SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR BIASA TINGKAT- n DENGAN METODE TEKNIK OPERATOR Ibnu Maja, S.Si.,M.M Staf UP.MPK , Politeknik Negeri Sriwijaya Palembang ibnumaja76yahoo.co.id Abstraks

  

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR BIASA TINGKAT- n

DENGAN METODE TEKNIK OPERATOR

Ibnu Maja, S.Si.,M.M

  

Staf UP.MPK , Politeknik Negeri Sriwijaya Palembang

ibnumaja76@yahoo.co.id

Abstraks

Sistem persamaan linear biasa tingkat n dengan dua persamaan yang terdiri dari dua

fungsi tak diketahui dapat diselesaikan dengan langkah-langkah yang diperlukan untuk

menentukan solusi penyelesaian persamaan diferensial biasa yaitu menentukan

persamaan karakteristik dari dua persamaan tersebut, menggantikan persamaan kedalam

teknik operator, menentukan nilai x yaitu dengan mengeliminasikan nilai y dan

_{p p}

sebaliknya, kemudian diselesaikan dengan ketentuan metode teknik operator untuk

   

memperoleh hasil, mensubtitusikan hasil x t , x t dan y     t , y t kedalam persamaan

   

awal untuk menentukan nilai k sehingga diperoleh hasil akhir yaitu x  x  x dan

_{h p} y y y

    _{h p}

  Kata Kunci : persamaan diferensial linier biasa , Teknik Operator,

Abstracs

Systems of linear equations outstanding level of n with two equations that consists

of two functions of the unknown can be resolved with the steps necessary to determine

the solution completion of ordinary differential equations that determine the

characteristic equation of the two equations , replacing equation into operator technique

x y

  

, to determine the value that is by eliminate the value and vice versa , then

_{p p}

resolved with the provisions of operator technique method to get results x t , x  t , and

   

y     t , y  t the results mensubtitusikan into the original equation to determine the value

x  x  x y  y  y of k so that the final result is and _{h p h p} Keywords : linear ordinary differential equations , operator technique

I. LATAR BELAKANG

  Solusi dari persamaan ini adalah y x  

  Persamaan diferensial biasa orde yang memenuhi persamaan pertama dapat disajikan dalam bentuk y  x  f x , y x disemua titik pada

        berikut: interval domain a , b . Selanjutnya

    dy

   f   x , y atau y   f   x , y

   Persamaan Diferensial

  y a y sehingga persamaan itu dapat  

  Persamaan diferensial linear yaitu digambarkan sebagai : persamaan diferensial yang berpangkat

  

  y  f x , y a  x  b dan y a  y     satu dalam peubah tak bebas dan Kemudian bila persamaan ini terdiri turunan-turunannyayaitu persamaan dari lebih dari satu persamaan yang diferensial yang berbentuk: saling terkait maka dikatagorikan _{n n  1}

    a x y  a x y   a x y  g x _{n   n  1      }  sebagai sistem persamaan diferensial. dengan a , a , a ,  , a adalah fungsi- _{1 2 n} Sistem persamaan diferensial orde fungsi dari variabel bebas x, serta pertama disajikan sebagai berikut: a. g x maka persamaan 

  Jika   y  f t , y , y ,........, y

     _{1 1 2 n}

  tersebut homogen

   

  y f  t , y , y ,........, y  _{1 2 1 2 n}

  b. g x  maka persamaan Jika  

  

  tersebut tak homogen

  

  y  f t , y , y ,........, y _{n n}   _{1 2 n}

  c. seluruh koefisien Jika atau dalam bentuk umum dapat

  

  a , a , a , , a adalah konstanta, _{1 2 n} disajikan sebagai : maka persamaan tersebut dikatakan

  

  y  f t , y , y ,........, y _{i i}   _{1 2 n} memiliki koefisien konstan. i = 1, 2, 3, ......, n dan a  t  b (Finizio & Ladas, 1988) dengan nilai awal:

  II. LANDASAN TEORI

       

  y   a . y   a .......... y   a _{1 1 2 2 n n} Persamaan diferensial linear

  Seluruh bentuk PDB atau sistem tingkat n berbentuk: (Spehley, 1974) _{n n 1 n 2} PDB dapat ditransformasikan kedalam   d x d x d x P  P  P   

  1. _{o n n 1 1 n 2 2}   bentuk sistem persamaan diferensial dt dt dt orde satu dan kelebihan sistem ini dx P  P x  Q _{n n}

  1 adalah mudah ditentukan solusinya dt

dengan metode apapunbaik analitik  Q

dimana P , P , P ,  , P _{o 1 2 n} kualitatif ataupun metode numerik. adalah fungsi x atau konstanta.

  Dibawah ini diberikan contoh n n ^{1 n 2}   d x d x d x

  

  2. P  P  P  _{o n n 1 1 n 2 2}   bagaimana sistem PDB sebarang dapat dt dt dt ditransformasikan kedalam sistem PDB dx

   P  P x  _{n  1 n} orde satu. (Anton & Rorres, 2004) dt

  disebut homogen untuk menunjukkan 1.

  Akar-akar rill yang berbeda bahwa semua suku-sukunya berderajat       m m m m m _{1 2 3 n 1 n} sama (pertama) dalam y dan demikian maka penyelesaiannya adalah _{m x m x m x} juga turunan-turunannya. _{1 2 3} y  C e  C e  C e   _{m x 1 n 2 3} Persamaan Linear Homogen dengan

   C e _n

  koefisien-koefisien konstanta Akar-akar yang berulang

  2.

  berbentuk:

      

  m m m  m m _{n n 1 n 2 1 2 3 n n} 1   d x d x d x

  1. P  P  P   maka penyelesaiannya adalah _{o n n 1 1 n 2 2}   dt dt dt _{mx mx 2 m x n  3 1 mx} y C e C xe C x e C x e

        _{1 2 3 n}

  dx  P  P x  Q _{n n}

  1 dt

  3. a  maka bi Akar-akar kompleks dimana P , P , P ,  , P adalah _o  _{1 2 n} penyelesaiannya adalah: konstanta-konstanta.Untuk memudah- _{a  bi x a  bi x ax bix  bix}

     

    

  A e B e e Ae Be _{ax ax}   kan notasi, tulislah: e  C cos bx  C sin bx   P e sin  bx  Q  _{1 2}

  2 _ax dx d x d dx

   

  2

   Pe cos  bx  R 

   Dx ,   D . Dx  D x  

  2 dt dt dt dt

    menjadi Metode Operator _{n n 1 n 2}  

  Integral khusus persamaan Diferensial

  ( P D  P D  P D    _{o 1 2} P D P ) x _{n  1 n   }   F D y Q dengan Koefisien-

  maka suatu operator yang bekerja koefisien konstan dinyatakan dengan terhadap y dan

  1 _{n n 1 n 2} Q . Untuk bentuk-bentuk tertentu

    F   D

  

  P D  P D  P D  _{o 1 2} Q pekerjaan yang dilibatkan dalam

   P D  P  _{n 1 n}

   menghitung simbol ini dapat dipandang

  Persamaan Karakteristik secara sederhana, sebagai berikut : Persamaan: Persamaan difrensial : (Ayress, 1984)

  F    D  D  m  D  m  D  m  _{1 2 3}

  1 

   D  m  D  m   _{n  1 n}

  

  F   D y  maka Q y Q F ( D ) disebut dengan persamaan karakteristik

  1

  1

  1

  1

  dan akar-akarnya m , m , m ,  , m    _{1 2 3 n y Q}

     

  D m D m D m D m _{m x m m x m m x 1 2 2 n}       disebut akar akar karakteristik. (Purcell, _{1 2 1} ^{3 2} y e e e

    

  Persamaan difrensial: PEMBAHASAN

  1 Langkah-langkah solusi sistem 

  F   D y  maka Q y Q F ( D ) persamaan diferensial linear Biasa ax

  a. jika Q berbentuk e dengan metode Kofaktor adalah:

  1 _{ax ax (Goode, 1991)}

  1   

  y e e F ( a ) F ( D ) F ( a ) 1) Mengubah sistem persamaan b. jika Q berbentuk sin  ax  b  diferensial kedalam teknik operator yaitu F   D y  Q cos ax b

     atau 2) persamaan

  Mengeliminasikan

  1

  1

  y  sin  ax  b   sin  ax  b  _{2 2} F ( D ) F (  a ) x y ₂ untuk menentukan nilai dan _{p p}

  F (  a )  yaitu:

  1

  1

  x  Q dan y  Q

  1 1 p p

  y  cos  ax  b   cos  ax  b  F ( D ) F   D _{2 2} F ( D ) F (  a ) ₂ 3) persamaan Menentukan

  F (  a )  karakteristik dalam menentukan m

  

c. jika Q berbentuk x akar-akar riil dan berbeda, akar-

akar yang berulang dan akar-akar

  1 _{m 2 m m}      

  y x a a D a D  a D x  ^{1 2 m }

  F ( D ) kompleks yaitu nilai x dan y . _{h h}

  

  a  4) x t , x t

  Mensubtitusikan hasil     ax dan  kedalam persamaan y     t , y t

  d. jika Q berbentuk e V(x) untuk menentukan nilai k.

  1 _{ax ax}

  1  

  y e V ( x ) e V ( x ) F ( D ) F ( D  a ) 5) Diperoleh solusi umum dari sistem

  

  F ( a ) persamaan diferensial linear biasa x x x y y y yaitu :   dan   _{h p h p}

  e. jika Q berbentuk x. V(x)

  1

  1    y x .

  V ( x ) x V ( x ) Studi Kasus Solusi Sistem Persamaan

  F ( D ) F ( D )

  

  F ( D ) Linear Biasa dengan Metode ₂ V ( x )  F ( D ) 

  Operator Diberikan kasus 1 SPD linear biasa sebagai berikut:

   

     

  9

  14

  3

  1

  3 ³ _{3 2}     

   C t e e C t x ^{t t}

  Mencari nilai   t y dengan menghilangkan nilai   t x sehingga diperoleh:

  2

      

  3

  3

  2 ^{2 3}       t y D D D _p

     

   

  2

  3

    

  1 ₂ ^{3 3 2 1}  

  2

     3 , 1 ,

   

    

  Persamaan karakteristik akar-akar yang berulang sehingga diperoleh:  

  3

  2

  3

  2 ^{2 2 3}        D D D D D D

  3  1        D D D D D D _{t t h} C e e C C x ³ _{3 2 1}

  6

  

    

  Solusi umum untuk nilai   t x dan

    t x adalah:

    t t C e e C C x x t x ^{t t} _{p h}

  9

  14

  3

  1

  1 ₂   

  1

  3

  4

  1

  t D t t t D y _p

  3

  4

  2

  3

    

  4

  1 ²    

   

    

    

  Persamaan karakteristik akar-akar yang berulang sehingga diperoleh: _{t t h} K e e K K y ³ _{3 2 1}

  

    

    

  2

  t D D D t D D D y _p

  3

  3

  2

  1 _{2 2 3} 

    

    

  

   

  D y _p 

  2

  3

  9

  2

  3

  1

  1   

        t D

   

  1

  1

  3

  3     

       

  D t y x D t y x dt dy dt dx

  Mencari nilai   t x dengan menghilangkan nilai

    t y sehingga diperoleh:

   

  4

  2 ^{2 3}     t x D D D _p

  1

  Untuk menentukan nilai   t x dengan sifat metode operator:

    ^{m m} _m ^m D x a D a D a a x D F y

         ² _{2 1}

  ) (

  1

   

  

  2

  3

     

  Solusi umumnya adalah   _{p h} x x t x

  1 ₂ ²     t

  dt dy dt x d

   

  2

  1

  2 3       t y x

  dt dy dt dx

   

  1

  dan   _{p h}  y y t y 

  Mengubah persamaan kedalam teknik operator :

  1

  1 ² ₂ ²        t Dy x D t

  dt dy dt x d

     

  1

  2

  a  

  4

  3

  t D D t D x _p

  1

  4

  9

  2

  3

  1

  1

  

  3

  t t t D x _p

  9

  14

  6

  1

  9

  14

  1

  14

  3

    

  2

  1

  4

  3

  2

  1 _{2 2 3} 

    

  

  9

  t D D D t D D D x _p

   

    

    

     

   

   

     

     Solusi umum untuk nilai   t y dan

    t y

    ^{t t p} e D D e D D x

    ^{t t p} e D e D D x

       

  

    

    

  1 ₂ 

  2

  3

  1

  1

  2

  3

      

  1

  V D a F e x V e D F y ^{ax ax}

  F a x

    

  1 

  ) (

  1 ) (

  ) (

  ) ( ) (

  Untuk menentukan nilai   t x dengan sifat metode operator:

  2 ²    

  3

    ^{t p} D e x D

    t y sehingga diperoleh:

  1

  3

  2 Mencari nilai

  D D D D D D _{t t h} C e e C x ² _{2 1} 

  3

    ^{t p} D e y D

    t y dengan menghilangkan nilai   t x sehingga diperoleh:

  2 Mencari nilai

  2 _{2 1}

      

  C e t e e e C t x

  ,   ^{t t t t}

    ^{t t t} _{p h} C e t e e C x x t x      2 _{2 1}

    t x adalah:

  Solusi umum untuk nilai   t x dan

   

        

  2

  2 ²    

  1

  2

  1

  2 ,

  Persamaan karakteristik akar-akar yang berulang sehingga diperoleh:   

   t t t t t _p e t dt e dt e e e x

       

      

       

  1   

  1

  1

    t x dengan menghilangkan nilai

  2

    t t K e e K K y y t y ^{t t} _{p h}

  17

  2

  4

  3

     t t e C e C C t y ^{t t}

  1 _{2 3 3 2 1}     

  6

  14

  9

  Jadi Solusi Umum dari SPD Linear Biasa yang diberikan yaitu:   t t e C e C C t x ^{t t}

  3C K  

  , _{2 2} C K  , _{3 3}

  3 _{1 1}   C K

  9

  3

  diperoleh:

  , , K K K sehingga

  Subtitusikan   t x dan   t y kedalam persamaan (1) atau (2) untuk menentukan nilai _{3 2 1}

   K t e e K t y ^{t t}

  3 ³ _{3 2}     

  4

  3

    

      

  1 ₂ ^{3 3 2 1}  

  2

  4

  3

  1

  9

      

     

  e y x dy dx

       _t

  2    

  4

  3

  2

  1

  4

  1

  3

      ^{t t} D e y x D e y x dt dy dt dx

   y y t y  Mengubah persamaan kedalam teknik operator :

  Solusi umumnya adalah   _{p h}  x x t x  dan   _{p h}

  e y x dt dy dt dx

  17

  2 2  ^t

  2

   

     

  e y x dt dy dt dx

  4 2  ^t

  3

  1

   

   Diberikan kasus 2 SPD linear biasa sebagai berikut:

   

    

  3 ^{2 3} _{3 2 1 1}       

  2 ²   

  dx dy Untuk menentukan nilai y t dengan

   

    x  y    

  2

  dt dt sifat metode operator:

  Solusi umumnya adalah:

  1 _{ax ax}

  1  

  y e V ( x ) e V ( x ) x t x x

    dan y t  y  y

     

   h p h p

  F ( D ) F ( D a )

  

  F ( a ) Mengubah persamaan kedalam teknik

  1 _{t t}

  1

  y  _{p     operator : 2} 3 e  3 e D  D 

  2  D  1  D  2 

  dx dy

  1  1  _{t t}

  1   2 y  sin t 

  3

  y    e  e _p

   

  dt dt  D 

  1   D  2   D  1    _{t t  t t t}

     D x  D 

  2  y  sin t

  y  e e e dt  e dt  t e _p   dx dy

    x  y  

  Persamaan karakteristik akar-akar yang dt dt

   D 

  1   x  D  1  y 

  berulang sehingga diperoleh: _{t  2 t} Mencari nilai dengan x t

    y  K e  K e _{h 1 2} menghilangkan nilai y t sehingga

    Solusi umum untuk nilai dan y t y t _{t t t}     ₁ 2 diperoleh: y t y y K e K e t e

         _{h p 1 2}

   D  x  t  t _{t 2 t t t}

  

  2 2  cos sin _p 

  y   t  K e  ₁

  2 K e  e  t e ₂ Untuk menentukan nilai x t dengan

    Subtitusikan dan kedalam x t y   t

    sifat metode operator: persamaan (1) atau (2) untuk

  1

  y  sin  ax  b  menentukan nilai K , K sehingga _{1 2} ² F ( D ) diperoleh:

  1 ²  sin  ax  b  F (  a )  ₂ F (  a )

  1

  3 C

  1  ₁ K  , K   C _{1 2 2}

  3

  3

  1

  x   cos t  sin t  _p Jadi Solusi Umum dari SPD Linear

  

  2 D 

  2 1  

  2 D  2 

  Biasa yang diberikan yaitu:

   cos t  sin t

    

  2 D  2   

  2 D  2  _{t t t} 2

  x t  C e  C e  t e   _{1 2}

  1

  x

  1

  1  t 2 t t

  2 D 2 cos t sin t _p          ₂

  4 D 

  4     

  y   t    C  e C e t e _{1 2}

  3

  3  

  1   sin t

  Diberikan kasus 3 SPD linear biasa

  2

  sebagai berikut: Persamaan karakteristik akar-akar yang dx dy berulang sehingga diperoleh:

     2 y  sin t  

  1

  1

  1 ₁  

  1 C K  

  , Jadi Solusi Umum dari SPD Linear Biasa yang diberikan yaitu: (Spehley, 1974)

    C t e t x ^t

  sin

  2

  1 ₁  

    t C t y sin

  2

  1

  3

  1 ₁   

  Mencari nilai   t y dengan menghilangkan nilai   t x sehingga diperoleh:

  

  2

  2

  cos

    t e C t x ^t

  1 ₁     ,

  2

  sin

    t e C x x t x ^t _{p h}

    t x adalah:

  Solusi umum untuk nilai   t x dan

  

  C e x ₁

  2          D D D _{t h}

  2

  2

  3

KESIMPULAN DAN SARAN

  1 sin cos

  sin cos

  

  Subtitusikan   t x dan   t y kedalam persamaan (1) atau (2) untuk menentukan nilai ₁ K sehingga diperoleh: _{1 1}

  2

  2

  2

  2

  2

  sin cos

   t t D D D t t D y _p

          

  Untuk menentukan nilai   t y dengan sifat metode operator:

  2 2   

    D t t y _p

  2

  Langkah-langkah solusi sistem persamaan diferensial linear Biasa dengan metode Kofaktor adalah: 1.

  Mengubah sistem persamaan diferensial kedalam teknik operator yaitu

    Q y D F  2.

  Mengeliminasikan persamaan untuk menentukan nilai _p x dan _p y yaitu

    Q D F

  Q y D F x _{p p}

  1 ,

  ) (

  1   3.

  Menentukan persamaan karakteristik dalam menentukan akar-akar riil dan berbeda, akar- akar yang berulang dan akar-akar kompleks yaitu nilai _h x dan _h y .

  4. Mensubtitusikan hasil     t x t x

   , dan

       t y t y , kedalam persamaan untuk menentukan nilai k.

  1 ₁  

  cos

  2

  2

  2

  1 

   

   

   

  

      

    t D t t

  D y _p

  sin

  2

  1 sin cos

  2

    t e K t y ^t

  4

  4

  1 ₂ 

    

  

  Persamaan karakteristik akar-akar yang berulang sehingga diperoleh: ^t _h K e y ₁

  

  Solusi umum untuk nilai   t y dan

    t y

    t e K y y t y ^t _{p h}

  sin

  2

  1 ₁    

  2

  5. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear biasa x x x y y y

yaitu :   dan  

_{h p h p}

Bagi pembaca yang tertarik dan

untuk memperdalam disarankan

membahas mengenai metode ini, dapat

mengkaji tentang solusi sistem

persamaan diferensial linear biasa

dengan orde yang lebih tinggi dan

dengan metode yang lain.

  DAFTAR PUSTAKA

Ayress Frank, JR, Ph,D, 1984.

  Persamaan Diferensial, Seri Buku Schaum, Terjemahan Dr. Lily Ratna, Jakarta: Erlangga.

Anton, H dan C, Rorres, 2004. Aljabar

  Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan). Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harman. Jakarta: Erlangga.

Finizio, N dan G, Ladas. 1988.

  Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.

  Terjemahan oleh Dra. Widiarti.

Santoso. Jakarta: Eerlangga.

  

Goode, S. W. 1991. An Introduction to

Differential Equations and Linear Algebra. New York: Prentice-Hall International, Inc.

  

Purcell, E, J, D. Varberg, dan S, E,

Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 2 Jakarta:

  (Edisi Kedelapan) Erlangga.

  

Shepley L. Ross. 1974. Differentiaal