4. Vektor

PASTA FISIKA – 12 SMA IPA

4. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

2. Sudut antara dua
vektor adalah 

1. Ruas garis
berarah

AB = b – a

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =
|a| =

√

a1
a2
a3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

= a1i + a2j + a3k;

a21 +a22 +a23

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

ab=

a1
a2
a3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿



b1
b2
b3
¿
righ

¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

=

a 1±b 1
a 2±b 2
a3 ±b 3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

; ka = k

a1
a2
a3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

=

ka 1
ka 2
ka 3

¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

C. Dot Product

Apabila diketahui a =

a1
a2
a3
¿
righ
¿
¿

¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

dan b =

b1
b2
b3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

, maka:

1. a · b = |a| |b| cos 
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos  = |a|2 + |b|2 + 2 a · b
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos  = |a|2 + |b|2 – 2 a · b
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b
pada a

a⋅b
|p| = |a|

EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar

2. Vektor proyeksi ortogonal
:
vektor proyeksi b pada a

p=

a⋅b
⋅a
|a|2

SOAL
1. UN 2004
Diketahui a = i + 2j + 3k,
b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j +
3k, maka 2a + b – c = …
A.
2i – 4j + 2k
B.
2i + 4j – 2k
C.
–2i + 4j – 2k
D.
2i + 4j + 2k
E.

–2i + 4j + 2k
Jawab : E
2. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan
koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1),
dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB
sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang
vektor PC adalah …
A.

√ 10
C. √15

B. √ 13

D. 3 √ 2
E. 9 √ 2
Jawab : D
3. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak

lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k,
maka nilai x yang memenuhi
adalah …
A.
–2 atau 6
D. –6 atau 2
B.
–3 atau 4
E. 2 atau 6
C.
–4 atau 3
Jawab : A
4. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj –
8k,
b = –4i + 8j + 10k dan
c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a
tegak lurus b maka vektor a – c =
…
A. –58i – 20j –3k

B. –58i – 23j –3k
C. –62i – 20j –3k
D. –62i – 23j –3k
E. –62i – 23j –3k
Jawab : B

PENYELESAIAN

SOAL
5. UN 2012/A13
Diketahui vektor
p
2
−1
¿
ri gh
¿
¿
¿
4
−
3
6
¿
ri gh
¿
¿
¿
( ¿
)
( ¿
)
¿
⃗
a= ¿ ¿
¿

Jika

2
−1
3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
⃗
c= ¿ ¿
¿

dan

⃗a tegak lurus

hasil dari
adalah…
A. 171
B. 63
C. –63

PENYELESAIAN

(⃗a −2 ⃗b)

⃗b

.

, maka

· (3⃗c )

D. –111
E. –171
Jawab : E

6. UN 2012/B25

a=i+2 j−x k ,
b=3i−2 j+k , dan c=2i+ j+2k

Diketahui vektor
Jika

a

tegak lurus

c

.

,

maka ( a + b )· ( a – c )
adalah ...
A.
–4
B. –2
C.
0
D. 2
E. 4
Jawab : C
7. UN 2012/D49
Diketahui vektor

b=2i+ j−k ,

Jika

a

dan

a=i−x j+3k
c=i+3 j+2k

tegak lurus

b

· (b−c) adalah….
A. – 20
B. – 12
D. – 8
D. – 1
8. UAN 2003

,
.

maka 2

a

C. – 10
Jawab : A
−2
p
2 √2
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

Diberikan vektor a =
dengan p  Real dan vektor b =
1
1

√2

¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

Jika a dan b membentuk
sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah
…
A.
B.

12
4
5
2

√7
√7

SOAL
C.
D.
E.

PENYELESAIAN

5
4
5
14
2
7

√7
√7
√7

Jawab : D
9. UN 2012/A13
Diketahui vektor
dan

⃗b =3 ⃗i +3 ⃗j

⃗a =4 ⃗i +2 ⃗j +2 ⃗k

. Besar sudut

⃗

antara vektor ⃗a dan b
adalah….
A.
30
B. 45
C. 60
B.
90
E. 120
Jawab : A
10.UN 2012/E52
Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1,
–1), C (2, 0, –3). Sudut antara
vektor AB dengan
adalah….
A. 30
B. 45
D. 90
E. 120

AC

C. 60
Jawab :

D
11.UN 2011 PAKET 46
Diketahui segitiga ABC dengan
A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5,
2). Jika u mewakili

⃗
AC

⃗
AB

dan v

mewakili
, maka sudut yang
dibentuk oleh vector u dan v
adalah …
A. 30
B. 45
C. 60
D.
90
D.
120
Jawab : B
12.UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i –
2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar
sudut yang dibentuk vektor a dan
b sama dengan …
A. 30º
B. 45º
C. 60º
D. 90º
D. 120º
Jawab :
C
13.UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH
dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE =
4 cm. Jika
dan wakil

⃗
AC
⃗
DH

wakil vektor u
adalah vektor v,

SOAL
maka sudut antara vektor u dan v
adalah …
A. 0
B. 30
C. 45
D. 60
E. 90
Jawab : e
14.UN 2011 PAKET 12
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –
1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut
ABC = …
A. 
B.
C.

D.
π
2
π
3

π
6

E. 0
Jawab : B

15.UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan
vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang
proyeksi vektor a pada b adalah
5, maka nilai x = …
A.
–7
B.
–6
C.
5
D.
6
E.
7
Jawab : E
16.UN 2012/B25
Diketahui vektor
dan

b=2i+2 j+k

orthogonal vektor
adalah ...
A.
B.
C.
D.

4i−4 j−2k
2i+2 j+4k
4i+4 j+2k
8i+8 j+4 k
18i−4 j+8k

a=9i−2 j+4 k
. Proyeksi

a

pada

b

E.
Jawab : C
17.UN 2011 PAKET 12
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k
dan vector b = 2i – 6j + 4k.
Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
A. i – j + k
B. i – 3j + 2k
C. i – 4j + 4k
D. 2i – j + k

PENYELESAIAN

SOAL

PENYELESAIAN

E. 6i – 8j + 6k
Jawab : B
18.UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan
koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2),
dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor

⃗
AB

A.
B.
C.
D.

pada
1
4
3
14

⃗
AC

adalah …

(3i + j – 2k)

1
−7
3
− 14
3
−7

(3i + j – 2k)
(3i + j – 2k)
(3i + j – 2k)

E.
(3i + j – 2k)
Jawab : C
19.UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan
titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1,
1, 0). Proyeksi vektor

AB

terhadap AC adalah …
A.
2i – 4j + 2k
B.
2i – 4j – 2k
C.
2i + 4j – 2k
D.
i – 2j – k
E.
i + 2j – k
Jawab : B
20.UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan
titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan
C(4, –3, –2). Proyeksi vektor
pada
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab

AB

AC

adalah …
–12i + 12j – 6k
–6i + 4j – 16k
–4i + 4j – 2k
–6i – 4j + 16k
12i – 12j + 6k
:C

21.UAN 2003
Jika w adalah hasil proyeksi

orthogonal dari vektor v =
terhadap vektor

2
−3
4
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

SOAL

u=

A.

B.

C.

−1
2
−1
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

1
−1
3
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿
0
−1
−2
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿
0
1
2
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

PENYELESAIAN

, maka w = …

D.

E.

2
−4
2
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿
−2
4
−2
¿
righ
¿
¿
¿
(¿ ) (¿ ) ¿
¿
¿

Jawab : D

“ Adam Malik pernah bercita-cita menjadi orang nomor satu di
dunia, walaupun akhirnya tidak tercapai tetapi setidaknya beliau
menjabat Wakil Perisiden RI yang ke-3”
“Buatlah cita-citamu setinggi awan, walaupun akhirnya tidak
mencapai awan ,
minimal kakimu sudah menginjak puncak gunung”
“Terkadang cita-cita besar bagaikan sebuah mimpi, tetapi
ternyata
banyak orang hebat di dunia ini diawali dengan mimpi-mimpinya”
“Semoga adik-adik menjadi orang yang sukses
di dunia dan di akhirat ..Amiin“