Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Nasional 2015 (Hari Pertama) www.olimattohir.blogspot.com
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
PEMBAHASAN SOAL HARI PERTAMA
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2015
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
A. HARI PERTAMA
1.
Tentukan bilangan bulat terbesar yang memiliki sifat-sifat berikut.
(a) Setiap dua angka (digit) bersebelahan pada bilangan tersebut adalah prima.
(b) Semua bilangan prima yang dimaksudkan pada butir (a) di atas adalah berbeda.
[Bilangan 31737 dan 2973179 adalah dua contoh bilangan bulat yang memenuhi sifat (a) dan (b)
di atas].
Pembahasan:
Bilangan prima dua digit adalah sebagai berikut.
11
47
13
53
17
59
19
61
23
67
29
71
31
73
37
79
41
83
43
89
97
Kemudian kita coba beberapa kemungkinan bilangan prima terbesar dengan digit pertama genap,
yakni sebagai berikut.
No.
1.
Dua digit bilangan prima
89
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 7,
setelah 7 yang
mungkin adalah 1, 3,
9, dan seterusnya
bilangan bulat terbesar yang didapat
(1) jika 9 8979 (selesai)
(2) jika 3 8973 (pilih 1 atau 7)
89737 (pilih 1) dan serusnya
89.737.131.179
(3) jika 1 dengan aturan yang sama didapat
8.911.317.379
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 89.737.131.179
2.
3.
83
67
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
7, dan seterusnya
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
3 atau 9, dan
http://olimattohir.blogspot.co.id/
(1) jika 1 831.137.173
(2) jika 7 8.371.311.797
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 83.113.173.797
(1) jika 1 6.71.311.797
(2) jika 3 67.371.311.797
(3) jika 9 67.973.713.117
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
seterusnya
4.
5.
6.
7.
8.
61
47
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 67.973.713.117
(1) jika 1 6.113.173.797
(2) jika 3 613.711.797.319
(3) jika 7 61.713.119
(4) jika 9 619.737.131.179
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
3 atau 9, dan
seterusnya
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 619.737.131.179
(1) jika 1 4.71.311.797
(2) jika 3 47.371.311.797
(3) jika 9 47.973.713.117
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
3 atau 7 atau 9, dan
seterusnya
41
29
23
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 47.973.713.117
Dengan cara yang sama akan didapat bilangan prima dibawah dari
619.737.131.179
Jadi, bilangan bulat terbesar yang memiliki sifat-sifat (a) dan (b) adalah 619.737.131.179
2.
Tentukan semua bilangan bulat n sehingga nilai
Pembahasan:
Misalkan
50 n 50 n = m
50 n 50 n = m2
50 n 50 n merupakan bilangan bulat.
(m bilangan bulat)
2
50 n 50 n 2 50 n 50 n
100 2 50 n 50 n
(Kedua ruas dikuadratkan)
= m2
= m2
100 2 2500 n = m2
2 2500 n = m2 – 100
m2 100
2500 n =
2
2
2
m 100
(Kedua ruas dikuadratkan)
2500 – n =
2
m 2 100
n = 2500 –
2
Hal ini mengandung arti, bahwa nilai dari m adalah genap dan 100 ≤ m2 < 400 atau 10 ≤ m < 20
Oleh karena itu nilai m yang memenuhi adalah 10, 12, dan 14
Sehingga
Untuk m = 10
n = 2500 – 0 = 2500
m = 12
n = 2500 – 484 = 2016
m = 14
n = 2500 – 2304 = 196
2
Jadi, semua bilangan bulat n yang memenuhi adalah 196, 2016, dan 2500
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
3.
Gambar berikut menunjukkan jalur untuk membentuk rangkaian huruf-angka “OSN2015”.
Tentukan banyak jalur berbeda yang mungkin untuk membentuk rangkaian huruf-angka tersebut
dengan mengikuti arah panah.
O
O
S
S
2
5
N
N
N
N
S
2
2
0
0
1
1
5
5
Pembahasan:
Huruf-angka dari “OSN2015” kita ubah dengan susunan angka berikut
OSN20
15
1
1
1 1
1
2
1
2
1
artinya ada (1+2+1) 4 jalur
1
3
3
1
4
6
4
10 10
artinya jalur sebelah kanan dan kiri sebanyak 10 jalur
Perhatikan kembali jalur huruf-angka “OSN2015”
Oleh karena 0 (nol) yang sebelah kanan bercabang 2, maka banyak jalurnya adalah 10 × 4 = 40
0 (nol) yang sebelah kiri hanya 1 cabang, maka banyak jalurnya adalah 10 × 2 = 20
Dengan demikian banyak jakur seluruhnya adalah 40 + 20 = 60
Jadi, banyak jalur berbeda yang mungkin untuk membentuk rangkaian huruf-angka
tersebut dengan mengikuti arah panah adalah 60
4.
Diberikan segitiga lancip ABC dengan L sebagai lingkaran luarnya. Dari titik A dibuat garis tinggi
pada ruas garis BC sehingga memotong lingkaran L di titik X. Dengan cara serupa, dibuat garis
tinggi dari titik B dan titik C sehingga memotong lingkaran L, berturut-turut di titik Y dan titik Z.
Apakah panjang busur AY = panjang busur AZ?
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut!
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
X
C
YC X
Y
O
P
A
B
Gambarnya
bisa juga
seperti di
samping
kanan ini
A
B
O
Z
Z
(a )
(b)
Perhatikan gambar (a ) dan (b)!
Berdasarkan informasi dari soal, kedua gambar tersebut dapat dibenarkan menurut kondisi soal,
kerena kedua segitiga pada gambar tersebut adalah segitiga lancip.
Pada gambar (a ) titik potongan dari ketiga garis tingginya terdapat pada titik P
Sedangkan pada gambar (b) titik potong dari ketiga garis tinggi terdapat pada satu titik dengan
titik C
Perhatikan gambar (b)!
1) Besar AOC atau AOY = 90, sehingga panjang busur AC atau AY =
2) Besar AOZ = 90, sehingga panjang busur AZ =
1
× Keliling lingkaran
2
1
× Keliling lingkaran
2
Jadi, benar bahwa panjang busur AY = panjang busur AZ
5.
Siswa kelas VII.3 dibagi menjadi lima kelompok: A, B, C, D, dan E. Setiap kelompok melakukan
lima percobaan IPA selama lima minggu. Setiap minggu masing-masing kelompok melakukan
satu percobaan yang berbeda dengan percobaan yang dilakukan oleh kelompok lain. Tentukan
paling sedikit dua jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima, berdasarkan informasi
berikut.
Pada minggu pertama, Kelompok D mengerjakan Percobaan 4.
Pada minggu kedua, Kelompok C mengerjakan Percobaan 5.
Pada minggu ketiga, Kelompok E mengerjakan Percobaan 5.
Pada minggu keempat, Kelompok A mengerjakan Percobaan 4 dan Kelompok D
mengerjakan Percobaan 2.
Pembahasan:
Perhatikan berikut:
Minggu
Ke-
Kelompok
A
Kelompok
B
Kelompok Kelompok Kelompok
C
D
E
I
II
III
IV
V
4
5
5
4
1, 2, 3, 5
2
1, 2, 3, 4, 5
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1, 2, 3, 4
1, 3, 5
Keterangan
Percobaan yang
mungkin pada cell
yang kosong adalah
1, 2, 3, 5
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4
1, 3, 5
1, 2, 3, 5
1, 2, 3, 4
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Untuk mengisi cell A1! Bila baris pada minggu ke-I diisi oleh 5, maka kemungkinan kolom A
tinggal 1, 2, 3
Untuk mengisi cell D2! Bila baris pada minggu ke-II diisi oleh 1, maka kemungkinan kolom D
tinggal 3, 5
Dan seterusnya, sehingga didapat pada tabel 1 berikut ini:
Minggu Ke-
Kelompok A
Kelompok B
Kelompok C
Kelompok D
Kelompok E
I
II
III
IV
V
5
2
1
4
3
2
3
4
5
1
3
5
2
1
4
4
1
3
2
5
1
4
5
3
2
Sehingga jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima pada tabel 1 adalah
Kelompok A Percobaan 3
Kelompok B Percobaan 1
Kelompok C Percobaan 4
Kelompok D Percobaan 5
Kelompok E Percobaan 2
Dengan cara yang sama, akan didapat pengaturan jadwal seperti pada Tabel 2 berikut ini:
Minggu Ke-
Kelompok A
Kelompok B
Kelompok C
Kelompok D
Kelompok E
I
II
III
IV
V
5
1
3
4
2
3
4
2
5
1
2
5
4
1
3
4
3
1
2
5
1
2
5
3
4
Sehingga jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima pada tabel 1 adalah
Kelompok A Percobaan 2
Kelompok B Percobaan 1
Kelompok C Percobaan 3
Kelompok D Percobaan 5
Kelompok E Percobaan 4
Jadi, dua jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima, berdasarkan informasi
adalah
Jadwal untuk
Kelompok
Kelompok
Kelompok Kelompok Kelompok
percobaan minggu
A
B
C
D
E
ke-V
Jadwal 1
3
1
4
5
2
Jadwal 2
2
1
3
5
4
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
PEMBAHASAN SOAL HARI PERTAMA
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2015
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
A. HARI PERTAMA
1.
Tentukan bilangan bulat terbesar yang memiliki sifat-sifat berikut.
(a) Setiap dua angka (digit) bersebelahan pada bilangan tersebut adalah prima.
(b) Semua bilangan prima yang dimaksudkan pada butir (a) di atas adalah berbeda.
[Bilangan 31737 dan 2973179 adalah dua contoh bilangan bulat yang memenuhi sifat (a) dan (b)
di atas].
Pembahasan:
Bilangan prima dua digit adalah sebagai berikut.
11
47
13
53
17
59
19
61
23
67
29
71
31
73
37
79
41
83
43
89
97
Kemudian kita coba beberapa kemungkinan bilangan prima terbesar dengan digit pertama genap,
yakni sebagai berikut.
No.
1.
Dua digit bilangan prima
89
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 7,
setelah 7 yang
mungkin adalah 1, 3,
9, dan seterusnya
bilangan bulat terbesar yang didapat
(1) jika 9 8979 (selesai)
(2) jika 3 8973 (pilih 1 atau 7)
89737 (pilih 1) dan serusnya
89.737.131.179
(3) jika 1 dengan aturan yang sama didapat
8.911.317.379
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 89.737.131.179
2.
3.
83
67
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
7, dan seterusnya
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
3 atau 9, dan
http://olimattohir.blogspot.co.id/
(1) jika 1 831.137.173
(2) jika 7 8.371.311.797
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 83.113.173.797
(1) jika 1 6.71.311.797
(2) jika 3 67.371.311.797
(3) jika 9 67.973.713.117
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
seterusnya
4.
5.
6.
7.
8.
61
47
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 67.973.713.117
(1) jika 1 6.113.173.797
(2) jika 3 613.711.797.319
(3) jika 7 61.713.119
(4) jika 9 619.737.131.179
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
3 atau 9, dan
seterusnya
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 619.737.131.179
(1) jika 1 4.71.311.797
(2) jika 3 47.371.311.797
(3) jika 9 47.973.713.117
Digit berikutnya yang
mungkin adalah 1 atau
3 atau 7 atau 9, dan
seterusnya
41
29
23
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 47.973.713.117
Dengan cara yang sama akan didapat bilangan prima dibawah dari
619.737.131.179
Jadi, bilangan bulat terbesar yang memiliki sifat-sifat (a) dan (b) adalah 619.737.131.179
2.
Tentukan semua bilangan bulat n sehingga nilai
Pembahasan:
Misalkan
50 n 50 n = m
50 n 50 n = m2
50 n 50 n merupakan bilangan bulat.
(m bilangan bulat)
2
50 n 50 n 2 50 n 50 n
100 2 50 n 50 n
(Kedua ruas dikuadratkan)
= m2
= m2
100 2 2500 n = m2
2 2500 n = m2 – 100
m2 100
2500 n =
2
2
2
m 100
(Kedua ruas dikuadratkan)
2500 – n =
2
m 2 100
n = 2500 –
2
Hal ini mengandung arti, bahwa nilai dari m adalah genap dan 100 ≤ m2 < 400 atau 10 ≤ m < 20
Oleh karena itu nilai m yang memenuhi adalah 10, 12, dan 14
Sehingga
Untuk m = 10
n = 2500 – 0 = 2500
m = 12
n = 2500 – 484 = 2016
m = 14
n = 2500 – 2304 = 196
2
Jadi, semua bilangan bulat n yang memenuhi adalah 196, 2016, dan 2500
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
3.
Gambar berikut menunjukkan jalur untuk membentuk rangkaian huruf-angka “OSN2015”.
Tentukan banyak jalur berbeda yang mungkin untuk membentuk rangkaian huruf-angka tersebut
dengan mengikuti arah panah.
O
O
S
S
2
5
N
N
N
N
S
2
2
0
0
1
1
5
5
Pembahasan:
Huruf-angka dari “OSN2015” kita ubah dengan susunan angka berikut
OSN20
15
1
1
1 1
1
2
1
2
1
artinya ada (1+2+1) 4 jalur
1
3
3
1
4
6
4
10 10
artinya jalur sebelah kanan dan kiri sebanyak 10 jalur
Perhatikan kembali jalur huruf-angka “OSN2015”
Oleh karena 0 (nol) yang sebelah kanan bercabang 2, maka banyak jalurnya adalah 10 × 4 = 40
0 (nol) yang sebelah kiri hanya 1 cabang, maka banyak jalurnya adalah 10 × 2 = 20
Dengan demikian banyak jakur seluruhnya adalah 40 + 20 = 60
Jadi, banyak jalur berbeda yang mungkin untuk membentuk rangkaian huruf-angka
tersebut dengan mengikuti arah panah adalah 60
4.
Diberikan segitiga lancip ABC dengan L sebagai lingkaran luarnya. Dari titik A dibuat garis tinggi
pada ruas garis BC sehingga memotong lingkaran L di titik X. Dengan cara serupa, dibuat garis
tinggi dari titik B dan titik C sehingga memotong lingkaran L, berturut-turut di titik Y dan titik Z.
Apakah panjang busur AY = panjang busur AZ?
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut!
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
X
C
YC X
Y
O
P
A
B
Gambarnya
bisa juga
seperti di
samping
kanan ini
A
B
O
Z
Z
(a )
(b)
Perhatikan gambar (a ) dan (b)!
Berdasarkan informasi dari soal, kedua gambar tersebut dapat dibenarkan menurut kondisi soal,
kerena kedua segitiga pada gambar tersebut adalah segitiga lancip.
Pada gambar (a ) titik potongan dari ketiga garis tingginya terdapat pada titik P
Sedangkan pada gambar (b) titik potong dari ketiga garis tinggi terdapat pada satu titik dengan
titik C
Perhatikan gambar (b)!
1) Besar AOC atau AOY = 90, sehingga panjang busur AC atau AY =
2) Besar AOZ = 90, sehingga panjang busur AZ =
1
× Keliling lingkaran
2
1
× Keliling lingkaran
2
Jadi, benar bahwa panjang busur AY = panjang busur AZ
5.
Siswa kelas VII.3 dibagi menjadi lima kelompok: A, B, C, D, dan E. Setiap kelompok melakukan
lima percobaan IPA selama lima minggu. Setiap minggu masing-masing kelompok melakukan
satu percobaan yang berbeda dengan percobaan yang dilakukan oleh kelompok lain. Tentukan
paling sedikit dua jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima, berdasarkan informasi
berikut.
Pada minggu pertama, Kelompok D mengerjakan Percobaan 4.
Pada minggu kedua, Kelompok C mengerjakan Percobaan 5.
Pada minggu ketiga, Kelompok E mengerjakan Percobaan 5.
Pada minggu keempat, Kelompok A mengerjakan Percobaan 4 dan Kelompok D
mengerjakan Percobaan 2.
Pembahasan:
Perhatikan berikut:
Minggu
Ke-
Kelompok
A
Kelompok
B
Kelompok Kelompok Kelompok
C
D
E
I
II
III
IV
V
4
5
5
4
1, 2, 3, 5
2
1, 2, 3, 4, 5
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1, 2, 3, 4
1, 3, 5
Keterangan
Percobaan yang
mungkin pada cell
yang kosong adalah
1, 2, 3, 5
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4
1, 3, 5
1, 2, 3, 5
1, 2, 3, 4
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Untuk mengisi cell A1! Bila baris pada minggu ke-I diisi oleh 5, maka kemungkinan kolom A
tinggal 1, 2, 3
Untuk mengisi cell D2! Bila baris pada minggu ke-II diisi oleh 1, maka kemungkinan kolom D
tinggal 3, 5
Dan seterusnya, sehingga didapat pada tabel 1 berikut ini:
Minggu Ke-
Kelompok A
Kelompok B
Kelompok C
Kelompok D
Kelompok E
I
II
III
IV
V
5
2
1
4
3
2
3
4
5
1
3
5
2
1
4
4
1
3
2
5
1
4
5
3
2
Sehingga jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima pada tabel 1 adalah
Kelompok A Percobaan 3
Kelompok B Percobaan 1
Kelompok C Percobaan 4
Kelompok D Percobaan 5
Kelompok E Percobaan 2
Dengan cara yang sama, akan didapat pengaturan jadwal seperti pada Tabel 2 berikut ini:
Minggu Ke-
Kelompok A
Kelompok B
Kelompok C
Kelompok D
Kelompok E
I
II
III
IV
V
5
1
3
4
2
3
4
2
5
1
2
5
4
1
3
4
3
1
2
5
1
2
5
3
4
Sehingga jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima pada tabel 1 adalah
Kelompok A Percobaan 2
Kelompok B Percobaan 1
Kelompok C Percobaan 3
Kelompok D Percobaan 5
Kelompok E Percobaan 4
Jadi, dua jadwal percobaan yang mungkin pada minggu kelima, berdasarkan informasi
adalah
Jadwal untuk
Kelompok
Kelompok
Kelompok Kelompok Kelompok
percobaan minggu
A
B
C
D
E
ke-V
Jadwal 1
3
1
4
5
2
Jadwal 2
2
1
3
5
4
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5