaitu: (0,4) dan (2,0) Titik koordinat x + 2y ≤ 6, yaitu: (0,3) dan (6,0) Titik koordinat 3x + 2y ≥ 6, yaitu: (0,3) dan (2,0)

24. Jawaban: a Penyelesaian:

banyaknya kecap kualitas I adalah x banyaknya kecap II adalah y

Model matematika, yaitu:

Kecap K I Kecap K II Persediaan

Jumlah x y 50 botol

Harga Rp 4.000,00 Rp 3.000,00 Rp 200.000,00 x + y < 50 ; 4x + 3y < 200 ; x > 0 ; y > 0

25. Jawaban: a. Pembahasan: Misalkan mobil = x Bus = y

Misal Bus (m2₎

Mobil x 6

Bus y 24

Batasan 58 600

x + y  58

6x + 24y  600 , maka x + 4y  100 (x,y)  bilangan cacah dan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah x + y ≤ 58

x + 4y ≤ 100 x ≥ 0 y ≥ 0

(x,y)  bilangan cacah

B. Uraian

1. Penyelesaian:

a. cos3x C

9 1 x 5 sin 10

1 C x 3 cos 3 1 3 1 x 5 sin 5 1 2 1 dx x 3 sin 3 1 x 5 cos 2 1

 

  

 



 

  

 



b.





cos3x C

3 1 x 4 sin 4 1 dx x 3 sin x 4

cos   

 

c.

_



4

cos

4

x



3

sin

3

x



dx



sin4x

-

cos3x



C

d.





sin4x sin3x C

4 1 dx x 3 cos 3 x 4

cos   

 

2. Penyelesaian:

a.      sin2x 6xC

2 1 x 2 1 dx ) 6 x 2 sin x 3

b. x)dx 4 1 sin x 2 1 cos x 2 ( 6    C x 4 1 cos 4 x 2 1 sin 2 x 7 2 C x 4 1 cos 4 1 1 x 2 1 sin 2 1 1 x 7 2 x 4 1 sin x 2 1 cos x 2 7 7 6           

c. _{cos2x 5x C}

2 1 x 20 3 C x 5 x cos 2 1 x 4 5 3 dx ) 5 x 2 sin x 5 3

( 3 4 4 _{  }

         d. C x 5 1 cos 5 x 3 sin 3 1 x 32 1 C x 5 1 cos 5 x 3 sin 3 1 x 8 4 1 dx ) x 5 1 sin x 3 cos x 4 1 ( 8 8 7             

3. Penyelesaian:

a. 1





7

0 2x5 dx

�

















 

 

   









1

1 7 8 8 8 8 8

0

0

8 8

1 1 1 1 1

2 5 dx 2 5 2.1 5 2.0 5 7 5 16 16 16 16 16

1 1 1

7 5 5.764.801 390.625 5.374.176 335.886

16 16 16

x �_� x � �_{� �}  � �_{� �}  � �_{� �}  �_�

� � � � � � � �

� �

 _�  _�   

�

b. 1





9

0 3x6 dx

�

















 

 









1 10

1 9 10 10 10 10

0

0

3 6 1 1

3 6 dx 3.1 6 3.0 6 3 6 30 30 30

1 1

59.049 60.466.176 60.407.127 2.013.570,9

30 30

x

x ��  �� _��    �_� �_�   �_�

� �

� �

     

�

c.

0cos3 dxx 

�

 

 





0 0 1 1

cos3 dx sin3 sin3 sin3 0 0 3 3 x x    � � _{� �}   � �

�

d. 2

0 sin cos dxx x 

�

 





 

2 2 0 0

1 1 1 1 1

sin cos dx cos2 cos2 cos2 0 1 1 2

4 4 2 4 4 2

x x x



 _{� � � � � �}

 �_� �_�  � � �_{� �} �       

� �

�

4. Penyelesaian:

Model matematika, yaitu:

Sawo Manggis Maksimum

Banyaknya buah (kg)

x y 60

Pembelian 2.500 2.000 140.000

Keutungan 1.500 1.250

Banyaknya buah sawo dan manggis yang dapat ditampung di tempat pedagang tersebut memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 60

Banyaknya buah sawo dan manggis yang dapat dibeli oleh pedagang memenuhi pertidaksamaan 2.500x + 2.000y ≤ 140.000

Oleh karena x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya buah sawo dan manggis maka x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah fungsi tujuan z = f(x, y) = 1.500x + 1.250y

dengan fungsi kendala x + y ≤ 60

2.500x + 2.000y ≤ 140.000 x ≥ 0

y ≥ 0

5. Penyelesaian:

Misalkan roti A = x dan roti B = y, maka:

Jenis Roti Tepung Mentega Harga

A 200 gr 25 gr 3.600

B 100 gr 50 gr 2.400

Persediaan 3 kg = 3.000 gr 1,1 = 1.100 gr a. Model matematika

Roti A = 200x + 100y  3.000 Roti B = 25x + 50y  1.100 Banyaknya roti A adalah x ≥ 0 Banyaknya roti B adalah y ≥ 0

b. Fungs tujuan z berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknya roti yang dibuat, yaitu z = 3.600 x + 2.400y.