Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015 Bagian A www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

PEMBAHASAN BAGIAN A
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 2015
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
18 April 2015
BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT
1.

Banyak faktor persekutuan dari 145152 dan 544320 yang merupakan bilangan genap positif
adalah ....

Pembahasan:
Untuk mengetahui banyak faktor persekutuan dari 145152 dan 544320 yang merupakan bilangan
genap positif, perlu kita ketahui terlebihdulu tentang FPB dari keduanya, yakni
Dengan Algoritma Euclid:
FPB(544320 , 145152)  544320 = 3 × 145152 + 108864
145152 = 1 × 108864 + 36288

108864 = 3 × 36288 + 0
Sehingga, FPB(544320 , 145152) = 36288 = 26 × 34 × 7
No.

Rincian

1

26

2
3

34
7

4

5
6

Keterangan
artinya ada 6 bilangan genap, yaitu 21, 22, 23, 24, 25, dan 26

artinya ada 4 bilangan ganjil, yaitu 31, 32, 33, dan 34
artinya ada 1 bilangan ganjil, yaitu 71
Berdasarkan sifat-sifat dalam perkalian dua bilangan adalah :
1. Bilangan Ganjil x Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil
2. Bilangan Ganjil x Bilangan Genap = Bilangan Genap
3. Bilangan Genap x Bilangan Ganjil = Bilangan Genap
4. Bilangan Genap x Bilangan Genap = Bilangan Genap
31, 32, 33, 34, dan 7  ada 9 pasang bilangan ganjil, yaitu
34 dan 7
31, 32, 33, 34, 7, 31×7, 32×7, 33×7, dan 34×7
Ada 6 bilangan genap (dari poin nomor 1)
6
4
2 , 3 dan 7
Ada 6 × 9 bilangan genap (dari poin nomor 1 dengan nomor 5)
Sehingga seluruhnya ada 6 + 6×9 = 6 + 54 = 60 bilangan genap

Jadi, Banyak faktor persekutuan dari 145152 dan 544320 adalah sebanyak 60
http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

2.

Pak Tani memiliki 500 ekor ayam yang terdiri dari ayam pedaging dan ayam petelur. Sebagian
ayam berwarna merah dan sebagian lagi berwarna putih. Banyak ayam petelur dan berwarna
merah adalah 100 ekor. Jika diambil satu ekor secara acak, maka peluang untuk mendapatkan
ayam pedaging adalah sama dengan peluang untuk mendapatkan ayam berwarna putih, yaitu
3
sebesar . Banyak ayam pedaging yang berwarna merah adalah ....
5
Pembahasan:
Diketahui banyak ayam yang dimiliki Pak Tani = 500 ekor ayam

banyak ayam petelur berwarna merah = 100 ekor ayam
Misalkan banyak ayam pedaging warna merah = dm
banyak ayam pedaging warna putih = dp
banyak ayam pedaging warna merah = tm
banyak ayam pedaging warna merah = tp
maka, dm + dp + tm + tp = 500
tm = 100

kemudian perhatikan kalimat dari: maka peluang untuk mendapatkan ayam pedaging adalah sama
3
dengan peluang untuk mendapatkan ayam berwarna putih, yaitu sebesar .
5
dm  d p 3 d p  t p
 
500
5
500
atau
dm + dp = 300
 dp = (300 – dm)

dm = tp
dp + tp = 300
 (300 – dm) + tp = 300
sehingga didapat,

 dm + (300 – dm) + 100 + dm = 500

dm + 400 = 500

dm = 100
Jadi, banyak ayam pedaging yang berwarna merah adalah 100 ekor

dm + dp + tm + tp = 500

3.

Diketahui ABCD adalah segiempat talibusur pada lingkaran yang memiliki jari-jari luar 5 cm.
Diketahui AD diameter lingkaran, panjang AB = 5 cm, dan panjang AC = 6 cm. Keliling ABCD
adalah .... cm.
Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

5 cm
A

O 5 cm
D

6 cm

5 cm

8 cm
B
C
http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Perhatikan ACD siku-siku di titik C, karena sudud keliling yang menghadap diameter lingkaran,
sehingga dengan Dalil Phytagoras didapat panjang CD = 8 cm.
Perhatikan ABD siku-siku di titik B, karena sudud keliling yang menghadap diameter lingkaran,

sehingga dengan dalil phytagoras didapat panjang BD = 102  52 = 5 3 cm.
Kemudian mencari panjang BC dengan menggunakan Dalil Ptolomeus, yakni:
BC × AD + AB × CD = AC ×BD
BC × 10 + 5 × 8 = 6 × 5 3
10BC + 40 = 30 3
10BC = 30 3 – 40
BC = 3 3 – 4
Dengan demikian Keliling segi-empat ABCD = AB + BC + CD + AD
= 5 + (3 3 – 4) + 8 + 10
= 19 + 3 3
Jadi, Keliling ABCD adalah (19 + 3 3 ) cm

4.

Rani dan Susi masing-masing memilih empat angka berbeda yang merupakan anggota dari
{1,2,3,6,8,9} untuk menyusun dua buah bilangan dua angka. Jika mereka masing-masing
menjumlahkan kedua bilangan yang disusun, maka hasilnya adalah tiga angka. Notasikan jumlah
bilangan yang diperoleh Rani dan Susi berturut-turut dengan r dan s. Diketahui bahwa r bersisa 2
jika dibagi 47. Jika s memiliki nilai tersbesar yang mungkin, maka r + s = ....

Pembahasan:
Diketahui empat angka berbeda yang aka dipilih adalah {1,2,3,6,8,9} untuk menyusun dua buah
bilangan dua angka
Misalkan angka yang dipilih Rani adalah a , b, dan c, d
angka yang dipilih Susi adalah h, i, dan j, k

ab
cd
efg
efg= r

Pilihan empat angka {1,2,3,6,8,9}
hi
jk

opq
opq= s

Diketahui bahwa r bersisa 2 jika dibagi 47
r
= n sisa 2, n bilangan bulat
47
Nilai n yang mungkin adalah 3, sehingga
r = 47n + 2
 r = 47(3) + 2
 r = 141 + 2
 r = 143
sehingga:
angka b yang mungkin 1 atau 2
angka d yang mungkin 1 atau 2
http://olimattohir.blogspot.co.id/

s memiliki nilai tersbesar yang mungkin
angka i yang mungkin 3 atau 6
angka k yang mungkin 3 atau 6

begitu juga
angka h yang mungkin 8 atau 9
angka j yang mungkin 8 atau 8
96
83
179
 s = 179

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

begitu juga
angka a yang mungkin 6 atau 8
angka c yang mungkin 6 atau 8

81
62
143

 r = 143
Dengan demikian r = 143 dan s = 179

 r + s = 143 + 179 = 322

Jadi, r + s = 322

5.

Diketahui x dan y adalah dua bilangan bulat. Banyak anggota himpunan penyelesaian dari
persamaan

4 x  y  4 xy  36 x  18 y  80  0

adalah ....

Pembahasan:

Diketahui 4 x  y  4 xy  36 x  18 y  80  0

2 x  y   36 x  18 y  80  0
2 x  y   182 x  y  80  0
2 x  y  82 x  y  10  0
2

2

Sehingga didapat 2 x  y = 8
Bentuk Persamaan

2 x y=8

2 x  y = 10

atau 2 x  y = 10
Nilai x dan y yang Mungkin

Katerangan

(0,64),(1,36),(4,16),(9,4),(16,0)

ada 5

(0,100),(1,64),(4,36),(9,16),(16,4),(25,0)
Total

ada 6
ada 11

Jadi, Banyak anggota himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah ada 11
6.

Diketahui barisan himpunan beranggotakan beberapa bilangan asli berurutan sedemikian rupa
sehingga banyak anggota himpunan-himpunan tersebut membentuk barisan aritmatika. Empat
suku pertama barisan himpunan tersebut adalah {1}, {2,3,4},{5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16}.
Bilangan 2015 berada pada suku/himpunan ke ....

Pembahasan:
Diketahui barisan himpunan adalah {1}, {2,3,4}, {5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16},
{17,18,19,20,21,22,23,24,25}, .......
Perhatikan tabel berikut

http://olimattohir.blogspot.co.id/

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Suku/himpunan
ke-n

Anggota himpunan yang pertama pada
himpunan ke-n

Banyak anggota pada
himpunan ke-n

1

1

1

2

2

3

3

5

5

4

10

7

5

17

9

....

....

....

1,

n

2, 5, 10, 17,...
1, 3, 5, 7, .....
2, 2, 2, .....

Un = 1 +

1, 3, 5, 7, 9 ,....
2, 2, 2, 2, ....

(n  1)
2a 2  n  2b2 
2

Un = a + (n-1)b
Un = 1 + (n-1)2

(n  1)
21  n  22
2
Un = 1 + (n – 1)2

U n = 2n – 1

Un = 1 +

Sehingga untuk bilangan 2015
Un = 1 + (n – 1)2
2015 = 1 + (n – 1)2
2014 = (n – 1)2
Karena 2015 terletaknya bukan anggota
himpunan yang pertama pada
himpunan ke-n , maka mencari
bilangan < 2015 yang merupakan akar
pankat sempurna, yaitu 1936,
sehingga menjadi
(n – 1)2 = 1936
n – 1 = 44
n = 45
Un = 1 + (n – 1)2
U45 = 1 + (45 – 1)

2

U45 = 1 + (44)2
U45 = 1 + 1936
n = 45

U45 = 1937

Karena n = 45, maka banyak
anggota pada suku ke-45
adalah
U n = 2n – 1
U45 = 2(45) – 1
U45 = 89
Sehingga urutan anggotanya
terletak pada
2015 – 1937 = 78

Jadi, Bilangan 2015 berada pada suku/himpunan ke-45
dan anggota himpunan bilangan 2015 terletak diurutan ke-78
http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

7.

Diketahui ABC siku-siku di A, serta lingkaran yang berpusat di O menyinggung sisi AB dan AC

berturut-turut di S dan T. Selanjutnya, SU dan TV adalah diameter lingkaran. Jika r adalah jari-jari
lingkaran, maka luas daerah yang diarsir adalah .... satuan luas.
C
U

T
A

V
O
S

B

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
C
U
V

T
A

O
r

r
S r

r
r

B

Perhatikah VOU (ada 3 segitiga warna biru) adalah segitiga sama kaki dengan ukuran kakikakinya = r
3
Luas daerah TSVU (warna kuning) = Luas lingkaran + Luas VOU
4
3
1
= × πr2 + × r 2
4
2
Kemudian mencari luas ABC, yaitu:
1
Luas ABC = × 3r × 3r
2
9
= r2
2
Sehingga, Luas yang diarsir = Luas ABC – Luas daerah TSVU (warna kuning)
9
3
1
= r 2 – ( × πr2 + × r 2)
2
4
2
1 2
= r (16 – 3π)
4
1
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah r2(16 – 3π) satuan luas
4

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

8.

Delegasi perwakilan pelajar Kota Bahagia ke suatu pertemuan pelajar nasional terdiri dari 5 orang.
Ada 10 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota
delegasi. Jika disyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota delegasi harus laki-laki, maka
banyak cara untuk memilih delegasi tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui terdiri dari 5 orang yang akan dilegasikan dari 10 siswa laki-laki dan 10 siswa
perempuan. Syarat dari peserta terpilih paling sedikit ada 1 orang siswa laki-laki.
Berdasarkan informasi tersebut, maka ada 5 kemungkian yang akan terjadi, yakni:

1) Apabila yang terpilih 1 siswa laki-laki, maka ada 4 perempuan yang yang terpilih, sehingga
banyak cara yang mungkin adalah
10C1

× 10C4 = 10 ×

10  9  8  7
10!
= 10 × (10 × 3× 7) = 2100
= 10 ×
10  4!4!
4  3  2 1

2) Apabila yang terpilih 2 siswa laki-laki, maka ada 3 perempuan yang yang terpilih, sehingga
banyak cara yang mungkin adalah
10C2

× 10C3 =

10  9 10  9  8
10!
10!
= 45 × (10 × 3× 4) = 5400
×
=
×
10  2!2! 10  3!3! 2  1 3  2  1

3) Apabila yang terpilih 3 siswa laki-laki, maka ada 2 perempuan yang yang terpilih, sehingga
banyak cara yang mungkin adalah
10C3

× 10C2 =

10  9  8 10  9
10!
10!
×
=
×
= (10 × 3× 4) × 45 = 5400
10  3!3! 10  2!2! 3  2  1 2  1

4) Apabila yang terpilih 4 siswa laki-laki, maka ada 1 perempuan yang yang terpilih, sehingga
banyak cara yang mungkin adalah
10C4

× 10C1 =

10  9  8  7
10!
× 10 = (10 × 3× 7)×10 = 2100
× 10 =
10  4!4!
4  3  2 1

5) Apabila yang terpilih 5 siswa laki-laki, maka ada 0 perempuan yang yang terpilih, sehingga
banyak cara yang mungkin adalah
10C5

=

10  9  8  7  6
10!
=
= 2 × 9× 2 ×7 = 252
10  5!5! 5  4  3  2  1

Dengan demikian banyak cara seluruhnya = 2100 + 5400 + 5400 + 2100 + 252 = 15252
Jadi, banyak cara untuk memilih delegasi tersebut adalah 15252

http://olimattohir.blogspot.co.id/

7

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

9.

Jika salah satu akar persamaan kuadrat 2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0 adalah bilangan prima, maka
nilai c terbesar yang mungkin adalah ....

Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat 2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
Jika x1 dan x2 adalah memiliki akar-akar penyelesian dari persamaan tersebut, maka berlaku
hubungan antara x1 dan x2 adalah sebagai berikut.
c
b
dan
x1 . x2 =
x1 + x2 = 
a
a
Oleh karena a = 2 dan c = 168, maka akar prima 2 tidak mungkin terpenuhi. Sehingga akar prima
yang mungkin adalah bilangan prima selain 2, yakni sebagai berikut:
168
1) Untuk salah satu akarnya bilangan 3, maka
= 56, sehingga persamaannya menjadi
3
2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
 (2x – 56)(x – 3) = 2x2 – 62x + 168 = 0
Sehingga (c – 2015) = – 62
 c = 2015 – 62 = 1953
168
, sehingga persamaannya menjadi
2) Untuk salah satu akarnya 5, maka
5
168
218
2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
 (2x –
)(x – 5) = 2x2 –
x + 168 = 0
5
5
9857
218
218
 c = 2015 –
=
= 1971,4
Sehingga (c – 2015) = –
5
5
5
168
= 24, sehingga persamaannya menjadi
3) Untuk salah satu akarnya 7, maka
7
2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
 (2x – 24)(x – 7) = 2x2 – 38x + 168 = 0
Sehingga (c – 2015) = – 38
 c = 2015 – 38 = 1977
168
4) Untuk salah satu akarnya 11, maka
, sehingga persamaannya menjadi
11
168
410
2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
 (2x –
)(x – 11) = 2x2 –
x + 168 = 0
11
11
21755
410
410
 c = 2015 –
=
= 1977,727
Sehingga (c – 2015) = –
11
11
11
168
, sehingga persamaannya menjadi
5) Untuk salah satu akarnya 13, maka
13
168
506
2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
 (2x –
)(x – 13) = 2x2 –
x + 168 = 0
13
13
506
506
25689
 c = 2015 –
=
= 1976,077
Sehingga (c – 2015) = –
13
13
13
168
, sehingga persamaannya menjadi
6) Untuk salah satu akarnya 17, maka
17
168
746
2x2 + (c – 2015)x + 168 = 0
 (2x –
)(x – 17) = 2x2 –
x + 168 = 0
17
17
33509
746
746
 c = 2015 –
=
= 1971,117
Sehingga (c – 2015) = –
17
17
17
Dengan demikian, dari uraian ke-6 bilangan prima di atas didapat bahwa nilai c terbesar ketika
bilangan prima bernilai 11
21755
Jadi, nilai c terbesar yang mungkin adalah
atau 1977,727
11
http://olimattohir.blogspot.co.id/

8

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

10. Jika kurva parabola y = x2 + 4x – 5 dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian digeser ke arah
sumbu-X positif sejauh 2 satuan, maka diperoleh kurva dengan persamaan ....

Pembahasan:
Diketahui persamaan parabola y = x2 + 4x – 5

kemudian dicermenkan terhadap garis y = x
artinya kurvanya menjadi x = y2 + 4y – 5
y= x

kemudian digeser ke arah sumbu-X positif sejauh 2 satuan, artinya titik potong pada sumbu-X
menjadi di titik (–5 + 2, 0) : (–3, 0) sehingga persamaannya menjadi x = y2 + 4y + (– 5 + 2)
x = y2 + 4y – 3
y= x

y= x

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

9