Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP 2015 www.olimattohir.blogspot.com
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Naskah Soal dan Pembahasan
OSN Guru 2015
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP
OSN Guru Matematika SMP
(Olimpiade Sains Nasional)
Diketik Ulang Oleh:
Mohammad Tohir
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
1
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
NASKAH SOAL
OSN GURU MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
MARET 2015
√ , maka nilai ab adalah ...
1.
Jika √
2.
Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ...
3.
Nilai dari
4.
Jika 4x + 4–x = 7, maka nilai 8x + 8–x adalah ...
5.
Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Bilangan itu adalah ...
6.
Bilangan asli n terbesar yang memenuhi
adalah ...
7.
Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi
terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas
segitiga adalah … satuan luas.
8.
Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan
asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...
9.
Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.
Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….
√
adalah ...
kurang dari 2015
10. Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan
bilangan asli terkecil.
11. Jika diketahui
untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...
12. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H
yang beranggota dua bilangan adalah …
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
2
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
13. Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling
persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar
persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.
14. Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi
Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …
15. Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1
jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta
mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta
itu adalah ….
16. Jika x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …
17. Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya
menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu
sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).
Jari-jari lingkaran kecil adalah ….
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
3
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
18. Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari
kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri
antara 100 dan 2015 adalah …
19. Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti
pada gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah ….
20. Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari
bilangan-bilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….
21. Selesaikan n2 + m2, jika
, untuk m dan n bilangan asli.
Diketik Ulang oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://m2suidhat.blogspot.com/
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
4
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
SOAL DAN PEMBAHASAN
OSN GURU MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
MARET 2015
1.
Jika √
√
Pembahasan:
=√
√
= (√
√
=
=0
√
=0
√ , maka nilai ab adalah ...
√
√ ) (kedua ruas dikuadatkan)
√
Jadi,
2.
Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ....
Pembahasan:
Mencari pola penyelesaian jumlah semua bilangan genap positif < 2015 dan mencari pola
penyelesaian jumlah kelipatan tiga genap < 2015, yakni sebagai berikut:
1) Bilangan genap positif < 2015, yakni bilangan genap terbesar dari 2015 dibagi 2.
Sehingga banyak bilangan genap positif < 2015 =
= 1007
Dengan demikian nilai a = 2, b = 2 dan n = 1007 , maka Un = 2014
Sn
=
S1007 =
=
= 1.015.056
2) Mencari banyaknya bilangan kelipatan 3 genap positif < 2015, yakni bilangan kelipatan 3
genap terbesar dari 2015 dibagi 6 atau tepatnya banyaknya bilangan kelipatan 6 < 2015.
= 335
Sehingga banyak bilangan kelipatan 6 < 2015 =
Dengan demikian nilai a = 6, b = 6 dan n = 335 , maka Un = 2010
Sn =
S335 =
=
= 337.680
Dengan demikian, jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan
kelipatan 3 = 1.015.056 – 337.680 = 677.376
Jadi, jumlah semua bilangan genap positif yang dimaksud adalah 677.376
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
5
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
3) Tentutkan nilai dari
Pembahasan:
=
=
=
=
Jadi, nilai dari
4) Jika 4x + 4–x = 7, maka tentukan 8x + 8–x !
Pembahasan:
Diketahui 4x + 4–x = 7
Mencari pola penyelesaian untuk 8x + 8–x, yakni sebagai berikut:
(2x + 2–x)2 = (2x)2 + (2–x)2 + 2(2x)(2–x)
= (22)x + (22)–x + 2
= 4x + 4–x + 2
=7+2
=9
x
–x
(2 + 2 ) = 3
Kemudian, mencari pola penyelesaian langkah berikutnya, yakni sebagai berikut:
(2x + 2–x)3 = 8x + 8–x + 3(2x × 2–x)(2x + 2–x)
8x + 8–x
= (2x + 2–x)3 – 3(2x + 2–x)
= (3)3 – 3(3)
= 27 – 9
x
–x
8 +8
= 18
Jadi, 8x + 8–x = 18
5) Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Tentukan bilangan itu!
Pembahasan:
Diketahui Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu.
Misalkan bilangan tersebut adalah a, maka
a+5= a
a– a =5
=5
=5
a = 30
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 30
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
6
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
6) Bilangan asli n terbesar yang memenuhi
kurang dari 2015
adalah ...
Pembahasan:
Diketahui
=
artinya nilai n < 2015, apabila (2015 – 1) × 2 = 4028, yakni
=
(n = 4028)
=
=
< 2015
Jadi, Bilangan asli n terbesar yang memenuhi adalah 4028
7) Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi
terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas
segitiga adalah … satuan luas.
Pembahasan:
Diketahui pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua
kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
2x
x+1
x
Misalkan sisi terpendeknya = x.
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
(2x)2 = x2 + (x + 1)2
4x2
= x2 + x2 + 2x + 1
2x2 – 2x – 1 = 0
Kemudian mencari nilai x dengan menggunakan rumus kuadratik
√
√
diketahui a = 2, b = –2, dan c = –1
√
√
√
nilai x yang memenuhi adalah
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
√
7
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Dengan demikian luas segitiga yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Luas segitiga = (x)(x + 1)
= (x2 + x)
= [
=
=
=
= (
Luas segitiga = (
√
√
√
√
√
√ )
√
√ )
Jadi, Luas segitiga adalah
(
√
]
√
√ ) satuan luas.
8) Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan
asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...
Pembahasan:
Diketahui keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm
Keliling (K)
Panjang (p)
Lebar (l)
No.
Luas (L)
2(p + l) = 26
p
l
1
p + l = 13
12
1
12
2
p + l = 13
11
2
22
3
10
3
30
4
p + l = 13
p + l = 13
9
4
36
5
p + l = 13
8
5
40
6
p + l = 13
7
6
42
Jadi, Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah 6
9) Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.
Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….
Pembahasan:
Misalkan 5 bilangan yang dimaksud adalah a + b + c + d + e = 20
Nilai a yang mungkin adalah 1 dan 2, yakni sebagai berikut.
Jika nilai a = 1 dan b = 2, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 3 dan 4
Untuk nilai c = 3
(1) 1 + 2 + 3 + d + e = 20
d + e = 14 maka nilai d = 4 dan e = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20
maka nilai d = 5 dan e = 9
1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20
maka nilai d = 6 dan e = 8
1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
8
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Untuk nilai c = 4
(2) 1 + 2 + 4 + d + e = 20
d + e = 13 maka nilai d = 5 dan e = 8
maka nilai d = 6 dan e = 7
1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20
1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20
Jika nilai a = 1 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4
(3) 1 + 3 + 4 + d + e = 20
d + e = 12 maka nilai d = 5 dan e = 7
1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20
Jika nilai a = 2 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4
(4) 2 + 3 + 4 + d + e = 20
d + e = 11 maka nilai d = 5 dan e = 6
2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
Dengan demikian nila a + b + c + d + e = 20 seluruhnya adalah
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20
2. 1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20
3. 1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20
4. 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20
5. 1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20
6. 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20
7. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
Jadi, banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah
sebanyak 7
10) Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan
bilangan asli terkecil.
Pembahasan:
Perhatikan tabel berikut
24
24
48
48
72
72
96
96
120
120
144
144
Di kurangi 1
23
47
71
95
119
144
Dibagi 11 sisa
2
3
5
7
9
1
Kelipatan sama
8
12
....
....
Jadi, bilangan asli terkecil yang dimaksud adalah 144
untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...
11) Jika diketahui
Pembahasan:
Diketahui
dan f(1) = 2
Untuk n = 1
=
Untuk n = 2
=
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
9
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Untuk n = 3
=
Untuk n = 4
=
Untuk n = 5
.
.
.
Untuk n = n
.
.
.
.
.
.
=
Sehingga f(2015)
= 1009
Jadi, nilai dari f(2015) = 1009
12) Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H
yang beranggota dua bilangan adalah …
Pembahasan:
Diketahui H = {semua faktor positif dari 2015}
H = {1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015}
Banyaknya anggota bagian dari H sebanyak = 2n(H) = 28 = 256
Sedangkan banyaknya anggota bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan sama halnya dengan
menyusun 2 bilangan berbeda dari 8 bilangan yang ada, yakni 8C2 = 28
Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan adalah 28
13) Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling
persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar
persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
2
P
2
A
2
1
C
1
B
Q
4 satuan
2
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
10
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Perhatika ABC!
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
AC2
32
AB
AB
= AB2 + BC2
= AB2 + 12
=√
= √
Dengan demikian panjang persegi panjang adalah PQ = PA + AB + BQ
= (2) + (2√ ) + (1)
PQ = 3 + 2√
Jadi, panjangnya adalah 3 + 2√ satuan
14) Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi
Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14
15 16 17 18
19 20 21 22 23
24 25 26 27 28
Untuk ukuran 1 × 1 ada sebanyak 28
2 × 2 ada sebanyak 15
3 × 3 ada sebanyak 6
4 × 4 ada sebanyak 1
Dengan demikian total cara seluruhnya = 28 + 15 + 6 + 1 = 50
Jadi, Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah 50
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
11
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
15) Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1
jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta
mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta
itu adalah ….
Pembahasan:
Diketahui dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar,
dinilai – 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong)
Misalkan nilai yang dicapai = N
nilai benar = b
nilai salah = s
nilai tidak menjawab = t
3b – s + t = 23
3b – s = 23
karena nilai t = 0
Kemudian kita coba nilai s dari yang terkecil, yakni sebagai berikut
Jika s = 0,
3b – 0 = 23
(tidak mungkin, karena nilai tidak bulat)
Jika s = 1,
3b – 1 = 23
3b = 24
b =8
Jika s = 4,
3b – 4 = 23
3b = 27
b =9
Jika s = 7,
3b – 7 = 23
3b = 30
b = 10
Jika s = 10,
3b – 10 = 23
3b = 33
b = 11
(tidak mungkin, karena s + b > 20)
Jadi, banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta adalah 10 soal
16) Jika x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …
Pembahasan:
Diketahui x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6
Kemudian, kita mencari pola penyelesaian dari kedua persamaan tersebut untuk menentukan nilai
x + y, yakni sebagai berikut.
x2 + xy + 6x = –3
y2 + xy + 6y = –6
x2 + y2 + 2xy + 6(x + y)
(x + y)2 + 6(x + y)
(x + y)2 + 6(x + y) + 9
[(x + y) + 3]2
(x + y) + 3
x + y = –3
= –9
= –9
=0
=0
=0
[mengingat bentuk (x + y)2 = x + y + 2xy]
Jadi, x + y = –3
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
12
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
17) Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya
menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu
sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).
Jari-jari lingkaran kecil adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
A
10 cm B
C
x
D
Misalkan jari-jari lingkaran kecil = x cm
Perhatikan BCD!
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
BC2 = BD2 + CD2
(10 + x)2 = (x – 10)2 + 102
100 + 20x + x2 = x2 – 20x + 100 + 100
40x – 100 = 0
x = 2,5
Jadi, Jari-jari lingkaran kecil adalah 2,5 cm
18) Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari
kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri
antara 100 dan 2015 adalah …
Pembahasan:
Diketahui bilangan asli simetri antara 100 dan 2015
Perhatikan tabel berikut
Bilangan
Ratusan
100 – 999
Ribuan
1000 – 1991
Ribuan
2000 – 2015
Bentuk
aba
abba
abba
Total
Rincian
a sebanyak 9
b sebanyak 10
a sebanyak 1
b sebanyak 10
a sebanyak 1
b sebanyak 1
Keterangan
sebanyak 9 × 10 = 90
sebanyak 1 × 10 = 10
sebanyak 1 × 1 = 1
sebanyak 101
Jadi, banyaknya bilangan asli simetri antara 100 dan 2015 adalah 101
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
13
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
19) Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti
pada gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah …
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
3
a
F
D
b
C
b
A
E
b
a
3
B
Misalkan panjang BE = a
Panjang CE = b
Sehingga AB = a + b = 7
..... (1)
Perhatikan BCE!
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
CE2 = BC2 + BE2
b2 = 32 + a2
b2 – a2 = 9
(b – a)(b + a) = 9
Sehingga, karena a + b = 7, maka
(b – a)(7) = 9
7b – 7a = 9
..... (2)
Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat
7b – 7a = 9 | × 1
7b – 7a = 9
a+b =7 |×7
7a + 7b = 49
–14a = – 40
a =
Luas BCE = × a × 3
= ×
×3
=
Dengan demikian, luas yang di arsir didapat sebagai berikut.
Luas arsir = Luas persegi panjang – 2 × Luas BCE
=7×3–
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
14
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
= 21 –
=
=
Luas arsir = 12
Jadi, Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah 12 cm2
20) Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari
bilanganbilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….
Pembahasan:
Bentuk dari 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015. Hal ini dapat ditulis dalam
bentuk 2015! – 100!
Untuk mengetahui banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015!, carilah pangkat dari 5 yang
memenuhi pada bilangan 2015!, kemudian carilah pangkat dari 5 yang memenuhi pada bilangan
100! Yakni sebagai berikut:
a) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 2015! adalah
2015 + 2015 + 2015 + 2015 = 403 + 80 + 16 + 3 = 502
2
3
4
5
5
5
5
b) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 100! adalah
100 + 100 = 20 + 4 = 24
2
5
5
Dengan demikian Banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015! – 100! = 502 – 24 = 478
Jadi, banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah sebanyak 478
21) Selesaikan n2 + m2, jika
, untuk m dan n bilangan asli.
Pembahasan:
Dengan demikian
n = 14
m=2
n2 + m2 = 142 + 22 = 196 + 4 = 200
Jadi, n2 + m2 = 200
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
15
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Naskah Soal dan Pembahasan
OSN Guru 2015
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP
OSN Guru Matematika SMP
(Olimpiade Sains Nasional)
Diketik Ulang Oleh:
Mohammad Tohir
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
1
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
NASKAH SOAL
OSN GURU MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
MARET 2015
√ , maka nilai ab adalah ...
1.
Jika √
2.
Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ...
3.
Nilai dari
4.
Jika 4x + 4–x = 7, maka nilai 8x + 8–x adalah ...
5.
Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Bilangan itu adalah ...
6.
Bilangan asli n terbesar yang memenuhi
adalah ...
7.
Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi
terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas
segitiga adalah … satuan luas.
8.
Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan
asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...
9.
Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.
Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….
√
adalah ...
kurang dari 2015
10. Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan
bilangan asli terkecil.
11. Jika diketahui
untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...
12. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H
yang beranggota dua bilangan adalah …
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
2
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
13. Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling
persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar
persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.
14. Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi
Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …
15. Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1
jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta
mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta
itu adalah ….
16. Jika x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …
17. Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya
menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu
sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).
Jari-jari lingkaran kecil adalah ….
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
3
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
18. Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari
kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri
antara 100 dan 2015 adalah …
19. Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti
pada gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah ….
20. Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari
bilangan-bilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….
21. Selesaikan n2 + m2, jika
, untuk m dan n bilangan asli.
Diketik Ulang oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://m2suidhat.blogspot.com/
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
4
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
SOAL DAN PEMBAHASAN
OSN GURU MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
MARET 2015
1.
Jika √
√
Pembahasan:
=√
√
= (√
√
=
=0
√
=0
√ , maka nilai ab adalah ...
√
√ ) (kedua ruas dikuadatkan)
√
Jadi,
2.
Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ....
Pembahasan:
Mencari pola penyelesaian jumlah semua bilangan genap positif < 2015 dan mencari pola
penyelesaian jumlah kelipatan tiga genap < 2015, yakni sebagai berikut:
1) Bilangan genap positif < 2015, yakni bilangan genap terbesar dari 2015 dibagi 2.
Sehingga banyak bilangan genap positif < 2015 =
= 1007
Dengan demikian nilai a = 2, b = 2 dan n = 1007 , maka Un = 2014
Sn
=
S1007 =
=
= 1.015.056
2) Mencari banyaknya bilangan kelipatan 3 genap positif < 2015, yakni bilangan kelipatan 3
genap terbesar dari 2015 dibagi 6 atau tepatnya banyaknya bilangan kelipatan 6 < 2015.
= 335
Sehingga banyak bilangan kelipatan 6 < 2015 =
Dengan demikian nilai a = 6, b = 6 dan n = 335 , maka Un = 2010
Sn =
S335 =
=
= 337.680
Dengan demikian, jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan
kelipatan 3 = 1.015.056 – 337.680 = 677.376
Jadi, jumlah semua bilangan genap positif yang dimaksud adalah 677.376
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
5
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
3) Tentutkan nilai dari
Pembahasan:
=
=
=
=
Jadi, nilai dari
4) Jika 4x + 4–x = 7, maka tentukan 8x + 8–x !
Pembahasan:
Diketahui 4x + 4–x = 7
Mencari pola penyelesaian untuk 8x + 8–x, yakni sebagai berikut:
(2x + 2–x)2 = (2x)2 + (2–x)2 + 2(2x)(2–x)
= (22)x + (22)–x + 2
= 4x + 4–x + 2
=7+2
=9
x
–x
(2 + 2 ) = 3
Kemudian, mencari pola penyelesaian langkah berikutnya, yakni sebagai berikut:
(2x + 2–x)3 = 8x + 8–x + 3(2x × 2–x)(2x + 2–x)
8x + 8–x
= (2x + 2–x)3 – 3(2x + 2–x)
= (3)3 – 3(3)
= 27 – 9
x
–x
8 +8
= 18
Jadi, 8x + 8–x = 18
5) Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Tentukan bilangan itu!
Pembahasan:
Diketahui Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu.
Misalkan bilangan tersebut adalah a, maka
a+5= a
a– a =5
=5
=5
a = 30
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 30
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
6
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
6) Bilangan asli n terbesar yang memenuhi
kurang dari 2015
adalah ...
Pembahasan:
Diketahui
=
artinya nilai n < 2015, apabila (2015 – 1) × 2 = 4028, yakni
=
(n = 4028)
=
=
< 2015
Jadi, Bilangan asli n terbesar yang memenuhi adalah 4028
7) Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi
terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas
segitiga adalah … satuan luas.
Pembahasan:
Diketahui pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua
kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
2x
x+1
x
Misalkan sisi terpendeknya = x.
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
(2x)2 = x2 + (x + 1)2
4x2
= x2 + x2 + 2x + 1
2x2 – 2x – 1 = 0
Kemudian mencari nilai x dengan menggunakan rumus kuadratik
√
√
diketahui a = 2, b = –2, dan c = –1
√
√
√
nilai x yang memenuhi adalah
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
√
7
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Dengan demikian luas segitiga yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Luas segitiga = (x)(x + 1)
= (x2 + x)
= [
=
=
=
= (
Luas segitiga = (
√
√
√
√
√
√ )
√
√ )
Jadi, Luas segitiga adalah
(
√
]
√
√ ) satuan luas.
8) Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan
asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...
Pembahasan:
Diketahui keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm
Keliling (K)
Panjang (p)
Lebar (l)
No.
Luas (L)
2(p + l) = 26
p
l
1
p + l = 13
12
1
12
2
p + l = 13
11
2
22
3
10
3
30
4
p + l = 13
p + l = 13
9
4
36
5
p + l = 13
8
5
40
6
p + l = 13
7
6
42
Jadi, Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah 6
9) Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.
Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….
Pembahasan:
Misalkan 5 bilangan yang dimaksud adalah a + b + c + d + e = 20
Nilai a yang mungkin adalah 1 dan 2, yakni sebagai berikut.
Jika nilai a = 1 dan b = 2, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 3 dan 4
Untuk nilai c = 3
(1) 1 + 2 + 3 + d + e = 20
d + e = 14 maka nilai d = 4 dan e = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20
maka nilai d = 5 dan e = 9
1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20
maka nilai d = 6 dan e = 8
1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
8
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Untuk nilai c = 4
(2) 1 + 2 + 4 + d + e = 20
d + e = 13 maka nilai d = 5 dan e = 8
maka nilai d = 6 dan e = 7
1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20
1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20
Jika nilai a = 1 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4
(3) 1 + 3 + 4 + d + e = 20
d + e = 12 maka nilai d = 5 dan e = 7
1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20
Jika nilai a = 2 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4
(4) 2 + 3 + 4 + d + e = 20
d + e = 11 maka nilai d = 5 dan e = 6
2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
Dengan demikian nila a + b + c + d + e = 20 seluruhnya adalah
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20
2. 1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20
3. 1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20
4. 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20
5. 1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20
6. 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20
7. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
Jadi, banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah
sebanyak 7
10) Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan
bilangan asli terkecil.
Pembahasan:
Perhatikan tabel berikut
24
24
48
48
72
72
96
96
120
120
144
144
Di kurangi 1
23
47
71
95
119
144
Dibagi 11 sisa
2
3
5
7
9
1
Kelipatan sama
8
12
....
....
Jadi, bilangan asli terkecil yang dimaksud adalah 144
untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...
11) Jika diketahui
Pembahasan:
Diketahui
dan f(1) = 2
Untuk n = 1
=
Untuk n = 2
=
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
9
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Untuk n = 3
=
Untuk n = 4
=
Untuk n = 5
.
.
.
Untuk n = n
.
.
.
.
.
.
=
Sehingga f(2015)
= 1009
Jadi, nilai dari f(2015) = 1009
12) Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H
yang beranggota dua bilangan adalah …
Pembahasan:
Diketahui H = {semua faktor positif dari 2015}
H = {1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015}
Banyaknya anggota bagian dari H sebanyak = 2n(H) = 28 = 256
Sedangkan banyaknya anggota bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan sama halnya dengan
menyusun 2 bilangan berbeda dari 8 bilangan yang ada, yakni 8C2 = 28
Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan adalah 28
13) Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling
persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar
persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
2
P
2
A
2
1
C
1
B
Q
4 satuan
2
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
10
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Perhatika ABC!
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
AC2
32
AB
AB
= AB2 + BC2
= AB2 + 12
=√
= √
Dengan demikian panjang persegi panjang adalah PQ = PA + AB + BQ
= (2) + (2√ ) + (1)
PQ = 3 + 2√
Jadi, panjangnya adalah 3 + 2√ satuan
14) Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi
Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14
15 16 17 18
19 20 21 22 23
24 25 26 27 28
Untuk ukuran 1 × 1 ada sebanyak 28
2 × 2 ada sebanyak 15
3 × 3 ada sebanyak 6
4 × 4 ada sebanyak 1
Dengan demikian total cara seluruhnya = 28 + 15 + 6 + 1 = 50
Jadi, Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah 50
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
11
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
15) Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1
jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta
mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta
itu adalah ….
Pembahasan:
Diketahui dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar,
dinilai – 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong)
Misalkan nilai yang dicapai = N
nilai benar = b
nilai salah = s
nilai tidak menjawab = t
3b – s + t = 23
3b – s = 23
karena nilai t = 0
Kemudian kita coba nilai s dari yang terkecil, yakni sebagai berikut
Jika s = 0,
3b – 0 = 23
(tidak mungkin, karena nilai tidak bulat)
Jika s = 1,
3b – 1 = 23
3b = 24
b =8
Jika s = 4,
3b – 4 = 23
3b = 27
b =9
Jika s = 7,
3b – 7 = 23
3b = 30
b = 10
Jika s = 10,
3b – 10 = 23
3b = 33
b = 11
(tidak mungkin, karena s + b > 20)
Jadi, banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta adalah 10 soal
16) Jika x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …
Pembahasan:
Diketahui x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6
Kemudian, kita mencari pola penyelesaian dari kedua persamaan tersebut untuk menentukan nilai
x + y, yakni sebagai berikut.
x2 + xy + 6x = –3
y2 + xy + 6y = –6
x2 + y2 + 2xy + 6(x + y)
(x + y)2 + 6(x + y)
(x + y)2 + 6(x + y) + 9
[(x + y) + 3]2
(x + y) + 3
x + y = –3
= –9
= –9
=0
=0
=0
[mengingat bentuk (x + y)2 = x + y + 2xy]
Jadi, x + y = –3
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
12
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
17) Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya
menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu
sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).
Jari-jari lingkaran kecil adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
A
10 cm B
C
x
D
Misalkan jari-jari lingkaran kecil = x cm
Perhatikan BCD!
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
BC2 = BD2 + CD2
(10 + x)2 = (x – 10)2 + 102
100 + 20x + x2 = x2 – 20x + 100 + 100
40x – 100 = 0
x = 2,5
Jadi, Jari-jari lingkaran kecil adalah 2,5 cm
18) Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari
kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri
antara 100 dan 2015 adalah …
Pembahasan:
Diketahui bilangan asli simetri antara 100 dan 2015
Perhatikan tabel berikut
Bilangan
Ratusan
100 – 999
Ribuan
1000 – 1991
Ribuan
2000 – 2015
Bentuk
aba
abba
abba
Total
Rincian
a sebanyak 9
b sebanyak 10
a sebanyak 1
b sebanyak 10
a sebanyak 1
b sebanyak 1
Keterangan
sebanyak 9 × 10 = 90
sebanyak 1 × 10 = 10
sebanyak 1 × 1 = 1
sebanyak 101
Jadi, banyaknya bilangan asli simetri antara 100 dan 2015 adalah 101
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
13
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
19) Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti
pada gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah …
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
3
a
F
D
b
C
b
A
E
b
a
3
B
Misalkan panjang BE = a
Panjang CE = b
Sehingga AB = a + b = 7
..... (1)
Perhatikan BCE!
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
CE2 = BC2 + BE2
b2 = 32 + a2
b2 – a2 = 9
(b – a)(b + a) = 9
Sehingga, karena a + b = 7, maka
(b – a)(7) = 9
7b – 7a = 9
..... (2)
Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat
7b – 7a = 9 | × 1
7b – 7a = 9
a+b =7 |×7
7a + 7b = 49
–14a = – 40
a =
Luas BCE = × a × 3
= ×
×3
=
Dengan demikian, luas yang di arsir didapat sebagai berikut.
Luas arsir = Luas persegi panjang – 2 × Luas BCE
=7×3–
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
14
Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
= 21 –
=
=
Luas arsir = 12
Jadi, Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah 12 cm2
20) Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari
bilanganbilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….
Pembahasan:
Bentuk dari 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015. Hal ini dapat ditulis dalam
bentuk 2015! – 100!
Untuk mengetahui banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015!, carilah pangkat dari 5 yang
memenuhi pada bilangan 2015!, kemudian carilah pangkat dari 5 yang memenuhi pada bilangan
100! Yakni sebagai berikut:
a) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 2015! adalah
2015 + 2015 + 2015 + 2015 = 403 + 80 + 16 + 3 = 502
2
3
4
5
5
5
5
b) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 100! adalah
100 + 100 = 20 + 4 = 24
2
5
5
Dengan demikian Banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015! – 100! = 502 – 24 = 478
Jadi, banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah sebanyak 478
21) Selesaikan n2 + m2, jika
, untuk m dan n bilangan asli.
Pembahasan:
Dengan demikian
n = 14
m=2
n2 + m2 = 142 + 22 = 196 + 4 = 200
Jadi, n2 + m2 = 200
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/
15