PEMODELAN DINAMIKA PROSES ORDER SATU

  III DI NPRO / I I I / 2 ^{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

PROSES ORDER SATU

• Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistem order satu terhadap berbagai perubahan input (misalnya: step, ramp, sinus).
• Materi:

  DI NPRO / I I I / 1 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

PEMODELAN & DINAMIKA

  1. Respon Sistem Order Satu (respon-respon: step, ramp,

  sinus, dead-time, lead-lag)

  2. Fungsi Transfer dan Diagram Blok (Penyederhanaan diagram blok)

  3. Dinamika Proses Order Satu (proses termal pada tangki, dinamika volume (liquid level), proses tangki pencampur, dll.)

3.1. Respon Sistem Order Satu

  Pertimbangkan PD order satu linear berikut: ( ) ( ) ( )

• = +

  Pers (3.1.3) dibagi dengan a menghasilkan: dimana: ( ) ( ) ( ) t

  … (3.1.6)

  ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  X s K Y s

  ( ) ( ) s

  Transformasi Laplace Pers (3.1.4) : … (3.1.5)

  K = … (3.1.4) adalah konstanta waktu (time constant) adalah Gain kondisi tunak (steady state gain)

  = + τ a b

  X K t Y dt t dY

  ( ) ( ) ( ) KX s s Y s sY = + τ

  Y t bX t a dt t dY a

  = τ

  1 a a

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0) adalah term deviasi

  =0 Pers. (3.1.1) – Pers. (1.1.2):

  Pada kondisi tunak (initial steady state): … (3.1.2)

  1 … (3.1.1)

  1 ( ) ( ) ( ) c bx y a dt dy a + = +

  1 ( ) ( ) ( ) c t bx t y a dt t dy a

  = +

  … (3.1.3) DI NPRO / I I I / 3 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

• = 1 τ

  3.1. Respon Sist em Or der Satu Step Response

  

∆x u(t) ; dari Tabel 2.2.1 diperoleh X(s) = ∆x/s, dan

Jika X(t) = disubstitusikan ke pers. (3.1.6) lalu diekspansi parsial menghasilkan:

  K x K x K x ∆ ∆ ∆ = =

• Y s −

  ( ) s s s s

  τ + +

  1 1 τ ( )

  Kebalikan Laplace berdasarkan Tabel 2.2.1 menghasilkan: − t τ

  Y t = K ∆ x u t − e ( ) ( )

  [ ] … (3.1.7) dimana: u(t) adalah unity (=1) _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} ∆x adalah besarnya perubahan input (magnitude) _{DI NPRO / I I I / 4}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u

Gambar 3.1.1 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi tahap

1.2 Y ( t )

  t τ

1 K ∆ x

  0.8 ( )

  Y t 1.0 0.632

0.6 K ∆ x

  2.0 0.865

  0.4 3.0 0.950

  0.2 4.0 0.982 5.0 0.993

  1

  2

  3

  4

  5

  

6

  7 … … t τ _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} ∞ 1.000 _{DI NPRO / I I I / 5}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Ramp Response

  Ramp adalah kenaikan input secara linear dengan waktu mulai dari nol.

  Fungsi input: X(t) = rt, dimana r adalah slope dari Ramp. Dari Tabel

  2 2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = r/s , disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan:

  K r A A A

  1

  2

  

3

Y s = = + + ( )

  2

  2

  τ s

• 1 s ( )

  1 τ s s s A , A dicari dengan pers. (2.3.9) dan A berdasarkan per. (2.3.13)

  1

  2

  3

  1 Kr ⎞ A = lim s = Kr

  ⎜ ⎛ + ⎟ τ

  1

  s

  1 τ s 1 s ⎝ ⎠ τ

• 2 → − τ

  ( ) Kr

2 A = lim s = Kr

  2

  2 s →

  ( τ + s 1 ) s ⎡ ⎤ d ^{2 Kr} A = lim s = − Kr τ _{3 ⎢ ⎥} ^{s 2}

  ds ( τ s 1 ) s _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} ⎣ ⎦ _{DI NPRO / I I I / 6}

• →

BAB III Respon Sistem Order Satu

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Jadi diperoleh ramp response:

  − τ − τ t t Y t K r e K r t − K r u t = K r e K r t − u t … (3.1.8)

• = +

  τ τ τ τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Gambar 3.1.2 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi ramp

  8

  7

  6 Output

  X (t ) τ terlambat

  5 (lag)

  4 setelah

  3 τ waktu

  

Y t K

( )

  2

  1 _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  1

  2

  3

  4

  5

  

6

  7

  8 _{DI NPRO / I I I / 7}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Sinusoidal Response

  Pertimbangkan X(t) = A sin( ωt), dimana A adalah amplitude dan ω adalah frekuensi (radian/waktu). Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk

  2

  2 ω /(s ω laplace X(s) = A ), disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan + ekspansi parsial menghasilkan: ⎛ ⎞

  K ⎛ A ω ⎞ A A A

  1

  2

  3 Y ( ) s = = + + ⎜ ⎟

  2

  2 ⎜⎜ ⎟⎟

  τ s

• 1 s ( )

  1 τ s − i ω s i ω ⎝ s ω ⎠ ⎝ ⎠

  2

  2 ω ω) (s + iω), dan A , A , A Ingat (s + )=(s – i dicari dengan pers. (2.3.9)

  1

  2

  3 1 ⎞ KA ω KA ω

  A = lim ⎜ ⎛ + s ⎟ =

  1

  2

  2

  2

  2 s → − 1 τ

  ⎝ τ ⎠ τ s 1 s ω 1 τ ω + + + ( )

  ( ) KA ω KA − τω − i

  ( ) A = lim =

  2

  2

  

2

s → i ω s 1 s i + +

  τ ω +

  2

  1 ( )( ) τ ω

  ( )

• + KA KA − i

  ω τω

  ( ) A = lim =

  2

  

2

ω s → − i

• 3
• 3.1 Respon Sist em Or der Sat u

  τ s 1 s − i ω _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} ( )( )

  2 1 τ ω _{DI NPRO / I I I / 8} ( )

  Dengan pers. (2.4.11) diperoleh sinusoidal response:

KA KA

  ωτ − t τ

  … (3.1.9) Y t = e t

  ( ) sin ( ω θ )

  2

  2

  1 τ ω 1 τ

• 2
• 2

  ω

  dimana: θ = arctan(–ωτ)

Gambar 3.1.3 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi sinus

  _1.5 X ₁ (t ) _{-0.5 0.5} Y (t ) _{5 10}

₁₅

_{20 25 Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY -1.5} -1 _{DI NPRO / I I I / 9}

BAB III Respon Sistem Order Satu

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Response with Time Delay

  Pertimbangkan Proses dengan First Order Plus Dead-Time berikut: − st _D

  ⎡ ⎤

  Ke … (3.1.10)

  Y s = X s ( ) ( )

  ⎢ ⎥

  τ

• s

  1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  

FOPDT

Dimana t adalah time delay atau dead time

  D Jika dikenai perubahan step input menghasilkan respon:

  − ( t − t ) / τ _D Y t = K ∆ x u t − t − e … (3.1.11)

  ( ) ( ) ( ) D

  Dimana u(t – t ) menunjukkan bahwa responnya nol untuk t < t _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} D D _{DI NPRO / I I I / 10}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u

Gambar 3.1.4 Respon sistem order satu dengan time delay terhadap perubahan input fungsi tahap

  2 ∆x

  1.8

1.6 X (t)

  1.4

  1.2

1 K ∆x

  0.8

0.6 Y

  (t)

  0.4

  0.2 _t t = 0 t = _D

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  4

  4

  5

  

5

  6

  6

  7

  7

  8

  8 _t t D

  Time delay dead-time _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} atau _{DI NPRO / I I I / 11}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Respon FOPDT terhadap Ramp Input

  − − / ( t t ) τ ^D +

  Y t u t t Kr e Kr t t

  = − τ − − τ

  ( ) ( ) ( ) D [ D ]

  … (3.1.12) Respon FOPDT terhadap Sinusoidal Input

  ⎧ ⎫

KA KA

  ⎪ ωτ − − τ ⎪ ( t t ) / _D

  ( ) ( D ) ⎨ ( D ) ⎬

  Y t = u t − t e sin t − t … (3.1.13)

+ +

[ ω θ ]

  2

  2

  

2

• 2
• TUGAS 02

  1 τ ω 1 τ ω ⎪⎩ ⎪⎭

  Buat grafik respon untuk pers. (3.1.12) dan pers. (3.1.13) ! Ambil nilai: K = 1, r = 1, t = 3, τ = 1, ω = 1 _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} D _{DI NPRO / I I I / 12}

BAB III Respon Sistem Order Satu

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u

  Respon Untuk Unit Lead-Lag

  Pertimbangkan FT Lead-Lag berikut:

  ⎡ ⎤

• τ s

  1

  ld … (3.1.14)

  =

  Y s X s ( ) ⎢ ⎥ ( )

  τ + s

  1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  Lead-Lag Unit

  Dimana: τ adalah konstanta waktu untuk numerator (lead)

  ld

  τ adalah konstanta waktu untuk denominator (lag)

  lg Lead-Lag diaplikasikan untuk kompensasi dinamik FFC (Feed _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} Forward Control ) Æ dibahas pada pertemuan y.a.d. _{DI NPRO / I I I / 13}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Respon

  Lead-Lag Unit terhadap step input

  ⎛ ⎞

  τ − t / τ

  … (3.1.15)

  ⎜ ⎟

  Y t u t e

  = −

• ld

  1

  ( ) ( )

  ⎜ ⎟

  τ

  ⎝ ⎠

Gambar 3.1.5 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi tahap

  2 τ τ =

  2

  ld

  1.5

  1 t)

1 Y(

  0.5

  0.5

  1

  2

  3

  4

  

5

  6

  7

  8 _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} t _{DI NPRO / I I I / 14}

  3.1 Respon Sist em Or der Sat u Respon

  Lead-Lag Unit terhadap ramp input − t / τ

  Y e t t

  = τ − τ τ + − τ +

  … (3.1.16) ( ) ( ) ld

Gambar 3.1.6 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi ramp

  10 9 ( τ − τ ) ld lg

  (a) Net Lead: τ > τ _{ld lg}

  8

  7 (a) (b) Net Lag: τ > τ _{lg ld (t)}

  6

( τ − τ )

  5 X(t) _Y lg ld

  4

  3 (b)

  2

1 Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY

  1

  2

  3

  4

  5 _t

  6

  7

  8

  

9

  10 _{DI NPRO / I I I / 15}

BAB III Respon Sistem Order Satu

  3.2 Fungsi Transfer dan Diagram Blok

  Fungsi Transfer

  m m 1 t s − − _D

  Y s K ( a s a s L a s

• 1 ) e

  ( ) m m −

  1

  1

  = =

  G s … (3.2.1)

  ( ) n n

  1 − X s

  ( ) ( b s b s L b s

  1 )

  n n

  1

  1 − ≥ m Dimana: n

  G(s) = fungsi transfer (secara umum) Y(s) = transformasi laplace variabel output X(s) = transformasi laplace variabel input K, a, b = konstanta t = deadtime _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} D _{DI NPRO / I I I / 16}

  3.2 Fungsi Tr ansfer & Diagr am Blok

  Diagram Blok

  Diagram blok dibentuk oleh kombinasi 4 elemen dasar: 1. panah ( arrow) : informasi arah, yang menggambarkan variabel proses atau sinyal kontrol

  2. titik penjumlahan (summing point) : penjumlahan aljabar input panah 3. titik percabangan (branch point) : posisi dimana panah bercabang menuju ke titik penjumlahan atau blok yang lain

  4. blok (block) : operasi matematis dalam fungsi transfer _{Summing point R(s) Block E(s) M(s)}

• + G (s)
_{C Arrow C(s)} − _{Arrow M(s) Branch point} M(s) = G (s).E(s) = G (s).{R(s) – C(s)} _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} c c _{DI NPRO / I I I / 17}

  3.2 Fungsi Tr ansfer & Diagr am Blok

  Diagram Blok Sederhana

  Satu-Input-Satu-Output (SISO) n-Input-Satu-Output X(s) Y(s) X (s) ₁ G(s)

  G ₁ (s)

X (s)

² +

  G (s) ₂ Dua-Input-Satu-Output Y(s) + .

  .

• .

  X (s) ¹ +

X (s)

  G (s) _{1 n} G (s) _n Y(s) X (s) ₂ G ₂ (s) _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I I / 18}

• BAB III Respon Sistem Order Satu

  3.2 Fungsi Tr ansfer & Diagr am Blok Y s

  1 ( )

  Contoh 3.2.1: Gambarkan diagram blok untuk pers: =

  1 U s τ + s ( )

  

Y(s)

U(s)

  1

• τ s

  1 Contoh 3.2.2: Gambarkan diagram blok untuk pers:

  K K

  1

  2

  Γ = Γ Γ

• S

  s s s ( ) i ( ) ( )

  τ + + s 1 τ s

  1 K

  ( s) Γ _{i Γ} 1 ( s) _{i K 1}

  Γ ( s) ( s)

  1 Γ atau τ + s

  1 ( s) K

• _s

  Γ

  ( s) + 2 Γ _s

  K ₂

• s

  1 _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} τ _{DI NPRO / I I I / 19}

  3.2 Fungsi Tr ansfer & Diagr am Blok Contoh 3.2.3: Tentukan Fungsi Transfer hubungan Y terhadap X dan X

  1

  2 berdasarkan diagram blok berikut:

  X (s) ₁ G ₁

• + Y

  − ^{1 Y} ₃ G G _{2 3}

• + Y(s)
• +

  Y

2<
• + X (s)
₂ G ₄ −

  Y ₃ Penyelesaian dengan manipulasi aljabar:

• + Y(s)

  Y = Y + Y

  3

  2

• + _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  Y _{2 DI NPRO / I I I / 20}

  3.2 Fungsi Tr ansfer &amp; Diagr am Blok Y Y _{1 3} G ₃ dari diperoleh:

  Y = Y G + Y

  1

  3

  2 Mencari Y

  1 Y = Z + Z

  1

  

1

  2 Z X (s) ₁ ¹ G ₁ Y = X G – X G

• + 1

  

1

  1

  1

  2 Y ₁ −

  G ₂ ( )

  

Y = X G – G

Z ₂

  1

  

1

  1

  2 Mencari Y

  2 Z ₃ Y Y = Z – X ₂

  2

  

3

  2

• + X (s)
₂ G ₄ −

  

Y = X G – X

  2

  

2

  4

  2

(

  

Y = X G – 1)

_{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  2

  

2

  4 _{DI NPRO / I I I / 21}

BAB III Respon Sistem Order Satu

• 1 − − =
• – G

• +

  +

• – 1)
• + C(s)
• + +
• − =

  1

  4

  6

  4

  5

  2

  3

  4

  6

  C s c set c c

  G G C s G G G G G G G G G G

  ( ) ( ) ( ) L s G G G G G

  2

  3

  4

  2

  

3

  4

  6

  4

  5

  ( ) ( ) ( ) ( ) L s G G s C G G G G G s C G G G G G s C c set c

  Penyusunan persamaan untuk mendapatkan hubungan C terhadap perubahan C set dan L:

  1

• = +

  2

  3

  4

  2

  1

  G G L s C s G s c load

  1 G G G G G

  4

  5

  2

  3

  

4

  6

  ( ) ( ) ( )

  G G G G G C s C s G s c c set sp

  1 G G G G G

  2

  3

  3

  

4

  2

  3

  

4

  6

  ( )

  Jadi, diperoleh dua fungsi transfer: ( ) ( )

  1

  1

  1

  2

  3

  4

  6

  X ₁ (s)

  Penyelesaian dengan manipulasi aljabar: E

  G ₆ G ₃ G _c

  C ^set ( s) −

  3.2 Fungsi Tr ansfer &amp; Diagr am Blok G ₁ G ₂ G ₄ G ₅ L(s)

  DI NPRO / I I I / 23 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} Contoh 3.2.4: Tentukan Fungsi Transfer hubungan C terhadap L dan C set berdasarkan diagram blok berikut, dan sederhanakan diagram bloknya:

  Y(s)

  4

  3 (G

  2 )G

  1

  X (s) (G

  2 ke Y: Diagram blok sederhana untuk soal 3.2.3:

  1

  1 dan Y

  3.2 Fungsi Tr ansfer &amp; Diagr am Blok Substitusi Y

  1

  2

  3

  1

  4

  2

  X G G G s Y

  X G s

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s

  X C(s) = G

  4 X(s) X(s) = G c

  G

  2 G

  2

  3

  

4

  4

  5

  L s G G s C G G G G G G G G G G s C set c c

  3.2 Fungsi Tr ansfer &amp; Diagr am Blok ( )( ) ( ) ( )

  5 L(s)} DI NPRO / I I I / 24 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  6 C(s)] + G

  1 C set (s) – G

  3 [G

  2 G

  G

  4 {G c

  5 L(s) C(s) = G

  6 C(s)] + G

  1 C set (s) – G

  3 [G

  2 G

  G

  6 C(s) X(s) = G c

  1 C set (s) – G

  5 L(s) E(s) = G

  3 E(s) + G

• =
• = =
• = =

BAB III Respon Sistem Order Satu DI NPRO / I I I / 22 Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY

  3.2 Fungsi Tr ansfer &amp; Diagr am Blok set

  Diagram blok sederhana (Contoh 3.2.4) hubungan dua input: C (s) dan L(s), dengan satu output C(s) adalah: set

  C (s) G G G G G

  1 c

  2

  3

  4

• 1 G G G G G

  3

  4

  

6

c
• 2

  C(s) L(s) G G

• 4

  5

• 1 G G G G G

  c

  2

  3

  4

  

6

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY _{DI NPRO / I I I / 25}

3.3 Dinamika Proses Order Satu

  Pemodelan Untuk Proses-Proses Industri 1) Pelatihan operator (Operator training) 2) Perancangan proses (Process design) Mengapa perlu pemodelan? 3) Keselamatan sistem (Safety system) 4) Pengendalian proses (Process control)

  Untuk mempelajari karakteristik sistem proses (tangki, reaktor, menara distilasi, penukar panas, dll) dan kelakuaannya, diperlukan: 1. variabel-variabel bebas (independent variables) dan tidak bebas (state variables) dari sistem

  2. persamaan-persamaan hubungan antara variabel proses yang dapat menggambarkan kelakuan dinamik proses terhadap perubahan waktu Tiga kuantitas fundamental dalam Proses Kimia: (1) MASA, (2) ENERGI, dan (3) MOMENTUM _{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I I / 26}

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u PRINSIP KEKEKALAN DARI KUANTITAS S

  Akumulasi S Laju aliran S Laju aliran S

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  dalam sistem masuk sistem keluar sistem

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = −

  periode waktu periode waktu periode waktu Sejumlah S yg ter Sejumlah S yg ter

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  bangkitkan dlm sistem konsumsi dlm sistem

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − +

  periode waktu periode waktu … (3.3.1)

  Massa Total Massa Massa Komponen S dapat berupa:

  Energi _{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} Momentum _{DI NPRO / I I I / 27}

BAB III Respon Sistem Order Satu

  2

  3 ⎥⎦ ⎤

  3

  = = − +

  ρ ρ ρ ρ

  A dt V d t f t f t f ρ

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt t dh

  Asumsi: densitas cairan umpan, ρ tetap dan suhu cairan tetap

  2 m menit

  ⎢⎣ ⎡

  =

  N.M. kondisi tidak tunak: … (3.3.2)

  R t h t f

  ρ ρ ( ) ( )

  2 ( t),

  1 ( t), ρ f

  ρ : densitas cairan, [kg/m ³ ] h : ketinggian cairan di dalam tangki [m] A : luas penampang tangki R : tahanan aliran cairan h(t), [m] f

  2 ) dan output (h) untuk sistem proses tangki cairan berikut: f : laju alir volumetrik, [m ³ /menit]

  1 dan f

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u Contoh 3.3.1: Tentukan Fungsi Transfer hubungan input (f

1 Penyelesaian:

  3.3 Dinam ik a Proses Or der Sat u … (3.3.3)

• t f t f = −
• = + τ

  DI NPRO / I I I / 29 ^{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} ( ) ( ) ( ) ( ) dt t dh

  = τ

  ( ) ( ) s

  F f t f t

  2

  2

  2

  − =

  ( ) ( ) s

  H h t h t − = R K p

  =

  AR p

  Term deviasi : Gain proses : Konstanta waktu proses Karena pers. (3.3.6) adalah linear, maka dapat dilakukan TL:

  1

  ( ) ( ) ( ) ( ) H s s sH s F K s F K p p p

  2

  1 ( ) ( ) ( )

  F s s K F s s K

  H s p p p p

  2

  1

  1

  1

  τ τ

  … (3.3.10) … (3.3.7) … (3.3.8) … (3.3.9)

  − = dimana:

  1

  A R t h

  1

  2

  1

  N.M. kondisi tunak: dt dh

  A R h f f s s s s

  = − +

  2

  1 … (3.3.4)

  Pers. (3.33) – pers. (3.3.4) menghasilkan: ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

  [ ] ( ) dt h t dh

  

A

R h t h f t f f t f s s s s

  − =

  − − − + −

  2

  1

  1 … (3.3.5)

  Persamaan keadaan (model matematik) dalam term deviasi adalah: ( ) ( ) ( )

  ( ) H t dt t dH F t K t F K p p p

  2

  1 … (3.3.6)

• = + τ
• =

  DI NPRO / I I I / 30 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u ( ) ( ) s

  F f t f t

  2

BAB III Respon Sistem Order Satu DI NPRO / I I I / 28 Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY

• =
• = =
• =
• = =
• s K
• s
• s K
• = − + =

  Contoh 3.3.2: Linearisasi persamaan laju aliran tak-linear

  

atau

DI NPRO / I I I / 33 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  τ

  K p p

  1

  τ

  p p

  1

  2 (s)

  F

  1 (s)

  Diagram blok proses tangki cairan (Contoh 3.3.1) H (s) F

  2

(s)

  F

  1

(s)

  H (s) F

  τ

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika laju alir keluar tangki dinyatakan dengan pers. tak-linear:

  3 ( ) ( ) ( ) ( ) dt t dh

  ( ) ( ) β t h t f =

  = h t f − + β β ( )

  … (3.3.17)

  β β β β

  3

  2

  2 ) (

  2 ) (

  [ ] s

s

s s s h t h

h

h t h h h t f

  3 h t h h

  A t h t f t f

  1 ) (

  2

  ) ( ) ( ) (

  Linearisasi pers. tak-linear: ( ) [ ]

  Substitusi pers. (3.3.12) ke (3.3.2): … (3.3.16) tak-linear

  1 … (3.3.15)

  2

  = − + β

  p p

  1

  … (3.3.14)

  Fungsi transfer pengaruh f

  s K F s H s

  1

  1

  1

  ( )

  … (3.3.11) ( ) ( )

  1 (t) terhadap h(t):

  τ

  τ

  1

  1

  F s s K H s p p

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u ( ) ( )

  2 (s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

  2 (t) tetap, maka F

  1 ( t) berubah, dan f

  G s p p

  … (3.3.12) Jika laju volumetrik f

  τ

  2 (t) terhadap h(t):

  G s p p

  s K F s H s

  2

  2

  1

  ( )

  3.3 Dinam ik a Proses Or der Sat u ( ) ( )

  Fungsi transfer pengaruh f

  2 ( t) berubah, dan f

  … (3.3.13) DI NPRO / I I I / 32 ^{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  τ

  1

  2

  K H s p p

  ( ) ( ) F s s

  1 (s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

  1 (t) tetap, maka F

BAB III Respon Sistem Order Satu DI NPRO / I I I / 31 Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY Jika laju volumetrik f

• = +
• = + τ

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u Contoh 3.3.3: Respon dinamik tangki cairan terhadap perubahan step input Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika diketahui data sebagai berikut: menit m f s

  2

  2

  = ;

  2 3 .

  3

  ; menit m f s

  1 = 2 .

  3

  Dengan cara yang sama diperoleh transformasi laplace: dimana: DI NPRO / I I I / 36 ^{Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY}

  

( ) ( )

R

t h

t f =

  = τ τ

  1 1 +

  1

  

2

  H s p p p p

  K F s s K

  ( ) ( ) ( )

F s

s

  3.3 Dinam ik a Proses Or der Sat u … (3.3.21) … (3.3.22)

  m menit R =

  3 f

  2 =

  ⎢⎣ ⎡

  Dimensi tangki:

  = =

  m menit R K p

  2

  2

  2 ] ; Tinggi tangki = 2 [m] Parameter kondisi tunak:

  Luas alas: A = 1 [m

  = = τ

  = ⎥⎦ ⎤

  3 (t) dinyatakan dengan pers. linear: , dengan

  2

  2

  2

  1

  2

  [ ] menit m m menit RA p

  = 1 [m] ( ) ( )

  Tinggi cairan: h s

  Persamaan keadaan dalam term deviasi: … (3.3.20)

  s p h K

  2

  1

  2

  = − − +

  A h t h h t f t f s s

  ( ) ( ) ( ) ( )

dt

t dh

  … (3.3.18) N.M. pada kondisi tunak:

  3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u Maka diperoleh persamaan linear:

  β

  2

  2

  2

  A t F t F s

  H t h dt t dH

  ( ) ( ) ( ) ( )

  β β

  1

  2

  2

  β

  1

  = − − +

  β

  2 =

  s p A h

  β τ

  1

  2

  ( ) H t dt t dH F t K t F K p p p

  dt dh A h h h f f

s

s s s s s

  1

  β β

  1

  2

  2

  2

  − = − − − + −

  A h t h h f t f f t f s s s s s

  ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] dt h t h d

  … (3.3.19) Pers. (3.3.14) – Pers. (3.3.15):

  2

  DI NPRO / I I I / 35 ^{Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY} ( ) ( ) ( )

BAB III Respon Sistem Order Satu DI NPRO / I I I / 34 Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY

• =
• ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
• =
• =
• − →
• →
• =
• ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
• =
• −
• =
• =

  1

  1

  M e K M K e M K t H τ τ