2 FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN

  MATEMATIKA TEKNIK 1

  3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

  

BAB II

FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks,

maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan

digunakan pada fungsi kompleks.

  Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat- sifatnya.

1. Lingkungan/persekitaran

  

a. Persekitaran z adalah himpunan semua titik z yang

o terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z , o berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(z ,r) atau  < r.

  z – z o o

  b. Persekitaran tanpa z adalah himpunan semua titik o z z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat o di z , berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(z ,r) atau o o 0<  < r.

  z – z o Contoh :

  a. N(i,1) atau

z – i  < 1, lihat pada gambar 1

b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2

  Im Re

   i i

  2

   O 1 gambar Re

  Im O 2 gambar a

  2. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis c

  

S ,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang

tidak termasuk di S.

  Contoh : Gambarkan ! c A = { z | Im z< 1}, maka A = { z | Im z  1}. c B ={ z | 2<z<4}, maka B = { z | z 2 atau z4}. c A = { z | Im z< 1}, maka A = { z | Im z  1}. c B ={ z | 2<z<4}, maka B = { z | z 2 atau z4}.

  Im Im

  c B c A

  4

1 B

  A

  Re

  2 O Re

  O

  2

  4

  3. Titik limit Titik z disebut titik limit dari himpunan S jika untuk o

  ) maka N*(z )  S  . Jika z setiap N*(z , , o o o o

  ∈ S dan z bukan titik limit, maka z disebut titik terasing. o

  4. Titik batas Titik z disebut titik batas dari himpunan S jika untuk o setiap N*(z , ) memuat suatu titik di S dan memuat o suatu titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S.

6. Interior dan Eksterior

  ) Titik z disebut interior dari himpunan S jika ada N(z , o o sehingga N(z , )  S. Titik yang bukan titik interior atau o bukan titik batas disebut titik eksterior.

  7. Himpunan Terbuka

Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota

S adalah titik interior S.

  8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

  9. Himpunan Terhubung

Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua

titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang

seluruhnya terletak di S.

  10. Daerah domain

Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah

domain.

  11. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

  Contoh :

1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:

  Im

1 A

  Re 

  1

  1 

1 A adalah himpunan terbuka dan terhubung.

  Batas dari A adalah { z / |z|=1}. Penutup dari A adalah { z / |z| 1}.

2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:

  Im

   1 B

  Re 

  1

  1 

1 B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.

  Titik-titik limit dari B adalah { z / |z| 1}.

3. Diberikan C = { z / |z|  2}, maka: Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}.

  Im Re

  1

  1 1 

  1 

  2

  2

  2 

  2  Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.

Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan

setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w

pada bidang W, yaitu (z,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(z).

Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis D

f

dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range

atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis R , yaitu himpunan

f f(z) untuk setiap z anggota D.

z ) z ( f w 

  ) z Re( ) w Re(

  ) z Im( ) w Im(

  Bidang Z Bidang W

  f Contoh :

  a) w = z + 1

• – i

  b) w = 4 + 2i

  2

  c) w = z

• – 5z

  3  z

  d) f(z) =

   2 z

  1 Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.

  

Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua

  1

  titik pada bidang Z , kecuali z =

  

  2 Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.

   + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ). Apabila z = r(cos Contoh :

2 Tuliskan f(z) = 2z

• – i dalam bentuk u dan v ! Jawab : Misal z = x + iy,

  2 maka fungsi w = f(z) = 2z

• – i

  2 = 2(x + iy )

• – i

  2

  2

= 2(x +2xyi-y )

• – i

  2

  2 = 2(x -y ) + i(2xy-1).

  2

2 Jadi u = 2(x -y ) dan v = 2xy-1.

  Jika z = r(cos  + i sin).

2 Tentukan f(z) = z + i

  Jawab

  2 f(z) = z + i

  2 = [r (cos + i +i sin)]

  2

  2

  2 = r [cos  - sin  + 2isincos] + i

  2

  2

  2

  2 = r (cos  - sin ) + r isin2  + i

  2

  2

  2

  2 = r (cos  - sin ) +(1+r sin2 )i

  2

  2

  2

berarti u = r (cos2  - sin ) dan v = 1+r sin2 ) . Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f(z) dengan domain D dan fungsi g(z)

f dengan domain D . g

  Jika R  D f g  , maka ada fungsi komposisi (g ⃘f)(z) = g(f(z)), dengan domain D . f f g

  g  f ( z )   z f ( z )

   ( g f )( z )

  g f Jika R  D g f  , maka ada fungsi komposisi (f ⃘g)(z) = f(g(z)), dengan domain D . g g f

  f  g ( z )   z g ( z )

  ( f  g )( z )

  f  g Tidak berlaku hukum komutatif pada (g ⃘f) (z) dan (f ⃘g)(z). Contoh :

  2 Misal: f(z) = 3z + z

• – i dan g(z) = z –1 + i  D  , ‣ Jika R

  f g maka (g ⃘f) (z) = g (f (z))

  = g(3z

• – i)

  2 = (3z + (3z

• – i) – i) –1 + i

  2 = 9z

• – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i

  2 = 9z

• – 3z – 2 – 6iz

   D  , Jika R g f maka (f ⃘g) (z) = f (g (z))

  2 = f(z + z

• –1 + i)

  2 = 3z + 3z – 3 + 3i – i

  2

  2 Karena 9z

• 3z

• – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z – 3 + 3i – i Jadi (g ⃘f) (z)  (f ⃘g)(z) atau (g ⃘ f)  (f ⃘g), (tidak komutatif)

Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-

masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z

pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan

(z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat

menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat

melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.

  Contoh 1 : Diketahui fungsi w = 2z

• – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i.

  Misalnya untuk z = 1 + i , dan z = 2

• – 3i , berturut-turut

  1

  2 diperoleh : w = 1 + 3i , dan w = 3

  ,

• – 5i. Gambar dari z

  1

  2

  1 z , w , dan w dapat dilihat di bawah ini

  2

  1

2 V

  Y bidang W bidang Z w

  1

  3 z

  1

  1

  2 O

  1

  3

  1 U O

  X 

  3 z

  2

  w

  5 

  2 Contoh 2 :

2 Diketahui fungsi w = z .

  Dengan menggunakan z = r (cos +i sin), maka

  2

  2 diperoleh w = z = r (cos2 +i sin2).

  

Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang

Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah

  2 lingkaran pusat O berjari-jari r . Daerah 0  arg z   dipetakan menjadi daerah

   arg w  2.

  Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.

   

  2 Z bidang W bidang r

  2

  r Limit K

  Diketahui daerah D pada bidang z Z dan titik z terletak di dalam D

  o

   D

   atau pada batas D. Misalkan  z

  o

  fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali di z .

  o

  N * ( z , ) 

  o

  Apabila titik z bergerak mendekati bidang Z titik z melalui setiap lengkungan

  o

  sebarang K dan mengakibatkan nilai f(z) bergerak mendekati 

  D

   f ( z ) suatu nilai tertentu, yaitu w pada

   o

  w

  o

  bidang W, maka dikatakan limit f(z) adalah w untuk z mendekati

  o

  N ( w ,  ) z , ditulis :

  o

  lim f ( z )  w

  o o  z z _o

  bidang W Definisi : Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D,

kecuali di z (titik z di dalam D atau pada batas D). limit

o o

f(z) adalah w untuk z mendekati z , jika untuk setiap  &gt;

o o

  0, terdapat  &gt; 0 sedemikian hingga |f(z) |&lt; |&lt; ,

• – w , apabila 0 &lt;|z – z

  o o ditulis:

  lim f ( z ) w 

  o z  z _o Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik z adalah titik limit domain fungsi f. o

  2. Titik z menuju z melalui sebarang lengkungan K, o artinya z menuju z dari segala arah. o

  3. Apabila z menuju z melalui dua lengkungan yang o berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati z . o

  Contoh 1 : Buktikan bahwa : Bukti:

Misalkan diberikan bilangan  &gt; 0, kita akan mencari  &gt;

  0 sedemikian, sehingga: , untuk z  2 Lihat bagian sebelah kanan

     

        

  |

  5 2 z 2 z 3 z

  2 | |

  | 2 z

  2

  5 2 z 2 z 3 z

  2 lim

  

2

2 z

   

   

   Dari persamaan kanan diperoleh: Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.

  2 |

  2 |

  2 

   

      

    

     

     

       

     

  2

  5 2 z 2 z 3 z

  | 2 z | )

  | |

  )( 2 z 1 z 2 (

  ( 2 z )

  5 )

  | |

  5 1 z 2 (

  ) )( 2 z

  ) ( 2 z

  ( 2 z 2 | |

    Bukti Formal :

  

  Jika diberikan  &gt; 0 , maka terdapat , sehingga

   

  2

  untuk z  2, diperoleh

  2 2 z  3 z 

  2  | z  2 |    |  5 | z

  2 

  ( 2 z  1 )( z  2 ) | 5 |

    ( z 2 )

   | 2 ( z 2 ) |

  2      

  2 2 z 3 z

  2  

   |  5 |  

   | z  2 |   

  Jadi apabila

  z 

  2

  2

  2

  2 z 3 z

  2   lim

  5 

  z 2 z 

  2 Terbukti  Teorema Limit : Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z o

  , maka nilai limitnya tunggal.

  1

    

          

   

    

     

  2 ) z ( f w w ) z ( f

  2 ) w z ( f

  2 ) w z ( f ) z ( f w w ) z ( f ) z ( f w

  2

  w w jadi w w sehingga

  1

  Bukti: Misal limitnya w

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

, maka

  1 dan w

      Teorema 2 : Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z = (x ,y ) = x +iy di dalam D o o o o o atau batas D.

  lim f ( z )  x  iy

  Maka jika dan hanya jika o o z  z _o

  lim v ( x , y ) y lim u ( x , y ) x  

  dan o o

   z  z z z _{o o} Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka 1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z )

  → z o

  2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z ) → z o

  3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z ) → z o

  Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !

  Contoh 1 : Hitunglah Jawab:

  i z 1 z lim

  2 i z 

  

  

  i

  2 ) i z ( lim i z

  ) i z )( i z ( lim i z 1 z lim

  i z i z 2 i z

    

    

   

  

     Contoh 2 :

  2

  2 xy x Jika

  . Buktikan tidak ada ! lim f ( z ) f ( z ) i

   

  2

  2

  y

  1  z  x  y

  Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka

  2

  lim f ( z ) lim f ( z ) lim x i

  1         

     z ( x , ) ( , ) x

  Sedangkan di sepanjang garis y = x,

  2

  x lim f ( z ) lim f ( z ) lim ( 1 i )

  1

  2        x 

  1

     z ( x , x ) ( , ) x

  Dari 1 dan 2, terbukti tidak ada lim f ( z )

  z  Kekontinuan Fungsi Definisi :

Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan

titik z terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan o kontinu di z jika untuk z menuju z , o o maka lim f(z) = f(z ). o

  Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di z o

  , yaitu :

Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika

f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.

  ) z ( f ) z ( f lim .

  3 ) ada z ( f lim .

  2 ) ada z ( f .

  1 o z z z z o o ^o

     Teorema 4 : Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan z = x + i y titik di dalam R, maka o o o fungsi f(z) kontinu di z jika dan hanya jika u(x,y) dan o v(x,y) masing-masing kontinu di (x ,y ). o o

  Teorema 5 : Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di z , maka masing- o masing fungsi : 1. f(z) + g(z) 2. f(z) . g(z) 3. f(z) / g(z), g(z)  0 4. f(g(z)); f kontinu di g(z ), o kontinu di z . o

  Contoh 1 : Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i

  Jawab : f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 8i, sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i, jadi f(z) diskontinu di z = 2i.

       

    

    i

  , 2 z z

  4

  3 i , 2 z i

  2 z 4 z

  2

  ) i ) 2 ( f z ( f lim sehingga

  i 2 z

  

   Contoh 2.

  2

  z

  1  g ( z )

   Dimanakah fungsi kontinu ?

  2

  z 3 z

  2  

  Jawab : Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z z

  2  z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah  