EKSTRAKSI RUANG ORLICZ.
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Matematika Konsentrasi Analisis
Oleh:
Sofihara Al Hazmy
1000690
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2014
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
RUANG ORLICZ
Oleh:
Sofihara Al Hazmy
NIM 1000690
Email: sofiharaalhazmy@gmail.com
Ruang Orlicz ( L ) telah diperkenalkan oleh Z.W. Birnbaum dan W. Orlicz
pada sekitar tahun 1931. Ruang Orlicz merupakan salah satu contoh ruang Banach
yang dikatakan sebagai perluasan dari ruang L p , p 1 .
Rao dan Ren [4] mengembangkan teori ruang Orlicz pada situasi yang sangat
umum. Leonard [3] mempersempit definisi fungsi Young pada [4] dengan
menambahkan syarat semikontinu bawah, dan mendefinisikan komplemen Young
seperti yang didefinisikan Krasnosel’skii dan Rutickii [2] yang menyebabkan
struktur ruang Orlicz menjadi berbeda dari [4]. Hasil-hasil yang telah diperoleh
Leonard [3] diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, norm Luxemburg dan
norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, dan dual dari ruang Orlicz kecil ( �′
isomorfik dengan ruang orlicz besar �∗ .
Penulis mencoba mengekstrak [4] dari sudut pandang yang berbeda dari
Leonard [3] dengan cara mendefinisikan ulang fungsi Young dan komplemen
Young. Kemudian mengkaji ulang struktur dan sifat ruang Orlicz beserta
dualitasnya. Hasil-hasil yang diperoleh penulis diantaranya ruang Orlicz adalah
ruang Banach, dual ruang Orlicz kecil ( �′ isomorfik dengan ruang Orlicz besar
∗
⊊ ℝ, norm Luxemburg dan norm Orlicz adalah
�∗ . Untuk kasus � � �
norm yang ekivalen, sedangkan untuk kasus � � � ∗ = ℝ diperoleh norm
Luxemburg, norm Orlicz, � . , dan �� . adalah norm-norm yang ekivalen.
Kata kunci : fungsi Young, komplemen Young, ruang Orlicz, norm Luxemburg,
norm Orlicz, dualitas ruang Orlicz.
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
ORLICZ SPACE
By:
Sofihara Al Hazmy
NIM 1000690
Email: sofiharaalhazmy@gmail.com
Orlicz space has introduced by Z.W. Birnbaum and W. Orlicz since 1931.
Orlicz space is one of example of Banach spaces which is an extension of �
space, ≥ 1.
Rao and Ren have developed the theory of Orlicz space on a very general
situation. Leonard [3] tighten the definition of Young function on [4] by adding
lower semicontinuity, and define its complement as defined by Krasnosel’skii and
Ruticki [2]. The results that have been obtained by Leonard [3] including: Orlicz
space is Banach space, Luxemburg norm and Orlicz norm are equivalent, and dual
of small Orlicz space �′ and Orlicz space �∗ are isomorphic.
I have tried to extract [4] from different viewpoint of Leonard [3] by
redefining definition of Young function and its complement. Then review the
structure and properties of Orlicz space and its duality. The results that have been
obtained including: Orlicz space is Banach space, Luxemburg norm and Orlicz
norm are equivalent, and dual of small Orlicz space �′ and Orlicz space �∗ are
isomorphic. In case � � � = ℝ, Luxemburg norm, Orlicz norm, � . , and
�
� . are equivalent.
Keywords : Young function, Young complement, Orlicz space, Luxemburg
norm, Orlicz norm, duality of Orlicz Space.
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
LEMBAR PERNYATAAN……………………………………………................i
UCAPAN TERIMA KASIH………………………………………...…………..ii
ABSTRAK……………………………………………………………………….iii
ABSTRACT……………………………………………………………………...iv
DAFTAR ISI……………………………………………………………………...v
SIMBOL DAN NOTASI………………………………………………………...vi
BAB I: PENDAHULUAN…………………………………………………...…..1
BAB II: LANDASAN TEORI...…………………………………………………3
2.1 Integral Lebesgue……………………………………………….……4
2.2 Kekontinuan dan Keterdiferensialan Fungsi Monoton…….…….24
2.3 Ruang �� dan Kelengkapannya………………….………………...28
2.4 Operator Linear…………………………………………………….39
2.5 Integral Pada Ruang Ukuran Umum………….…………………..46
2.6 Ruang �� �, � dan Kelengkapannya……………………………..68
BAB III: FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG………………...74
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young……………………….…...74
BAB 1V: RUANG ORLICZ…………………….……………………..……….83
4.1 Ruang Orlicz…………………………………………………….…..83
BAB V: DUALITAS RUANG ORLICZ………………………………………98
5.1 Dualitas Ruang Orlicz……………………………………………...98
BAB VI: KESIMPULAN……………………………………………………...107
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………….109
DAFTAR RIWAYAT HIDUP………………………………………………..110
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Ruang Orlicz ( L ) diperkenalkan oleh Z.W Rirnbaum dan W. Orlicz pada
sekitar tahun 1931. Ruang Orlicz merupakan salah satu contoh ruang Banach yang
dikatakan sebagai perluasan dari ruang Lebesgue L p , p 1 .
Rao dan Ren [4] mengembangkan teori ruang Orlicz pada situasi yang sangat
umum. Leonard [3] mendefinisikan suatu fungsi Young pada domain real dengan
menambahkan syarat semikontinu bawah, dan mendefinisikan komplemen Young
seperti yang didefinisikan Krasnosel’skii dan Rutickii [2] yang menyebabkan
struktur ruang Orlicz menjadi berbeda dari [4]. Hasil –hasil yang telah diperoleh
Leonard [3] diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, norm Luxemburg dan
norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, dan dual dari ruang Orlicz kecil (
isomorfik dengan ruang orlicz besar
�∗
.
′
�
Oleh sebab itu, penulis mencoba mengekstrak [4] dari sudut pandang yang
berbeda dari Leonard [3] dengan cara mendefinisikan ulang fungsi Young dan
komplemen Young pada domain real yang diperluas, kemudian mengkaji ulang
struktur dan sifat ruang Orlicz beserta dualitasnya.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, penulis merumuskan masalah
sebagai berikut:
1. Bagaimana melakukan pendekatan berbeda pada pendefinisian ruang
Orlicz?
2. Bagaimana struktur dan sifat ruang Orlicz?
3. Bagaimana struktur dan sifat dualitas ruang Orlicz?
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
2
1.3.Tujuan
Adapun tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Pendekatan dilakukan dengan cara mendefinisikan fungsi Young dan
komplemen Young pada domain real yang diperluas.
2. Mengkaji struktur dan sifat-sifat ruang Orlicz.
3. Mengkaji struktur dan sifat-sifat dualitas ruang Orlicz.
1.4. Manfaat Penulisan
Skripsi ini disusun dengan harapan dapat memberikan banyak dampak positif
dalam berbagai aspek.
1.4. Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari 6 bab. Bab pertama
terdiri dari Latar belakang masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.
Pada Bab II berisi tentang teori-teori yang melandasi teori-teori pada Bab III,
Bab IV, dan Bab V.
Pada Bab III berisi tentang pendefinisian fungsi Young dan komplemen
Young, beserta representasinya dalam bentuk kanonik.
Pada Bab IV berisi tentang pengkajian struktur ruang Orlicz, dimana ruang
Orlicz merupakan ruang Banach. Selain itu, juga berisi tentang pengkajian normnorm pada ruang Orlicz.
Pada Bab V berisi tentang pengkajian dualitas ruang Orlicz dan pada Bab VI
berisi kesimpulan kesimpulan yang diperoleh oleh penulis.
3
BAB III
FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG
Pada bab ini, dibahas tentang definisi fungsi Young dengan domain real
diperluas dan komplemennya.
Sebelumnya, dalam studi deret Fourier, W. H. Young telah menganalisis
fungsi
lim
konvek
→∞ �
�: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+
yang
bersifat
� −
=�
,�
= ,
dan
= ∞, dimana setiap fungsi � dapat diasosiasikan dengan fungsi
konvek lain �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ yang memiliki sifat yang sama dengan �, yang mana
�
≔ sup{ | | − �
}.
Oleh sebab itu � dinamakan fungsi Young, dan � dinamakan komplemen Young.
Pada bab ini, definisi fungsi Young akan dimodifikasi. Fungsi Young akan
didefinisikan
lim
→ −
pada
�
=�
̅
ℝ
dengan
dengan
menambahkan
= sup
syarat
� � .
� ±∞ = ∞
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young
Berikut merupakan fungsi Young yang dimodifikasi
Definisi 3.1.1
̅ → ̅̅̅̅
Suatu fungsi �: ℝ
ℝ+ dikatakan fungsi young jika memenuhi kondisi:
1. � konvek pada ℝ
2. � −
3. �
4. jika
=�
= , � ±∞ = ∞, dan
= sup
� � ∈ ℝ maka lim
→ −
�
=�
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
.
dan
75
Untuk kasus : ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ , definisi fungsi Young diatas ekivalen dengan
Definisi 1.1 [3].
Remark 1.
a) Sifat � −
=�
�
dan
=
mengindikasikan � mencapai
dan tak turun pada [ , ∞
minimum di
,
b) Untuk sembarang fungsi Young, terdapat
∈ [ , ∞ dan �
�
c) Berdasarkan b),
= sup
∈
, ∞].
� � > .
d) Fungsi Young kontinu pada interior
>
sedemikian sehingga
��. Secara khusus, fungsi Young
finite merupakan fungsi kontinu pada ℝ.
sup
e) Berdasarkan d), jika
> sup
Jika
� � , maka lim
f) Berdasarkan Definisi 3.1.1, lim
→ −
→∞ �
� � maka lim
�
=∞=�
→ −
.
�
=�
.
= ∞.
̅ → ̅̅̅̅
Untuk setiap fungsi Young �, dapat dibentuk fungsi �: ℝ
ℝ+ yang
berasosiasi dengan � yang didefinisikan
≔ sup{ | | − �
�
}.
� disebut komplemen dari � dan berlaku ketaksamaan Young
�
+�
Berdasarkan definisi fungsi �, � konveks, � −
∞, dan lim
→∞ �
Misalkan
setiap
∈ℝ
sehingga
= ∞.
= sup
.
=�
,�
= , � ±∞ =
� � ∈ ℝ, berdasarkan ketaksamaan Young untuk
lim− �
→
−�
76
lim− �
→
sup {
−�
Tetapi, karena � tak turun pada [ , ], maka lim
lim
→ −
�
=�
}=�
→ −
�
.
. Jadi, � juga merupakan fungsi Young.
Pada topik analisis konvek, untuk fungsi Young �: ℝ+
direpresentasikan sebagai
�
= sup{ | | − �
�
. Akibatnya
{ } → ℝ, � dapat
} = �+′ | | | | − �(�+′ | | ).
Contoh 3.1.2
Misalkan ��
�
=
∶= | |� ,
untuk | |
dan �
. �� merupakan fungsi Young.
= ∞ untuk | | >
Untuk
= ,
juga merupakan fungsi
Young dan komplemen Young dari �. Hal ini menunjukkan komplemen fungsi
Young tidak selalu kontinu pada ℝ.
Contoh 3.1.3
Misalkan �∞
�
≔{
,
∞,
= | | untuk setiap
| |
. �∞ juga merupakan fungsi Young, dimana
| |>
∈ ℝ.
Proposisi 3.1.4
Misalkan
,
⊆ ℝ dan fungsi �:
,
= �
,
→ ℝ. � konveks pada
hanya jika untuk setiap subinterval tutup [ , ] ⊂
�
+ ∫�
,
,
,
,
jika dan
. .
77
dimana �:
,
→ ℝ, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, � mempunyai
,
turunan kiri dan kanan di setiap titik pada
sejumlah terhitung titik-titik.
Bukti. Untuk setiap � >
yang cukup kecil, didefinisikan
≔ ∫
ℎ�
Karena � konvek, maka
��
�
��
+� −�
�
�→
�
= lim�→
�
+� −�
�
−�
−�
�
. Definisikan �
= ∫�
Dilain pihak, karena � kontinu, maka
∫
Sehingga �
�
+� −�
�
⟶ �
− �
=
=
− �
� tak turun dan kontinu kiri.
Sebaliknya, misalkan
�
∈ [ , ].
,
. Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim ∫
� +
dan bernilai sama kecuali di
−�
− ��
, jika
−
. .
−� �
�
,
.
+�
∫ �
�
�
+�
∫ �
. Karena �
∈
,
terpenuhi, maka
= �[�
= �∫�
.
− ∫�
+�
=
+�
−∫ �
≔ lim�→
�
−� −�
�
, maka
dan � ∈ [ , ]. Misalkan pula
]−
−�
−
≔
− � [�
−� ∫�
−�
]
=
78
�
=�
= .
−
−�
�
−
−
�
−�
−
−
�
−� �
−
�
Karena � monoton, maka � memiliki turunan hampir dimana-mana pada
Terbukti.
�
,
.
Perhatikan bahwa fungsi Young �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ merupakan fungsi konvek dan
= , tetapi mungkin terdapat jump ke ∞ di suatu titik. Misalkan �
jelas �
= ∞ untuk | |
dan definisikan �
= .
| |. Untuk kasus ini, nilai �
= ∞,
= ∞ untuk | | > | |
Akibat 3.1.6
Jika �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ merupakan fungsi Young, maka � dapat direpresentasikan
sebagai
| |
�
Dimana �: ℝ+
=∫ �
.
{ } → ̅̅̅̅
ℝ+ , tak turun, dan kontinu kiri.
Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas � dikatakan kontinu kiri di
hanya jika lim
→ −
�
= �
jika dan
.
ℝ+ menjadi �: ℝ+ → ℝ dimana �
Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan �: ℝ → ̅̅̅̅
�
. Misalkan �
dan �
= ∞ untuk
∈ ℝ untuk
dan �
= ∞ untuk
). Berdasarkan teorema 1, untuk
=
>
(atau
<
=
79
�
Definisikan �
persamaan
�
= ∫�
,
∶= ∞ untuk
>
< .
. .7 berlaku untuk semua
=� | | =� | | =
Karena �
=
| |
dan �
≔ lim
→�
�
, sehingga
. Karena � fungsi genap, maka
. Terbukti.
�
dan lim
. .7
→∞
�
= ∞ maka � bukan fungsi konstan.
Sehingga � bukan merupakan fungsi konstan
atau ∞. Oleh sebab itu Akibat
3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada
akibat berikut
Akibat 3.1.8
Fungsi �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ merupakan fungsi Young jika dan hanya jika � dapat
direpresentasikan sebagai
�
dengan �: ℝ
konstan
| |
=∫ �
,
{ } → ̅̅̅̅
ℝ+ , tak turun, kontinu kiri, dan bukan merupakan fungsi
atau ∞.
Berdasarkan definisi integral tak wajar, � ∞ = lim
bukan fungsi konstan , maka terdapat
turun, diperoleh
� ∞ = lim �
→∞
| |
= lim ∫ �
→∞
>
sehingga �
| |
lim ∫ �
→∞
0
→∞ �
. Karena �
> . Karena � tak
= ∞.
80
Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi
komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya
akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini.
Definisikan perluasan fungsi invers �: ℝ+
maka �
�
≔ inf
,
�
dan tak konstan. Karena { |�
=
, berdasarkan sifat infimum �
= inf�
Sehingga � tak turun.
Ketika
→
−
Jika �
} ⊆ { |�
inf�
>
, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.10, �
kontinu kiri. Karenanya { |�
Berdasarkan
{ } → ̅̅̅̅
ℝ+ , dimana
.
juga diperoleh
>
Jika > �
Jika < �
maka �
< .
�
0
�
�
Gambar 3.1.10
} untuk
=�
.
. Sehingga �
> } adalah interval buka
maka > �
maka �
→�
>
. .9
�
, ∞].
81
Definisikan
| |
�
. .
≔∫ �
Berdasarkan Akibat 3.1.8, � merupakan fungsi Young.
Proposisi 3.1.12
Misalkan � fungsi Young dan � didefinisikan oleh
|
|
�
dan kesamaan berlaku ketika
+�
,
= � | | atau
= ∞, ketaksamaan
. .
=
{
{
=∫
,
,
∬
terbukti. Jika �
|
∬
|
i ( ,�
∫�
∫
�
)
�
+
}
+
}
+∫�
+∫
{
,
{
,
i ( ,�
∫
∬
|
�
∬
|
)
. .
. Jika �
dan
< ∞ dan �
= ∫∫
=
. Maka
=� | | .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus
�
.
�
}
}
= ∞ atau
< ∞, maka
82
Jika
=�
+�
.
diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan
hanya jika
�
untuk
maka kesamaan terjadi ketika
, sehingga
�
, sehingga
=�
=�
. Jika
diberikan,
. Terbukti.
Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi � akan diganti dengan notasi � ∗
dan berdasarkan ilustrasi . .
, � ∗∗ = �.
BAB V
DUALITAS RUANG ORLICZ
Karena ketaksamaan Holder yang telah dipelajari pada bab sebelumnya,
Untuk sembarang ℎ ∈
�∗ ,
kita dapat mendefinisikan suatu fungsional linear
kontinu ℓℎ yang memetakan
�
kedalam ℝ. Oleh sebab itu, secara langsung dapat
diperoleh suatu pemetaan � yang memetakan
�∗
′
�
kedalam
dengan � ℎ = ℓℎ .
Pada bab ini, akan diperlihatkan bahwa pemetaan � adalah suatu isomorfisma.
Sehingga
′
�
≅
�∗ .
5.1 Dualitas Ruang Orlicz
Untuk sembarang ℎ ∈
ℓℎ
�∗ ,
didefinisikan fungsi ℓℎ :
≔∫ℎ
�,
�
∈
�
→ ℝ dimana
�.
. .
Berdasarkan ketaksamaan Holder
|ℓℎ
|
‖ℎ‖�∗ ‖ ‖� < ∞.
Karenanya ℓℎ adalah fungsional linier kontinu pada
�.
Lema 5.1.1
Misalkan ℎ fungsi terukur.
a) Jika ℎ ∈
b) Misalkan
untuk semua
finite. Jika ℎ ∈
∈
�,
maka ℎ ∈
untuk semua
�∗ .
∈
�,
Bukti.
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
maka ℎ ∈
�∗ .
99
a) Misalkan ℎ suatu fungsi terukur sedemikian sehingga ℎ ∈
∈
definisikan ℎ� ≔ |ℎ|
�.
untuk semua
. Karena � ukuran �-hingga terdapat barisan
∞
naik berukuran hingga {�� }∞
�= sedemikian sehingga � = ⋃�= �� . Definisikan
ℓ�,�
∈
Untuk setiap
Karena, ℎ�
sup
,
��� ℎ� ∈
|ℓ�,�
�,
�.
|
�.
≔ ∫ ��� ℎ�
�
akibatnya
∫�
∗
�
��
, maka terdapat
sedemikian sehingga
∗
(��� ℎ� ) �
Berdasarkan ketaksamaan Holder,
ℎ�
ℎ� � �� < ∞,
<
maka
‖��� ℎ� ‖ ∗ ‖ ‖� , menunjukkan ℓ�,� fungsional linear kontinu pada
�
dan untuk semua , �
|ℓ�,�
,
∫ ��� ℎ� | | �
|
Sehingga lim�,�→∞ ℓ�,�
�
sedemikian sehingga
untuk semua , �.
∫ |ℎ|| | � =
�
ada untuk setiap
Saks-Steinhaus, keluarga {ℓ�,�
>
� = ∫ ℎ�
< ∞,
. Berdasarkan teorema Banach-
} terbatas seragam. Dengan kata lain terdapat
‖ℓ�,� ‖�
Dilain pihak, Karena ℎ� dan
ukuran, sehingga ketika � → ∞, ℓ�,�
terukur pada �, maka ∫� ℎ�
→ ∫� ℎ�
�
� . Karena ketika
� suatu
→ ∞,
ℎ� → ℎ titik demi titik, berdasarkan teorema kekonvergenan monoton
∫� ℎ�
� → ∫� ℎ
�. Sehingga,
100
lim ℓ�,�
= lim ∫ ℎ�
�,�→∞
�,�→∞
Sehingga
|ℎ|�∗ = sup {∫ ℎ
��
�| ∈
�
= sup { lim ℓ�,�
�,�→∞
=
sup{ ‖ ‖� |
< ∞.
Berdasarkan proposisi 4.1.17, ‖ℎ‖�∗
�=∫ℎ
∈
�.
�
�, ‖
| ∈
�, ‖
‖�
�, ‖
‖�
}
‖�
}
}
|ℎ|�∗ < ∞. Sehingga ℎ ∈
b) bukti b) serupa dengan a), cukup dengan menukar |ℎ|�∗ dengan
�∗ .
�∗
ℎ .
Lema 5.1.3
Ruang
�
�
padat dalam
⊊ ℝ,
Bukti. Untuk kasus
Misalkan
didefinisikan
�
�.
= ℝ dan
∶= −
titik. Untuk setiap , misalkan
‖ ��� ‖ . Untuk setiap
�
> ,
→ ∞. Oleh sebab itu (
→ ∞. Karena
(
.
�
= { }.
�
�
�
sembarang anggota
�
∈
�
�.
=
�
�.
padat dalam
Untuk setiap
Jelas lim�→∞
��� konvergen ke
��� ) terdominasi oleh
kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim ∫ (
�
=
≔ {� ∈ �|| � | > }, diperoleh ‖
��� ) � = .
,
titik demi
−
� ‖�
=
titik demi demi titik ketika
��� ) konvergen titik demi titik ke
�→∞
�
�.
=
ketika
, berdasarkan Teorema
101
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖
−
� ‖�
= ‖ ��� ‖ = . Terbukti.
�
Lema 5.1.4
Jika
Yaitu
′
�
= ℝ dan � � < ∞ maka dual
′
�
≅
sedemikian sehingga ℓ = ℓℎ .
�∗ ,
�
isomorfik dengan
�∗ .
�∗ .
′
�
Bukti. Akan dibuktikan untuk setiap ℓ ∈
Untuk semua ℎ ∈
dari
ℓℎ yang didefinisikan pada
terdapat ℎ ∈
. .
�∗
tungggal
adalah fungsional linear
kontinu. Selanjutnya akan dibutktikan pemetaan yang memetakan
�∗
dimana
′
�
⟶
ℎ ⟶ ℓℎ
adalah pemetaan pada (onto).
Definisikan � � ∶= ℓ �� , � ∈ Σ. Karena � ukuran �-hingga, misalkan � , � , ⋯
himpunan-himpunan terukur disjoin sedemikian sehingga � = ⋃∞
�= �� . Karena
∞
� � = ∑∞
�= � �� < ∞, maka lim�→∞ ∑�=�+ � �� = , konsekuensinya
�
∞
lim ‖�� − ∑ ��� ‖ = lim ‖ ∑ ��� ‖
�→∞
�=
�
�→∞
�=�+
�
= lim [inf { > | ∫
�→∞
�
= lim [inf { > | ∫
�→∞
�
∑∞
�=�+ ���
∞
( ) ∑ ∫ �
�=�+ ��
�
}]
}]
102
∞
= lim [inf { > | ∫
�→∞
=
( ) ∑ � ��
�=�+
�
.
Karena ℓ kontinu dan linear pada
�,
}]
maka
∞
∞
�=
�=
ℓ �� = ℓ (∑ ��� ) = ∑ ℓ(��� )
atau
∞
� � = ∑ �(��� ) .
. .
�=
Untuk menunjukkan � ukuran bertanda (signed measure), akan ditunjukkan ruas
kanan persamaan
. .
konvergen mutlak. Definisikan
≔ sgn(ℓ �� ), maka
�
lim ‖ �� − ∑
�→∞
�=
� ��� ‖
�
∞
= lim ‖ ∑
�→∞
� ��� ‖
�=�+
= lim [inf { > | ∫
�→∞
�
�
∑∞
�=�+
∞
� �=�+ ��
= lim [inf { > | ∫
Menunjukkan bahwa
=
�→∞
.
�
∞
ℓ �� = ℓ �� = ℓ (∑
�=
≔ sgn ℓ(��� ) dan
� ���
�
= lim [inf { > | ∫ ∑ ∫
�→∞
�
�
�
∞
( ) ∑ � ��
�=�+
� ��� )
∞
=∑
�=
� ℓ(��� )
}]
}]
}]
103
atau
∞
|� � | = ∑|�(��� )|
�=
konvergen. Sehingga � ukuran bertanda. Perhatikan bahwa, jika � ∈ Σ dengan
� � = , maka �� merepresentasikan fungsi nol �-a.e pada �, sehingga
� � = ℓ �� = . Akibatnya � kontinu mutlak. Berdasarkan teorema Radon-
Nikodym, terdapat fungsi ℎ yang terintegralkan pada � sedemikian sehingga
ℓ �� = � � = ∫ ℎ � .
�
∈
Akibatnya untuk sembarang fungsi simpel
ℓ
∈
Oleh sebab itu, jika
�
�
maka
ℓ
Misalkan
�{�∈�|ℎ
dimana
semua
� < },
ℓ
+
≔
,
−
≔
sehingga untuk semua
=ℓ
+ +
+ℓ
+ +, + −, − +, − −
,
∈
�,
=∫ℎ
+ −
�.
�
=∫ℎ
−
�
∈
−ℓ
,
+
�,
�,
�.
≔ �{�∈�|ℎ �
− +
−ℓ
− −
=ℓ
lim
�→∞
dan
,
−
≔
. .
adalah fungsi-fungsi nonnegatif. Padahal, Untuk
berdasarkan konsekuensi Teorema kekonvergenan
= . Karena ℓ kontinu,
terdominasi (lihat bukti Lema 5.1.3), lim�→∞
lim�→∞ ℓ
≥ },
. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton,
∫
{�∈�|ℎ � ≥ }
ℎ �=
∫
{�∈�|ℎ � ≥ }
ℎ �
104
dan
lim
�→∞
akibatnya
∫
ℎ �=
lim ∫
ℎ � = ∫ ℎ �.
{�∈�|ℎ � < }
�→∞
�
. . , diperoleh
ℓ
∈
�.
{�∈�|ℎ � < }
ℎ �,
�
Berdasarkan hasil ini dan persamaan
untuk semua
∫
=∫ ℎ �
�
Berdasarkan Lema 5.1.2 b), ℎ ∈
�∗ .
Terbukti.
Proposisi 5.1.7
Jika
= ℝ, maka dual
′
�
dari
′
�
�
isomorfik dengan
≅
�∗ .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus � � = ∞.
Untuk semua ℎ ∈
�∗ ,
ℓℎ yang didefinisikan pada
. .
�∗ .
Yaitu
adalah fungsional linear
kontinu. Seperti pada bukti Lema 5.1.4, akan dibutktikan pemetaan yang
memetakan
dimana
adalah pemetaan pada (onto).
�∗
⟶
ℎ ⟶ ℓℎ
′
�
105
Misalkan {�� }∞
�= adalah barisan naik dari himpunan-himpunan terukur
′
�,
hingga dimana � = ⋃∞
�= �� . Misalkan ℓ ∈
setiap
terdapat ℎ� ∈
�∗
sedemikian sehingga ℎ� =
ℓ
=
dimana
berdasarkan Lema 5.1.4, untuk
= ∫ ℎ�
pada � − �� dan
�,
�
pada � − �� . Karena ℎ� tunggal untuk setiap , maka ℎ�+ = ℎ�
pada �� . Definisikan ℎ � = ℎ� � jika � ∈ �� , sehingga ℎ� → ℎ titik demi titik
pada �. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton, untuk setiap
dengan ‖ ‖�
berlaku
lim ∫ ℎ�
|
�|
�=∫ ℎ
lim ∫ −ℎ�
|
�|
� = ∫ −ℎ
�→∞
dan
�→∞
dimana
�
Akibatnya
=
�
�
pada �� dan
�
=
�
akibatnya
�→∞
�|
�
�
�|
| | �,
�
� = ∫ ℎ| | �.
Karena ℓ fungsional linear terbatas, maka
∫ ℎ| | � = lim ∫ ℎ� |
| | �
pada � − �� .
lim ∫ ℎ� |
�→∞
�
∈
�
�∗
ℎ
�
lim ‖ℓ‖‖
�→∞
� ‖�
‖ℓ‖ < ∞.
lim ‖ℓ‖‖ ‖�
�→∞
‖ℓ‖,
�
106
. .
Berdasarkan
menunjukkan ℎ ∈
Definisikan
�
,
�∗
�∗ .
=
‖ℎ‖�∗ .
ℎ
pada �� dan
�
=
Oleh
Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue,
lim ∫ ℎ
Dilain pihak,
(
�
−
�
)→
→
�
�=∫ℎ
�
itu,
‖ℎ‖�∗ < ∞,
pada � − �� , berdasarkan ketaksamaan
Holder, ℎ terintegralkan pada �, dan |ℎ � |
�→∞
sebab
|ℎ | �-a.e pada �. Berdasarkan
�
�
. .
titik demi titik pada �. Ambil sembarang
, maka
titik demi titik �-a.e pada �. Berdasarkan Teorema
kekonvergenan monoton,
lim ∫ (
�→∞
�
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖
�
�
Berdasarkan
. .
dan
) �=
. .
− ‖� = . Karena ℓ kontinu, maka
lim ℓ
�→∞
Padahal, untuk setiap
ℓ
−
�
. .
= ∫ ℎ�
��
,ℓ
�
�
=ℓ
.
�=∫ℎ
�
= ∫� ℎ
�
�.
�. Terbukti.
. .
BAB VI
KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya didapat beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Fungsi �: ℝ → ℝ+ dikatakan fungsi Young jika
a) � konvek pada ℝ
b) � −
=�
c) � 0 = 0, � ±∞ = ∞, dan
d) jika
= sup �� � ∈ ℝ maka lim
→� −
�
=�
.
Lebih jauh, fungsi Young �: ℝ → ℝ+ dan komplemennya � ∗ : ℝ → ℝ+ ,
berturut-turut dapat direpresentasikan sebagai
�
dan
| |
=∫ �
0
| |
�∗
≔∫ �
0
,
dimana �, �: [0, ∞ → ℝ , tak turun, kontinu kiri, bukan merupakan fungsi
konstan 0 atau ∞. Juga berlaku ketaksamaan Young
≤�
+ �∗
.
2. Ruang Orlicz adalah ruang fungsi
�
�, � ≔ {�: � → ℝ, � terukur|∃� > 0, ∫ � ��
�
� < ∞},
dan merupakan ruang Banach. Pada ruang Orlicz didefinisikan beberapa
norm diantaranya Norm Luxemburg ‖. ‖� dan norm Orlicz |. |� , dimana
keduanya adalah norm yang ekivalen. Jika
�� � = ℝ,
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
�
.
dan
108
�
�
� merupakan norm untuk
Orlicz |. |� ,
�
. , dan
�
�
′
�
dan
kontinu pada
kontinu pada
′
�,
�,
�.
dimana
dan
juga norm Luxemburg ‖. ‖� , norm
� semuanya ekivalen.
3. Dual ruang Orlicz besar
adalah
�,
�
′
�
dan ruang Orlicz kecil
′
�
�
berturut-turut
adalah himpunan semua fungsional linear
adalah himpunan semua fungsional linear
Berdasarkan ketaksamaan Holder, untuk setiap ℎ ∈
didefinisikan suatu fungsional linear yang memetakan
untuk semua � ∈ � , dan pemetaan yang memetakan
ℎ ⟶ ℓℎ adalah isomorfisma. Akibatnya �′ ≅ �∗ .
dapat
�
ke ℝ dengan
�∗
⟶
ℓℎ � = ∫ ℎ� �
�
�∗
′
�
dimana
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Matematika Konsentrasi Analisis
Oleh:
Sofihara Al Hazmy
1000690
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2014
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
RUANG ORLICZ
Oleh:
Sofihara Al Hazmy
NIM 1000690
Email: sofiharaalhazmy@gmail.com
Ruang Orlicz ( L ) telah diperkenalkan oleh Z.W. Birnbaum dan W. Orlicz
pada sekitar tahun 1931. Ruang Orlicz merupakan salah satu contoh ruang Banach
yang dikatakan sebagai perluasan dari ruang L p , p 1 .
Rao dan Ren [4] mengembangkan teori ruang Orlicz pada situasi yang sangat
umum. Leonard [3] mempersempit definisi fungsi Young pada [4] dengan
menambahkan syarat semikontinu bawah, dan mendefinisikan komplemen Young
seperti yang didefinisikan Krasnosel’skii dan Rutickii [2] yang menyebabkan
struktur ruang Orlicz menjadi berbeda dari [4]. Hasil-hasil yang telah diperoleh
Leonard [3] diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, norm Luxemburg dan
norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, dan dual dari ruang Orlicz kecil ( �′
isomorfik dengan ruang orlicz besar �∗ .
Penulis mencoba mengekstrak [4] dari sudut pandang yang berbeda dari
Leonard [3] dengan cara mendefinisikan ulang fungsi Young dan komplemen
Young. Kemudian mengkaji ulang struktur dan sifat ruang Orlicz beserta
dualitasnya. Hasil-hasil yang diperoleh penulis diantaranya ruang Orlicz adalah
ruang Banach, dual ruang Orlicz kecil ( �′ isomorfik dengan ruang Orlicz besar
∗
⊊ ℝ, norm Luxemburg dan norm Orlicz adalah
�∗ . Untuk kasus � � �
norm yang ekivalen, sedangkan untuk kasus � � � ∗ = ℝ diperoleh norm
Luxemburg, norm Orlicz, � . , dan �� . adalah norm-norm yang ekivalen.
Kata kunci : fungsi Young, komplemen Young, ruang Orlicz, norm Luxemburg,
norm Orlicz, dualitas ruang Orlicz.
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
ORLICZ SPACE
By:
Sofihara Al Hazmy
NIM 1000690
Email: sofiharaalhazmy@gmail.com
Orlicz space has introduced by Z.W. Birnbaum and W. Orlicz since 1931.
Orlicz space is one of example of Banach spaces which is an extension of �
space, ≥ 1.
Rao and Ren have developed the theory of Orlicz space on a very general
situation. Leonard [3] tighten the definition of Young function on [4] by adding
lower semicontinuity, and define its complement as defined by Krasnosel’skii and
Ruticki [2]. The results that have been obtained by Leonard [3] including: Orlicz
space is Banach space, Luxemburg norm and Orlicz norm are equivalent, and dual
of small Orlicz space �′ and Orlicz space �∗ are isomorphic.
I have tried to extract [4] from different viewpoint of Leonard [3] by
redefining definition of Young function and its complement. Then review the
structure and properties of Orlicz space and its duality. The results that have been
obtained including: Orlicz space is Banach space, Luxemburg norm and Orlicz
norm are equivalent, and dual of small Orlicz space �′ and Orlicz space �∗ are
isomorphic. In case � � � = ℝ, Luxemburg norm, Orlicz norm, � . , and
�
� . are equivalent.
Keywords : Young function, Young complement, Orlicz space, Luxemburg
norm, Orlicz norm, duality of Orlicz Space.
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
LEMBAR PERNYATAAN……………………………………………................i
UCAPAN TERIMA KASIH………………………………………...…………..ii
ABSTRAK……………………………………………………………………….iii
ABSTRACT……………………………………………………………………...iv
DAFTAR ISI……………………………………………………………………...v
SIMBOL DAN NOTASI………………………………………………………...vi
BAB I: PENDAHULUAN…………………………………………………...…..1
BAB II: LANDASAN TEORI...…………………………………………………3
2.1 Integral Lebesgue……………………………………………….……4
2.2 Kekontinuan dan Keterdiferensialan Fungsi Monoton…….…….24
2.3 Ruang �� dan Kelengkapannya………………….………………...28
2.4 Operator Linear…………………………………………………….39
2.5 Integral Pada Ruang Ukuran Umum………….…………………..46
2.6 Ruang �� �, � dan Kelengkapannya……………………………..68
BAB III: FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG………………...74
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young……………………….…...74
BAB 1V: RUANG ORLICZ…………………….……………………..……….83
4.1 Ruang Orlicz…………………………………………………….…..83
BAB V: DUALITAS RUANG ORLICZ………………………………………98
5.1 Dualitas Ruang Orlicz……………………………………………...98
BAB VI: KESIMPULAN……………………………………………………...107
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………….109
DAFTAR RIWAYAT HIDUP………………………………………………..110
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Ruang Orlicz ( L ) diperkenalkan oleh Z.W Rirnbaum dan W. Orlicz pada
sekitar tahun 1931. Ruang Orlicz merupakan salah satu contoh ruang Banach yang
dikatakan sebagai perluasan dari ruang Lebesgue L p , p 1 .
Rao dan Ren [4] mengembangkan teori ruang Orlicz pada situasi yang sangat
umum. Leonard [3] mendefinisikan suatu fungsi Young pada domain real dengan
menambahkan syarat semikontinu bawah, dan mendefinisikan komplemen Young
seperti yang didefinisikan Krasnosel’skii dan Rutickii [2] yang menyebabkan
struktur ruang Orlicz menjadi berbeda dari [4]. Hasil –hasil yang telah diperoleh
Leonard [3] diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, norm Luxemburg dan
norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, dan dual dari ruang Orlicz kecil (
isomorfik dengan ruang orlicz besar
�∗
.
′
�
Oleh sebab itu, penulis mencoba mengekstrak [4] dari sudut pandang yang
berbeda dari Leonard [3] dengan cara mendefinisikan ulang fungsi Young dan
komplemen Young pada domain real yang diperluas, kemudian mengkaji ulang
struktur dan sifat ruang Orlicz beserta dualitasnya.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, penulis merumuskan masalah
sebagai berikut:
1. Bagaimana melakukan pendekatan berbeda pada pendefinisian ruang
Orlicz?
2. Bagaimana struktur dan sifat ruang Orlicz?
3. Bagaimana struktur dan sifat dualitas ruang Orlicz?
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
2
1.3.Tujuan
Adapun tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Pendekatan dilakukan dengan cara mendefinisikan fungsi Young dan
komplemen Young pada domain real yang diperluas.
2. Mengkaji struktur dan sifat-sifat ruang Orlicz.
3. Mengkaji struktur dan sifat-sifat dualitas ruang Orlicz.
1.4. Manfaat Penulisan
Skripsi ini disusun dengan harapan dapat memberikan banyak dampak positif
dalam berbagai aspek.
1.4. Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari 6 bab. Bab pertama
terdiri dari Latar belakang masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.
Pada Bab II berisi tentang teori-teori yang melandasi teori-teori pada Bab III,
Bab IV, dan Bab V.
Pada Bab III berisi tentang pendefinisian fungsi Young dan komplemen
Young, beserta representasinya dalam bentuk kanonik.
Pada Bab IV berisi tentang pengkajian struktur ruang Orlicz, dimana ruang
Orlicz merupakan ruang Banach. Selain itu, juga berisi tentang pengkajian normnorm pada ruang Orlicz.
Pada Bab V berisi tentang pengkajian dualitas ruang Orlicz dan pada Bab VI
berisi kesimpulan kesimpulan yang diperoleh oleh penulis.
3
BAB III
FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG
Pada bab ini, dibahas tentang definisi fungsi Young dengan domain real
diperluas dan komplemennya.
Sebelumnya, dalam studi deret Fourier, W. H. Young telah menganalisis
fungsi
lim
konvek
→∞ �
�: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+
yang
bersifat
� −
=�
,�
= ,
dan
= ∞, dimana setiap fungsi � dapat diasosiasikan dengan fungsi
konvek lain �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ yang memiliki sifat yang sama dengan �, yang mana
�
≔ sup{ | | − �
}.
Oleh sebab itu � dinamakan fungsi Young, dan � dinamakan komplemen Young.
Pada bab ini, definisi fungsi Young akan dimodifikasi. Fungsi Young akan
didefinisikan
lim
→ −
pada
�
=�
̅
ℝ
dengan
dengan
menambahkan
= sup
syarat
� � .
� ±∞ = ∞
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young
Berikut merupakan fungsi Young yang dimodifikasi
Definisi 3.1.1
̅ → ̅̅̅̅
Suatu fungsi �: ℝ
ℝ+ dikatakan fungsi young jika memenuhi kondisi:
1. � konvek pada ℝ
2. � −
3. �
4. jika
=�
= , � ±∞ = ∞, dan
= sup
� � ∈ ℝ maka lim
→ −
�
=�
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
.
dan
75
Untuk kasus : ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ , definisi fungsi Young diatas ekivalen dengan
Definisi 1.1 [3].
Remark 1.
a) Sifat � −
=�
�
dan
=
mengindikasikan � mencapai
dan tak turun pada [ , ∞
minimum di
,
b) Untuk sembarang fungsi Young, terdapat
∈ [ , ∞ dan �
�
c) Berdasarkan b),
= sup
∈
, ∞].
� � > .
d) Fungsi Young kontinu pada interior
>
sedemikian sehingga
��. Secara khusus, fungsi Young
finite merupakan fungsi kontinu pada ℝ.
sup
e) Berdasarkan d), jika
> sup
Jika
� � , maka lim
f) Berdasarkan Definisi 3.1.1, lim
→ −
→∞ �
� � maka lim
�
=∞=�
→ −
.
�
=�
.
= ∞.
̅ → ̅̅̅̅
Untuk setiap fungsi Young �, dapat dibentuk fungsi �: ℝ
ℝ+ yang
berasosiasi dengan � yang didefinisikan
≔ sup{ | | − �
�
}.
� disebut komplemen dari � dan berlaku ketaksamaan Young
�
+�
Berdasarkan definisi fungsi �, � konveks, � −
∞, dan lim
→∞ �
Misalkan
setiap
∈ℝ
sehingga
= ∞.
= sup
.
=�
,�
= , � ±∞ =
� � ∈ ℝ, berdasarkan ketaksamaan Young untuk
lim− �
→
−�
76
lim− �
→
sup {
−�
Tetapi, karena � tak turun pada [ , ], maka lim
lim
→ −
�
=�
}=�
→ −
�
.
. Jadi, � juga merupakan fungsi Young.
Pada topik analisis konvek, untuk fungsi Young �: ℝ+
direpresentasikan sebagai
�
= sup{ | | − �
�
. Akibatnya
{ } → ℝ, � dapat
} = �+′ | | | | − �(�+′ | | ).
Contoh 3.1.2
Misalkan ��
�
=
∶= | |� ,
untuk | |
dan �
. �� merupakan fungsi Young.
= ∞ untuk | | >
Untuk
= ,
juga merupakan fungsi
Young dan komplemen Young dari �. Hal ini menunjukkan komplemen fungsi
Young tidak selalu kontinu pada ℝ.
Contoh 3.1.3
Misalkan �∞
�
≔{
,
∞,
= | | untuk setiap
| |
. �∞ juga merupakan fungsi Young, dimana
| |>
∈ ℝ.
Proposisi 3.1.4
Misalkan
,
⊆ ℝ dan fungsi �:
,
= �
,
→ ℝ. � konveks pada
hanya jika untuk setiap subinterval tutup [ , ] ⊂
�
+ ∫�
,
,
,
,
jika dan
. .
77
dimana �:
,
→ ℝ, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, � mempunyai
,
turunan kiri dan kanan di setiap titik pada
sejumlah terhitung titik-titik.
Bukti. Untuk setiap � >
yang cukup kecil, didefinisikan
≔ ∫
ℎ�
Karena � konvek, maka
��
�
��
+� −�
�
�→
�
= lim�→
�
+� −�
�
−�
−�
�
. Definisikan �
= ∫�
Dilain pihak, karena � kontinu, maka
∫
Sehingga �
�
+� −�
�
⟶ �
− �
=
=
− �
� tak turun dan kontinu kiri.
Sebaliknya, misalkan
�
∈ [ , ].
,
. Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim ∫
� +
dan bernilai sama kecuali di
−�
− ��
, jika
−
. .
−� �
�
,
.
+�
∫ �
�
�
+�
∫ �
. Karena �
∈
,
terpenuhi, maka
= �[�
= �∫�
.
− ∫�
+�
=
+�
−∫ �
≔ lim�→
�
−� −�
�
, maka
dan � ∈ [ , ]. Misalkan pula
]−
−�
−
≔
− � [�
−� ∫�
−�
]
=
78
�
=�
= .
−
−�
�
−
−
�
−�
−
−
�
−� �
−
�
Karena � monoton, maka � memiliki turunan hampir dimana-mana pada
Terbukti.
�
,
.
Perhatikan bahwa fungsi Young �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ merupakan fungsi konvek dan
= , tetapi mungkin terdapat jump ke ∞ di suatu titik. Misalkan �
jelas �
= ∞ untuk | |
dan definisikan �
= .
| |. Untuk kasus ini, nilai �
= ∞,
= ∞ untuk | | > | |
Akibat 3.1.6
Jika �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ merupakan fungsi Young, maka � dapat direpresentasikan
sebagai
| |
�
Dimana �: ℝ+
=∫ �
.
{ } → ̅̅̅̅
ℝ+ , tak turun, dan kontinu kiri.
Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas � dikatakan kontinu kiri di
hanya jika lim
→ −
�
= �
jika dan
.
ℝ+ menjadi �: ℝ+ → ℝ dimana �
Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan �: ℝ → ̅̅̅̅
�
. Misalkan �
dan �
= ∞ untuk
∈ ℝ untuk
dan �
= ∞ untuk
). Berdasarkan teorema 1, untuk
=
>
(atau
<
=
79
�
Definisikan �
persamaan
�
= ∫�
,
∶= ∞ untuk
>
< .
. .7 berlaku untuk semua
=� | | =� | | =
Karena �
=
| |
dan �
≔ lim
→�
�
, sehingga
. Karena � fungsi genap, maka
. Terbukti.
�
dan lim
. .7
→∞
�
= ∞ maka � bukan fungsi konstan.
Sehingga � bukan merupakan fungsi konstan
atau ∞. Oleh sebab itu Akibat
3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada
akibat berikut
Akibat 3.1.8
Fungsi �: ℝ → ̅̅̅̅
ℝ+ merupakan fungsi Young jika dan hanya jika � dapat
direpresentasikan sebagai
�
dengan �: ℝ
konstan
| |
=∫ �
,
{ } → ̅̅̅̅
ℝ+ , tak turun, kontinu kiri, dan bukan merupakan fungsi
atau ∞.
Berdasarkan definisi integral tak wajar, � ∞ = lim
bukan fungsi konstan , maka terdapat
turun, diperoleh
� ∞ = lim �
→∞
| |
= lim ∫ �
→∞
>
sehingga �
| |
lim ∫ �
→∞
0
→∞ �
. Karena �
> . Karena � tak
= ∞.
80
Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi
komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya
akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini.
Definisikan perluasan fungsi invers �: ℝ+
maka �
�
≔ inf
,
�
dan tak konstan. Karena { |�
=
, berdasarkan sifat infimum �
= inf�
Sehingga � tak turun.
Ketika
→
−
Jika �
} ⊆ { |�
inf�
>
, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.10, �
kontinu kiri. Karenanya { |�
Berdasarkan
{ } → ̅̅̅̅
ℝ+ , dimana
.
juga diperoleh
>
Jika > �
Jika < �
maka �
< .
�
0
�
�
Gambar 3.1.10
} untuk
=�
.
. Sehingga �
> } adalah interval buka
maka > �
maka �
→�
>
. .9
�
, ∞].
81
Definisikan
| |
�
. .
≔∫ �
Berdasarkan Akibat 3.1.8, � merupakan fungsi Young.
Proposisi 3.1.12
Misalkan � fungsi Young dan � didefinisikan oleh
|
|
�
dan kesamaan berlaku ketika
+�
,
= � | | atau
= ∞, ketaksamaan
. .
=
{
{
=∫
,
,
∬
terbukti. Jika �
|
∬
|
i ( ,�
∫�
∫
�
)
�
+
}
+
}
+∫�
+∫
{
,
{
,
i ( ,�
∫
∬
|
�
∬
|
)
. .
. Jika �
dan
< ∞ dan �
= ∫∫
=
. Maka
=� | | .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus
�
.
�
}
}
= ∞ atau
< ∞, maka
82
Jika
=�
+�
.
diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan
hanya jika
�
untuk
maka kesamaan terjadi ketika
, sehingga
�
, sehingga
=�
=�
. Jika
diberikan,
. Terbukti.
Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi � akan diganti dengan notasi � ∗
dan berdasarkan ilustrasi . .
, � ∗∗ = �.
BAB V
DUALITAS RUANG ORLICZ
Karena ketaksamaan Holder yang telah dipelajari pada bab sebelumnya,
Untuk sembarang ℎ ∈
�∗ ,
kita dapat mendefinisikan suatu fungsional linear
kontinu ℓℎ yang memetakan
�
kedalam ℝ. Oleh sebab itu, secara langsung dapat
diperoleh suatu pemetaan � yang memetakan
�∗
′
�
kedalam
dengan � ℎ = ℓℎ .
Pada bab ini, akan diperlihatkan bahwa pemetaan � adalah suatu isomorfisma.
Sehingga
′
�
≅
�∗ .
5.1 Dualitas Ruang Orlicz
Untuk sembarang ℎ ∈
ℓℎ
�∗ ,
didefinisikan fungsi ℓℎ :
≔∫ℎ
�,
�
∈
�
→ ℝ dimana
�.
. .
Berdasarkan ketaksamaan Holder
|ℓℎ
|
‖ℎ‖�∗ ‖ ‖� < ∞.
Karenanya ℓℎ adalah fungsional linier kontinu pada
�.
Lema 5.1.1
Misalkan ℎ fungsi terukur.
a) Jika ℎ ∈
b) Misalkan
untuk semua
finite. Jika ℎ ∈
∈
�,
maka ℎ ∈
untuk semua
�∗ .
∈
�,
Bukti.
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
maka ℎ ∈
�∗ .
99
a) Misalkan ℎ suatu fungsi terukur sedemikian sehingga ℎ ∈
∈
definisikan ℎ� ≔ |ℎ|
�.
untuk semua
. Karena � ukuran �-hingga terdapat barisan
∞
naik berukuran hingga {�� }∞
�= sedemikian sehingga � = ⋃�= �� . Definisikan
ℓ�,�
∈
Untuk setiap
Karena, ℎ�
sup
,
��� ℎ� ∈
|ℓ�,�
�,
�.
|
�.
≔ ∫ ��� ℎ�
�
akibatnya
∫�
∗
�
��
, maka terdapat
sedemikian sehingga
∗
(��� ℎ� ) �
Berdasarkan ketaksamaan Holder,
ℎ�
ℎ� � �� < ∞,
<
maka
‖��� ℎ� ‖ ∗ ‖ ‖� , menunjukkan ℓ�,� fungsional linear kontinu pada
�
dan untuk semua , �
|ℓ�,�
,
∫ ��� ℎ� | | �
|
Sehingga lim�,�→∞ ℓ�,�
�
sedemikian sehingga
untuk semua , �.
∫ |ℎ|| | � =
�
ada untuk setiap
Saks-Steinhaus, keluarga {ℓ�,�
>
� = ∫ ℎ�
< ∞,
. Berdasarkan teorema Banach-
} terbatas seragam. Dengan kata lain terdapat
‖ℓ�,� ‖�
Dilain pihak, Karena ℎ� dan
ukuran, sehingga ketika � → ∞, ℓ�,�
terukur pada �, maka ∫� ℎ�
→ ∫� ℎ�
�
� . Karena ketika
� suatu
→ ∞,
ℎ� → ℎ titik demi titik, berdasarkan teorema kekonvergenan monoton
∫� ℎ�
� → ∫� ℎ
�. Sehingga,
100
lim ℓ�,�
= lim ∫ ℎ�
�,�→∞
�,�→∞
Sehingga
|ℎ|�∗ = sup {∫ ℎ
��
�| ∈
�
= sup { lim ℓ�,�
�,�→∞
=
sup{ ‖ ‖� |
< ∞.
Berdasarkan proposisi 4.1.17, ‖ℎ‖�∗
�=∫ℎ
∈
�.
�
�, ‖
| ∈
�, ‖
‖�
�, ‖
‖�
}
‖�
}
}
|ℎ|�∗ < ∞. Sehingga ℎ ∈
b) bukti b) serupa dengan a), cukup dengan menukar |ℎ|�∗ dengan
�∗ .
�∗
ℎ .
Lema 5.1.3
Ruang
�
�
padat dalam
⊊ ℝ,
Bukti. Untuk kasus
Misalkan
didefinisikan
�
�.
= ℝ dan
∶= −
titik. Untuk setiap , misalkan
‖ ��� ‖ . Untuk setiap
�
> ,
→ ∞. Oleh sebab itu (
→ ∞. Karena
(
.
�
= { }.
�
�
�
sembarang anggota
�
∈
�
�.
=
�
�.
padat dalam
Untuk setiap
Jelas lim�→∞
��� konvergen ke
��� ) terdominasi oleh
kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim ∫ (
�
=
≔ {� ∈ �|| � | > }, diperoleh ‖
��� ) � = .
,
titik demi
−
� ‖�
=
titik demi demi titik ketika
��� ) konvergen titik demi titik ke
�→∞
�
�.
=
ketika
, berdasarkan Teorema
101
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖
−
� ‖�
= ‖ ��� ‖ = . Terbukti.
�
Lema 5.1.4
Jika
Yaitu
′
�
= ℝ dan � � < ∞ maka dual
′
�
≅
sedemikian sehingga ℓ = ℓℎ .
�∗ ,
�
isomorfik dengan
�∗ .
�∗ .
′
�
Bukti. Akan dibuktikan untuk setiap ℓ ∈
Untuk semua ℎ ∈
dari
ℓℎ yang didefinisikan pada
terdapat ℎ ∈
. .
�∗
tungggal
adalah fungsional linear
kontinu. Selanjutnya akan dibutktikan pemetaan yang memetakan
�∗
dimana
′
�
⟶
ℎ ⟶ ℓℎ
adalah pemetaan pada (onto).
Definisikan � � ∶= ℓ �� , � ∈ Σ. Karena � ukuran �-hingga, misalkan � , � , ⋯
himpunan-himpunan terukur disjoin sedemikian sehingga � = ⋃∞
�= �� . Karena
∞
� � = ∑∞
�= � �� < ∞, maka lim�→∞ ∑�=�+ � �� = , konsekuensinya
�
∞
lim ‖�� − ∑ ��� ‖ = lim ‖ ∑ ��� ‖
�→∞
�=
�
�→∞
�=�+
�
= lim [inf { > | ∫
�→∞
�
= lim [inf { > | ∫
�→∞
�
∑∞
�=�+ ���
∞
( ) ∑ ∫ �
�=�+ ��
�
}]
}]
102
∞
= lim [inf { > | ∫
�→∞
=
( ) ∑ � ��
�=�+
�
.
Karena ℓ kontinu dan linear pada
�,
}]
maka
∞
∞
�=
�=
ℓ �� = ℓ (∑ ��� ) = ∑ ℓ(��� )
atau
∞
� � = ∑ �(��� ) .
. .
�=
Untuk menunjukkan � ukuran bertanda (signed measure), akan ditunjukkan ruas
kanan persamaan
. .
konvergen mutlak. Definisikan
≔ sgn(ℓ �� ), maka
�
lim ‖ �� − ∑
�→∞
�=
� ��� ‖
�
∞
= lim ‖ ∑
�→∞
� ��� ‖
�=�+
= lim [inf { > | ∫
�→∞
�
�
∑∞
�=�+
∞
� �=�+ ��
= lim [inf { > | ∫
Menunjukkan bahwa
=
�→∞
.
�
∞
ℓ �� = ℓ �� = ℓ (∑
�=
≔ sgn ℓ(��� ) dan
� ���
�
= lim [inf { > | ∫ ∑ ∫
�→∞
�
�
�
∞
( ) ∑ � ��
�=�+
� ��� )
∞
=∑
�=
� ℓ(��� )
}]
}]
}]
103
atau
∞
|� � | = ∑|�(��� )|
�=
konvergen. Sehingga � ukuran bertanda. Perhatikan bahwa, jika � ∈ Σ dengan
� � = , maka �� merepresentasikan fungsi nol �-a.e pada �, sehingga
� � = ℓ �� = . Akibatnya � kontinu mutlak. Berdasarkan teorema Radon-
Nikodym, terdapat fungsi ℎ yang terintegralkan pada � sedemikian sehingga
ℓ �� = � � = ∫ ℎ � .
�
∈
Akibatnya untuk sembarang fungsi simpel
ℓ
∈
Oleh sebab itu, jika
�
�
maka
ℓ
Misalkan
�{�∈�|ℎ
dimana
semua
� < },
ℓ
+
≔
,
−
≔
sehingga untuk semua
=ℓ
+ +
+ℓ
+ +, + −, − +, − −
,
∈
�,
=∫ℎ
+ −
�.
�
=∫ℎ
−
�
∈
−ℓ
,
+
�,
�,
�.
≔ �{�∈�|ℎ �
− +
−ℓ
− −
=ℓ
lim
�→∞
dan
,
−
≔
. .
adalah fungsi-fungsi nonnegatif. Padahal, Untuk
berdasarkan konsekuensi Teorema kekonvergenan
= . Karena ℓ kontinu,
terdominasi (lihat bukti Lema 5.1.3), lim�→∞
lim�→∞ ℓ
≥ },
. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton,
∫
{�∈�|ℎ � ≥ }
ℎ �=
∫
{�∈�|ℎ � ≥ }
ℎ �
104
dan
lim
�→∞
akibatnya
∫
ℎ �=
lim ∫
ℎ � = ∫ ℎ �.
{�∈�|ℎ � < }
�→∞
�
. . , diperoleh
ℓ
∈
�.
{�∈�|ℎ � < }
ℎ �,
�
Berdasarkan hasil ini dan persamaan
untuk semua
∫
=∫ ℎ �
�
Berdasarkan Lema 5.1.2 b), ℎ ∈
�∗ .
Terbukti.
Proposisi 5.1.7
Jika
= ℝ, maka dual
′
�
dari
′
�
�
isomorfik dengan
≅
�∗ .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus � � = ∞.
Untuk semua ℎ ∈
�∗ ,
ℓℎ yang didefinisikan pada
. .
�∗ .
Yaitu
adalah fungsional linear
kontinu. Seperti pada bukti Lema 5.1.4, akan dibutktikan pemetaan yang
memetakan
dimana
adalah pemetaan pada (onto).
�∗
⟶
ℎ ⟶ ℓℎ
′
�
105
Misalkan {�� }∞
�= adalah barisan naik dari himpunan-himpunan terukur
′
�,
hingga dimana � = ⋃∞
�= �� . Misalkan ℓ ∈
setiap
terdapat ℎ� ∈
�∗
sedemikian sehingga ℎ� =
ℓ
=
dimana
berdasarkan Lema 5.1.4, untuk
= ∫ ℎ�
pada � − �� dan
�,
�
pada � − �� . Karena ℎ� tunggal untuk setiap , maka ℎ�+ = ℎ�
pada �� . Definisikan ℎ � = ℎ� � jika � ∈ �� , sehingga ℎ� → ℎ titik demi titik
pada �. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton, untuk setiap
dengan ‖ ‖�
berlaku
lim ∫ ℎ�
|
�|
�=∫ ℎ
lim ∫ −ℎ�
|
�|
� = ∫ −ℎ
�→∞
dan
�→∞
dimana
�
Akibatnya
=
�
�
pada �� dan
�
=
�
akibatnya
�→∞
�|
�
�
�|
| | �,
�
� = ∫ ℎ| | �.
Karena ℓ fungsional linear terbatas, maka
∫ ℎ| | � = lim ∫ ℎ� |
| | �
pada � − �� .
lim ∫ ℎ� |
�→∞
�
∈
�
�∗
ℎ
�
lim ‖ℓ‖‖
�→∞
� ‖�
‖ℓ‖ < ∞.
lim ‖ℓ‖‖ ‖�
�→∞
‖ℓ‖,
�
106
. .
Berdasarkan
menunjukkan ℎ ∈
Definisikan
�
,
�∗
�∗ .
=
‖ℎ‖�∗ .
ℎ
pada �� dan
�
=
Oleh
Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue,
lim ∫ ℎ
Dilain pihak,
(
�
−
�
)→
→
�
�=∫ℎ
�
itu,
‖ℎ‖�∗ < ∞,
pada � − �� , berdasarkan ketaksamaan
Holder, ℎ terintegralkan pada �, dan |ℎ � |
�→∞
sebab
|ℎ | �-a.e pada �. Berdasarkan
�
�
. .
titik demi titik pada �. Ambil sembarang
, maka
titik demi titik �-a.e pada �. Berdasarkan Teorema
kekonvergenan monoton,
lim ∫ (
�→∞
�
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖
�
�
Berdasarkan
. .
dan
) �=
. .
− ‖� = . Karena ℓ kontinu, maka
lim ℓ
�→∞
Padahal, untuk setiap
ℓ
−
�
. .
= ∫ ℎ�
��
,ℓ
�
�
=ℓ
.
�=∫ℎ
�
= ∫� ℎ
�
�.
�. Terbukti.
. .
BAB VI
KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya didapat beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Fungsi �: ℝ → ℝ+ dikatakan fungsi Young jika
a) � konvek pada ℝ
b) � −
=�
c) � 0 = 0, � ±∞ = ∞, dan
d) jika
= sup �� � ∈ ℝ maka lim
→� −
�
=�
.
Lebih jauh, fungsi Young �: ℝ → ℝ+ dan komplemennya � ∗ : ℝ → ℝ+ ,
berturut-turut dapat direpresentasikan sebagai
�
dan
| |
=∫ �
0
| |
�∗
≔∫ �
0
,
dimana �, �: [0, ∞ → ℝ , tak turun, kontinu kiri, bukan merupakan fungsi
konstan 0 atau ∞. Juga berlaku ketaksamaan Young
≤�
+ �∗
.
2. Ruang Orlicz adalah ruang fungsi
�
�, � ≔ {�: � → ℝ, � terukur|∃� > 0, ∫ � ��
�
� < ∞},
dan merupakan ruang Banach. Pada ruang Orlicz didefinisikan beberapa
norm diantaranya Norm Luxemburg ‖. ‖� dan norm Orlicz |. |� , dimana
keduanya adalah norm yang ekivalen. Jika
�� � = ℝ,
Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
�
.
dan
108
�
�
� merupakan norm untuk
Orlicz |. |� ,
�
. , dan
�
�
′
�
dan
kontinu pada
kontinu pada
′
�,
�,
�.
dimana
dan
juga norm Luxemburg ‖. ‖� , norm
� semuanya ekivalen.
3. Dual ruang Orlicz besar
adalah
�,
�
′
�
dan ruang Orlicz kecil
′
�
�
berturut-turut
adalah himpunan semua fungsional linear
adalah himpunan semua fungsional linear
Berdasarkan ketaksamaan Holder, untuk setiap ℎ ∈
didefinisikan suatu fungsional linear yang memetakan
untuk semua � ∈ � , dan pemetaan yang memetakan
ℎ ⟶ ℓℎ adalah isomorfisma. Akibatnya �′ ≅ �∗ .
dapat
�
ke ℝ dengan
�∗
⟶
ℓℎ � = ∫ ℎ� �
�
�∗
′
�
dimana