Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2015 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2015
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
7 Maret 2015

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT
1.

Misalkan x adalah suatu bilangan bulat dan x2 + 5x + 6 adalah suatu bilangan prima, maka nilai x
adalah ....
Pembahasan: –1 atau –4
Misalkan suatu bilangan prima = P
x2 + 5x + 6 = P

 x2 + 5x + 6 – P = 0
 x2 + 5x + (6 – P) = 0
Kemudian mencari dua bilangan yang menjadi faktor dari (6 – P) dan apabila dijumlahkan sama
dengan 5, misalkan dua bilangan tersebut adalah a dan b, maka didapat sebagai berikut.
a × b = 6 – P, dan a + b = 5
Sehingga a × b = 6 – P
a(5 – a) = 6 – P
(b = 5 – a)
Kemungkinan I a = 1 dan 5 – a = 6 – P
Sehingga P – a = 1
P–1=1
(a = 1)
P =2
Dengan demikian,
x2 + 5x + (6 – 2) = 0
x2 + 5x + 4 = 0
(x + 1)(x + 4) = 0
x = –1 atau x = –4
Kemungkinan II a = 6 – P dan 5 – a = 1
P + a = 6 dan a = 4

Sehingga P + a = 6
P+4=6
(a = 4)
P =2

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Dengan demikian,
x2 + 5x + (6 – 2) = 0
x2 + 5x + 4 = 0
(x + 1)(x + 4) = 0
x = –1 atau x = –4
Jadi, baik kemungkinan I maupun kemungkinan II nilai x adalah –1 atau –4
2.

Parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–2, 6) dan mempunyai sumbu simetri x = –1. Jika a, b, dan
c merupakan bilangan genap positif berurutan, maka nilai a + b + c adalah ....

Pembahasan: 12
Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–2, 6) dan mempunyai sumbu simetri x = –1
b
sumbu simetri dari parabola y = ax2 + bx + c adalah x = 
2a
b
–1 = 
(x = –1)
2a
2a = b
Sehingga karena b = 2a, titik yang dilalui parabola tersebut adalah (–2, 6), maka
y = ax2 + bx + c
 6 = a(–2)2 + (2a)( –2) + c
 6 = 4a – 4a + c
c=6
Karena a, b, dan c merupakan bilangan genap positif berurutan, maka b = 4 dan a = 2
Dengan demikian a + b + c = 2 + 4 + 6 = 12

Jadi, nilai a + b + c adalah 12
3.

Perhatikan gambar berikut.
A

P
S
Q
B
R D
Titik P, Q, dan R masing-masing adalah titik singgung lingkaran pada sisi-sisi ACD. Diketahui
C

SDR = 60, panjang SR = panjang SQ = 1 cm, dan panjang RD =
maka luas ABC adalah .... cm2

3
3

cm. Jika ABC sama kaki,

Pembahasan: (12 + 7 3 ) cm2
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

A
30

P
S
C

1 cm
1 cm

1 cm

30

R

Q

30


60 60

3
3

D

B

Diketahui SDR = 60, sehingga PCD = 30
ABC sama kaki, sehingga ABC = 30 dan ADB = 60
3

32 3

2

panjang RD = 3 cm, sehingga panjang SD = 3 3 dan PD =
3

Perhatikan PCD. Dengan menggunakan konsep perbandingan sudut 30 dan 60 pada segitiga
siku-siku, maka panjang PC = 2 + 3 dan panjang DC =

64 3
3

Sehingga karena ADC adalah segitiga sama kaki (Perhatikan gambar ADC di atas dan besar
sudut kaki-kaki), maka panjang AD =

64 3
3

dan panjang AC = 4 + 2 3

Perhatikan ABD. Dengan menggunakan konsep perbandingan sudut 30 dan 60 pada segitiga
siku-siku, maka panjang AB = 4 + 2 3
Kemudian mencari luas ABC dengan memperhatikan ACD dan ABD
Luas ABC = Luas ACD + Luas ABD
1
1
= × AC × PD + × AD × AB
2
2
1
= (AC × PD + AD × AB)
2

3 2 3   6 4 3 

1

 4  2 3 
=  4  2 3  



2 

 3   3 
1
= 12  8 3  6 3  12  24  12 3  16 3  24
6
1
= 72  42 3
6
Luas ABC = 12 + 7 3
















Jadi, luas ABC adalah (12 + 7 3 ) cm2

4.

Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan gula. Rasio kandungan gula dan air
pada botol pertama adalah 2 : 11 dan pada botol kedua adalah 3 : 5. Jika isi kedua botol tersebut
dicampurkan, maka rasio kendungan gula dan air hasil campurannya adalah ....

Pembahasan: 55 : 153
Misalkan kandungan gula pada botol pertama = g1
kandungan air pada botol pertama = a1
http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

kandungan gula pada botol kedua = g2
kandungan air pada botol kedua = a2
kandungan gula hasil campuran = g
kandungan air hasil campuran = a
2
11
sehingga g1 : a1 = 2 : 11
 g1 =
dan a1 =
13
13
3
5
g2 : a2 = 3 : 5
 g2 = dan a2 =
5
8
Dengan demikian hasil campurannya
2 3
55
g = g1 + g2 =
+ =
55 153
13 5 104
g:a=
:
= 55 : 153
104 104
11 5 153
+ =
a = a1 + a2 =
13 8 104
Jadi, rasio kendungan gula dan air hasil campurannya adalah 55 : 153

5.

Misalkan f(x) = 209 – x2. Jika terdapat dua bilangan bulat positif a dan b dengan a < b sehingga
b
= ....
f(ab) = f(a + 2b) – f(a – 2b), maka nilai
a

Pembahasan: 19
Diketahui f(ab) = f(a + 2b) – f(a – 2b) dengan a dan b bilangan bulat positif dan a < b
f(ab) = f(a + 2b) – f(a – 2b)
 f(ab) = 209 – (a + 2b)2 – [2019 – f(a – 2b)2]
 f(ab) = 209 – a2 – 4b2 – 4ab – [2019 – a2 – 4b2 + 4ab]
 f(ab) = –8ab
Kemudian f(ab) = –8ab disubstitusikan kef(x) = 209 – x2
f(ab) = 209 – (ab)2
–8ab = 209 – (ab)2
(ab)2 –8ab – 209 = 0
(ab – 19)(ab + 11) = 0
ab = 19 dan ab = –11
Karena ab bilangan bulat positif dan a < b, maka ab = 19.
b
Sehingga a = 1 dan b = 19. Dengan demikian
= 19
a
b
Jadi, nilai = 19
a
6.

Jika jumlah 4 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 70 dan jumlah 12 suku berikutnya
adalah 690, maka suku ke-2015 barisan tersebut adalah ....

Pembahasan: 10080
Diketahui Jika jumlah 4 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 70 dan jumlah 12 suku
berikutnya adalah 690, maka dapat di uraikan seperti permisalan berikut:
1. Deret ke-4 suku pertama: a, a + b, a + 2b, a + 3b,
Sehingga jumlahnya a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 70
4a + 6b = 70
2a + 3b = 35
.... (1)
http://olimattohir.blogspot.co.id/

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Deret ke-12 suku berikutnya: a + 4b, a + 5b, a + 6b, .... , a + 14b, a + 15b
Sehingga jumlahnya (a + 4b) + (a + 5b) + (a + 6b) + .... (a + 14b) + (a + 15b) = 690
12a + 114b = 690
2a + 19b = 115 .... (2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), didapat
2a + 3b = 35
2a + 19b = 115
– 16b = –80
b = 5, sehinga a = 10
Dengan demikian U2015 = a + (n – 1)b
= 10 + (2015 – 1)5
= 10 + (2014)5
= 10 + 10070
U2015 = 10080
2.

Jadi, suku ke-2015 barisan tersebut adalah 10080

7.

Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang-bidang sisi berupa: dua trapesium yang
kongruen ABFE dan DCGH. Jika AB sejajar EF, panjang AE = panjang BF, panjang AB = 2 kali
panjang EF, panjang AP = panjang PB = panjang DQ = panjang QC, AD  AB dan EH  EF,
maka perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah ....
H
E

G
F

Q

D
A

C
B

P

Pembahasan: 1 : 2
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
a

H
a

E

A

b

F

t
b

G

t
Q

D

C
b

a

P

a

B

Misalkan AP = PB = EF = a dan BC = FG = b
Perhatikan prisma APE.DQH.
http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Volume prisma APE.DQH = Luas alas × tinggi
1
= ( a × t) × b
2
1
= abt
2
Perhatikan prisma PBFE.QCGH.
Volume prisma PBFE.QCGH = Luas alas × tinggi
= (a × b) × t
= abt
1
abt 1
Volume APE .DQH
Dengan demikian
= 2
=
Volume PBFE .QCGH
abt
2
Jadi, perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah 1 : 2

8.

Mulai tahun ini materi OSN SMP bidang Fisika dan Biologi digabung menjadi satu, yaitu IPA,
sehingga wakil dari setiap sekolah tahun ini maksimum 3 orang. Diketahui bahwa di Sekolah
Teladan terdapat 6 calon siswa yang siap dikirim untuk mengikuti lomba OSN SMP dengan
kemampuan sebagai beriku.
Siswa A : Siap mewakili bidang lomba Matematika, IPA, atau IPS
Siswa B dan C : Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPA
Siswa D : Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPS
Siswa E : Siap mewakili bidang lomba IPA atau IPS
Siswa F : Siap mewakili bidang lomba IPS
Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan yakni tidak
mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah (artinya jika A terpilih maka B
tidak terpilih, begitu pula sebaliknya). Jika Sekolah Teladan memutuskan untuk mengirimkan 3
siswa untuk mengikuti semua bidang lomba, maka cara yang mungkin untuk memilih wakil
sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada sebanyak ....

Pembahasan: 28 cara
Misalkan Siswa A = A
Siswa B = B
Siswa C = C
Siswa D = D
Siswa E = E
Siswa F = F
Diketahui Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan
yakni tidak mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah, dengan demikian
perjatikan tabel berikut:
No.
1
2
3

Matematika
A, B, C, D
A
A
A

http://olimattohir.blogspot.co.id/

Bidang Lomba
IPA
A, B, C, E
C
C
C

IPS
A, D, E, F
D
E
F

Keterangan
ada 3 cara
ada 3 cara
ada 2 cara
6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

No.
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Matematika
A, B, C, D
A
A
B
B
B
B
B
C
C
D
D
D
D

Bidang Lomba
IPA
A, B, C, E
E
E
C
C
C
E
E
E
E
A
B
C
E
Total

IPS
A, D, E, F
D
F
D
E
F
D
F
D
F
F
F
F
F

Keterangan
ada 3 cara
ada 1 cara
ada 2 cara
ada 2 cara
ada 2 cara
ada 2 cara
ada 1 cara
ada 2 cara
ada 1 cara
ada 1 cara
ada 1 cara
ada 1 cara
ada 1 cara
ada 28 cara

Jadi, cara yang mungkin untuk memilih wakil sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada
sebanyak 28 cara
9.

Sebuah ABC dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 3
sehingga hasil pencerminannya adalah A’B’C’. Jika koordinat titik-titik A’(8,0), B’(8,–4), dan
C’(4,0), maka koordinat titik-titik A, B, dan C berturut-turut adalah ....
Pembahasan: A(–8,6), B(–8,10), dan C(–4,6)
Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Diketahui koordinat titik-titik A’(8,0), B’(8,–4), dan C’(4,0)
Dimisalkan koordinat titik-titik sebelum dicerminkan pada garis y = 3, yakni titik-titik A2(8,6),
B2(8,10), dan C2(4,6)
Sehingga koordinat titik-titik sebelum dicerminkan pada garis sumbu y adalah titik-titik A(–8,6),
B(–8,10), dan C(–4,6)
Jadi, koordinat titik-titik A, B, dan C berturut-turut adalah (–8,6), (–8,10), dan (–4,6)
http://olimattohir.blogspot.co.id/

7

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

10. Tini ingin membuat gelang dari bahan manik-manik berwarna-warni yang terdiri dari masingmasing 3 butir manik-manik berwarna merah, kuning, hijau, biru, dn putih. Ia ingin menyusun
manik-manik tersebut sedemikian rupa sehingga di antara 2 manik-manik berwarna putih selalu
terdapat 4 manik-manik berwarna selain putih. Banyak susunan gelang yang mungkin untuk
dibuat adalah ....

Pembahasan: 61608 cara
Perhatikan ilustrasi gambar gelang berikut ini.

III

I

II

Misalkan Putih = P = 3
Merah = M = 3
Kuning = K = 3
Hijau = H = 3
Biru = B = 3
Dikatahui di antara 2 manik-manik berwarna putih selalu terdapat 4 manik-manik berwarna selain
putih. Sehingga yang dicari aadalah susunan warna manik-manik yang berwarna selalin putih,
yaitu sebanyak M + K + H + B = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Kemudian kita perhatikan, susunan warna manik-manik pada lokasi I, II, dan III memiliki unsur
yang sama, sehingga susunan warna manik-manik tersebut membentuk permutasi berulang, karena
ada 12 unsur dengan 3 unsur yang muncul.
Perhatikan susunan warna manik-manik pada lokasi I, II, dan III. Apabila susunan warna manikmanik pada lokasi I di pindah ke lokasi II, dan susunan warna manik-manik pada lokasi II di
pindah ke lokasi III serta susunan warna manik-manik pada lokasi III di pidah ke lokasi I, maka
perputaran warna tersebut dianggap sama dan warnanya dibolak-balikpun juga sama,
sehingga permutasi siklis tersebut harus dibagi 6 (diagi 3 dan dibagi 2). Akan tetapi masih ada
satu susunan lagi yang harus ditambahkan yaitu susunan warna berbeda pada ke-3 lokasi tersebut,
12!
4!
yakni
 = 61600 + 8 = 61608
3!3!3!3!6 3
Jadi, banyak susunan gelang yang mungkin untuk dibuat adalah 61608 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

8