Analisis dan Eksperimental Perhitungan Momen-Kurvatur Balok Beton Bertulang.

ANALISIS DAN EKSPERIMENAL PERHITUNGAN

MOMEN-KURVATUR BALOK BETON BERTULANG

Pricillia Sofyan Tanuwijaya NRP: 0621020

Pembimbing: Yosafat Aji Pranata, ST., MT.

ABSTRAK

Beton adalah material yang sering digunakan dalam strukur. Beton tidak dapat menahan gaya tarik melebihi nilai tertentu tanpa mengalami retak-retak. Untuk itu, agar beton dapat bekerja dengan baik dalam suatu sistem struktur, perlu dibantu dengan memberinya penulangan yang terutama akan memikul beban tarik yang bakal timbul di dalam sistem. Salah satu perilaku struktur beton bertulang yang penting untuk dipelajari adalah perilaku keruntuhannya.

Tujuan penelitian Tugas Akhir adalah mempelajari perilaku keruntuhan elemen struktur balok beton bertulang, diagram momen-kurvatur, dan diagram hubungan beban-peralihan; mempelajari dan membuat diagram hubungan momen-kurvatur dan beban-peralihan balok beton bertulang dengan metode numerik dan eksak; dan melakukan uji eksperimental balok beton bertulang.

Hasil penelitian memperlihatkan bahwa pada kondisi beban ultimit, model tegangan-regangan beton Hognestad dan tegangan-regangan baja lengkap memberikan prediksi paling mendekati terhadap terhadap eksperimental. Perangkat lunak Response2000 memberikan prediksi beban, lendutan, dan pola penjalaran retak yang tidak berbeda jauh terhadap eksperimental. Metode eksak memberikan prediksi hubungan Beban-Lendutan yang lebih baik dibandingkan metode analitis. Perilaku balok adalah daktail, hal ini terlihat dari hubungan beban-lendutan yang terjadi, yaitu perilaku setelah elastik, balok mengalami deformasi yang besar sebelum runtuh. Dari hasil uji eksperimental pada penelitian ini diperoleh modulus ruptur (fr) sebesar 2,681 MPa. Hal ini memberikan

perbedaan %-relatif berkisar antara 43%-47% terhadap prediksi analisis dan

Response2000.

Kata kunci: Balok beton bertulang, Momen-Kurvatur, Metode numerik, Metode eksak, Uji eksperimental, Strain Gauge.

ANALYSIS AND EXPERIMENTAL OF

MOMENT-CURVATURE COMPUTATION

ON REINFORCED CONCRETE BEAM

Pricillia Sofyan Tanuwijaya NRP: 0621020

Supervisor: Yosafat Aji Pranata, ST., MT.

ABSTRACT

Concrete is a familiar material used in structure. Concrete can’t resist the tensile stress beyond certain value without cracking. So, reinforced steel used to resist tensile stress that will occur in a structures. One of the most important study for behavior of reinforced concrete is a failure behavior.

The objectives of this research are study the failure behavior of reinforced concrete beam, Moment-Curvature relationship, and Load-Deformation relationship; develope Moment-Curvature and Load-Deflection diagrams of reinforced concrete beam using numerical and exact method; and verify this analytical prediction using experimental test in laboratorium.

Results obtained from this reseach indicated that at ultimit load, hognestad concrete stress-strain model and complete steel stress-strain model give more accurate prediction against experimental test results. Response2000 software give accurate prediction for load, displacement, and crack propagation against experimental test results. Exact method give more better load-displacement prediction than analitical method. Beam behavior is ductile, beam have long deformation performance before collapse. Modulus of rupture obtained from experimental test is 2.681 MPa. This result indicated that %-relative difference range from 43%-47% against analitical and Response2000 predictions.

Keywords: Reinforced concrete beam, Moment-curvature, Numeric method, Exact method, Experimental, Strain gauge.

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Surat Keterangan Tugas Akhir ii

Surat Keterangan Selesai Tugas Akhir iii

Lembar Pengesahan iv

Pernyataan Orisinalitas Laporan Tugas Akhir v

Abstrak vi

Abstract vii

Prakata viii

Daftar Isi xi

Daftar Gambar xiii

Daftar Tabel xiv

Daftar Notasi xviii

Daftar Lampiran xx

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Tujuan Penelitian 4

1.3 Ruang Lingkup Penelitian 4

1.4 Sistematika Penulisan 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1Beton 6

2.1.1 Material Penyusun Beton 7

2.1.2 Sifat Beton 9

2.1.3 Hubungan Tegangan-Regangan Beton 10 2.1.4 Modulus Elastisitas Beton 13

2.1.5 Kuat Tekan Beton 15

2.2 Baja 16

2.2.1 Material Penyusun Baja 16

2.2.2 Jenis Baja 17

2.2.3 Sifat Baja 18

2.2.4 Hubungan Tegangan-Regangan Baja 18 2.3 Elemen Struktur Balok Beton Bertulang 21

2.4 Hubungan Momen-Kurvatur 22

2.4.1 Beton Pertama Retak (First Crack) 22 2.4.2 Tulangan Baja Leleh Pertama (First Yield) 23 2.4.3 Kondisi Setelah Leleh (Post Yield) 25

2.4.4 Metode Numerik 28

2.5 Statika dan Mekanika Bahan 28

2.5.1 Struktur Statis Tertentu 29 2.5.2 Gaya-gaya Dalam (Gaya Internal) 30

2.6 Hubungan Beban-Lendutan 30

2.6.1 Metode Eksak 32

2.6.2 Metode Analitis 34

2.7 Mix Design 35

2.8 Metode Numerik Bi-Section 37 2.9 Perangkat Lunak Response2000 39

2.10 Strain Gauge 41

2.11 Metodologi Penelitian 43

BAB III STUDI KASUS DAN PEMBAHASAN 47

3.1 Studi Kasus 47

3.2 Perhitungan Momen-Kurvatur 48 3.2.1 Model Tegangan-Regangan A 48 3.2.2 Model Tegangan-Regangan B 50 3.2.3 Model Tegangan-Regangan C 52 3.3 Perhitungan Beban-Lendutan dengan Metode Eksak 54

3.3.1 Model AN 54

3.3.2 Model BN 56

3.3.3 Model CN 58

3.4 Perhitungan Beban-Lendutan dengan Metode Analitis 60

3.4.1 Model AA 60

3.4.2 Model BA 61

3.4.3 Model CA 62

3.5 Perhitungan dengan Perangkat Lunak 63 3.5.1 Langkah-langkah Perhitungan dengan Response2000 63

3.5.2 Hasil Perhitungan 69

3.6 Uji Eksperimental 76

3.6.1 Persiapan Bekisting 76

3.6.2 Persiapan Material 77

3.6.3 Persiapan Pengecoran 79

3.6.4 Perawatan 80

3.6.5 Pengujian 81

3.7 Pembahasan 86

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 91

4.1 Kesimpulan 91

4.2 Saran 92

Daftar Pustaka 93

Lampiran 94

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Balok yang Dibebani Sampai Runtuh ... 2

Gambar 1.2 Kurva Momen-Kurvatur... 3

Gambar 2.1 Diagram Tegangan-Regangan Beton ... 10

Gambar 2.2 Hubungan Tegangan-Regangan Uniaksial Beton ... 11

Gambar 2.3 Hubungan Tegangan-Regangan Beton... 12

Gambar 2.4 Modulus Tangen dan Sekan Beton... 14

Gambar 2.5 Hubungan Tegangan-Regangan Baja ... 19

Gambar 2.6 Hubungan Tegangan-Regangan Baja ... 20

Gambar 2.7 Beton Pertama Retak ... 22

Gambar 2.8 Baja Leleh Pertama Model Sozen ... 23

Gambar 2.9 Baja Leleh Pertama Model Hognestad ... 24

Gambar 2.10 Luas Semisegmen Parabola... 24

Gambar 2.11 Baja Setelah Leleh Model Sozen... 25

Gambar 2.12 Baja Setelah Leleh Model Hognestad ... 26

Gambar 2.13 Diagram Tegangan Sozen Setelah Leleh... 26

Gambar 2.14 Diagram Tegangan Hognestad Setelah Leleh ... 27

Gambar 2.15 Balok Statis Tertentu ... 29

Gambar 2.16 Perilaku Beban-Lendutan Beton... 31

Gambar 2.17 Ilustrasi Metode Momen Area... 33

Gambar 2.18 Balok Dibagi Menjadi 18 Segmen ... 34

Gambar 2.19 Balok dengan Berat Sendiri... 34

Gambar 2.20 Metode Bi-section... 38

Gambar 2.21 Tegangan-Regangan Beton Response2000... 40

Gambar 2.22 Tegangan-Regangan Baja Response2000... 41

Gambar 2.23 Symmetric Beam... 41

Gambar 2.24 Strain Gauges Baja yang Digunakan ... 42

Gambar 2.25 Strain Gauges Beton yang Dipasang pada Serat Terluar Balok Beton ... 42

Gambar 2.26 Slot Kabel Sensor Strain Gauges pada DC104R Controller.. 43

Gambar 2.27 Bagan Alir Penelitian ... 44

Gambar 3.1 Penampang Balok... 47

Gambar 3.2 Kurva Momen Kurvatur Model Tegangan-Regangan A... 48

Gambar 3.3 Kurva Momen Kurvatur Model Tegangan-Regangan B... 50

Gambar 3.4 Kurva Momen Kurvatur Model Tegangan-Regangan C ... 52

Gambar 3.5 Kurva Kurvatur-Bentang Model AN... 54

Gambar 3.6 Kurva Beban-Lendutan Model AN ... 55

Gambar 3.7 Kurva Kurvatur-Bentang Model BN ... 56

Gambar 3.8 Kurva Beban-Lendutan Model BN ... 57

Gambar 3.9 Kurva Kurvatur-Bentang Model CN ... 58

Gambar 3.10 Kurva Beban-Lendutan Model CN ... 59

Gambar 3.11 Kurva Beban-Lendutan Model AA ... 61

Gambar 3.12 Kurva Beban-Lendutan Model BA ... 62

Gambar 3.13 Kurva Beban-Lendutan Model CA ... 63

Gambar 3.14 General Definitions... 63

Gambar 3.15 Basic Properties... 64

Gambar 3.16 Concrete Details... 65

Gambar 3.17 Rebar Details... 65

Gambar 3.18 Penampang dan Dimensi Balok... 66

Gambar 3.19 Penampang Balok dan Tulangan ... 67

Gambar 3.20 DefineTransverse Reinforcement... 67

Gambar 3.21 DefineLongitudinal Reinforcement... 68

Gambar 3.22 Define Loading... 69

Gambar 3.23 Full Member Properties... 69

Gambar 3.24 Sectional Response... 70

Gambar 3.25 Member Response... 71

Gambar 3.26 Moment-Curvatur Response2000... 72

Gambar 3.27 Kurva Beban-Lendutan Analitis dan Response2000... 75

Gambar 3.28 Tampak 3D Bekisting... 76

Gambar 3.29 Tampak Samping Bekisting ... 76

Gambar 3.30 Permukaan Tulangan Diamplas Untuk Menempatkan Strain Gauge ... 77

Gambar 3.31 Strain Gauge di lem Menggunakan Power Glue... 78

Gambar 3.32 Strain Gauge Telah Dilem... 78

Gambar 3.33 Strain Gauge Diberi Selotip ... 78

Gambar 3.34 Strain Gauge Diberi Aspal ... 79

Gambar 3.35 Tes Slump... 79

Gambar 3.36 Adonan Beton Dicetak Dalam Bekisting ... 80

Gambar 3.37 Balok Telah Dicetak ... 80

Gambar 3.38 Balok Dipasang Strain Gauge Beton ... 81

Gambar 3.39 Universal Testing Machine... 81

Gambar 3.40 Balok Diset pada Alat Uji... 82

Gambar 3.41 Kabel Strain Gauge Baja dan Beton ... 82

Gambar 3.42 DC104R Controller... 82

Gambar 3.43 Beban Terpusat Dibagi Menjadi Dua Beban Terpusat... 83

Gambar 3.44 Komputer yang Membaca DC104R Controller dan UTM... 83

Gambar 3.45 Kurva Beban-Lendutan Hasil Uji Eksperimental... 84

Gambar 3.46 Kurva Beban-Waktu Hasil Uji Eksperimental ... 84

Gambar 3.47 Kurva Regangan-Waktu Tulangan Baja Hasil Uji Eksperimental ... 84

Gambar 3.48 Kurva Beban-Regangan Baja Hasil Hasil Bacaan Strain Gauges ... 85

Gambar 3.49 Kurva Beban-Regangan Secara Umum... 85

Gambar 3.50 Kurva Momen-Kurvatur Gabungan ... 86

Gambar 3.51 Kurva Momen-Regangan Gabungan... 86

Gambar 3.52 Kurva Beban-Lendutan Gabungan ... 88

Gambar L1.1 Model Tegangan-Regangan Beton A Pertama Retak... 95

Gambar L1.2 Model Tegangan-Regangan Beton A Pertama Leleh... 97

Gambar L1.3 Interpolasi Tegangan ... 97

Gambar L2.1 Hubungan Momen-Bentang Model AN ... 111

Gambar L2.2 Kurva Kurvatur-Bentang Model AN... 114

Gambar L2.3 Luasan Kurvatur-Bentang Segmen 1... 115

Gambar L2.4 Luasan Kurvatur-Bentang Segmen 7... 115

Gambar L3.1 Penampang balok... 117

Gambar L3.2 Penampang Balok Tulangan Ganda dan Distribusi Tegangan-Regangan ... 117

Gambar L3.3 Distribusi Tegangan dan Regangan Balok Asumsi ... 118

Gambar L3.4 Distribusi Tegangan dan Regangan Balok Sebenarnya... 119

Gambar L4.1 Kurva Distribusi Ukuran Butir Agregat Halus... 128

Gambar L4.2 Hasil Uji Tekan Silinder... 132

Gambar L6.1 Kurva Tegangan-Regangan Baja Hasil Uji Tarik ... 137

Gambar L6.2 Output MINITAB... 137

Gambar L6.3 Pola Retak Balok ... 138

Gambar L6.4 Bekisting Balok ... 139

Gambar L6.5 Tulangan Baja Diamplas ... 139

Gambar L6.6 Strain Gauges Dilem pada Tulangan Baja ... 140

Gambar L6.7 Strain Gauges Dilapisi Solatip ... 140

Gambar L6.8 Strain Gauges Dilapisi Aspal ... 140

Gambar L6.9 Bekisting Dilapisi Oli ... 141

Gambar L6.10 Tulangan Dimasukkan dalam Bekisting... 141

Gambar L6.11 Material yang Digunakan ... 141

Gambar L6.12 Material Dicampur dalam Molen ... 142

Gambar L6.13 Tes Slump... 142

Gambar L6.14 Campuran Beton Dicetak dalam Bekisting ... 142

Gambar L6.15 Beton Telah Dicetak ... 143

Gambar L6.16 Beton Silender ... 143

Gambar L6.17 Pengujian Silinder ... 143

Gambar L6.18 Pengujian Silinder dengan UTM ... 144

Gambar L6.19 Balok Diset pada UTM... 144

Gambar L6.20 Balok Setelah Diuji... 144

Gambar L6.21 Balok Setelah Diuji 2... 145

Gambar L6.22 Pola Retak Balok ... 145

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Pemodelan dalam Perhitungan ... 28

Tabel 2.2 Perhitungan Beban-Lendutan dengan Berbagai Pendekatan.. 32

Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Momen-Kurvatur Model Tegangan- Regangan A ... 49

Tabel 3.2 Hasil Perhitungan Momen Kurvatur Model Tegangan- Regangan B ... 51

Tabel 3.3 Hasil Perhitungan Momen-Kurvatur Model Tegangan- Regangan C ... 53

Tabel 3.4 Hubungan Momen-Kurvatur-Bentang Model AN ... 54

Tabel 3.5 Beban-Lendutan Model AN ... 56

Tabel 3.6 Hubungan Momen-Kurvatur-Bentang Model BN... 56

Tabel 3.7 Beban-Lendutan Model BN ... 58

Tabel 3.8 Hubungan Momen-Kurvatur-Bentang Model CN... 59

Tabel 3.9 Beban-Lendutan Model CN ... 60

Tabel 3.10 Beban-Lendutan Model AA ... 61

Tabel 3.11 Beban-Lendutan Model BA ... 61

Tabel 3.12 Beban-Lendutan Model CA ... 62

Tabel 3.13 Output Momen-Kurvatur Response2000... 72

Tabel 3.14 Output Kurvatur-Bentang Response2000... 73

Tabel 3.15 Output Bentang-Lendutan Response2000... 74

Tabel 3.16 Output Beban-Lendutan Response2000... 74

Tabel 3.17 %-Relatif Perbedaan Momen Kondisi Beton Pertama Retak Terhadap Hasil Uji Eksperimental ... 87

Tabel 3.18 %-Relatif Perbedaan Momen Kondisi Baja Pertama Leleh Terhadap Hasil Uji Eksperimental ... 87

Tabel 3.19 %-Beda Momen Saat Regangan Baja 0,01524 mm/mm Terhadap Hasil Uji Eksperimental ... 87

Tabel 3.20 %-Relatif Perbedaan P Eksak, Analitis dan Response2000 dengan Uji Eksperimental ... 88

Tabel 3.21 %-Relatif Perbedaan Lendutan Eksak dan Response2000 Uji Eksperimental ... 89

Tabel 3.22 %-Relatif Perbedaan Lendutan Analitis dan Response2000 dengan Uji Eksperimental ... 89

Tabel 3.23 %-Relatif Perbedaan Modulus Ruptur (fr) Analitis dan Perangkat Lunak dengan Uji Eksperimental ... 90

Tabel L1.1 Mencari Nilai c dengan Metode Numerik Bi-section... 99

Tabel L2.1 Perhitungan Lendutan Model AN ... 114

Tabel L4.1 Penurunan Semen Bergantung pada % Air ... 122

Tabel L4.2 Penurunan Semen dengan Prosentase Air 27 %... 123

Tabel L4.3 Warna Larutan ... 124

Tabel L4.4 Penyerapan Agregat Halus ... 124

Tabel L4.5 Bulking Factor... 125

Tabel L4.6 Kadar Air ... 126

Tabel L4.7 Kadar Lumpur dan Kadar Lempung... 126

Tabel L4.8 Specific Gravity... 127 Tabel L4.9 Analisis Ayak Agregat Halus ... 127

DAFTAR NOTASI

As = Luas tulangan tarik, mm2.

As’ = Luas tulangan tekan, mm2.

b = Lebar penampang, mm.

bw = Lebar web, mm.

c = Jarak serat tertekan ke sumbu netral, mm.

Cc = Gaya tekan pada penampang beton, N.

Cs = Gaya tekan pada penampang beton akibat tulangan tekan, N.

d = Tinggi efektif penampang, jarak serat tekan ke pusat tulangan tarik, mm.

d’ = Jarak dari serat tekan ke pusat tulangan tekan, mm.

Ec = Modulus elastisitas beton, MPa.

Es = Modulus elastisitas baja, MPa.

f’c = Kuat tekan beton pada umur 28 hari, MPa.

f’cr = Kuat tekan rata-rata yang direncanakan, MPa.

fcr = Kuat tarik langsung, MPa.

fcu = Kuat tekan beton pada kondisi ultimit

fr = Modulus keruntuhan, MPa.

fs = Tegangan baja pada kondisi beban kerja, MPa.

f’t = Kuat tarik beton, MPa.

fy = Kuat leleh baja tulangan, MPa.

h = Tinggi penampang, mm.

I = Momen inersia penampang, mm4.

L = Panjang bentang, m.

Mretak = Momen pada saat pertama kali retak, Nmm.

n = Rasio modulus.

P = Beban, kg.

s = Deviasi standar.

Sr = Deviasi standar rencana.

T = Gaya tarik pada penampang beton akibat tulangan tarik, N.

tA/B = Deviasi tangensial B terhadap A pada teorema luas momen kedua.

w = Kerapatan beton, kg/m3.

Wh = Perkiraan jumlah air untuk agregat halus.

Wk = Perkiraan jumlah air untuk agregat kasar.

_

y = Jarak titik berat penampang ke sisi atas penampang, mm.

ybottom = Jarak titik berat penampang ke sisi bawah penampang, mm.

= Lendutan, mm.

c = Regangan beton.

s = Regangan baja.

cu = Regangan beton pada kondisi ultimit. γbeton = Berat jenis beton, kg/m3

φretak = Kurvatur, kelengkungan, rad/mm.

ρ = rasio tulangan tarik.

ρ’ = rasio tulangan tekan.

θB/A = Sudut antara garis singgung A dan B pada teorema luas momen pertama.

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran L1 Perhitungan Momen-Kurvatur... 94 Lampiran L2 Perhitungan Beban-Lendutan Numerik ... 109 Lampiran L3 Preliminary Design Balok... 117 Lampiran L4 Hasil Analisis Semen dan Agregat serta Perhitungan

Mix Design... 121 Lampiran L5 ASTM 04.02 ... 133 Lampiran L6 Hasil Uji Eksperimental ... 137

Universitas Kristen Maranatha 94

LAMPIRAN I

PERHITUNGAN MOMEN-KURVATUR

L1.1 Model Tegangan-Regangan A

Perhitungan Momen Kurvatur sebagai berikut: 1. Pada saat pertama kali retak (first cracking) dari beton

Analisis dilakukan dengan menggunakan teori elastik dan transformasi penampang, dimana baja tulangan ditransformasikan menjadi suatu luasan beton ekivalen [Park, 1975].

Persamaan transformasi penampang, 200000

13, 333 15000

s c

E n

E

  

  

. 1 .

 

_{s s}'

 

100.200

 

13, 333 1 . 100, 571 100, 571

 



A b h  n A A    

= 22480,762 mm2

Menghitung

_

y,

 

. .



( .



1 ).





. (



'.



1 ). '





2 s s

h

b h A n d A n d

y

A

 _{   }

 

 



=





250

















100.250 . (100, 571. 13, 33 1 ).180 . (100, 571. 13, 33 1 ).20 2

A

 _{   }

 

 

= 100 mm

200 100 100

bottom

y   h y   = 200-100 = 100 mm Menghitung momen inersia penampang,

 

2





 



2







 



2



3

1

. . . 1 . '. 1 . '

12 2 s s

h

I _ b h __ b h _y _ _ A n dy  A n yd

  _   _





2





 



2



3

1 200

.100.200 100.200 . 100 100, 571. 13, 333 1 . 180 100

12 2

 

   

_{ }_{ }  _ _  

  _   _



 





2



100, 571. 13, 333 1 . 100 20

Universitas Kristen Maranatha 95

= 82543542,857 mm4

Menghitung modulus rupture (fr),

0, 7.

r c

f  f = 0, 7. 30 = 3,834 MPa

r r

c

f E

  = 3,834

15000 = 0,0002556

Momen dan kelengkungan dapat dihitung sebagai berikut,

Mcrack =

bottom r y

I f .

= 3,834.82543542,857

100 = 3164767,228 Nmm

crack  = bottom c r y E f /

= 3,834 / 15000

100 = 0,000002556 rad/mm

Gambar L1.1 Model Tegangan-Regangan Beton A Pertama Retak

2. Pada saat pertama kali leleh (first yield) dari baja tulangan tarik

Contoh perhitungan Momen-Kurvatur untuk kondisi baja pertama leleh,

ditampilkan untuk nilai f = 250 MPa. _s1

fs1 = fy= 250 MPa

1 s  = s s E f ₁ = 200000 250 =0,00125

Dari diagram regangan diperoleh hubungan:

1 c

c

 _s1

d c    1 c  = c d c

s1. _

 = c c  180 . 00125 , 0 = 180 . 00125 , 0   c c

Universitas Kristen Maranatha 96

fc1 = c1.Ec= .20000

180 . 00125 , 0   c c = 180 . 25   c c 1 c c  ₂ ' s c d    2 s  = c d c c ' . 1   = 180 025 , 0 . 00125 , 0    c c

fs2 = _s2.E_s= .200000

180 025 , 0 . 00125 , 0    c c = 180 5000 . 250    c c

Cc = 1

1

. . .

2 f b cc = c c

c . 100 . 180 . 25 . 2 1   = 180 . 1250 2   c c

Cs = As'.fs2=

180 5000 . 250 . 571 , 100    c c = 1260 . 7 10 . 52 , 3 . 176000 6    c c

T = A_s.f_s1= 100,571.250= 25142,857 N

0  H 0   C T

C_{c s}

0 857 , 25142 1260 . 7 10 . 52 , 3 . 176000 180 .

1250 2 6

       c c c c 653 , 86  

c mm atau c51,581mm

Pakai 51,581c mm

1 c  = c d c

s1. _

 = 0, 00125. 51,581

180 51, 581 = 0,000502 fc1 = _c1.E_c= 0,000502.15000 = 7,531 MPa

2 s  = c d c c ' . 1 

 = 0, 000502.51, 581 20

51, 581



= 0,0003074

fs2 = s2.Es= 0,0003074.200000 = 61,481 MPa

Cc = ₁

1

. . .

2 f b cc = 1

.7, 531.100.51, 581

2 = 19423,386 N

Cs = As'.fs2= 100, 571.61, 481 = 6183,212 N

T = A_s.f_y= 100,571.250= 25142,858 N

0

 MT







. '



0

3 . 1

. _   ₁ 

         

 d c C d d M

Universitas Kristen Maranatha 97

M1 =



.



'





3 . 1

. d c C d d

C_{c } _s 

  

 

   

  

M1 =









1.51, 581

19423, 386. 180 6183, 212. 180 20

3

  _ _{ }

 

 _{ }

 

M1 =4077364,539 Nmm

 =

c c1



= 0, 000502

51, 581 = 0,000009734 rad/m

Gambar L1.2 Model Tegangan-Regangan Beton A Pertama Leleh

3. Kondisi setelah baja pertama leleh sampai kondisi ultimit

Contoh perhitungan Momen-kurvatur untuk kondisi setelah baja leleh,

ditampilkan untuk nilai _c = 0,0025.

Dari diagram tegangan-regangan beton Sozen, setelah mencapai _c =

0,002, maka untuk mencari nilai fc’ harus mengggunakan cara interpolasi antara fc 30-15 MPa (Gambar 3.4).

Universitas Kristen Maranatha 98 Dari Gambar L1.3 dapat dihitung nilai x sebagai berikut,

30 15

0, 0038 0, 002 0, 0038 0, 0025

x     10,833 x

Maka perhitungan fc1’ sebagai berikut, fc1 = 15 + 10,833 = 25,833 MPa

Mencari nilai c dari metode numerik Bi-section dengan Microsoft Excel. Contoh perhitungan:

c = 180 mm

1

c 1.

3 c

 = .180 3 1

= 60 mm

2

c 2.c₁= 2.60 = 120 mm

1 c

C 1. .₁



₁



.

2 c fc fc b

  =1.60. 30 25,833 .100





2  = 12501 N

2 c

C c f b₁. _c1. = 60.25,833.100 = 154998 N

Cc3 = 2

1 . . . 2 c f bc =

1

.120.30.100

2 = 180000 N

1 s  = c c d c  . 1  = 180 180 180 . 0025 ,

0  = 0

2 s  = c d c c ' . 1   = 180 20 180 . 0025 ,

0  = 0,00222

fs1 = s1.Es= 0.200000 = 0

fs2 = fy= 250 MPa (karena tulangan tekan sudah leleh)

Cs = As'.fs2= 100,571.250= 25142,9 N

T = A_s.f_s1= 100,571.0= 0

H

 = C_c1C_c2C_c3C_sT

= 12501 154998 180000 25142, 9 0   

= 372641,9

Berikut adalah hasil perhitungan dengan metode numerik Bi-section selengkapnya ditampilkan dalam Tabel L1.1.

Universitas Kristen Maranatha 99

Tabel L1.1 Mencari Nilai c dengan Metode Numerik Bi-section (satuan: N, mm)

No. c c1 c2 Cc1 Cc2 Cc3 İs1 İs2 fs1 fs2 Cs T ΣH = 0

180 60 120 12501 154998 180000 0 0.0022222 0 250 25142.857 0 372641.86

1 0.0001 3.333E-05 6.667E-05 0.006945 0.08611 0.1 4499.9975 -499.9975 250 250 25142.857 25142.857 -50285.521

90 30 60 6250.5 77499 90000 0.0025 0.0019444 250 250 25142.857 25142.857 173749.5

2 0.0001 3.333E-05 6.667E-05 0.006945 0.08611 0.1 4499.9975 -499.9975 250 250 25142.857 25142.857 -50285.521

45 15 30 3125.25 38749.5 45000 0.0075 0.0013889 250 250 25142.857 25142.857 86874.75

3 0.0001 3.333E-05 6.667E-05 0.006945 0.08611 0.1 4499.9975 -499.9975 250 250 25142.857 25142.857 -50285.521

22.5 7.5 15 1562.625 19374.75 22500 0.0175 0.0002778 250 55.555556 5587.3016 25142.857 23881.819

4 0.0001 3.333E-05 6.667E-05 0.006945 0.08611 0.1 4499.9975 -499.9975 250 250 25142.857 25142.857 -50285.521

11.25 3.75 7.5 781.3125 9687.375 11250 0.0375 -0.0019444 250 250 25142.857 25142.857 -28567.027

5 22.5 7.5 15 1562.625 19374.75 22500 0.0175 0.0002778 250 55.555556 5587.3016 25142.857 23881.819

22.5 7.5 15 1562.625 19374.75 22500 0.0175 0.0002778 250 55.555556 5587.3016 25142.857 23881.819

6 16.875 5.625 11.25 1171.9688 14531.063 16875 0.0241667 -0.000463 250 -92.592593 -9312.1693 25142.857 -1876.9952 19.6875 6.5625 13.125 1367.2969 16952.906 19687.5 0.0203571 -3.968E-05 250 -7.9365079 -798.18594 25142.857 12066.66 7 16.875 5.625 11.25 1171.9688 14531.063 16875 0.0241667 -0.000463 250 -92.592593 -9312.1693 25142.857 -1876.9952 18.28125 6.09375 12.1875 1269.6328 15741.984 18281.25 0.0221154 -0.000235 250 -47.008547 -4727.7167 25142.857 5422.2933 8 16.875 5.625 11.25 1171.9688 14531.063 16875 0.0241667 -0.000463 250 -92.592593 -9312.1693 25142.857 -1876.9952 17.8121 5.9373667 11.874733 1237.0503 15337.999 17812.1 0.0227637 -0.0003071 250 -61.416116 -6176.7065 25142.857 0.3655687 9 16.875 5.625 11.25 1171.9688 14531.063 16875 0.0241667 -0.000463 250 -92.592593 -9312.1693 25142.857 -1876.9952

Universitas Kristen Maranatha 100 Dari hasil Tabel L1.1 dapat diperoleh bahwa pada langkah iterasi ke-9 telah diperoleh hasil nilai c yang konvergen, maka iterasi dihentikan. Setelah diperoleh nilai c, maka perhitungan Momen-Kurvatur dapat dilanjutkan.

Dari hasil perhitungan di atas diperoleh:

c = 17,8121 mm

c1 = 5,9373667 mm

c2 = 11,874733 mm

Cc1 = 1237,0503 N

Cc2 = 15337,999 N

Cc3 = 17812,1 N

1 s

 = 0,0227637

2 s

 = -0,0003071

fs1 = 250 MPa

fs2 = -61,416116 MPa

Cs = -6176,7065 N

T = 25142,857 N

ΣH = 0,3655687

0

 M_T









1 1 2

1 2 3 1 1

2. 1. 1.

. . . . ' 0

3 2 3

c c c s

c c c

C d C d C d c C d d M

  _  _  _  _  _{ } _{   }  _ _  _ _  _ _

     

M1 =



.



'





3 . 1 . 2 . 1 . 3 . 2 . 2 1 3 1 2 1

1 C d d

c c d C c d C c d

C_{c c c } _s 

           _{ }                            

2.60 1.60 1.120

1237, 0503. 180 15337, 999. 180 17812,1. 180 60

3 2 3

         _{ }  _{ } _  _{ } _   _

     

     







6176, 7065. 180 20



  

= 4453422,672 Nmm

 =

c c1



= 0, 0025

Universitas Kristen Maranatha 101

L1.2 Model Tegangan-Regangan B

Perhitungan Momen-Kurvatur sebagai berikut: 1. Pada saat pertama kali retak (first cracking) dari beton

Analisis dilakukan dengan menggunakan teori elastik dan transformasi penampang, dimana baja tulangan ditransformasikan menjadi suatu luasan beton ekivalen [Park, 1975].

Persamaan transformasi penampang, 200000 13, 333 15000 s c E n E   

  

. 1 .

 

s s'

 

100.200

 

13, 333 1 . 100, 571 100, 571

 



A b h  n A A    

= 22480,762 mm2

Menghitung

_

y,

 

. .



( .



1 ).





. (



'.



1 ). '





2 s s

h

b h A n d A n d

y A  _{   }      =





250

















100.250 . (100,571. 13,33 1 ).180 . (100,571. 13, 33 1 ).20 2

A

 _{   }

 

 

= 100 mm

200 100 100

bottom

y   h y   = 200-100 = 100 mm Menghitung momen inersia penampang,

 

2





 



2







 



2



3

1

. . . 1 . '. 1 . '

12 2 s s

h

I_ b h __ b h _y _ _ A n dy  A n yd

  _   _





2





 



2



3

1 200

.100.200 100.200 . 100 100, 571. 13, 333 1 . 180 100

12 2       _{ }_{ }  _ _     _   _



 





2



100, 571. 13, 333 1 . 100 20

  

= 82543542,857 mm4

Menghitung modulus rupture (fr),

0, 7.

r c

f  f = 0, 7. 30 = 3,834 MPa

r r

c

f E

  = 3,834

15000 = 0,0002556

Universitas Kristen Maranatha 102 Mcrack =

bottom r y

I f .

= 3,834.82543542,857

100 = 3164767,228 Nmm

crack  = bottom c r y E f /

= 3,834 / 15000

100 = 0,000002556 rad/mm

2. Pada saat pertama kali leleh (first yield) dari baja tulangan tarik

Contoh perhitungan Momen-Kurvatur untuk kondisi baja pertama leleh,

ditampilkan untuk nilai _c1 = 0,000325.

fc1 =

2

1 1

2.

. c c

c

c c

f  

  _{   }  _{  } _  _{   }    = 2

2.0, 000325 0, 000325

30.

0, 002 0, 002

_{   }  

_{   }  _{   } 

 

= 8,947 MPa

Dari diagram regangan diperoleh hubungan:

1 c

c

 _s1

d c    1 s  = c c d c  . 1

 = 0, 000325.180 c

c



= 0, 0585 0, 000325.c

c



fs1 = _s1.E_s=

0, 0585 0, 000325.

.200000 c

c



= 11700 65.c

c  1 c c  ₂ ' s c d    2 s  = c d c c ' . 1 

 = 0, 000325.c 20

c



= 0, 000325.c 0, 0065 c



fs2 = s2.Es=

0, 000325. 0, 0065

.200000 c

c



= 65.c 1300

c



Cc = 1

2. . .

3

c

c f b

= 2. .8,947.100

3 c

= 596,467.c

Cs = As'.fs2=

65. 1300

100, 571. c

c



= 6537,115.c 130742, 3

c



T = A_s.f_s1= 100, 571.11700 65.c c



= 1176680, 7 6537,115.c

c  0  H 0   C T

Universitas Kristen Maranatha 103

6537,115. 130742, 3 1176680, 7 6537,115.

596,467.c c c 0

c c

 

  

59, 044

c  mm atau c37,106 mm

Pakai c = 37,106 mm

1 s  = c c d c  .

 = 0, 000325.180 37,106

37,106  = 0,00125 2 s  = c d c c ' . 

 = 0, 000325.37,106 20

37,106



= 0,00015

fs1 = s1.Es= 0,00125.200000 = 250 MPa

fs2 = s2.Es= 0,00015.200000 = 29,927 MPa

Cc = 1

2. . .

3

c

c f b

= 2.37,106.10,588.100

3 = 22133,424 N

Cs = A_s'.f_s2= 100,571.29,927 = 3009,793 N

T = A_s.f_y= 100,571.250= 25142,857N

0

 M_T







. '



0

8 . 3

. _   ₁ 

         

 d c C d d M

C_{c s}

M1 =



.



'





8 . 3

. d c C d d

C_{c } _s 

           

M1 =









3.37,106

22133, 424. 180 3009, 793. 180 20

8   _ _{ }        

M1 =4157605,7 Nmm

 =

c c1



= 0, 000325

37,106 = 0,000008748 rad/mm

3. Kondisi setelah baja pertama leleh sampai kondisi ultimit

Contoh perhitungan Momen-Kurvatur untuk kondisi baja setelah leleh,

dalam subbab ini ditampilkan untuk nilai _c1 = 0,0035. Dari diagram

tegangan-regangan beton Model B, setelah mencapai _c = 0,002, maka untuk mencari nilai

fc dapat menggunakan Persamaan 2.5 sebagai berikut:

Universitas Kristen Maranatha 104 Mencari nilai c dari metode numerik Bi-section dengan Microsoft Excel. Dari hasil perhitungan Metode Numerik Bi-section dapat diperoleh bahwa pada

langkah iterasi ke-24 telah diperoleh hasil nilai c yang konvergen. Maka iterasi

dihentikan. Setelah diperoleh nilai c, maka perhitungan Momen-Kurvatur dapat dilanjutkan.

c = 16,214 mm

c1 = .c

3 1

= 1.16, 214

3 = 5,405 mm

c2 = 2.c1 = 2.5,405 = 10,809 mm

Cc1 = 1



1



1

. . .

2 c fc fc b =





1

.5, 405. 30 25, 2 .100

2  = 1216,125 N

Cc2 = c f b1. c1. = 5,405.25,2.100 = 13782,75 N

Cc3 = 2

2 . . . 3 c f bc =

2

.10,809.30.100

3 = 21618 N

1 s  = c c d c  . 1

 = 0, 0035.180 16, 214

16, 214  = 0,0354 2 s  = c d c c ' . 1 

 = 0, 0035.16, 214 20

16, 214



= -0,000817

fs1 = 250 MPa

fs2 = s2.Es= -0,000817.200000 = -163,436 MPa

Cs = As'.fs2= 100, 571. 163, 436 = -16436,945 N

T = A_s.f_s1= 100, 571.250 = 25142,857 N

ΣH = -0,005

0

 M_T







. '



0

8 . 3 . 2 . 1 . 3 . 2

. 2 ₁

1 3

1 2

1

1    

           _{ }                          

 d c C d c C d c c C d d M

C_{c c c s}

M1=



.



'





8 . 3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 2 1 3 1 2 1

1 C d d

c c d C c d C c d

C_{c c c } _s 

           _{ }                            

M1= 1216,125. 180 2.60 13782, 75. 180 1.60 21618. 180 60 3.120

3 2 8

  _  _  _  _  _{ } 

        

     

     





16436, 945. 180 20









Universitas Kristen Maranatha 105

 =

c c1



= 0, 0035

16,214= 0,0002159 rad/mm

L1.3 Model Tegangan-Regangan C

Model tegangan-regangan C menggunakan kurva tegangan regangan beton Hognestead (Gambar 2.3b) dan kurva tegangan baja lengkap hasil uji tarik baja

(Gambar 2.6b).Perhitungan Momen-Kurvatur sebagai berikut:

1. Pada saat pertama kali retak (first cracking) dari beton

Analisis dilakukan dengan menggunakan teori elastik dan transformasi penampang, dimana baja tulangan ditransformasikan menjadi suatu luasan beton ekivalen [Park, 1975].

Persamaan transformasi penampang, 200000 13, 333 15000 s c E n E   

  

. 1 .

 

_{s s}'

 

100.200

 

13, 333 1 . 100, 571 100, 571

 



A b h  n A A    

= 22480,762 mm2

Menghitung

_

y,

 

. .



( .



1 ).





. (



'.



1 ). '





2 s s

h

b h A n d A n d

y A  _{   }      =





250

















100.250 . (100,571. 13,33 1 ).180 . (100,571. 13, 33 1 ).20 2

A

 _{   }

 

 

= 100 mm

200 100 100

bottom

y   h y   = 200-100 = 100 mm Menghitung momen inersia penampang,

 

2





 



2







 



2



3

1

. . . 1 . '. 1 . '

12 2 s s

h

I_ b h __ b h _y _ _ A n dy  A n yd

  _   _





2





 



2



3

1 200

.100.200 100.200 . 100 100, 571. 13, 333 1 . 180 100

12 2       _{ }_{ }  _ _     _   _



 





2



100, 571. 13, 333 1 . 100 20

  

Universitas Kristen Maranatha 106 Menghitung modulus rupture (fr),

0, 7.

r c

f  f = 0, 7. 30 = 3,834 MPa

r r

c

f E

  = 3,834

15000 = 0,0002556

Momen dan kelengkungan dapat dihitung sebagai berikut,

Mcrack =

bottom r y

I f .

= 3,834.82543542,857

100 = 3164767,228 Nmm

crack  = bottom c r y E f /

= 3,834 / 15000

100 = 0,000002556 rad/mm

2. Pada saat pertama kali leleh (first yield) dari baja tulangan tarik

Contoh perhitungan Momen-Kurvatur untuk kondisi baja pertama leleh, ditampilkan untuk nilai fs1 = 255 MPa.

fs1 = fy= 255 MPa

1 s

 = 0,001275

Mencari nilai c dengan Metode Numerik Bi-section pada program Microsoft Excel. Dari hasil perhitungan metode numerik Bi-section dapat diperoleh bahwa

pada langkah iterasi ke-20 telah diperoleh hasil nilai c yang konvergen. Maka

iterasi dihentikan. Setelah diperoleh nilai c, maka perhitungan Momen-Kurvatur dapat dilanjutkan. Hasil dari iterasi ke-20 adalah sebagai berikut:

c = 37,132 mm

c1 =

c d

c

s1. _

 = 0, 001275. 37,132

180 37,132 = 0,000331

fc1 =

2

1 1

2.

. c c

c

c c

f  

  _{   }  _{  } _  _{   }    = 2

2.0, 000331 0, 000331

30.

0, 002 0, 002

_{   }  

_{   }  _{   } 

 

= 9,118 MPa

s2 =

c d c c ' . 1 

 = 0, 000331.37,132 20

37,132



= 0,0001529

fs1 = 255 MPa

fs2 = s2.Es = 0,0001529.200000= 30,578 MPa

Cc = 1

2

. . .

3 c f bc = 2

.37,132.9,118.100

Universitas Kristen Maranatha 107 Cs = A_s'.f_s2= 100, 571.30, 578 = 3075,303 N

T = A_s.f_s1= 100, 571.255 = 25645,715 N

ΣH = 0,09

0

 M_T







. '



0

8 . 3

. _   ₁ 

         

 d c C d d M

C_{c s}

M1 =



.



'





8 . 3

. d c C d d

C_{c } _s 

           

= 22570, 692. 180 3.37,132



3075, 303. 180 20







8

  _ _{ }

 

 _{ }

 

=4240487,506 Nmm

 =

c c1



= 0, 000331

37,132 = 0,000008924 rad/mm

3. Kondisi setelah baja pertama leleh sampai kondisi ultimit

Contoh perhitungan Momen-Kurvatur untuk kondisi baja setelah leleh, ditampilkan untuk nilai _c1 = 0,0035.

Mencari nilai c dengan metode numerik Bi-section pada program Microsoft Excel. Dari hasil perhitungan metode numerik Bi-section dapat

diperoleh bahwa pada langkah iterasi ke-18 telah diperoleh hasil nilai c yang

konvergen. Maka iterasi dihentikan. Setelah diperoleh nilai c, maka perhitungan Momen-Kurvatur dapat dilanjutkan. Hasil dari iterasi ke-18 adalah sebagai berikut:

c = 17,253 mm

c1 = .c 3 1

= 1.17, 253

3 = 5,751 mm

c2 = 2.c1 = 2.5,751 = 11,502 mm

fc1 = f_c. 1







100.



_c1_c







= 30. 1







100. 0, 0035 0, 002











= 25,5 MPa

2 s  = c d c c ' . 1 

 = 0, 0035.17, 253 20

17, 253



Universitas Kristen Maranatha 108 1 s  = c c d c  . 1

 = 0, 0035.180 17, 253

17, 253  = 0,0033 03 , 0 006 ,

0 _s  maka f_s 198,911899._s253094.s2

fs1 =

2 1 1 253094.

. 11899 9

,

198  _s s

= 198, 9 11899.0, 0033 253094.0, 0033  2 = 235,411 MPa

fs2 = s2.Es = -0,0005573.200000= -111,469 MPa

Cc1 = 1



1



1

. . .

2 c fc fc b=





1

.5, 751. 30 25, 5 .100

2  = 1293,975 N

Cc2 = c f b₁. _c1. = 5,751.25,5.100 = 14665,05 N

Cc3 = ₂

2 . . . 3 c f bc =

2

.11, 502.30.100

3 = 23004 N

Cs = A_s'.f_s2= 100, 571. 111, 469 = -11210,628 N

T = A_s.f_s1= 100, 571.235, 411 = 23675,519 N

ΣH = 0,001

0

 M_T







. '



0

8 . 3 . 2 . 1 . 3 . 2

. 2 ₁

1 3

1 2

1

1    

           _{ }                          

 d c C d c C d c c C d d M

C_{c c c s}

M1=



.



'





8 . 3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 2 1 3 1 2 1

1 C d d

c c d C c d C c d

C_{c c c } _s 

           _{ }                            

M1=

2.5, 751 1.5, 751

1239, 975. 180 14665, 05. 180

3 2   _  _  _ _      _{ }  _{ }    









3.11, 502

23004. 180 60 11210, 628. 180 20

8

  _{ } _{  }

 

 _{ }

 

M1 = 5858481,978 Nmm

 =

c c1



= 0, 0035

Universitas Kristen Maranatha 109

LAMPIRAN II

PERHITUNGAN BEBAN-LENDUTAN EKSAK

1. Kurvatur-Bentang

Untuk perhitungan dengan berat sendiri, maka balok selain memikul beban akibat beban terpusat (third point loading) juga memikul berat sendiri yang diaplikasikan sebagai beban terdistribusi merata seperti pada Gambar 2.20. Perhitungan hubungan Momen-Bentang sebagai berikut:

Reaksi perletakan: 0

B

M

 

2.

. . . 0

3 3 2

A

L L L

V LP P q L 

1 . . 2

A

V   P  q L_

 

1 . . 2

B A

V V   P  q L_

 

Diagram benda bebas segmen AB



0 x₁ L/ 3



: 0

x

M

 

1

1 1

. . . 0

2

A x

x

V x q x M 

2

1 1

1

. . .

2

x A

M V x   q x _

 

2

1 1

1 1

. . . .

2 2

x

M _P q L x_ _ q x _

   

Saat x1 = 0

2

1 1

. . .0 .0 0

2 2

x

M _P q L_ _ q _

   

Universitas Kristen Maranatha 110

2 ₂

1 1

. . . .

2 3 2 3 3 9

x

L L PL qL

M _P q L_ _ q _{ } _ 

  _   _

Diagram benda bebas segmen CD



0x₂ L/ 3



: 0

x

M

 

2

2 2 2

3

. . . . 0

3 3 2

A x

L x

L L

V x P x q x M

 _ 

 

 _ _{ }  _   _{ }

   

   





2

2 2 2

. . .

3 2 3

x A

L q L

M V _ x _ P x _ _ x _ _

  _   _





2

2 2 2

1

. . . . .

2 3 2 3

x

L q L

M _P_ q L _{ }_ x _ P x _ _ x _ _

     

  _{ }

Saat x2 = 0

 

2 2

1

. . . 0 .0 . 0

2 3 2 3 3 9

x

L q L PL qL

M _P_ q L _{ }  _ P _ _  _ _ 

     

  _{ }

Saat x2 = L/3

2 ₂

1

. . . . .

2 3 3 3 2 3 3 3 9

x

L L L q L L PL qL

M _P_ q L _{ }  _{ }  P __ _  _ _ 

       

  _{ }

Diagram benda bebas segmen BD



0x₃L/ 3



: 0 x M   3 3 3

. . . 0

2

B x

x

V x q x M

    2 3 3 1 . . . 2 x B

M V x   q x _

  2 3 3 1 1 . . . . 2 2 x

M _P q L x_ _ q x _

   

Saat x3 = 0

2

1 1

. . .0 .0 0

2 2

x

M _P q L_ _ q _

   

Universitas Kristen Maranatha 111

2 ₂

1 1

. . . .

2 3 2 3 3 8

x

L L PL qL

M _P q L_ _ q _{ } _ 

  _   _

Maka hubungan Momen-Bentang adalah sebagai berikut:

Gambar L2.1 Hubungan Momen-Bentang Model AN

Dari hubungan Momen-Kurvatur model tegangan-regangan A diperoleh:

M = 3164767,228 Nmm

= 2.556E-06 rad/mm

Maka hubungan Momen-Bentang dihitung dengan menggunakan diagram benda bebas seperti contoh perhitungan di atas. Nilai momen dan kurvatur di atas adalah nilai pada saat di tengah bentang. Balok memiliki dimensi b = 100 mm dan h = 200 mm, dengan panjang bentang L = 2700 mm. Maka perhitungan berat sendiri q sebagai berikut:

A = b.h = 100.200 = 20000 mm3 = 0,02 m3

q = A.γbeton = 0,02.2400 = 47,088 kg/m = 0,47088 N/mm Diagram benda bebas segmen CD



0x₂ 900



:

0

x

M

 





2

2 2 2

1

. . . . .

2 3 2 3

x

L q L

M _P_ q L _{ }_ x _ P x _ _ x _ _

     

  _{ }

Saat x2 = 450mm





2

2 2 2

1

. . . . .

2 3 2 3

x

L q L

M _P_ q L _{ }_ x _ P x _ _ x _ _

     

Universitas Kristen Maranatha 112

  2

1 2700 0, 47088 2700

3164767,228 .0, 47088.2700 . 450 .450 . 450

2 3 2 3

P P  

      

_ _  _{ }_  _ _ _  _ _

 

3164767,228900.P429089, 4

3039, 642P N

Setelah dihitung P, lalu dicari nilai momen dari diagram benda bebas.

Diagram benda bebas AB



0 x₁ 900



:

2 1 1 1 1 . . . . 2 2 x

M _P q L x_ _ q x _

   

Saat x1 = 0

2

1 1

3039, 642 .0, 47088.2700 .0 .0, 47088.0 0

2 2

x

M _  _ _ _

   

Saat x1 = 450 mm

2

1 1

3039, 642 .0, 47088.2700 .450 .0, 47088.450

2 2

x

M _  _ _ _

   

= 1606221,914 Nmm Saat x1 = 900 mm

2

1 1

3039, 642 .0, 47088.2700 .900 .0, 47088.900

2 2

x

M _  _ _ _

   

= 3117090,628 Nmm

Diagram benda bebas CD



0x₂ 900



:





2

2 2 2

1

. . . . .

2 3 2 3

x

L q L

M _P_ q L _{ }_ x _ P x _ _ x _ _

     

  _{ }

Saat x2 = 0

  2

1 2700 0, 47088 2700

3039, 642 .0, 47088.2700 . 0 3039, 642.0 . 0

2 3 2 3

x

M _ _  _{ }  _ _{ }  _ _

     

  _{ }

= 3416709,046 Nmm Saat x2 = 450 mm

  2

1 2700 0, 47088 2700

3039, 642 .0, 47088.2700 . 450 3039, 642.450 . 450

2 3 2 3

x

M _ _  _{ }  _ _{ }  _ _

     

  _{ }

= 3164767,228 Nmm Saat x2 = 900 mm

Universitas Kristen Maranatha 113

  2

1 2700 0, 47088 2700

3039, 642 .0, 47088.2700 . 900 3039, 642.900 . 900

2 3 2 3

x

M _ _  _{ }  _ _{ }  _ _

     

  _{ }

= 3117090,628 Nmm

Diagram benda bebas BD



0x₃ 900



:

2

3 3

1 1

. . . .

2 2

x

M _P q L x_ _ q x _

   

Saat x3 = 0

2

1 1

3039, 642 .0, 47088.2700 .0 .0, 47088.0 0

2 2

x

M _  _ _ _

   

Saat x3 = 450 mm

2

1 1

3039, 642 .0, 47088.2700 .450 .0, 47088.450

2 2

x

M _  _ _ _

   

= 1606221,914 Nmm

Saat x3 = 900 mm

2

1 1

3039, 642 .0, 47088.2700 .900 .0, 47088.900

2 2

x

M _  _ _ _

   

= 3117090,628 Nmm

Setelah memperoleh nilai momen di tiap bentang, maka besarnya kurvatur dihitung dengan mengeplot nilai momen tiap bentang pada kurva Momen-Kurvatur.

Diagram benda bebas AB



0 x₁ 900



: Saat x1 = 0 diperoleh

0

x

M 

0

  Saat x1 = 450 mm

1606221, 914

x

M  Nmm

Nilai Mx diplot pada kurva Momen-Kurvatur model tegangan-regangan A

Universitas Kristen Maranatha 114

2. Beban-Lendutan

Metode perhitungan lendutan menggunakan metode momen area, yaitu menggunakan luasan kurvaturnya. Luasan kurvaturnya berupa luasan parabola dan persegi. Dalam perhitungan besarnya momen akibat berat sendiri balok diperhitungkan, maka luasan bidang M/EI sebagai suatu fungsi parabola dapat dihitung dengan menggunakan Gambar 2.10.

Gambar L2.2 Kurva Kurvatur-Bentang Model AN

Berat sendiri diaplikasikan berupa beban terdistribusi merata pada balok. Akibat beban merata, maka diagram momennya berbentuk parabola. Hubungan Momen-Bentang digunakan untuk menghitung kurva Kurvatur-Bentang. Oleh karena itu, kurva Kurvatur-Bentangnya juga berbentuk parabola.

Tabel L2.1 Perhitungan Lendutan Model AN

Bentang Momen Kurvatur Titik Berat (mm) Ai (mm2) įi įCE

(mm) (N/mm) (rad/mm) Parabola Persegi Parabola Persegi (mm) (mm)

150 546002.105 0.0000004410 93.75 0 0.00004410 0 0.004134 -

300 1081409.409 0.0000008734 243.75 225 0.00004324 0.00006615 0.025423 - 450 1606221.914 0.0000012973 393.75 375 0.00004239 0.00013101 0.065819 - 600 2120439.619 0.0000017126 543.75 525 0.00004153 0.00019459 0.124743 - 750 2624062.523 0.0000021193 693.75 675 0.00004068 0.00025689 0.201618 - 900 3117090.628 0.0000025175 843.75 825 0.00003982 0.00031790 0.295866 - 1050 3143577.628 0.0000025389 993.75 975 0.00000214 0.00037763 0.370315 0.028523 1200 3159469.828 0.0000025518 1143.75 1125 0.00000128 0.00038084 0.429912 0.086002 1350 3164767.228 0.0000025560 1293.75 1275 0.00000043 0.00038276 0.488578 0.143705

Universitas Kristen Maranatha 115 Contoh perhitungan:

Saat x1 = 150 mm

M1 = 546002,105Nmm

1

 = 0,0000004410rad/mm

Gambar L2.3 Luasan Kurvatur-Bentang Segmen 1

x = 3. ₁ 3.150 56, 25

8 x 8  mm

1

x = x₁ x 150 56, 25 93, 75mm

A1 = 1 1

2 2

. . .150.0, 000000441 0, 0000441

3 x  3  mm

2

1 = A x₁. ₁ 0, 0000441.93, 750, 00413mm

Saat x7 = 1050 mm

M7 = 3143577,628Nmm

7

 = 0,0000025389rad/mm

Gambar L2.4 Luasan Kurvatur Bentang Segmen 7

0 x_{1 150}

0, 000000441



1

x x

1050 900

0

7 0, 0000025389

 

7

x

6 0, 0000025175

 

7

Universitas Kristen Maranatha 116

Luasan kurva segmen 7 (A7) dibagi menjadi luasan persegi (pe) dan parabola (pa)

dengan perhitungan sebagai berikut:

7

x pe = 900 150 975

2

  mm

7

x pa = ₇ 3. ₁ 1050 3.150 993, 75

8 8

x _ x _ _ _

    mm

A7pe =



x₇x₆



.₆ 



1050 900 .0, 0000025175



0, 000337763 mm2 A7pa =



x7x6

 

.  7  6

 

 1050 900 . 0, 0000025389 0, 000002175

 





= 0,000054585 mm2

7 =



A_7pe.x_7pe

 

 A_7pa.x_7pa







0, 000337763.975

 

 0, 000054585.993, 75



= 0,38356 mm

CE7 = 7 . 7 7 . 7

3 3

pe pe pa pa

L L

A _x  _A _x  _

   

2700 2700

0, 000337763. 975 0, 000054585. 993, 75

3 3

   

 _  _ _  _

   

= 0,028523 mm

E

 =  ₁ ₂  _{3 4}   _{5 6} ₇  _{8 9}

= 0,004134+0,025423+0,065819+0,124743+0,201618+0,295866+ 0,370315+0,429912+0,488578

= 2,006407 mm

CE

 = _CE7_CE8_CE9 0, 028523 0, 086002 0,143705  0, 258229mm

C

Universitas Kristen Maranatha 117

LAMPIRAN III

PRELIMINARY DESIGN

BALOK

Balok beton bertulang dengan penampang b = 100 mm dan h = 200 mm

menggunakan tulangan ganda. Tulangan tekan (As’) dan tulangan tarik (As)

menggunakan masing-masing dua buah tulangan diameter 8 mm. Tulangan

sengkang menggunakan diameter 10 mm. Mutu beton f_c= 30 MPa dan mutu

tulangan f_y= 250 MPa. Selimut beton setebal 20 mm. Penampang balok seperti

Gambar L2.1. Penampang menerima momen positif, yaitu tarik pada sisi bawah. Maka kekuatan momen nominal dapat dihitung seperti di bawah ini:

Gambar L3.1 Penampang balok

Gambar L3.2 Penampang Balok Tulangan Ganda dan Distribusi Tegangan-Regangan

Universitas Kristen Maranatha 118

0, 5. 200 6 0,5.8 190

sengkang tulangan

d  h d  d     mm

' _sengkang 0, 5. _tulangan 20 6 0, 5.8 30

d selimutd  d     mm

Perhitungan luas tulangan tekan As’ dan tulangan tarik As adalah sebagai berikut:

2 2

1 1

2. . . 2. . .8 100, 571

4 4

s tul

A   d    mm2

2 2

1 1

' 2. . . 2. . .8 100, 571

4 4

s tul

A   d    mm2

100,571

0, 005293

. 100.190

s

A b d

   

' 100, 571

' 0, 005293

. 100.190

s

A b d

   

' 0, 005293 0, 005293 0

    

1

0,85. ' 600 0,85.30 600

. . 0,85. . 0, 0612

600 250 600 250

c b

y y

f

f f

   

 

min

30 1, 4 1, 4

0, 005477 0, 0056

4. 4.250 250

c

y y

f

f f

      

Maka pakai _min 0, 0056

min 0, 0056 0, 005293

   

maka di cek jika tulangan tekan sudah leleh:

1

0,85. . ' 600 0,85.30.30 600

' 0 . . 0,85. . 0, 02347

. 600 250.190 600 250

c

y y

f d

f d f

     

 

Pakai kompatibilitas regangan:

Universitas Kristen Maranatha 119

Dari segitiga regangan Gambar L3.3 regangan s’ dapat dirumuskan sebagai

berikut:









0, 003. ' 0, 003. 30 '

s

c d c

c c

    









0, 003. 30 600. 30

' . ' 200000.

s s s

c c

f E

c c

  

  

0



H , maka

'

s c s

T C T

. 0,85. . . '. '

s y c s s

A f  f a bA f









600.



30



100, 571.250 0,85.30. 0,85. .100c 100, 571. c

c

  

 _{  }

 

2

2290, 325.c 35199,85.c18102780

c = 21,9 mm atau c = -38,14 mm, gunakan c = 21,9 mm

Karena c = 21,9 mm < d’ = 30 mm, maka gambar kompatibilitas regangan harus diperbaiki, yaitu sebagai berikut:

Gambar L3.4 Distribusi Tegangan dan Regangan Balok Sebenarnya

0,85. 0,85.21, 9 18, 615

a c  mm









0, 003. ' 0, 003. 21, 9 30

' 0, 00111

21, 9

s

c d c

      

' . ' 200000. 0, 00111 222

s s s

f E      MPa < fy = 250 MPa

Kontrol:

. 100, 571.250 25142, 75

s s y

T  A f   N

' '. ' 100, 571. 222 22326, 762

s s s

Universitas Kristen Maranatha 120

0,85. . . 0,85.30.18, 615.100 47468, 25

c c

C  f a b  N

' 25142, 75 22326, 762 47468, 25 1, 262

s s c

H T T C

        N









' 30

' 600 . 600 600 . 600 250 465, 789

190

sb y

d

f f

d

       MPa

' 465, 789 250

sb y

f  MPa f  MPamaka 'f_sb  f_y 250MPa

max

' 250

0, 75. '. 0, 75.0, 0612 0, 005293. 0, 051193 0, 005293

250

sb b

y

f f

        

Mn = . '.



'



2

c s

a

C _d _T dd

 

= 47468, 25. 190 18, 9



22326, 762. 190 30







2

 _ _{ }

 

 

= 4998110,618 Nmm

Pn =

429089, 4 4998110, 618 429089, 4

5076, 69 900

n M

L

 _  _

Universitas Kristen Maranatha 121

LAMPIRAN IV

HASIL ANALISIS SEMEN DAN AGREGAT SERTA

PERHITUNGAN

MIX DESIGN

L4.1 Hasil Analisis Semen dan Agregat L4.1.1 Semen

1. Hasil Perhitungan Pengujian Berat Jenis Semen

Diketahui:

Suhu Awal : 25°C

Semen : 64 gram

Piknometer I

a. Berat semen : 64 gram

b. Volume I zat cair : 0,2 ml c. Volume II zat cair : 18,5 ml

d. Berat isi air : 1 gr/cm3

Berat jenis Semen = a .d

c b =

64 .1

18,5 0, 2 = 3,49 gr/cm

3

Piknometer II

a. Berat semen : 64 gram

b. Volume I zat cair : 1,1 ml c. Volume II zat cair : 19,5 ml

d. Berat isi air : 1 gr/cm3

Berat jenis Semen = a .d

c b =

64 .1

19, 5 1,1 = 3,47 gr/cm

3

Berat jenis rata-rata =

2 47 , 3 49 ,

3 

= 3,48 gr/cm3

Beban diberikan secara bertahap sehingga dapat diperoleh kurva hubungan momen dan kelengkungan untuk setiap tahapan pembebanan. Beban batas/maksimum yang masih dapat dipikul oleh balok dengan tetap berada pada kondisi keseimbangan disebut beban batas (ultimit).

Keruntuhan yang didahului oleh lendutan atau deformasi yang besar seperti yang diperlihatkan pada balok di atas disebut keruntuhan yang bersifat daktail. Daktail adalah sifat material yaitu apabila material tersebut dibebani, maka akan terjadi deformasi yang besar sebelum runtuh.

Gambar 1.2 Kurva Momen-Kurvatur [MacGregor, 2009]

Asumsi dasar pada teori lentur penampang balok adalah sebagai berikut, penampang tegak lurus sumbu lentur yang berupa bidang datar sebelum lentur akan tetap berupa bidang datar setelah lentur, tidak terjadi slip antara beton dan baja tulangan (pada level yang sama, regangan pada beton adalah sama dengan regangan pada baja), tegangan pada beton dan tulangan dapat dihitung dari regangan dengan menggunakan hubungan tegangan-regangan beton dan baja, serta beton diasumsikan runtuh pada saat regangan tekannya mencapai regangan batas tekan.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian dalam Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Mempelajari perilaku keruntuhan elemen struktur balok beton bertulang, diagram hubungan momen-kurvatur, dan diagram hubungan beban-lendutan dengan perangkat lunak Response2000.

2. Mempelajari dan membuat diagram hubungan momen-kurvatur balok beton bertulang dengan metode numerik dan eksak.

3. Mempelajari dan membuat diagram hubungan beban-lendutan balok beton bertulang dengan metode numerik dan analitis.

4. Melakukan uji eksperimental balok beton bertulang untuk mempelajari perilaku keruntuhan balok beton bertulang, mendapatkan diagram hubungan beban-lendutan, dan hubungan beban-regangan.

1.3 Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Struktur balok yang ditinjau adalah balok beton bertulang, bentuk penampang persegi dengan ukuran penampang 100 mm x 200 mm, menggunakan tulangan ganda 2D8, dan tulangan geser D6-100.

2. Perhitungan analisis menggunakan data kuat tekan beton fc sebesar 30 MPa dan tegangan leleh baja fy sebesar 250 MPa.

3. Perhitungan dengan perangkat lunak Response2000 menggunakan data kuat tekan maksimum (rata-rata) fc hasil uji kuat tekan silinder, yaitu sebesar 31,7 MPa pada umur benda uji 28 hari.

4. Data mix design diambil dari laporan struktur yang terdapat pada Lampiran 4. 5. Model pembebanan yang digunakan adalah third point loading bending test. 6. Model diagram tegangan-regangan beton yang digunakan adalah model Sozen

dan Hognestad, model diagram tegangan-regangan baja digunakan model bilinier dan model lengkap [Park, 1975; MacGregor, 2009].

7. Perhitungan Momen-Kurvatur menggunakan metode numerik.

8. Perhitungan Beban-Lendutan menggunakan metode eksak dan metode analitis.

9. Tegangan tarik beton dalam diagram hubungan tegangan-regangan beton diabaikan.

10.Pemodelan lendutan yang ditinjau adalah lendutan jangka pendek.

11.Pembacaan informasi beban-lendutan dilakukan dengan alat Universal Testing Machine, pengujian dilakukan di Laboratorium Struktur Fakultas Teknik Universitas Katolik Parahyangan, Bandung.

12.Pembacaan informasi regangan pada baja tulangan dilakukan dengan menempatkan dua buah strain gauges pada lokasi tulangan bawah di tengah bentang balok, dan dibaca oleh alat Strain Recorder.

1.4 Sistematika Penulisan

Sistematika penelitian adalah sebagai berikut:

BAB I, berisi pendahuluan, tujuan penelitian tugas akhir, ruang lingkup penelitian tugas akhir, sistematika penulisan tugas akhir.

BAB II, berisi tinjauan pustaka mengenai beton, baja, elemen struktur balok beton bertulang, hubungan momen-kurvatur, statika dan mekanika bahan, hubungan beban-lendutan, mix design, metode numerik bi-section, perangkat lunak Response2000, Strain Gauge, dan metodologi penelitian.

BAB III, berisi studi kasus, perhitungan momen-kurvatur, perhitungan beban-lendutan dengan metode eksak, perhitungan beban-beban-lendutan dengan metode analitis, perhitungan dengan perangkat lunak, uji eksperimental, dan pembahasan. BAB IV, berisi kesimpulan dan saran hasil dari penelitian/penulisan Tugas Akhir.

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil penelitian Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Pada kondisi beban ultimit, model tegangan-regangan beton Hognestad dan tegangan-regangan baja lengkap memberikan prediksi paling mendekati terhadap terhadap eksperimental. Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa model tegangan-regangan tersebut lebih mewakili kondisi tegangan-regangan sebenarnya dibandingkan model yang lain.

2. Perangkat lunak Response2000 memberikan prediksi beban, lendutan, dan pola penjalaran retak yang tidak berbeda jauh terhadap eksperimental. Hal ini menunjukan bahwa perangkat lunak dapat digunakan untuk memprediksi perilaku keruntuhan balok beton bertulang. Perilaku yang dimaksud adalah dari mulai beton dibebani, pada saat retak pertama, baja pertama leleh, kondisi ultimit, serta pola penjalaran retak yang terjadi.

3. Metode eksak memberikan prediksi hubungan Beban-Lendutan yang lebih baik dibandingkan metode analitis. Hal ini dapat terjadi dengan adanya metode momen area sesuai luasan kurvatur yang dihitung secara eksak.

4. Prediksi perhitungan secara analitis maupun numerik sangat penting dilakukan terlebih dahulu sebelum dilakukan pengujian eksperimental, hal ini untuk mengetahui prediksi beban ultimit yang akan terjadi.

5. Diagram hubungan Momen-Kurvatur dan hubungan Beban-Lendutan sangat bermanfaat dalam mengetahui perilaku balok pasca-elastik, sehingga diketahui apakah balok daktail atau getas [Park, 1975]. Dalam penelitian Tugas Akhir ini diperoleh kesimpulan bahwa perilaku balok adalah daktail, hal ini terlihat dari hubungan beban-lendutan yang terjadi, yaitu perilaku setelah elastik, balok mengalami deformasi yang besar sebelum runtuh.

6. Dari hasil uji eksperimental pada penelitian ini diperoleh modulus ruptur (fr) sebesar 2,681 MPa. Hal ini memberikan perbedaan %-relatif berkisar antara 43%-47% terhadap prediksi analisis dan Response2000.

7. Dalam penelitian Tugas Akhir, perhitungan menggunakan Response2000 dengan model tegangan-regangan tanpa memperhitungkan kuat tarik memberikan hasil mendekati hasil perhitungan analisis (Model tegangan-regangan C). Apabila kuat tarik beton diperhitungkan, maka hasil Response2000 mendekati hasil eksperimental.

4.2 Saran

Saran yang dapat disampaikan untuk penelitian lebih lanjut adalah sebagai berikut:

1. Diagram momen-kurvatur dapat digunakan untuk penelitian lebih lanjut, yaitu untuk menentukan daktilitas struktur. Hal ini berguna untuk peneltian mengenai bangunan tahan gempa.

2. Dalam tugas akhir ini, penelitian eksperimental dilakukan dengan mengkondisikan beton mengalami kegagalan lentur. Untuk penelitian selanjutnya, dapat dilakukan untuk model kegagalan yang lain.

3. Perencanaan mix design sangat penting, untuk mendapatkan nilai kuat tekan beton sesuai yang diharapkan, sehingga dalam hal ini balok beton bertulang yang akan dibuat untuk uji eksperimental sesuai dengan prediksi berdasarkan perhitungan manual.

DAFTAR PUSTAKA

1. Collins, P., 2000. Response 2000, University of Toronto, Canada.

2. Gere, J.M., 2001, Mechanics of Materials, Brooks/Cole, Thomson Learning. 3. Hibbeler, R.C., 1997. Mechanics of Materials, 3rd Edition, Prentice-Hall, Inc. 4. Lwin, M. M., Lee, Chyuan-Shen, Lee, J. J., 2001. PE Exam Depth Guide,

Structural Engineering, McGraw-Hill.

5. MacGregor, J.G., Wight, J.K., 2009. Reinforced Concrete Mechanics And Design, 5th Edition, Prentice-Hall, Inc.

6. MIT., 2008. Lecture Notes on Introduction to Numerical Analysis for Engineering, Massachusetts Institute of Technology.

7. Nawy, Edward. G., 2009. Reinforced Concrete, A Fundamental Approach, 6st Edition, Prentice-Hall, Inc.

8. Park, R., Paulay, T., 1975. Reinforced Concrete Structures, John Wiley and Sons, Inc., Canada.

9. Peraturan Beton Bertulang Indonesia, 1971. Peraturan Beton Bertulang Indonesia 1971 N.I.-2, Departemen Pekerjaan Umum dan Tenaga Listrik. 10.Press, William H., Flannery, Brian P., Teukolsky, Saul A., Vetterling, William

T., 1986. Numerical Recipies, The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press.

11.Schodek, Daniel L., 1992. Structure, Second Edition, Prentice-Hall, Inc. 12.Standar Nasional Indonesia, 2002. SNI 03-2847-2002 Tata Cara Perhitungan

Beton untuk Bangunan Gedung, Standar Nasional Indonesia.

13.Standar Nasional Indonesia, 1993. SNI 03-2834-1993 Tata Cara Pembuatan Rencana Campuran Beton Normal, Standar Nasional Indonesia.