Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Tingkat Prestasi Siswa SMA Negari 1 Rantau Utara, Kabupaten Labuhan Batu
8
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Latar Belakang
2.1.1 Definisi Prestasi Siswa
Prestasi belajar adalah hasil pencapaian yang maksimal menurut kemampuan
siswa pada waktu tertentu pada sesuatu yang dipelajari, dikerjakan, dimengerti
dan diterapkan.Seluruh pelaku pendidikan yaitu siswa, orang tua dan guru
tentu ingin tercapainya sebuah prestasi belajar yang baik. Prestasi belajar yang
baik adalah salah satu indikator akan keberhasilan proses belajar. Pada
umumnya prestasi belajar dinyatakan dalam angka atau huruf untuk
membandingkan dengan satu kriteria. Prestasi belajar adalah kemampuan bagi
murid dalam pencapaian berfikir yang tinggi. Harus dimiliki tiga aspek dalam
prestasi belajar yaitu kognitif, aspek afektif dan aspek psikomotor. Tapi
kenyataannya tidak semua siswa bisa mendapat prestasi belajar yang baik dan
ada siswa yang mendapatkan prestasi belajar yang buruk. Baik dan buruknya
prestasi belajar yang diperoleh murid dipengaruhi oleh berbagai faktor.
2.1.2 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Prestasi Siswa
Faktor-faktor yang mempengaruhi antara lain :
1. Minat Peserta Didik
Minat menurut Gie (1998)
adalah sibuk, tertarik, atau terlihat
sepenuhnya dengan sesuatukegiatan karena menyadari pentingnya
Universitas Sumatera Utara
9
kegiatan itu. Dengan demikian, minat belajar adalah keterlibatan
sepenuhnya seorang siswa dengan segenap kegiatan pikiran secara
penuh perhatian untuk memperoleh pengetahuan dan mencapai
pemahaman tentang pengetahuan ilmiah yang dituntutnya disekolah.
Minat besar pengaruhnya terhadap aktifitas belajar. Minat merupakan
salah satu faktor pokok untuk meraih sukses dalam studi. Penelitianpenelitian di Amerika Serikat mengenai salah satu sebab utama dari
kegagalan studi para pelajar menunjukkan bahwa penyebabnya adalah
kekurangan minat.
2. Tingkat Disiplin
Disiplin adalah kesadaran untuk melakukan sesuatu pekerjaan dengan
tertib dan teratur sesuai dengan peraturan-peraturan yang berlaku
dengan penuh tanggung jawab tanpa paksaan dari siapa pun. Dalam
hal belajar disiplin sangat penting karena berkualitas atau tidaknya
belajar siswa sangat dipengaruhi oleh kedisiplinan orang tersebut.
Salah satu contohnya adalah kedisiplinan seorang siswa untuk
mengatur waktunya untuk belajar.
3. Fasilitas Belajar Mengajar
Menurut H. M Daryanto (2006:51) secara etimologi (arti kata) fasilitas
yang terdiri dari sarana dan prasarana belajar, bahwa sarana belajar
adalah alat langsung untuk mencapai tujuan pendidikan, misalnya
lokasi/tempat, bangunan dan lain-lain, sedangkan prasarana adalah alat
yang tidak langsung untuk mencapai tujuan pendidikan, misalnya
ruang, buku, perpustakaan, laboratorium dan sebagainya. Berdasarkan
pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa fasilitas belajar adalah
sarana dan prasarana yang digunakan untuk menunjang kegiatan
belajar untuk mencapai tujuan pendidikan.
Universitas Sumatera Utara
10
4. Tingkat Kinerja Guru
Salah satu yang mempengaruhi tingkat prestasi siswa adalah guru,
yang merupakan faktor eksternal sebagai penunjang pencapaian hasil
belajar yang optimal. Untuk mencapai hasil belajar yang optimal
diperlukan peran guru, terutama tingkat kinerja guru dalam proses
belajar mengajar. Kinerja guru dalam proses pembelajaran betulbetul diperlukan guna menemukan nilai-nilai ajaran pada anak didik.
Maka segala kegiatan pembelajaran yang dilakukan seorang guru
harus menyatu, menjiwai, dan menghayati tugas tugas yang relevan
dengan tingkat kebutuhan, minat, bakat dan tingkat kemampuan
peserta didik serta kemampuan guru dalam mengorganisasi materi
pembelajaran dengan penggunaan ragam teknologi yang memadai.
5. Tingkat Ekonomi Keluarga
Lingkungan keluarga merupakan lingkungan pendidikan yang pertama.
Anak-anak pertama kali mendapatkan didikan dan bimbingan didalam
keluarga dan setelah itu barulah seseorang menerima pendidikan diluar
keluarga yaitu belajar mengajar disekolah, akan tetapi hasil belajar yang
baik akan sulit diperoleh dengan hanya mengandalkan keteranganketerangan yang diberikan oleh guru di depan kelas, tetapi membutuhkan
juga alat-alat yang memadai seperti buku tulis, pensil, peta, pena dan
terlebih lagi buku bacaan. Sebagian besar alat-alat pelajaran itu harus
disediakan sendiri oleh murid-murid yang bersangkutan. Bagi orang tua
yang keadaan ekonominya kurang memadai sudah barang tentu tidak dapat
memenuhi kebutuhan-kebutuhan anak secara memuaskan. Apabila
keadaan ini terjadi pada orang tua siswa, maka siswa yang bersangkutan
akan menanggung resiko-resiko yang tidak diharapkan oleh seorang siswa
tersebut.
Universitas Sumatera Utara
11
2.2 Data
Menurut Kuswadi dan E. Mutiara, Data adalah kumpulan informasi yang
diperoleh
dari
suatu
pengamatan,
dapat
berupa
angka,
lambing,
sifat.(http://www.definisi-pengertian.com)
2.2.1
1.
Data Menurut Cara Memperolehnya
Data Primer
Data primer adalah data yang diperoleh secara langsung dari objek
yang diteliti, baik dari objek individual (responden) maupun dari suatu
instansi yang mengolah data untuk keperluan dirinya sendiri. Contoh:
hasil wawancara dengan responden, hasil perhitungan suara dari
masyarakat yang melaksanakan pemilihan kepala desa atau lainnya,
data jumlah mahasiswa yang diperoleh dari lembaga pendidikan yang
bersangkutan, dan lainnya.
2.
Data Sekunder
Data sekunder adalah data yang diperoleh secara tidak langsung untuk
mendapatkan informasi (keterangan) dari objek yang diteliti, biasanya
data tersebut diperoleh dari tangan kedua baik dari objek secara
individual (responden) maupun dari suatu badan (instansi) yang
dengan sengaja melakukan pengumpulan data dari instansi-instansi
atau badan lainnya untuk keperluan penelitian dari para pengguna.
Badan yang biasa mengumpulkan data tersebut antara lain BPS
(Badan Pusat Statistik), misal data mengenai laju inflasi, statistik
penduduk, statistik pertanian, statistik ekonomi, data tingkat kemajuan
pembangunan suatu daerah yang diperoleh dari BAPPEDA setempat,
dan sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
12
2.3 Variabel
Variabel adalah suatu sebutan yang dapat diberi angka (kuantitatif) atau nilai mutu
(kualitatif). Variabel merupakan pengelompokkan secara logis dari dua atau lebih
atributdari objek yang diteliti. Misalnya: tidak sekolah, tidak tamat SD, tidak
tamat SMP, dan sebagainya. Maka variabelnya adalah tingkat pendidikan dari
objek penelitian itu.Variabel tingkat pendidikan merangkum semua atribut tadi.
Variabel merupakan suatu istilah yang berasal dari kata vary dan able yang
berarti “berubah” dan “dapat”. Jadi, kata variabel berarti dapat berubah-ubah.Nilai
itu berupa nilai kuantitatif maupun kualitatif.Dilihat dari segi nilainya, variabel
dibedakan atas 2, yaitu variabel diskrit dan variabel kontiniu.Variabel diskritnya
nilai kuantitatifnya selalu berupa bilangan bulat, sedangkan variabel kontiniu nilai
kuantitatifnya bisa berupa pecahan.(http://rakim-ypk.blogspot.com).
Variabel penelitian pada dasarnya adalah segala sesuatu yang berbentuk
apa saja yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari sehingga diperoleh
informasi tentang hal tersebut, kemudian ditarik kesimpulannya, (Sugiyono,
2007).
Menurut hubungan antara suatu variabel dengan variabel lainnya, variabel terbagi
atas beberapa yaitu :
1.
Variabel bebas (independent variable) yaitu variabel yang menjadi sebab
terjadinya atau terpengaruhnya variabel tak bebas.
2.
Variabel tak bebas (dependent variable) yaitu variabel yang nilainya
dipengaruhi oleh variabel bebas.
3.
Variabel moderator yaitu variabel yang memperkuat atau memperlemah
hubungan antara suatu variabel bebas dengan tak bebas.
Universitas Sumatera Utara
13
4.
Variabel intervening, seperti halnya variabel moderator, tetapi nilainya tidak
dapat diukur, seperti kecewa, marah, gembira, senang, sedih, dan lain
sebagainya.
5.
Variabel control, yaitu variabel yang dapat dikendalikan oleh peneliti.
2.4 Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemenelemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk
persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom
dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “( )” (Anton, 1987).
Matriks A yang berukuran dari n baris dan p kolom (� × �) adalah:
�11
�21
�=�
⋮
��1
�12
�22
⋮
��2
… �1�
… �2�
⋮ �
⋮
… ���
(2.1)
Entri ��� disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
2.4.1 Nilai Eigen (Eigen Value)
Misalkan A adalah matriks persegi berukuran � × � dan I adalah matriks
identitas berukuran � × �. Skalar �1 , �2 , … , �� yang memenuhi
persamaan: |A - �I| = 0 disebut nilai eigen atau akar karakteristik. Dan
suatu matriks A berukuran � × � dan � adalah nilai eigen dari matriks A
Universitas Sumatera Utara
14
jika terdapat suatu vektor x tak nol sedemikian sehingga Ax = �x, maka x
disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari matriks A yang
bersesuaian dengan nilai eigen �. Untuk mencari nilai eigen matriks A
yang berukuran � × �, dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan
homogen |A - �I| = 0. Dengan I adalah matriks identitas yang berukuran
� × � sama dengan matriks A.
2.5 Pengujian Data
2.5.1 Sampel dan Uji Kecukupan Sampel
Sampel adalah sebagian anggota dari populasi yang dipilih dengan menggunakan
prosedur tertentu sehingga diharapkan dapat mewakili populasinya. Untuk
menentukan jumlah sampel dari suatu populasi dapat menggunakan rumus Slovin,
sebagai berikut:
n=
�
1+�� 2
(2.2)
Dengan:
n
= Jumlah sampel
N
= Jumlah populasi
e
= Batas toleransi kesalahan
2.5.2 Teknik Penarikan Sampel
Teknik penarikan sampel atau teknik sampling adalah suatu cara mengambil
sampel yang representatif dari populasi. Pengambilan sampel harus dilakukan
sedemikian rupa, sehingga diperoleh sampel yang benar-benar dapat mewakili dan
menggambarkan keadaan populasi yang sebenarnya. Ada dua macam teknik
penarikan sampel, yaitu:
Universitas Sumatera Utara
15
1.
Probability Sampling
Probability sampling adalah teknik sampling untuk memberikan peluang yang
sama pada setiap anggota populasi untuk dipilih menjadi anggota sampel. Ada
beberapa jenis probability samplingyang banyak digunakan, antara lain:
1)
Sampel Acak Sederhana (Simple Random Sampling)
Sampel acak sederhana adalah cara pengambilan sampel dari anggota
populasi dengan menggunakan acak tanpa memperhatikan strata (tingkatan)
dalam anggota populasi tersebut. Untuk itu dapat menggunakan dua cara:
a. Cara undian, yaitu dilakukan dengan memberi nomor-nomor pada
seluruh anggota populasi, kemudian secara acak dipilih nomor-nomor
sesuai dengan banyaknya jumlah sampel yang dibutuhkan.
b. Cara tabel bilangan random adalah suatu tabel yang terdiri dari bilanganbilangan yang disajikan dengan sangat tidak berurutan.
2)
Sampel Acak Stratifikasi (Stratified Random Sampling)
3)
Area Sampel (Cluster Sampling)
4)
Sampel Sistematis (Systematic/ Quasi Random Sampling)
5)
Sampel Bertahap (Multistage Sampling)
2.
Non Probability Sampling
Dalam non probability sampling, setiap unsur dalam populasi tidak memiliki
kesempatan atau peluang yang sama untuk dipilih sebagai sampel, bahkan
probabilitas anggota populasi tertentu untuk terpilih tidak diketahui. Beberapa
jenis non probability sampling yang sering dijumpai:
1) Quota Sampling
2) Accidental Sampling
3) Purposive Sampling (Judgmental Sampling)
4) Snowball Sampling
Universitas Sumatera Utara
16
2.5.3 Uji Validitas
Validitas merupakan alat ukur untuk melihat atau mengetahui apakah kuesioner
dapat digunakan untuk mengukur keadaan responden sebenarnya (Azuar Juliandi
2013). Untuk menguji validitas keadaan responden digunakan rumus korelasi
product moment pearsons, yaitu :
r=
� (∑ ��)− (∑ � ∑ �)
(2.3)
�[� ∑ � 2 −(∑ �)2 ][� ∑ � 2 −(∑ �)2 ]
Dengan:
r
= Koefisien Korelasi
n
= Jumlah sampel
X
= Variabel bebas (Skor Pertanyaan)
Y
= Variabel Terikat (Skor Total)
Jika nilai �ℎ����� ≥������ maka kuesioner dinyatakan valid danjika nilai
�ℎ����� 0,60.
2.6 Transformasi Data Ordinal menjadi Interval
Mentransformasi data ordinal menjadi data interval gunanya untuk memenuhi
sebagian dari syarat analisis parametrik yang mana data setidaknya berskala
interval. Pada penelitian ini variabel yang digunakan berskala ordinal. Oleh
karena itu, untuk pemenuhanasumsi pada analisis diskriminan bahwa variabel
independen harus berskala interval, maka terlebih dahulu data ordinal
ditransformasikan menjadi data interval menggunakan Method of Successive
Interval (MSI). Langkah-langkah transformasi data ordinal ke data interval
adalah:
1.
Pertama perhatikan setiap butir jawaban responden dari angket yang disebar,
2.
Pada setiap butir ditentukan berapa orang yang mendapat skor 1, 2, 3, dan 4
yang disebut sebagai frekuensi,
3.
Setiap frekuensi dibagi dengan banyaknya responden dan hasilnya disebut
proporsi,
�� =
��
∑ ��
(2.5)
Dengan:
�� = proporsi pada skor i
�� = frekuensi pada skor i
∑ �� = jumlah total frekuensi
4.
Tentukan nilai proporsi kumulatif dengan jalan menjumlahkan nilai proporsi
secara berurutan perkolom skor.
Universitas Sumatera Utara
18
5.
Gunakan tabel distribusi normal, hitung nilai Z untuk setiap proporsi
kumulatif yang diperoleh,
6.
Menghitung nilai densitas dari nilai Z yang diperoleh dengan cara
memasukkan nilai Z tersebut kedalam fungsi densitas normal baku sebagai
berikut:
�(�) =
Dengan:
1
√2�
1 2
�
exp�−2�
(2.6)
� = 3,141593
exp = 2,718282
7.
Tentukan nilai skala dengan menggunakan rumus:
(�������������������
���������� = (�������������������
)−(�������������������
)
)−(��������� ���������� )
(2.7)
Menghitung skor (nilai transformasi) untuk setiap kategori dengan rumus:
����� = ���������� + [1 + |������������� |]
(2.8)
������������� artinya adalah nilai scale value absolut (tanpa memperhatikan
tanda positif atau negatif) paling kecil.
2.7 Analisis Korelasi
Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui
derajat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel yang lain. Dalam
ilmu statistika, istilah korelasi diartikan sebagai hubungan linier antara dua
variabel atau lebih. Hubungan antara dua variabeldikenal dengan istilah bivariate
correlation, sedangkan hubungan antar lebih dari dua variabel disebut
multivariate correlation.
Universitas Sumatera Utara
19
Formula untuk menghitung koefisien korelasi dengan menggunakan teknik
koefisien korelasi Product Moment Correlation dari Karl Pearson. Penggunaan
teknik koefisien korelasi dari Karl Pearson untuk variabel-variabel dengan tingkat
skala pengukuran interval.Untuk menghitung koefisien korelasiproduct moment
pearsons antara dua variabel dapat digunakan rumus:
r=
� (∑ ��)− (∑ � ∑ �)
(2.9)
�[� ∑ � 2 −(∑ �)2 ][� ∑ � 2 −(∑ �)2 ]
Dengan
r
= Koefisien korelasi antara X dan Y
X
= Variabel bebas
Y
= Variabel terikat
Nilai r selalu terletak antara -1 dan 1, sehingga nilai r tersebut dapat ditulis :
-1≤ r ≤+1. Untuk r = +1, berarti ada korelasi positif sempurna antara X dan Y,
sebaliknya jika r = -1, berarti korelasi negatif sempurna antara X dan Y,
sedangkan r = 0, berarti tidak ada korelasi antara X dan Y. Jika kenaikan didalam
suatu variabel diikuti dengan kenaikan didalam variabel lain, maka dapat
dikatakan bahwa kedua variabel tersebut mempunyai korelasi yang positif. Tetapi
jika kenaikan didalam suatu variabel diikuti oleh penurunan didalam variabel lain,
maka dapat dikatakan bahwa variabel tersebut mempunyai korelasi yang negatif.
Dan jika tidak ada perubahan pada variabel walaupun variabel lainnya berubah
maka dikatakan bahwa kedua variabel tersebut tidak mempunyai hubungan.
Interpretasi harga r akan disajikan dalam tabel berikut:
Universitas Sumatera Utara
20
Tabel 2.1 Interpretasi Koefisien Korelasi
R
Interpretasi
0
Tidak ada korelasi
0,01 – 0,20
Sangat rendah
0,21 – 0,40
Rendah
0,41 – 0,60
Agak Rendah
0,61 – 0,80
Cukup
0,81 – 0,99
Tinggi
1
Sangat tinggi (korelasi sempurna)
Sumber : Hartono, M.Pd Statistik untuk penelitian
Hubungan antara variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis:
1.
Korelasi Positif
Terjadinya korelasi positif apabila perubahan antara variabel yang satu
diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang sama (berbanding lurus).
Artinya variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti peningkatan
variabel lainnya.
2.
Korelasi Negatif
Terjadinya korelasi negatif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti
oleh variabel lainnya dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik). Artinya
apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel
lainnya.
3.
Korelasi Nihil
Korelasi nihil artinya tidak adanya korelasi antara variabel.
Universitas Sumatera Utara
21
2.8 Analisis Diskriminan
2.8.1 Pengertian Analisis Diskriminan
Analisis diskriminan merupakan teknik menganalisis data dimana variabel
tak bebas merupakan kategorik (non-metrik, nominal atau ordinal, bersifat
kualitatif) sedangkan variabel bebas sebagai prediktor merupakan metrik
(interval atau rasio, bersifat kuantitatif). (J. Supranto 2004).
Tujuan analisis diskriminan adalah membuat suatu fungsi
diskriminan dari variabel independen yang bisa mendiskriminasi atau
membedakan kelompok variabel dependen artinya mampu membedakan
suatu objek masuk kelompok yang mana. (Yasril & Heru subaris 2009).
Dengan kata lain, analisis dikriminan digunakan untuk mengklasifikasikan
individu kedalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Teknik analisis diskriminan dibedakan menjadi 2 yaitu analisis
diskriminan
dua
kelompok/kategori,
jika
variabel
tak
bebas
Y
dikelompokkan menjadi 2. Diperlukan satu fungsi diskriminan. Kalau
variabel tak bebas dikelompokkan menjadi lebih dari 2 kelompok disebut
analisis diskriminan berganda (multiple discriminant analysis) diperlukan
fungsi diskriminan sebanyak (k - 1) kalau memang ada k kategori. (J.
Supranto 2004).
Model analisis diskriminan berkenaan dengan kombinasi linier
yang disebut juga fungsi diskriminan bentuknya sebagai berikut :
(2.10)
�� = �0 + �1 ��1 + �2 ��2 + �3 ��3 + ⋯ + �� ���
Dengan:
��
= Nilai (skor) diskriminan dari responden (objek) ke-i.
Universitas Sumatera Utara
22
i
= 1,2, ..., n. D merupakan variabel dependen.
�0
��
= Intersep
= koefisien atau timbangan diskriminan dari variabel independen ke-
j.
��� = Variabel independen ke-j dari responden ke-i.
2.8.2
1.
Tujuan Analisis Diskriminan
Membuat suatu fungsi diskriminan atau kombinasi linier dari prediktor atau
variabel bebas yang bisa mendiskriminasi atau membedakan kategori
variabel tak bebas atau criterion atau kelompok, artinya mampu
membedakan suatu objek masuk kelompok kategori yang mana.
2.
Menguji apakah ada perbedaan signifikan antara kategori/kelompok,
dikaitkan dengan variabel bebas atau prediktor.
3.
Menentukan prediktor/variabel bebas yang mana yang memberikan
sumbangan terbesar terhadap terjadinya perbedaan antar kelompok.
4.
Mengklarifikasi/mengelompokkan
objek/kasus
kedalam
suatu
kelompok/kategori didasarkan pada nilai variabel bebas.
5.
2.8.3
Mengevaluasi keakuratan klasifikasi.
Asumsi Analisis Diskriminan
Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi untuk analisis diskriminan adalah:
1.
Variabel
independen
(MultivariateNormality),
seharusnya
jika
data
berdistribusi
tidak
normal
berdistribusi
multivariat
normal,akan
menyebabkan masalah pada ketepatan fungsi (model) diskriminan.
2.
Matriks varians kovarians grup dari semua variabel independen seharusnya
sama.
Universitas Sumatera Utara
23
3.
Tidak ada data yang sangat ekstrim (outlier) pada variabel independen, jika
ada data ekstrim yang tetap diproses, hal ini bisa berakibat berkurangnya
ketepatan klasifikasi dari fungsi diskriminan
4.
Tidak ada korelasi yang kuat antar-variabel independen , jika dua variabel
independen
mempunyai
multikolinieritas,
untuk
korelasi
mengetahui
yang
kuat,dikatakan
adanya
multikolinieritas
terjadi
dapat
dilakukan dengan melihat korelasi antar variabel independen (r) yaitu jika
nilai r > 0.6 menunjukkan adanya multikolinieritas.
2.8.4
1.
Langkah-langkah Analisis Diskriminan
Pemilihan variabel dependen dan independen
Variabel dependen merupakan variabel kategorik sedangkan variabel independen
merupakan variabel numerik. Analisis diskriminan dibedakan menjadi dua yaitu :
a)
Analisis diskriminan dua kategori/kelompok, dimana variabel dependen
dikelompokkan menjadi 2 (dikotomi), diperlukan satu fungsi diskriminan.
b) Analisis diskriminan berganda (Multiple Discriminant Analysis/MDA),
dimana variabel dependen dikelompokkan menjadi 1. lebih dari 2 kelompok
(multikotomi), diperlukan fungsi diskriminan sebanyak (k-1) kalau ada k
kategori.
2.
Melakukan uji equality
Untuk memenuhi asumsi bahwa semua variabel independen harus equal
dilihat pada significancy dari Wilk’s Lambda jika nilai p > 0,05
menunjukkan bahwa variabel equal. Untuk melihat bahwa variabel
tersebut equal, juga dilihat dari group covariance adalah relative sama
3.
Pembentukan fungsi diskriminan
a)
Pembentukan Fungsi Linier ( teoritis)
Universitas Sumatera Utara
24
Fungsi diskriminan merupakan fungsi atau kombinasi linier peubahpeubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan
kelompok-kelompok. Fungsi ini akan memberikan nilai-nilai yang sedekat
mungkin dalam kelompok dan sejauh mungkin antar kelompok. Apabila
fungsi diskriminan yang terbentuk sebanyak lebih dari satu fungsi, maka
dapat dikatakan bahwa fungsi diskriminan pertama akan menjadi kekuatan
pembeda yang paling besar, demikian berturut-turut untuk fungsi
berikutnya. Misalnya ada kelompok/kategori sebanyak G, dimana masingmasing kelompok terdapat sebanyak n objek (elemen atau responden)
sebagai sampel maka:
�
1
� ��� (2.11)
�̅� =
��
� =1
Dengan:
�̅� = vektor rata-rata sampel dalam kelompok ke-i
�� = banyaknya elemen objek ke-i
��� = menyatakan variabel x ke-j dalam kelompok ke-i
Kemudian dengan mendefinisikan vektor rata-rata keseluruhan.
�
1
� = � �̅� (2.12)
�
�=1
Dengan:
� = vektor rata-rata keseluruhan
� = banyaknya kelompok
�̅� = vektor rata-rata sampel dalam kelompok ke-i
Maka didapat:
�
� = �(�̅� − �)(�̅� − � )′(2.14)
�=1
Universitas Sumatera Utara
25
Dengan:
� = metrik jumlah kuadrat dan jumlah cross products antar kelompok
�̅� = vektor rata-rata sampel dalam kelompok ke-i
� = vektor rata-rata keseluruhan
(�̅� − �)′ = transpos dari (�̅� − �)
Sehingga:
�
�
��
� = �(�� − 1)�� = � ����� − �̅� ����� − �̅� � (2.14)
�=1 � =1
�=1
Dengan:
� = matriks sampel dalam grup
�� = matriks varians kovarians kelompok ke-i
Matriks varians kovarians untuk sebuah sampel ukuran n yang terdiri atas
p buah variabel �1 , �2 , �3 , … , �� disusun dalam sebuah matriks yang
disebut dengan matriks varians-kovarians (S) dengan bentuk sebagai
berikut:
�11
⎛�21
� = ⎜�31
⎜ ..
.
�
⎝ �1
�12
�22
�32
..
.
��2
�13
�23
�33
..
.
��3
… �1�
… �2�
⎞
… �3� ⎟
..
.. ⎟
.
.
… ��� ⎠
(2.15)
Dimana
�
1
��� =
����� − �̅� ����� − �̅ � �
�−1
Matriks
� =1
varians-kovarians
(2.16)
gabungannya
dapat
dihitung
dengan
menggunakan rumus sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
26
������� =
(� 1 − 1)�1 +(� 2 − 1)�2 +(� 3 − 1)�3 +⋯+(� � − 1)��
� 1 +� 2 +� 3 +⋯+� � −�
Atau
������� =
(2.17)
�
(2.18)
(�1 +�2 +⋯+�� −�)
Fungsi diskriminan yang terbentuk mempunyai bentuk umum berupa
Fisher’s Sample Linear Discriminant Function (persamaan linier) yaitu:
Dengan:
� = �′ �
(2.19)
a = Vektor koefisien pembobot fungsi diskriminan
�′= tranpose ��
Y = Variabel terikat (skor diskriminan)
X = Variabel bebas (Vektor variabel acak yang dimasukkan ke dalam fungsi
diskriminan).
Agar
dapat
mendiskriminasi
kelompok
secara
maksimal,
fungsi
diskriminan Y harus diestimasi untuk memaksimumkan variabel antar
kelompok. Koefisien � dihitung dengan membuat � maksimum, yaitu:
�′���
=
�′���
�
�′ �∑�=1 (�̅ � −�)(�̅ � −� )′���
(2.20)
��
�
�� �� − �̅ � ��� �� − �̅ � ���
�′ ∑�=1 ∑� =1
Biarkan�̂1 + �̂2 + ⋯ + �̂� > 0menunjukkan � ≤ min(� − 1, �) eigenvalue
dari
matriks
� −1 B
dan
�̂1 , ⋯ , �̂� menjadi
eigen
vektor.
Untuk
menyelesaikan � ≤ min(� − 1, �) eigenvalue dari matriks � −1 B, dengan
menggunakan rumus:
(� −1 � − ��)�� = 0
(2.21)
Nilai �maksimum merupakan nilai eigen value terbesar dari matriks � −1 B
dan �′ adalah associated eigenvektors. Elemen a, seperti �1 sampai dengan
Universitas Sumatera Utara
27
�� merupakan koefisien fungsi diskriminan, berasosiasi dengan fungsi
diskriminan pertama. Pada umumnya, dimungkinkan untuk mengestimasi
sampai eigen value terkecil yaitu yang ke (G-1) atau k fungsi diskriminan
masing-masing
dengan
eigenvaluenya.
Maksudnya,
setiap
fungsi
diskriminan mempunyai nilai eigenvalue dan nilai eigen value ini semakin
mengecil dari fungsi ke fungsi.
b) Fungsi Linier (dengan bantuan SPSS)
Pada output SPSS, koefisien untuk tiap variabel yang masuk dalam model
dapat dilihat pada tabel Canonical Discriminant Function Coefficient.
Tabel ini akan dihasilkan pada output apabila pilihan Function Coefficient
bagian Unstandardized diaktifkan.
c)
Menghitung Discriminant Score (nilai diskriminan)
Setelah dibentuk fungsi liniernya, maka dapat dihitung skor diskriminan
untuk tiap observasi dengan memasukkan
nilai-nilai variabel penjelasnya.
d) Perhitungan Hit Ratio
Setelah semua observasi diprediksi keanggotaannya, dapat dihitung hit
ratio yaitu rasio antara observasi yang tepat pengklasifikasiannya dengan
total seluruh observasi. Misalkan ada sebanyak n observasi, akan dibentuk
fungsi linier dengan observasi sebanyak n-1. Observasi yang tidak
disertakan dalam pembentukan fungsi linier ini akan diprediksi
keanggotaannya dengan fungsi yang sudah dibentuk tadi. Proses ini akan
diulang dengan kombinasi observasi yang berbedabeda, sehingga fungsi
linier yang dibentuk ada sebanyak n. Inilah yang disebut dengan metode
Leave One Out.
e)
Kriteria Posterior Probability
Aturan pengklasifikasian yang ekivalen dengan model linier Fisher ialah
berdasarkan nilai peluang suatu observasi dengan karakteristik tertentu (x)
Universitas Sumatera Utara
28
berasal dari suatu kelompok. Nilai peluang ini disebut posterior
probability dan bisa ditampilkan pada sheet SPSS dengan mengaktifkan
option probabilities of group membership pada bagian Save di kotak
dialog utama.
f)
Akurasi Statistik
Dapat di uji secara statistik apakah klasifikasi yang dilakukan (dengan
menggunakan fungsi diskriminan) akurat atau tidak. Uji statistik tersebut
ialah prees-Q Statistik. Ukuran sederhana ini membandingkan jumlah
kasus yang diklasifikasi secara tepat dengan ukuran sampel dan jumlah
grup. Nilai yang diperoleh dari perhitunngan kemudian dibandingkan
dengan nilai kritis (critical velue) yang diambil dari tabel Chi-Square dan
tingkat keyakinan sesuai yang diinginkan. Statistik Q ditulis dengan
rumus:
Dengan:
����� − � =
[�−(�� )]2
�(�−1)
(2.22)
N= jumlah populasi
n = jumlah sampel
k = jumlah grup
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Latar Belakang
2.1.1 Definisi Prestasi Siswa
Prestasi belajar adalah hasil pencapaian yang maksimal menurut kemampuan
siswa pada waktu tertentu pada sesuatu yang dipelajari, dikerjakan, dimengerti
dan diterapkan.Seluruh pelaku pendidikan yaitu siswa, orang tua dan guru
tentu ingin tercapainya sebuah prestasi belajar yang baik. Prestasi belajar yang
baik adalah salah satu indikator akan keberhasilan proses belajar. Pada
umumnya prestasi belajar dinyatakan dalam angka atau huruf untuk
membandingkan dengan satu kriteria. Prestasi belajar adalah kemampuan bagi
murid dalam pencapaian berfikir yang tinggi. Harus dimiliki tiga aspek dalam
prestasi belajar yaitu kognitif, aspek afektif dan aspek psikomotor. Tapi
kenyataannya tidak semua siswa bisa mendapat prestasi belajar yang baik dan
ada siswa yang mendapatkan prestasi belajar yang buruk. Baik dan buruknya
prestasi belajar yang diperoleh murid dipengaruhi oleh berbagai faktor.
2.1.2 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Prestasi Siswa
Faktor-faktor yang mempengaruhi antara lain :
1. Minat Peserta Didik
Minat menurut Gie (1998)
adalah sibuk, tertarik, atau terlihat
sepenuhnya dengan sesuatukegiatan karena menyadari pentingnya
Universitas Sumatera Utara
9
kegiatan itu. Dengan demikian, minat belajar adalah keterlibatan
sepenuhnya seorang siswa dengan segenap kegiatan pikiran secara
penuh perhatian untuk memperoleh pengetahuan dan mencapai
pemahaman tentang pengetahuan ilmiah yang dituntutnya disekolah.
Minat besar pengaruhnya terhadap aktifitas belajar. Minat merupakan
salah satu faktor pokok untuk meraih sukses dalam studi. Penelitianpenelitian di Amerika Serikat mengenai salah satu sebab utama dari
kegagalan studi para pelajar menunjukkan bahwa penyebabnya adalah
kekurangan minat.
2. Tingkat Disiplin
Disiplin adalah kesadaran untuk melakukan sesuatu pekerjaan dengan
tertib dan teratur sesuai dengan peraturan-peraturan yang berlaku
dengan penuh tanggung jawab tanpa paksaan dari siapa pun. Dalam
hal belajar disiplin sangat penting karena berkualitas atau tidaknya
belajar siswa sangat dipengaruhi oleh kedisiplinan orang tersebut.
Salah satu contohnya adalah kedisiplinan seorang siswa untuk
mengatur waktunya untuk belajar.
3. Fasilitas Belajar Mengajar
Menurut H. M Daryanto (2006:51) secara etimologi (arti kata) fasilitas
yang terdiri dari sarana dan prasarana belajar, bahwa sarana belajar
adalah alat langsung untuk mencapai tujuan pendidikan, misalnya
lokasi/tempat, bangunan dan lain-lain, sedangkan prasarana adalah alat
yang tidak langsung untuk mencapai tujuan pendidikan, misalnya
ruang, buku, perpustakaan, laboratorium dan sebagainya. Berdasarkan
pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa fasilitas belajar adalah
sarana dan prasarana yang digunakan untuk menunjang kegiatan
belajar untuk mencapai tujuan pendidikan.
Universitas Sumatera Utara
10
4. Tingkat Kinerja Guru
Salah satu yang mempengaruhi tingkat prestasi siswa adalah guru,
yang merupakan faktor eksternal sebagai penunjang pencapaian hasil
belajar yang optimal. Untuk mencapai hasil belajar yang optimal
diperlukan peran guru, terutama tingkat kinerja guru dalam proses
belajar mengajar. Kinerja guru dalam proses pembelajaran betulbetul diperlukan guna menemukan nilai-nilai ajaran pada anak didik.
Maka segala kegiatan pembelajaran yang dilakukan seorang guru
harus menyatu, menjiwai, dan menghayati tugas tugas yang relevan
dengan tingkat kebutuhan, minat, bakat dan tingkat kemampuan
peserta didik serta kemampuan guru dalam mengorganisasi materi
pembelajaran dengan penggunaan ragam teknologi yang memadai.
5. Tingkat Ekonomi Keluarga
Lingkungan keluarga merupakan lingkungan pendidikan yang pertama.
Anak-anak pertama kali mendapatkan didikan dan bimbingan didalam
keluarga dan setelah itu barulah seseorang menerima pendidikan diluar
keluarga yaitu belajar mengajar disekolah, akan tetapi hasil belajar yang
baik akan sulit diperoleh dengan hanya mengandalkan keteranganketerangan yang diberikan oleh guru di depan kelas, tetapi membutuhkan
juga alat-alat yang memadai seperti buku tulis, pensil, peta, pena dan
terlebih lagi buku bacaan. Sebagian besar alat-alat pelajaran itu harus
disediakan sendiri oleh murid-murid yang bersangkutan. Bagi orang tua
yang keadaan ekonominya kurang memadai sudah barang tentu tidak dapat
memenuhi kebutuhan-kebutuhan anak secara memuaskan. Apabila
keadaan ini terjadi pada orang tua siswa, maka siswa yang bersangkutan
akan menanggung resiko-resiko yang tidak diharapkan oleh seorang siswa
tersebut.
Universitas Sumatera Utara
11
2.2 Data
Menurut Kuswadi dan E. Mutiara, Data adalah kumpulan informasi yang
diperoleh
dari
suatu
pengamatan,
dapat
berupa
angka,
lambing,
sifat.(http://www.definisi-pengertian.com)
2.2.1
1.
Data Menurut Cara Memperolehnya
Data Primer
Data primer adalah data yang diperoleh secara langsung dari objek
yang diteliti, baik dari objek individual (responden) maupun dari suatu
instansi yang mengolah data untuk keperluan dirinya sendiri. Contoh:
hasil wawancara dengan responden, hasil perhitungan suara dari
masyarakat yang melaksanakan pemilihan kepala desa atau lainnya,
data jumlah mahasiswa yang diperoleh dari lembaga pendidikan yang
bersangkutan, dan lainnya.
2.
Data Sekunder
Data sekunder adalah data yang diperoleh secara tidak langsung untuk
mendapatkan informasi (keterangan) dari objek yang diteliti, biasanya
data tersebut diperoleh dari tangan kedua baik dari objek secara
individual (responden) maupun dari suatu badan (instansi) yang
dengan sengaja melakukan pengumpulan data dari instansi-instansi
atau badan lainnya untuk keperluan penelitian dari para pengguna.
Badan yang biasa mengumpulkan data tersebut antara lain BPS
(Badan Pusat Statistik), misal data mengenai laju inflasi, statistik
penduduk, statistik pertanian, statistik ekonomi, data tingkat kemajuan
pembangunan suatu daerah yang diperoleh dari BAPPEDA setempat,
dan sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
12
2.3 Variabel
Variabel adalah suatu sebutan yang dapat diberi angka (kuantitatif) atau nilai mutu
(kualitatif). Variabel merupakan pengelompokkan secara logis dari dua atau lebih
atributdari objek yang diteliti. Misalnya: tidak sekolah, tidak tamat SD, tidak
tamat SMP, dan sebagainya. Maka variabelnya adalah tingkat pendidikan dari
objek penelitian itu.Variabel tingkat pendidikan merangkum semua atribut tadi.
Variabel merupakan suatu istilah yang berasal dari kata vary dan able yang
berarti “berubah” dan “dapat”. Jadi, kata variabel berarti dapat berubah-ubah.Nilai
itu berupa nilai kuantitatif maupun kualitatif.Dilihat dari segi nilainya, variabel
dibedakan atas 2, yaitu variabel diskrit dan variabel kontiniu.Variabel diskritnya
nilai kuantitatifnya selalu berupa bilangan bulat, sedangkan variabel kontiniu nilai
kuantitatifnya bisa berupa pecahan.(http://rakim-ypk.blogspot.com).
Variabel penelitian pada dasarnya adalah segala sesuatu yang berbentuk
apa saja yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari sehingga diperoleh
informasi tentang hal tersebut, kemudian ditarik kesimpulannya, (Sugiyono,
2007).
Menurut hubungan antara suatu variabel dengan variabel lainnya, variabel terbagi
atas beberapa yaitu :
1.
Variabel bebas (independent variable) yaitu variabel yang menjadi sebab
terjadinya atau terpengaruhnya variabel tak bebas.
2.
Variabel tak bebas (dependent variable) yaitu variabel yang nilainya
dipengaruhi oleh variabel bebas.
3.
Variabel moderator yaitu variabel yang memperkuat atau memperlemah
hubungan antara suatu variabel bebas dengan tak bebas.
Universitas Sumatera Utara
13
4.
Variabel intervening, seperti halnya variabel moderator, tetapi nilainya tidak
dapat diukur, seperti kecewa, marah, gembira, senang, sedih, dan lain
sebagainya.
5.
Variabel control, yaitu variabel yang dapat dikendalikan oleh peneliti.
2.4 Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemenelemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk
persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom
dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “( )” (Anton, 1987).
Matriks A yang berukuran dari n baris dan p kolom (� × �) adalah:
�11
�21
�=�
⋮
��1
�12
�22
⋮
��2
… �1�
… �2�
⋮ �
⋮
… ���
(2.1)
Entri ��� disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
2.4.1 Nilai Eigen (Eigen Value)
Misalkan A adalah matriks persegi berukuran � × � dan I adalah matriks
identitas berukuran � × �. Skalar �1 , �2 , … , �� yang memenuhi
persamaan: |A - �I| = 0 disebut nilai eigen atau akar karakteristik. Dan
suatu matriks A berukuran � × � dan � adalah nilai eigen dari matriks A
Universitas Sumatera Utara
14
jika terdapat suatu vektor x tak nol sedemikian sehingga Ax = �x, maka x
disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari matriks A yang
bersesuaian dengan nilai eigen �. Untuk mencari nilai eigen matriks A
yang berukuran � × �, dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan
homogen |A - �I| = 0. Dengan I adalah matriks identitas yang berukuran
� × � sama dengan matriks A.
2.5 Pengujian Data
2.5.1 Sampel dan Uji Kecukupan Sampel
Sampel adalah sebagian anggota dari populasi yang dipilih dengan menggunakan
prosedur tertentu sehingga diharapkan dapat mewakili populasinya. Untuk
menentukan jumlah sampel dari suatu populasi dapat menggunakan rumus Slovin,
sebagai berikut:
n=
�
1+�� 2
(2.2)
Dengan:
n
= Jumlah sampel
N
= Jumlah populasi
e
= Batas toleransi kesalahan
2.5.2 Teknik Penarikan Sampel
Teknik penarikan sampel atau teknik sampling adalah suatu cara mengambil
sampel yang representatif dari populasi. Pengambilan sampel harus dilakukan
sedemikian rupa, sehingga diperoleh sampel yang benar-benar dapat mewakili dan
menggambarkan keadaan populasi yang sebenarnya. Ada dua macam teknik
penarikan sampel, yaitu:
Universitas Sumatera Utara
15
1.
Probability Sampling
Probability sampling adalah teknik sampling untuk memberikan peluang yang
sama pada setiap anggota populasi untuk dipilih menjadi anggota sampel. Ada
beberapa jenis probability samplingyang banyak digunakan, antara lain:
1)
Sampel Acak Sederhana (Simple Random Sampling)
Sampel acak sederhana adalah cara pengambilan sampel dari anggota
populasi dengan menggunakan acak tanpa memperhatikan strata (tingkatan)
dalam anggota populasi tersebut. Untuk itu dapat menggunakan dua cara:
a. Cara undian, yaitu dilakukan dengan memberi nomor-nomor pada
seluruh anggota populasi, kemudian secara acak dipilih nomor-nomor
sesuai dengan banyaknya jumlah sampel yang dibutuhkan.
b. Cara tabel bilangan random adalah suatu tabel yang terdiri dari bilanganbilangan yang disajikan dengan sangat tidak berurutan.
2)
Sampel Acak Stratifikasi (Stratified Random Sampling)
3)
Area Sampel (Cluster Sampling)
4)
Sampel Sistematis (Systematic/ Quasi Random Sampling)
5)
Sampel Bertahap (Multistage Sampling)
2.
Non Probability Sampling
Dalam non probability sampling, setiap unsur dalam populasi tidak memiliki
kesempatan atau peluang yang sama untuk dipilih sebagai sampel, bahkan
probabilitas anggota populasi tertentu untuk terpilih tidak diketahui. Beberapa
jenis non probability sampling yang sering dijumpai:
1) Quota Sampling
2) Accidental Sampling
3) Purposive Sampling (Judgmental Sampling)
4) Snowball Sampling
Universitas Sumatera Utara
16
2.5.3 Uji Validitas
Validitas merupakan alat ukur untuk melihat atau mengetahui apakah kuesioner
dapat digunakan untuk mengukur keadaan responden sebenarnya (Azuar Juliandi
2013). Untuk menguji validitas keadaan responden digunakan rumus korelasi
product moment pearsons, yaitu :
r=
� (∑ ��)− (∑ � ∑ �)
(2.3)
�[� ∑ � 2 −(∑ �)2 ][� ∑ � 2 −(∑ �)2 ]
Dengan:
r
= Koefisien Korelasi
n
= Jumlah sampel
X
= Variabel bebas (Skor Pertanyaan)
Y
= Variabel Terikat (Skor Total)
Jika nilai �ℎ����� ≥������ maka kuesioner dinyatakan valid danjika nilai
�ℎ����� 0,60.
2.6 Transformasi Data Ordinal menjadi Interval
Mentransformasi data ordinal menjadi data interval gunanya untuk memenuhi
sebagian dari syarat analisis parametrik yang mana data setidaknya berskala
interval. Pada penelitian ini variabel yang digunakan berskala ordinal. Oleh
karena itu, untuk pemenuhanasumsi pada analisis diskriminan bahwa variabel
independen harus berskala interval, maka terlebih dahulu data ordinal
ditransformasikan menjadi data interval menggunakan Method of Successive
Interval (MSI). Langkah-langkah transformasi data ordinal ke data interval
adalah:
1.
Pertama perhatikan setiap butir jawaban responden dari angket yang disebar,
2.
Pada setiap butir ditentukan berapa orang yang mendapat skor 1, 2, 3, dan 4
yang disebut sebagai frekuensi,
3.
Setiap frekuensi dibagi dengan banyaknya responden dan hasilnya disebut
proporsi,
�� =
��
∑ ��
(2.5)
Dengan:
�� = proporsi pada skor i
�� = frekuensi pada skor i
∑ �� = jumlah total frekuensi
4.
Tentukan nilai proporsi kumulatif dengan jalan menjumlahkan nilai proporsi
secara berurutan perkolom skor.
Universitas Sumatera Utara
18
5.
Gunakan tabel distribusi normal, hitung nilai Z untuk setiap proporsi
kumulatif yang diperoleh,
6.
Menghitung nilai densitas dari nilai Z yang diperoleh dengan cara
memasukkan nilai Z tersebut kedalam fungsi densitas normal baku sebagai
berikut:
�(�) =
Dengan:
1
√2�
1 2
�
exp�−2�
(2.6)
� = 3,141593
exp = 2,718282
7.
Tentukan nilai skala dengan menggunakan rumus:
(�������������������
���������� = (�������������������
)−(�������������������
)
)−(��������� ���������� )
(2.7)
Menghitung skor (nilai transformasi) untuk setiap kategori dengan rumus:
����� = ���������� + [1 + |������������� |]
(2.8)
������������� artinya adalah nilai scale value absolut (tanpa memperhatikan
tanda positif atau negatif) paling kecil.
2.7 Analisis Korelasi
Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui
derajat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel yang lain. Dalam
ilmu statistika, istilah korelasi diartikan sebagai hubungan linier antara dua
variabel atau lebih. Hubungan antara dua variabeldikenal dengan istilah bivariate
correlation, sedangkan hubungan antar lebih dari dua variabel disebut
multivariate correlation.
Universitas Sumatera Utara
19
Formula untuk menghitung koefisien korelasi dengan menggunakan teknik
koefisien korelasi Product Moment Correlation dari Karl Pearson. Penggunaan
teknik koefisien korelasi dari Karl Pearson untuk variabel-variabel dengan tingkat
skala pengukuran interval.Untuk menghitung koefisien korelasiproduct moment
pearsons antara dua variabel dapat digunakan rumus:
r=
� (∑ ��)− (∑ � ∑ �)
(2.9)
�[� ∑ � 2 −(∑ �)2 ][� ∑ � 2 −(∑ �)2 ]
Dengan
r
= Koefisien korelasi antara X dan Y
X
= Variabel bebas
Y
= Variabel terikat
Nilai r selalu terletak antara -1 dan 1, sehingga nilai r tersebut dapat ditulis :
-1≤ r ≤+1. Untuk r = +1, berarti ada korelasi positif sempurna antara X dan Y,
sebaliknya jika r = -1, berarti korelasi negatif sempurna antara X dan Y,
sedangkan r = 0, berarti tidak ada korelasi antara X dan Y. Jika kenaikan didalam
suatu variabel diikuti dengan kenaikan didalam variabel lain, maka dapat
dikatakan bahwa kedua variabel tersebut mempunyai korelasi yang positif. Tetapi
jika kenaikan didalam suatu variabel diikuti oleh penurunan didalam variabel lain,
maka dapat dikatakan bahwa variabel tersebut mempunyai korelasi yang negatif.
Dan jika tidak ada perubahan pada variabel walaupun variabel lainnya berubah
maka dikatakan bahwa kedua variabel tersebut tidak mempunyai hubungan.
Interpretasi harga r akan disajikan dalam tabel berikut:
Universitas Sumatera Utara
20
Tabel 2.1 Interpretasi Koefisien Korelasi
R
Interpretasi
0
Tidak ada korelasi
0,01 – 0,20
Sangat rendah
0,21 – 0,40
Rendah
0,41 – 0,60
Agak Rendah
0,61 – 0,80
Cukup
0,81 – 0,99
Tinggi
1
Sangat tinggi (korelasi sempurna)
Sumber : Hartono, M.Pd Statistik untuk penelitian
Hubungan antara variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis:
1.
Korelasi Positif
Terjadinya korelasi positif apabila perubahan antara variabel yang satu
diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang sama (berbanding lurus).
Artinya variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti peningkatan
variabel lainnya.
2.
Korelasi Negatif
Terjadinya korelasi negatif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti
oleh variabel lainnya dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik). Artinya
apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel
lainnya.
3.
Korelasi Nihil
Korelasi nihil artinya tidak adanya korelasi antara variabel.
Universitas Sumatera Utara
21
2.8 Analisis Diskriminan
2.8.1 Pengertian Analisis Diskriminan
Analisis diskriminan merupakan teknik menganalisis data dimana variabel
tak bebas merupakan kategorik (non-metrik, nominal atau ordinal, bersifat
kualitatif) sedangkan variabel bebas sebagai prediktor merupakan metrik
(interval atau rasio, bersifat kuantitatif). (J. Supranto 2004).
Tujuan analisis diskriminan adalah membuat suatu fungsi
diskriminan dari variabel independen yang bisa mendiskriminasi atau
membedakan kelompok variabel dependen artinya mampu membedakan
suatu objek masuk kelompok yang mana. (Yasril & Heru subaris 2009).
Dengan kata lain, analisis dikriminan digunakan untuk mengklasifikasikan
individu kedalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Teknik analisis diskriminan dibedakan menjadi 2 yaitu analisis
diskriminan
dua
kelompok/kategori,
jika
variabel
tak
bebas
Y
dikelompokkan menjadi 2. Diperlukan satu fungsi diskriminan. Kalau
variabel tak bebas dikelompokkan menjadi lebih dari 2 kelompok disebut
analisis diskriminan berganda (multiple discriminant analysis) diperlukan
fungsi diskriminan sebanyak (k - 1) kalau memang ada k kategori. (J.
Supranto 2004).
Model analisis diskriminan berkenaan dengan kombinasi linier
yang disebut juga fungsi diskriminan bentuknya sebagai berikut :
(2.10)
�� = �0 + �1 ��1 + �2 ��2 + �3 ��3 + ⋯ + �� ���
Dengan:
��
= Nilai (skor) diskriminan dari responden (objek) ke-i.
Universitas Sumatera Utara
22
i
= 1,2, ..., n. D merupakan variabel dependen.
�0
��
= Intersep
= koefisien atau timbangan diskriminan dari variabel independen ke-
j.
��� = Variabel independen ke-j dari responden ke-i.
2.8.2
1.
Tujuan Analisis Diskriminan
Membuat suatu fungsi diskriminan atau kombinasi linier dari prediktor atau
variabel bebas yang bisa mendiskriminasi atau membedakan kategori
variabel tak bebas atau criterion atau kelompok, artinya mampu
membedakan suatu objek masuk kelompok kategori yang mana.
2.
Menguji apakah ada perbedaan signifikan antara kategori/kelompok,
dikaitkan dengan variabel bebas atau prediktor.
3.
Menentukan prediktor/variabel bebas yang mana yang memberikan
sumbangan terbesar terhadap terjadinya perbedaan antar kelompok.
4.
Mengklarifikasi/mengelompokkan
objek/kasus
kedalam
suatu
kelompok/kategori didasarkan pada nilai variabel bebas.
5.
2.8.3
Mengevaluasi keakuratan klasifikasi.
Asumsi Analisis Diskriminan
Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi untuk analisis diskriminan adalah:
1.
Variabel
independen
(MultivariateNormality),
seharusnya
jika
data
berdistribusi
tidak
normal
berdistribusi
multivariat
normal,akan
menyebabkan masalah pada ketepatan fungsi (model) diskriminan.
2.
Matriks varians kovarians grup dari semua variabel independen seharusnya
sama.
Universitas Sumatera Utara
23
3.
Tidak ada data yang sangat ekstrim (outlier) pada variabel independen, jika
ada data ekstrim yang tetap diproses, hal ini bisa berakibat berkurangnya
ketepatan klasifikasi dari fungsi diskriminan
4.
Tidak ada korelasi yang kuat antar-variabel independen , jika dua variabel
independen
mempunyai
multikolinieritas,
untuk
korelasi
mengetahui
yang
kuat,dikatakan
adanya
multikolinieritas
terjadi
dapat
dilakukan dengan melihat korelasi antar variabel independen (r) yaitu jika
nilai r > 0.6 menunjukkan adanya multikolinieritas.
2.8.4
1.
Langkah-langkah Analisis Diskriminan
Pemilihan variabel dependen dan independen
Variabel dependen merupakan variabel kategorik sedangkan variabel independen
merupakan variabel numerik. Analisis diskriminan dibedakan menjadi dua yaitu :
a)
Analisis diskriminan dua kategori/kelompok, dimana variabel dependen
dikelompokkan menjadi 2 (dikotomi), diperlukan satu fungsi diskriminan.
b) Analisis diskriminan berganda (Multiple Discriminant Analysis/MDA),
dimana variabel dependen dikelompokkan menjadi 1. lebih dari 2 kelompok
(multikotomi), diperlukan fungsi diskriminan sebanyak (k-1) kalau ada k
kategori.
2.
Melakukan uji equality
Untuk memenuhi asumsi bahwa semua variabel independen harus equal
dilihat pada significancy dari Wilk’s Lambda jika nilai p > 0,05
menunjukkan bahwa variabel equal. Untuk melihat bahwa variabel
tersebut equal, juga dilihat dari group covariance adalah relative sama
3.
Pembentukan fungsi diskriminan
a)
Pembentukan Fungsi Linier ( teoritis)
Universitas Sumatera Utara
24
Fungsi diskriminan merupakan fungsi atau kombinasi linier peubahpeubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan
kelompok-kelompok. Fungsi ini akan memberikan nilai-nilai yang sedekat
mungkin dalam kelompok dan sejauh mungkin antar kelompok. Apabila
fungsi diskriminan yang terbentuk sebanyak lebih dari satu fungsi, maka
dapat dikatakan bahwa fungsi diskriminan pertama akan menjadi kekuatan
pembeda yang paling besar, demikian berturut-turut untuk fungsi
berikutnya. Misalnya ada kelompok/kategori sebanyak G, dimana masingmasing kelompok terdapat sebanyak n objek (elemen atau responden)
sebagai sampel maka:
�
1
� ��� (2.11)
�̅� =
��
� =1
Dengan:
�̅� = vektor rata-rata sampel dalam kelompok ke-i
�� = banyaknya elemen objek ke-i
��� = menyatakan variabel x ke-j dalam kelompok ke-i
Kemudian dengan mendefinisikan vektor rata-rata keseluruhan.
�
1
� = � �̅� (2.12)
�
�=1
Dengan:
� = vektor rata-rata keseluruhan
� = banyaknya kelompok
�̅� = vektor rata-rata sampel dalam kelompok ke-i
Maka didapat:
�
� = �(�̅� − �)(�̅� − � )′(2.14)
�=1
Universitas Sumatera Utara
25
Dengan:
� = metrik jumlah kuadrat dan jumlah cross products antar kelompok
�̅� = vektor rata-rata sampel dalam kelompok ke-i
� = vektor rata-rata keseluruhan
(�̅� − �)′ = transpos dari (�̅� − �)
Sehingga:
�
�
��
� = �(�� − 1)�� = � ����� − �̅� ����� − �̅� � (2.14)
�=1 � =1
�=1
Dengan:
� = matriks sampel dalam grup
�� = matriks varians kovarians kelompok ke-i
Matriks varians kovarians untuk sebuah sampel ukuran n yang terdiri atas
p buah variabel �1 , �2 , �3 , … , �� disusun dalam sebuah matriks yang
disebut dengan matriks varians-kovarians (S) dengan bentuk sebagai
berikut:
�11
⎛�21
� = ⎜�31
⎜ ..
.
�
⎝ �1
�12
�22
�32
..
.
��2
�13
�23
�33
..
.
��3
… �1�
… �2�
⎞
… �3� ⎟
..
.. ⎟
.
.
… ��� ⎠
(2.15)
Dimana
�
1
��� =
����� − �̅� ����� − �̅ � �
�−1
Matriks
� =1
varians-kovarians
(2.16)
gabungannya
dapat
dihitung
dengan
menggunakan rumus sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
26
������� =
(� 1 − 1)�1 +(� 2 − 1)�2 +(� 3 − 1)�3 +⋯+(� � − 1)��
� 1 +� 2 +� 3 +⋯+� � −�
Atau
������� =
(2.17)
�
(2.18)
(�1 +�2 +⋯+�� −�)
Fungsi diskriminan yang terbentuk mempunyai bentuk umum berupa
Fisher’s Sample Linear Discriminant Function (persamaan linier) yaitu:
Dengan:
� = �′ �
(2.19)
a = Vektor koefisien pembobot fungsi diskriminan
�′= tranpose ��
Y = Variabel terikat (skor diskriminan)
X = Variabel bebas (Vektor variabel acak yang dimasukkan ke dalam fungsi
diskriminan).
Agar
dapat
mendiskriminasi
kelompok
secara
maksimal,
fungsi
diskriminan Y harus diestimasi untuk memaksimumkan variabel antar
kelompok. Koefisien � dihitung dengan membuat � maksimum, yaitu:
�′���
=
�′���
�
�′ �∑�=1 (�̅ � −�)(�̅ � −� )′���
(2.20)
��
�
�� �� − �̅ � ��� �� − �̅ � ���
�′ ∑�=1 ∑� =1
Biarkan�̂1 + �̂2 + ⋯ + �̂� > 0menunjukkan � ≤ min(� − 1, �) eigenvalue
dari
matriks
� −1 B
dan
�̂1 , ⋯ , �̂� menjadi
eigen
vektor.
Untuk
menyelesaikan � ≤ min(� − 1, �) eigenvalue dari matriks � −1 B, dengan
menggunakan rumus:
(� −1 � − ��)�� = 0
(2.21)
Nilai �maksimum merupakan nilai eigen value terbesar dari matriks � −1 B
dan �′ adalah associated eigenvektors. Elemen a, seperti �1 sampai dengan
Universitas Sumatera Utara
27
�� merupakan koefisien fungsi diskriminan, berasosiasi dengan fungsi
diskriminan pertama. Pada umumnya, dimungkinkan untuk mengestimasi
sampai eigen value terkecil yaitu yang ke (G-1) atau k fungsi diskriminan
masing-masing
dengan
eigenvaluenya.
Maksudnya,
setiap
fungsi
diskriminan mempunyai nilai eigenvalue dan nilai eigen value ini semakin
mengecil dari fungsi ke fungsi.
b) Fungsi Linier (dengan bantuan SPSS)
Pada output SPSS, koefisien untuk tiap variabel yang masuk dalam model
dapat dilihat pada tabel Canonical Discriminant Function Coefficient.
Tabel ini akan dihasilkan pada output apabila pilihan Function Coefficient
bagian Unstandardized diaktifkan.
c)
Menghitung Discriminant Score (nilai diskriminan)
Setelah dibentuk fungsi liniernya, maka dapat dihitung skor diskriminan
untuk tiap observasi dengan memasukkan
nilai-nilai variabel penjelasnya.
d) Perhitungan Hit Ratio
Setelah semua observasi diprediksi keanggotaannya, dapat dihitung hit
ratio yaitu rasio antara observasi yang tepat pengklasifikasiannya dengan
total seluruh observasi. Misalkan ada sebanyak n observasi, akan dibentuk
fungsi linier dengan observasi sebanyak n-1. Observasi yang tidak
disertakan dalam pembentukan fungsi linier ini akan diprediksi
keanggotaannya dengan fungsi yang sudah dibentuk tadi. Proses ini akan
diulang dengan kombinasi observasi yang berbedabeda, sehingga fungsi
linier yang dibentuk ada sebanyak n. Inilah yang disebut dengan metode
Leave One Out.
e)
Kriteria Posterior Probability
Aturan pengklasifikasian yang ekivalen dengan model linier Fisher ialah
berdasarkan nilai peluang suatu observasi dengan karakteristik tertentu (x)
Universitas Sumatera Utara
28
berasal dari suatu kelompok. Nilai peluang ini disebut posterior
probability dan bisa ditampilkan pada sheet SPSS dengan mengaktifkan
option probabilities of group membership pada bagian Save di kotak
dialog utama.
f)
Akurasi Statistik
Dapat di uji secara statistik apakah klasifikasi yang dilakukan (dengan
menggunakan fungsi diskriminan) akurat atau tidak. Uji statistik tersebut
ialah prees-Q Statistik. Ukuran sederhana ini membandingkan jumlah
kasus yang diklasifikasi secara tepat dengan ukuran sampel dan jumlah
grup. Nilai yang diperoleh dari perhitunngan kemudian dibandingkan
dengan nilai kritis (critical velue) yang diambil dari tabel Chi-Square dan
tingkat keyakinan sesuai yang diinginkan. Statistik Q ditulis dengan
rumus:
Dengan:
����� − � =
[�−(�� )]2
�(�−1)
(2.22)
N= jumlah populasi
n = jumlah sampel
k = jumlah grup
Universitas Sumatera Utara