KUNCI MATEMATIKA UAS XII
UJI KOMPETENSI SEMESTER 1 MATEMATIKA XII
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c. 13
2 Pembahasan:
1=
dx
x +
-x
0
2
3
7
3
2 13 2
3 16 7 2 3 1 0 1 7 1 2 3 1 7
2
3 3 2
1
0 2 3
x x .
x 2. Jawaban: c.
6 5 20
Pembahasan: Kurva y = x2 dan garis x + y = 6 ( y = 6 – x ). Substikan nilai y pada y = x2 sehingga didapat : 6 – x = x2 6 – x = x2
x2+ x – 6 = 0 ( a = 1, b = 1, c = –6 )
Untuk mencari luas pada soal diatas lebih mudah jika dikerjakan menggunakan rumus luas yang menggunakan bantuan diskriminan. 2
a 6
D D
L .
D = b2 – 4ac = 12 – 4 (1) (–6) = 1 + 24 = 25
6 5 20 6 125 6
) 5 .( 25 1
. 6
25 25 a
6 D D
L 2 2
3. Jawaban: d.
3 8 Pembahasan:
Cat: Gambar diatas kemudian diputar 3600 terhadap sumbu y( kasih masukkan ya, kalau anda tahu cara menggambar kurva dengan putaran 3600).
Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari :
y = – x2 + 4 y = – 2x + 4
Substitusikan nilai y, didapat : – 2x + 4 + x2 – 4 = 0
x2 – 2x = 0 x ( x – 2 ) = 0 x = 0 atau x = 2
Untuk nilai y, substitusikan nilai x pada y = – 2x + 4 x = 0 y = – 2(0) + 4 = 4
(2)
x = 2 y = – 2(2) + 4 = 0
Karena beda diputar terhadap sumbu y, maka terlebih dahulu rubah fungsi y = f(x) menjadi x = f(y).
y = – x2 + 4 y = – 2x + 4
y – 4 = – x2 y – 4 = – 2x
4 – y = x2 2 – ½ y = x
x = 4 y
V =
b
a
y g y
f 2( ) 2( ) dx
=
4
0
2
2 ) dy
2 1 2 ( ) 4
( y y
=
4
0
2) dy 4
1 2 4 ( ) 4
( y y y
=
4
0
2 y dy 4
1
y
=
0 4 2 1 12
1 3 2
y y
=
3 8 ) 8 3 16 ( } ) 4 ( 2 1 ) 4 ( 12
1
{ 3 2
4. Jawaban: d.
5 2 14 Pembahasan:
y = x2 dan x + y – 2 = 0 ( y = 2 – x )
Substitusi kedua persamaan untuk mendapat titik potongnya. x2 = 2– x
x2 + x – 2 = 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0 x = – 2 atau x = 1
V =
b
a
x g x
f 2( ) 2( ) dx
=
1 2
2 2 2 ( ) dx
) 2
( x x
=
1 2
4 2 dx
4
4 x x x
=
2 1 ) 5 1 3 1 2 4
( 2 3 5
x x x
x
= ( 2) )}
5 1 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 4 ( ) ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 4
{( 2 3 5 2 3 5
= )}
5 32 3 8 8 8 ( ) 5 1 3 1 2 4
{(
= )
5 32 3 8 16 5 1 3 1 2
(
(3)
= )
5 3 6 21 (
=
5 2 14
5. Jawaban: b. 15 Penyelesaian:
x x dx
x df
2
) (
df(x)
x2 xdxc
x
x
x
f
3
12 2
3 1
)
(
3 20 2
1 3
1
.
8
.
4
)
2
(
c
f
6 40 6
12 6
16
c
sehingga c = 2dx 2 )
(
3 1
2 2 1 3 3 1 3
1
f x dx x x = 3 2 13
6 1 4
121 x x x
=
1281
1254
7212
121
122
2412
= 18012
302
15
6. Jawaban: e. p11C
11 1
Pembahasan:
3sin 10cos dx x xandai p = 3 + sin x maka dp = Cosx dx
p dp p11c111 10
7. Jawaban: a. 1
5 sin2
1cos2 2 x x4 x CPenyelesaian : ∫ (x + 5) cos 2x dx Misal :
u = x + 5 du = dx
dv = cos 2x dx v = sin2xdx 2
1
∫u dv = uv - ∫ v du
1 1 1 1 1
5 cos2 5 . sin2 sin2 5 sin2 cos2
2 2 2 2 2
1 1
5 sin2 cos2
2 4
x x x x xdx x x x C
x x x C
� �
� �
� �
�
�
8. Jawaban: b. 3 1 21
(4)
Pembahasan: f(x) = ( x – 2 )2 – 4
= x2 – 4x + 4 – 4
= x2 – 4x ( terbuka keatas ) –f(x) = 4x – x 2 ( terbuka kebawah )
Note : Untuk mengetahui bentuk sebuah kurva dapat dilihat pada koefisien x2, jika positif maka kurva terbuka keatas, dan jika negatif terbuka kebawah.
Batas atas dan bawah didapat dari akar – akar x2 – 4x. x2 – 4x = 0
x ( x – 4 ) = 0
x = 0 atau x – 4 = 0 x = 0 atau x = 4 L =
b
a
x g x
f( ) ( ) dx
=
4
0
2
2) ( 4 ) dx 4
( x x x x
=
4
0
2
2 4 dx
4x x x x
=
4
0
2 dx 2 8x x
=
0 4 3 2 4x2 x3
= (0) }
3 2 ) 0 ( 4 { } ) 4 ( 3 2 ) 4 ( 4
{ 2 3 2 3
=
3 128
64 =
3 1 21 3 128
64
9. Jawaban: e.
4
x
dx
x
x
x
dx
25
4
2
6
8
2
2
Pembahasan:
x
dx
x
x
x
dx
4
2
5
4
2
6
8
2
2
10. Jawaban: b. 15 83
(5)
15 83 5 1 3 16
5 1 3 16 -0
1 5 1 1 3 16 0
5 1 0 3 16
5 3 16
4 16
4
2 3
2 3
0 1 5 3 0
1
4 2 0
1
2 2 2
x x
dx x
dx x x V
11. Jawaban: c. -1 Pembahasan:
3
2 3
2 2 2) 2 3 40.
3 (
p p
x x x dx x
x
40 } 2 {
)} 3 ( 2 3 3 { 3
2 3 2 3 2
2 3
p p p
p x x x
40 2 6
9
27 p3 p2 p 0 40 2
24 p3 p2 p 0 16 2 2
3
p p p ( kalikan kedua ruas dengan ( – )
0 16 2 2
3 p p
p ( gunakan suku banyak untuk mendapatkan nilai p )
Untuk menentukan nilai p dapat dicari dengan menentukan faktor dari perkalian koefisien p3 dan p0 yaitu 1 dan
16. Faktor – faktor yang mugkin adalah : ±16, ±8, ±4, ±2, ±1 . Karena nilai a yang memenuhi adalah –2 maka nilai ½ p = –1
12. Pembahasan: d.
3
1
3
2
3
2
3
1
D-1 =
1
3
3
2
3
2
3
1
1
2
2
1
3
1
13. Pembahasan: a. 800 det A = 20 . 40 - 0. 4
(6)
= 800 14. Pembahasan: a. 250
det A = 25 . 150 - 40. 100 = 3.750 - 4.000 = 250
15. Jawaban: a.
6 1
Pembahasan:
AB = OB – OA
=
3 5
–
3 4
=
6 1
16. Jawaban: a. jk
Pembahasan:
k j i
i
AC AC
AC AB i
AC a b AB
1 1 0 2 2 0 2 1
2 2 0 4 4
2 2 6 0 2 2
2 0 0
0 2 2 0 6 6 0 2 2
2
17. Jawaban: d. 90o
(7)
0
90
0 cos
0 0 3 3 0
3 3 2 1 1 .
0 3 3 2
0 1 2
3 2
2 1 1 2 0 1 4
1 0
PRQ
RQ PR
RQ PR PRQ RQ PR
r q RQ
r p RP
18. Jawaban: d. 135o
Pembahasan:
a . b = 1 . (-1) + (-1) . 2 + 0 . 2 = -1 – 2 + 0 = -3 |a| = 12 12 02 2
|b| = 12 22 2 2 3
Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah , maka: 2
2 1 2 1 3 2
3
cos
b a
b a
. Didapat = 135°.
19. Jawaban: e.
2 1
Pembahasan:
a = (2, –1, 2) dan b = (–1, 1, 2)
a . b = 2 . (-1) + (-1) . 1 + 2 . 2 = -2 – 1 + 4 = 1 |a| = 2 2 12 22 4 1 4 3
|b| = 12 12 22 1122
Misalkan panjang proyeksi vektor a pada b adalah c, maka: 2
1
b b a c
20. Jawaban: c. i j k
3 2 3 1 3 2
Pembahasan:
a = 2 i –j + 2k dan b = –i + j + 2k
a . b = 2 . (-1) + (-1) . 1 + 2 . 2 = -2 – 1 + 4 = 1 |a| = 2 2 12 22 4 1 4 3
|b| = 12 12 22 1 1 2 2
Misalkan panjang proyeksi vektor a pada b adalah c, maka:
i j k
i j ka a
b a c
3 2 3 1 3 2 2 2
. 3 1
2
(8)
Pembahsan:
8 -atau x 3
x
0 8 3 x
0 24 11 0
48 22 2
22 121 16 89
11 16
89
16 89
89 a
11 x y y -x 11
2y 2x -22
2 4 2 18 4
1 4
2 4 2 6
2 2
2 2
2 2
2
2 2
x x x x
x
x x x
x y
x
y x
y x
y x
22. Jawaban: b. 9 Pembahasan:
a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3 = 0 = 1. 2 + 2 . (-10) + m . 2 = 0
2 – 20 + 2m = 0 - 18 + 2m = 0
2m = 18
m = 9
23. Jawaban: e. 60o
Pembahasan:
2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 13 3 2 2 1 1
b b b a
a a
b a b a b a α
cos
22
12
-32
-12
32
-222 . 3 -1.3 1 -2. α
cos
4 9 1 9 1 4
6 3 2 -α
cos
14 14
7 α
cos
14 7 α cos
2 1 α
cos , maka α = 60o karena cos α =
2 1
24. Jawaban: c. 3 1 Pembahasan:
(9)
tidak
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p b b a c 3 3 1 0 3 1 3 0 3 3 8 7 4 8 4 7 2 2 7 1 2 7 3 1 6 7 3 3 3 2 2 3 7 3 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 3 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
25. Jawaban: a. 3x + y + 2 = 0 Pembahasan:
Misalnya (a,b) pada kurva y – 3x – 2 = 0
0 2 3 0 2 3 0 1 1 0 90 90 90 90 0 2 3 0 2 3 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 " y " x " y " x ' a ' b " y " x ' b ' a " Y " x b a cos sin sin cos " y " x ' x ' y ' a ' b a b : Sehingga ' b b ' a a ' b ' a b a ' b ' a b a o o o o B. Uraian 1. Pembahasan:
Mencari batas-batas luas daerah: y = x2 dan x + y = 6 y = 6 – x subsitusi y = x2 ke y = 6 – x x2 = 6 – x
(10)
x2 + x – 6 = 0 ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0
x = –3 dan x = 2
2 2 2 2
2 2 2
4 4 1 4.1 6 1 4 1 6 5
20 satuan luas 6
6 6 6 1
b ac b ac
D d
L L
a a
�
2. Penyelesaian:
Stasiun 1 : 480 menit – 48 menit = 432 menit Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit Stasiun 3 : 480 menit – 57.6 menit = 422.4 menit. Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = x1 + x2 Kendala :
6x1 + 4x2 ≤ 432 5x1 + 5x2 ≤ 412.8 4x1 + 6x2 ≤ 422.4 x1, x2 ≥ 0
3. Penyelesaian:
a.
1
4
2
3
2
y
x
y
x
0 11 0 1
11 11
0 1 1
2 2
11 4 1
3 2
11 4 1
3 2
y , x
y x
Jadi, Hpnya = {1,0}
b.
6
5
5
3
2
y
x
y
x
1 7 7 1 7 7
7 6 1
5 2
7 5 6
3 5
12 5 1
3 2
y , x
y x
Jadi, Hpnya = {1,1}
4. Penyelesaian:
a. Komponen vektor AB =
8 6 3
5 2 4 x
1 2
1 2
y y
x
b. Besar vektor AB =
2 1
2 21
2 x y y
x
= 62 8 2 36 64 100 10
5. Penyelesaian:
(11)
AB . AC = | AB | . | AC | . Cos α
1 1 0 4
1 2 3 0 2
1 1
1 4
1 2 3 0 1
a c AC
a b AB
6 3 1 6 2 2 3
1 1 0
1 1 0 . 1 1 1
1 1 0 1 1
1
. 2 2 2 2 2
Cos
AC AB
AC AB Cos
Jadi, A’ = (
2 1
2 ,
2 1
(1)
= 800 14. Pembahasan: a. 250
det A = 25 . 150 - 40. 100 = 3.750 - 4.000 = 250
15. Jawaban: a.
6 1
Pembahasan:
AB = OB – OA
= 3 5
–
3 4
= 6 1
16. Jawaban: a. jk Pembahasan:
k j i
i
AC AC
AC AB i
AC a b AB
1 1 0 2 2 0 2 1
2 2 0 4 4
2 2 6 0 2 2
2 0 0
0 2 2 0 6 6 0 2 2
2
17. Jawaban: d. 90o Pembahasan:
(2)
0
90
0 cos
0 0 3 3 0
3 3 2 1 1 .
0 3 3 2
0 1 2
3 2
2 1 1 2 0 1 4
1 0
PRQ
RQ PR
RQ PR PRQ RQ PR
r q RQ
r p RP
18. Jawaban: d. 135o Pembahasan:
a . b = 1 . (-1) + (-1) . 2 + 0 . 2 = -1 – 2 + 0 = -3 |a| = 12 12 02 2
|b| = 12 22 2 2 3
Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah , maka:
2 2 1 2 1 3 2
3
cos
b a
b a
. Didapat = 135°.
19. Jawaban: e.
2 1
Pembahasan:
a = (2, –1, 2) dan b = (–1, 1, 2)
a . b = 2 . (-1) + (-1) . 1 + 2 . 2 = -2 – 1 + 4 = 1 |a| = 2 2 12 22 4 1 4 3
|b| = 12 12 22 1122
Misalkan panjang proyeksi vektor a pada b adalah c, maka:
2 1
b b a c
20. Jawaban: c. i j k 3 2 3 1 3 2
Pembahasan:
a = 2 i –j + 2k dan b = –i + j + 2k
a . b = 2 . (-1) + (-1) . 1 + 2 . 2 = -2 – 1 + 4 = 1 |a| = 2 2 12 22 4 1 4 3
|b| = 12 12 22 1 1 2 2
Misalkan panjang proyeksi vektor a pada b adalah c, maka:
i j k
i j ka a
b a c
3 2 3 1 3 2 2 2
. 3 1
2
(3)
Pembahsan:
8 -atau x 3
x
0 8 3 x
0 24 11 0
48 22 2
22 121 16 89
11 16
89
16 89
89 a
11 x y y -x 11
2y 2x -22
2 4 2 18 4
1 4
2 4 2 6
2 2
2 2
2 2
2
2 2
x x x x
x
x x x
x y
x
y x
y x
y x
22. Jawaban: b. 9 Pembahasan:
a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3 = 0
= 1. 2 + 2 . (-10) + m . 2 = 0 2 – 20 + 2m = 0
- 18 + 2m = 0
2m = 18
m = 9
23. Jawaban: e. 60o Pembahasan:
2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 13 3 2 2 1 1
b b b a
a a
b a b a b a α
cos
22
12
-32
-12
32
-222 . 3 -1.3 1 -2. α
cos
4 9 1 9 1 4
6 3 2 -α
cos
14 14
7 α
cos
14 7 α cos
2 1 α
cos , maka α = 60o karena cos α =
2 1
24. Jawaban: c. 3 1 Pembahasan:
(4)
tidak
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p b b a c 3 3 1 0 3 1 3 0 3 3 8 7 4 8 4 7 2 2 7 1 2 7 3 1 6 7 3 3 3 2 2 3 7 3 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 3 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
25. Jawaban: a. 3x + y + 2 = 0 Pembahasan:
Misalnya (a,b) pada kurva y – 3x – 2 = 0
0 2 3 0 2 3 0 1 1 0 90 90 90 90 0 2 3 0 2 3 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 " y " x " y " x ' a ' b " y " x ' b ' a " Y " x b a cos sin sin cos " y " x ' x ' y ' a ' b a b : Sehingga ' b b ' a a ' b ' a b a ' b ' a b a o o o o B. Uraian 1. Pembahasan:
Mencari batas-batas luas daerah: y = x2 dan x + y = 6 y = 6 – x
(5)
x2 + x – 6 = 0
( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0 x = –3 dan x = 2
2 2 2 2
2 2 2
4 4 1 4.1 6 1 4 1 6 5
20 satuan luas 6
6 6 6 1
b ac b ac D d
L L
a a
�
2. Penyelesaian:
Stasiun 1 : 480 menit – 48 menit = 432 menit Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit Stasiun 3 : 480 menit – 57.6 menit = 422.4 menit. Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = x1 + x2
Kendala : 6x1 + 4x2 ≤ 432
5x1 + 5x2 ≤ 412.8
4x1 + 6x2 ≤ 422.4
x1, x2 ≥ 0
3. Penyelesaian:
a.
1
4
2
3
2
y
x
y
x
0 11 0 1
11 11
0 1 1
2 2
11 4 1
3 2
11 4 1
3 2
y , x
y x
Jadi, Hpnya = {1,0}
b.
6
5
5
3
2
y
x
y
x
1 7 7 1 7 7
7 6 1
5 2
7 5 6
3 5
12 5 1
3 2
y , x
y x
Jadi, Hpnya = {1,1}
4. Penyelesaian:
a. Komponen vektor AB =
8 6 3
5 2 4 x
1 2
1 2
y y
x
b. Besar vektor AB =
2 1
2 21
2 x y y
x
= 62 8 2 36 64 100 10
5. Penyelesaian:
(6)
AB . AC = | AB | . | AC | . Cos α
1 1 0 4
1 2 3 0 2
1 1
1 4
1 2 3 0 1
a c AC
a b AB
6 3 1 6 2 2 3
1 1 0
1 1 0 . 1 1 1
1 1 0 1 1
1
. 2 2 2 2 2
Cos
AC AB
AC AB Cos
Jadi, A’ = (
2 1
2 , 2 1