Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi
Modul 6
Penggunaan Fungsi
Non-Linear Dalam Ekonomi
Drs. Wahyu Widayat, M.Ec
PE NDAH ULUA N
F
ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika
untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang
menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh
sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan
memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat
dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi,
karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi
yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat
dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk
fungsi permintaan dan penawaran.
Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier,
sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul
berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik
yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu:
a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi
non-linier;
b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier;
c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang
disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik;
d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan;
e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep
kurva indifference;
6.2
f.
Matematika Ekonomi 1
menghitung kombinasi jumlah barang
menggunakan konsep garis anggaran.
yang
diminta
dengan
6.3
ESPA4112/MODUL 6
Kegiatan Belajar 1
Fungsi Permintaan dan Penawaran
P
ada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi
penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi
permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear
seperti berikut:
P
S
D
0
Q
Gambar 6.1 Kurva permintaan dan penawaran
Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu
horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun
penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung. Mengingat bahwa
keinginan seseorang untuk membeli suatu barang akan bertambah bila
harganya turun dan keinginan seseorang untuk menjual suatu barang akan
bertambah bila harganya naik, maka dari gambar kedua kurva di atas dengan
mudah dapat ditebak bahwa kurva yang menurun adalah kurva permintaan
dan kurva yang menaik merupakan kurva penawaran. Kurva permintaan
dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola atau hiperbola, sedangkan
kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola. Dalam ilmu
ekonomi, umumnya seseorang tidak akan meninjau harga dan jumlah barang
yang nilainya negatif, sehingga bagian kurva yang berlaku dan digunakan
adalah bagian kurva permintaan dan penawaran yang berada di kuadran satu.
Melalui gambar di bawah ini dapat dilihat bahwa kurva permintaan
dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan
sumbu vertikal maupun sumbu horisontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas
6.4
Matematika Ekonomi 1
maupun ke bawah atau terbuka ke kiri maupun ke kanan. Meskipun demikian
setiap bentuk kurva ini mempunyai ciri-ciri sendiri yang satu sama lainnya
berbeda.
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu
vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut:
(Q - h)2 = 4p (P - k)
P
P
p0
p>0
h>0
k≤0
(a)
0
Q
0
P
Q
P
p0
k0
h≤0
k>0
0
Q
Q
Gambar 6.2 Grafik Bentuk-bentuk Kurva Parabola
Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex
(h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h
≤ 0 dan k > 0.
Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola
macam ini mempunyai
p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran
keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0
6.5
ESPA4112/MODUL 6
dan k ≤ 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu
bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan
yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku
mempunyai batas yaitu
0 < Q < Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva
yang menurun.
Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah
parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan
bentuk umumnya adalah
(P - k)2 = 4p(Q - h)
Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik
vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.
Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0.
Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P
> 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.
Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h ≤ 0
dan k > 0. Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa bagian parabola yang
berada di kuadran pertama ada dua potong, yakni bagian kurva yang menaik
dan potongan kurva yang menurun. Mengingat sifat kurva permintaan yang
selalu menurun, maka bagian kurva yang digunakan untuk kurva permintaan
adalah potongan parabola yang menurun. Dengan demikian maka nilai P
yang memenuhi batas adalah 0 < P < P1, di mana P1, terletak pada kurva
yang menurun.
Contoh 6.1:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
1
P = 11 - Q - Q 2
4
Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut:
4P = 44 - 4Q - Q2 + 4 – 4
atau
Q2 + 4Q + 4 = 4P + 48
(Q + 2)2 = -4(P - 12)
6.6
Matematika Ekonomi 1
maka:
P = -1, h = -2, k = 12
Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11.
Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan
Q1 = -2 + 4 3
Q2 = -2 - 4 3
P
p = 11 – Q -
0
1 2
Q
2
Q
Contoh 6.2:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
1
P = Q 2 − 4Q + 20
5
Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut:
1 2
Q − 4Q + 20 = P
5
Q 2 − 20Q + 100 = 5P
5
(Q −10) 2 = 4. (P − 0)
4
5
, h = 10, k = 0 dan titik vertex berada di sumbu Q.
4
Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0, jadi untuk Q = 0, maka P
=20.
Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0, jadi untuk P = 0 makaQ= 10.
Jadi p =
6.7
ESPA4112/MODUL 6
20
14
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
Kurva permintaan adalah P =
10
1
Q − 4Q + 20 untuk 0 < Q < 10
5
Contoh 6.3:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
1
Q = 15 − P − P 2
4
Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara:
1 2
P + P − 15 = − Q
4
P 2 + 4P − 60 = − 4Q
P 2 + 4P + 4 = − 4Q + 64
(P + 2) 2 = − 4(Q − 16)
Jadi P = -1, h = 16, k = -2.
Dari persamaan Q = 15 − P −
maka P1 = 6 dan P2 = -10.
1 2
P , bila P = 0, maka Q = 15 dan bila Q = 0,
4
6.8
Matematika Ekonomi 1
Contoh 6.4:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
P 2 − 20P − 5Q + 100 = 0
Persamaan ini dibawa ke bentuk umumnya:
P 2 − 20P + 100 = 5Q
(P − 10) 2 = 5(Q − 0)
5
Jadi P = , h = 0, k = 10, titik vertex di sumbu P.
4
Kurva memotong sumbu Q bila P = 0 dan Q = 20.
6.9
ESPA4112/MODUL 6
P
10
0
20
Q
Di atas telah disebutkan bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian
dari hiperbola yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu
vertikal. Seperti pada parabola, maka hiperbola yang dipakai sebagai
permintaan adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Gambar grafik
dari hiperbola yang bagiannya merupakan permintaan dapat dilihat pada
gambar berikut ini:
Y
0
Y
(a)
Q
0
Gambar 6.3
Grafik Kurva Permintaan dari Hiperbola
X
6.10
Matematika Ekonomi 1
Dari dua grafik di atas dapat dilihat bahwa titik pusat parabola terletak di
kuadran pertama atau di kuadran ketiga. Sesungguhnya tidak ada batasan
untuk letak titik pusat parabola. Bila pada kuadran pertama terdapat dua
bagian hiperbola yang masing-masing menurun dari kiri atas ke kanan
bawah, maka kurva yang akan dipilih, sangat ditentukan oleh permasalahan
yang sedang dihadapi.
Contoh 6.5:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
QP + 2P = 20
Persamaan ini dapat dirubah menjadi (Q + 2)(P - 0) = 20, dan merupakan
hiperbola dengan pusat (-2, 0) dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2.
Perpotongannya dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 dan P = 10.
P
QP + 2P = 20
Q
(-2, 0)
0
Contoh 6.6:
Gambarkan kurva permintaan QP – 10P – 12Q + 100 = 0 untuk P < 10 dan
1
Q< 8 .
3
Kurva permintaan dibawa ke bentuk umum hiperbola:
QP – 10P – 12Q + 100 = 0
QP – 10P – 12Q + 120 = 20
6.11
ESPA4112/MODUL 6
P(Q – 10) – 12(Q – 10) = 20
(Q – 10)(P – 12) = 20
Titik pusat hiperbola (10, 12) dengan asimtot Q = 10, P = 12.
1
Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu Q bila P = 0 dan Q = 8 .
3
Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu P bila Q = 0 dan P = 10.
(10,12)
10
QP – 10P – 12Q + 100 = 0
0
8
1
3
Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola. Parabola yang
digunakan sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu
vertikal. Bagian kurva yang digunakan untuk kurva penawaran adalah bagian
kurva yang menaik dan terletak pada kuadran pertama., seperti terlihat pada
gambar di bawah ini
6.12
Matematika Ekonomi 1
P
P
0
Q
0
Q
Gambar 6.4
Grafik Kurva Penawaran dari Parabola
Contoh 6.7:
Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan:
Q 2 + 2Q + 1
P=
4
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi:
(Q + 1)2 = 4(P - 0)
Titik Vertex (-1,0)
P
y=
0
Q 2 + 2Q +1
4
Q
6.13
ESPA4112/MODUL 6
Contoh 6.8:
Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan:
4x − y 2 − 2y − 5 = 0
Persamaan dibawa ke bentuk normal:
4x = y 2 + 2y + 1 + 4
4(x + 1) = (y + 1) 2
Titik vertex (-1, -1) dan p =
1
4
P
4x − y2 − 2 y −5 = 0
Q
(-1, -1)
Kurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga
dan jumlah keseimbangan. Harga dan jumlah keseimbangan merupakan titik
potong kurva penawaran dan permintaan yang nilainya dapat ditentukan
secara grafis dengan melukiskan kedua kurva secara seksama. Penentuan
harga dan jumlah keseimbangan secara analisis belum tentu di dapat dengan
mudah karena mungkin akan menyangkut pencarian akar persamaan derajat
tiga atau empat yang teori penyelesaiannya tidak akan dibicarakan di sini.
Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan
dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua.
Persamaan ini timbul karena:
6.14
*
*
*
Matematika Ekonomi 1
Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat
dua;
Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk
parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk
fungsi permintaan.
Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan
fungsi kuadrat dari harga.
Contoh 6.9:
Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan kurva
permintaan berikut:
Q s = P2 + P – 2
Qd = -2P + 16
Keseimbangan tercapai jika Qs = Qd
Jadi:
P2 + P - 2 = -2P + 16
P2 + 3P - 18 = 0
(P - 3)(P + 6) = 0
P1 = -6 (tidak dipakai)
P2 = 3
Untuk P = 3, maka Q = -2(3) + 16 = 10
Jadi harga keseimbangan = P = 3
Jumlah keseimbangan
= Q = 10.
6.15
ESPA4112/MODUL 6
P
8
Q = -2P + 16
Q = P2 + P -2
3
1
0
10
16
Q
-2
Contoh 6.10:
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan
permintaan berikut:
Qs = P2 + 2p – 2
Qd = -P2 + 10
Keseimbangan tercapai apabila Qs = Qd, atau:
P2 + 2P – 2 = -P2 + 10
2P2 + 2P – 12 = 0
P2 + P – 6 = 0
(P + 3)(P – 2) = 0
P1 = -3 (tidak dipakai)
P2 = 2
Untuk P = 2, maka Q = 6.
6.16
Matematika Ekonomi 1
Jadi harga keseimbangan = P = 2
Jumlah keseimbangan = Q = 6
P
8
Q = -2P + 16
Q = P2 + P - 2
3
1
0
10
16
Q
-2
Contoh 6.11
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan
permintaan berikut:
2P = 5Qs + 2
3P = -Qd2 – 2Qd + 26
Qd = Qs, maka
6P = 15Q + 6 = -2Q2 – 4Q + 52
2Q2 + 19Q – 46 = 0
2Q2 + 23Q – 4Q – 46 = 0
Q(2Q + 23) – 2(Q + 23) = 0
(2Q + 23)(Q – 2) = 0
Q1 = - 11
1
(tidak dipakai)
2
Q2 = 2
Untuk Q = 2, maka P =
1
(5(2) + 2) = 6
2
6.17
ESPA4112/MODUL 6
Jadi harga keseimbangan = P = 6
Jumlah keseimbangan = Q = 2.
P
(-1,9)
2P = 5Q + 2
(2,6)
3P = -Q2 – 2Q + 26
0
Q
Bila konsumen membeli barang sebesar Q satuan pada tingkat harga P,
maka produsen akan menerima uang sebanyak Q.P yaitu jumlah yang dibeli
dikalikan harganya atau dengan simbol:
TR = Q . P
TR adalah simbol untuk penerimaan total (total revenue). Untuk fungsi
permintaan yang menurun dan linear, harga (P) tidak tetap, sehingga kurva
TR = Q.P merupakan fungsi yang tidak linear.
Misalkan, ada fungsi permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan P
= a - bQ di mana a dan b > 0, maka kurva penerimaannya adalah:
TR = a Q – b Q2
Ini merupakan persamaan parabola yang terbuka ke bawah dan
memotong sumbu horisontal Q di titik Q = 0 dan Q = a/b. Titik puncak
terjadi di:
a a2
a
dengan koordinat ( , ).
Q=
2b 4b
2b
6.18
Matematika Ekonomi 1
Grafik dari fungsi permintaan dan fungsi penerimaan dapat dilihat pada
gambar berikut ini:
P
2
( 2ab , a4b )
TR
0
Q
0
Q
a
2b
a
b
Gambar 6.5 Grafik fungsi permintaan
Contoh 6.12:
Bila diketahui fungsi permintaan P = 20 - Q, gambarkan kurva
penerimaannya.
Penerimaan = Q . P
TR = 20Q - Q2
Titik potong TR dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 20 dengan titik
puncak (10,100).
TR
(10, 100)
0
10
20
Q
6.19
ESPA4112/MODUL 6
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Permintaan: 2Q + P = 10
Penawaran: P2 – 4Q = 4
2) Permintaan: 2Q2 + P = 9
Penawaran: Q2 + 5Q – P = -1
3) Permintaan: Q = 64 – 8P – 2P2
Penawaran: Q = 10P + 5P2
4) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97
Penawaran: P – Q = 6
Dapatkan fungsi penerimaan dan gambar grafiknya bila diketahui fungsi
permintaannya.
5) Permintaan: P + 2Q = 5
6) Permintaan : Q + 2P = 10
Petunjuk Jawaban Latihan
1) 2Q + P = 10
P2 – 4Q = 4
atau
atau
4Q + 2P = 20
-4Q + P2 = 4
2P + P2 = 24
+
P2 + 2P – 24 = 0
(P + 6)(P – 4) = 0
P1 = -6 (tidak dipakai)
P2 = 4
Untuk P = 4, maka Q = 3
Jadi harga keseimbangan
=P=4
Jumlah keseimbangan = Q = 3
6.20
Matematika Ekonomi 1
P
P2 – 4Q = 4
(3,4)
2Q + P = 10
Q
2) 2Q2 + P = 9 atau
P = 9 – 2Q2
Q2 + 5Q – P = -1
atau
P = Q2 + 5Q + 1
Jadi P = 9 – 2Q2 = Q2 + 5Q + 1
atau 3Q2 + 5Q – 8 = 0
3Q2 + 8Q – 3Q – 8 = 0
Q(3Q + 8) – (3Q + 8) = 0
(3Q + 8)(Q – 1) = 0
Q1 = −
8
(tidak dipakai)
3
Q2 = 1
Untuk Q = 1, maka P = 7
Jadi harga keseimbangan
=P=7
6.21
ESPA4112/MODUL 6
Jumlah harga keseimbangan
=Q=1
P
(0,9)
Q2 + 5Q – P = -1
(1,7)
2Q2 + P = 7
Q
3) Q = 10P + 5P2
Q = 64 – 8P – 2P2
Q = 10P + 5P2 = 64 – 8P – 2P2
7P2 + 18P – 64 = 0
7P2 + 32P – 14P – 64 = 0
P(7P + 32) – 2(7P – 32) = 0
(7P + 32)(P – 2) = 0
P1 = −
32
(tidak dipakai)
7
P2 = 2
Untuk P = 2, maka Q = 40
6.22
Matematika Ekonomi 1
Jadi harga keseimbangan
Jumlah harga keseimbangan
=P=2
= Q = 40.
Q
Q = 64 – 8P – 2P2
Q = 10P + 5P2
2
0
40
4) PQ + 12P + 6Q = 97
atau PQ + 12P + 6Q + 72 = 169
P(Q + 12) + 6(Q + 12) = 169
(P + 6)(Q + 12) = 169
Penawaran: P – Q = 6 atau P = 6 + Q
Substitusikan penawaran ke dalam permintaan, diperoleh:
(6 + Q + 6)(Q + 12) = 169
(Q + 12)(Q + 12) = 169
Q
6.23
ESPA4112/MODUL 6
P
P–Q=6
PQ + 12P + 6Q = 97
Q
5) Permintaan P + 2Q = 5
atau P = 5 – 2Q
Penerimaan = TR = P.Q
TR = 5Q – 2Q2
Perpotongan dengan sumbu Q pada Q = 0 dan Q = 2
1 1
(1 , 6 )
4 4
1
; dan puncak
2
6.24
Matematika Ekonomi 1
Rp
TR = 5Q – 2Q2
P + 2Q = 5
0
Q
1
6) Permintaan Q + 2P = 10 atau P = 5 − Q
2
Penerimaan TR
= P.Q
1
= 5Q - Q2
2
Perpotongan dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 10.
1
Titik puncak (5, 12 ).
2
Rp
TR = 5Q -
1 2
Q
2
Q + 2P = 10
0
5
10
Q
ESPA4112/MODUL 6
6.25
RA NGK UMA N
Selain berbentuk fungsi linear, fungsi permintaan dan penawaran
dapat pula berbentuk fungsi non-linear. Bentuk non-linear dari fungsi
permintaan dapat berupa potongan parabola dan potongan hiperbola.
Adapun bentuk non-linear dari fungsi penawaran adalah potongan
parabola. Fungsi permintaan dan penawaran bersama-sama akan
membentuk harga dan jumlah keseimbangan yang merupakan titik
potong kedua kurva di kuadran pertama.
Persamaan permintaan yang linear memberikan fungsi penerimaan
(total revenue) yang non-linear. Fungsi penerimaan ini merupakan
parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu harga (P) dan terbuka ke
bawah.
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Diketahui pasangan persamaan:
a. Q = 16 – 2P
b. 4Q = 4P + P2
Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran serta harga dan
jumlah keseimbangan
: 4Q = 4P + P2
A. Fungsi penawaran
Fungsi permintaan
: Q = 16 – 2P
Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4)
: 4Q = 4P + P2
B. Fungsi penawaran
Fungsi permintaan
: Q = 16 – 2P
Harga dan jumlah keseimbangan (9, 5)
: Q = 16 – 2P
C. Fungsi penawaran
Fungsi permintaan
: 4Q = 4P + P2
Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4)
D. Fungsi penawaran
: Q = 16 – 2P
Fungsi permintaan
: 4Q = 4P + P2
Harga dan jumlah keseimbangan (5, 9)
6.26
Matematika Ekonomi 1
2) Diketahui pasangan persamaan:
Q Q2
a. P = 2 + +
5 20
30 − Q
b. P =
4
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
Q Q2
A. Fungsi penawaran = P = 2 + +
5 20
30 − Q
Fungsi permintaan = P =
4
Harga dan jumlah keseimbangan ((5, 61), (5, 99))
30 − Q
B. Fungsi penawaran = P =
4
Q Q2
Fungsi permintaan = P = 2 + +
5 20
Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77))
Q Q2
+
5 20
30 − Q
Fungsi permintaan = P =
4
Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77))
C. Fungsi penawaran = P = 2 +
Q Q2
+
5 20
30 − Q
Fungsi penawaran = P =
4
Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 99), (5, 7))
D. Fungsi permintaan = P = 2 +
3) Diketahui pasangan persamaan:
a. Q = 32 – 4P – P2
Q
b. P =
+1
20
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
6.27
ESPA4112/MODUL 6
A. Fungsi penawaran = P =
Q
+1
20
Fungsi permintaan = Q = 32 − 4P − P 2
Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 22)
B. Fungsi penawaran = P =
Q
+1
20
Fungsi permintaan = Q = 32 − 4P − P 2
Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 2)
C. Fungsi penawaran = Q = 32 − 4P − P 2
Q
+1
20
Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 2)
Fungsi permintaan = P =
D. Fungsi penawaran = Q = 32 − 4P − P 2
Q
+1
20
Harga dan jumlah keseimbangan = (2, 10)
Fungsi permintaan = P =
4) Diketahui pasangan persamaan:
a. P = 48 – 3Q2
b. P = Q2 + 4Q + 16
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
A. Fungsi penawaran = P = 48 − 3Q 2
Fungsi permintaan = P = Q 2 − 4Q + 16
Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 31), (37, 15))
B. Fungsi penawaran = P = 48 − 3Q 2
Fungsi permintaan = P = Q 2 − 4Q + 16
Harga dan jumlah keseimbangan = ((31, 37), (2, 15))
C. Fungsi penawaran = P = Q 2 + 4Q + 16
Fungsi permintaan = P = 48 − 3Q 2
6.28
Matematika Ekonomi 1
Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 37), (31, 15))
D. Fungsi penawaran = P = Q 2 + 4Q + 16
Fungsi permintaan = P = 48 − 3Q 2
Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 15), (37, 31))
5) Diketahui pasangan persamaan:
a. (Q + 16)(P + 12) = 480
b. P = 2Q + 4
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
A. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 12) = 480
Fungsi permintaan = 2Q + 4
Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 12)
B. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 12) = 480
Fungsi permintaan = 2Q + 4
Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 14)
C. Fungsi penawaran = 2Q + 4
Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 12) = 480
Harga dan jumlah keseimbangan = (12, 14)
D. Fungsi penawaran = 2Q + 4
Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 12) = 480
Harga dan jumlah keseimbangan = (4, 12)
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
Jumlah Soal
× 100%
ESPA4112/MODUL 6
6.29
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
6.30
Matematika Ekonomi 1
Kegiatan Belajar 2
Kurva Indifference
S
etiap orang tahu persis berapa penghasilannya sebulan. Dalam waktu
tersebut ia harus membelanjakan uangnya untuk membeli barang dan jasa
yang dibutuhkannya. Kalau dimisalkan hanya ada dua macam barang yang
dapat dibelinya, yaitu barang x dan y, maka tempat kedudukan, titik-titik
yang koordinatnya menunjukkan kombinasi pembelian kedua macam barang
dinamakan kurva indifference.
Definisi kurva indifference adalah kurva yang menunjukkan titik-titik
kombinasi jumlah barang x dan barang y yang dikonsumsi pada tingkat
kepuasan tertentu. Kurva indifference dapat ditunjukkan oleh fungsi f(x,y) =
a, di mana x dan y adalah macam barang yang dikonsumsi dan a adalah
menunjukkan tingkat kepuasan. Perhatikan gambar berikut ini:
Y
A (X1, Y1)
y1
y3
C(X3, Y3) = a
B(X2, Y2) = a
y2
X
0
x1
x3
x2
Gambar 6.6
Kurva Indifference
Sumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x
yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y. Kurva
indifference f(x,y) = a, seperti telah disebutkan di atas merupakan tempat
kedudukan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan y yang dikonsumsi pada
tingkat kepuasan tertentu. Seandainya konsumen memilih kombinasi di titik
A, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x1 dan jumlah barang y
yang dikonsumsi sebanyak y1. Bila kombinasi yang dipilih adalah titik B,
maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x2 dan barang y yang
ESPA4112/MODUL 6
6.31
dikonsumsi sebanyak y2. Konsumen akan mengkonsumsi di kombinasi A
atau kombinasi B tidak menjadi persoalan, karena baginya kepuasan yang
diperoleh sama saja yaitu sebesar a.
Apabila parameter a besarnya diubah-ubah, maka akan diperoleh
himpunan kurva indifference yang satu sama lain tidak saling memotong
(Gambar 6.6). Pada umumnya konsumen akan bertambah kepuasannya
apabila dengan sejumlah uang yang sama dapat membeli barang x atau y
dalam jumlah yang lebih banyak. Oleh sebab itu kombinasi di titik C(x3,y3)
akan memberikan kepuasan yang lebih besar dari titik A (x1,y1) karena x3 >
x1, sehingga kedua titik terletak di kurva indifference yang berbeda.
Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa kurva indifference
merupakan kurva yang menurun, karena untuk menambah jumlah barang x
yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap
barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.
Suatu hal yang perlu diperhatikan lagi adalah kurva indifference
bentuknya cembung terhadap titik origin. Keadaan itu menunjukkan bahwa
setiap pengurangan y dengan selisih yang sama yaitu ∆y harus diimbangi
oleh pertambahan x sebesar ∆x yang nilainya semakin bertambah, agar
tingkat kepuasan yang sama dapat dipertahankan. Ini sesuai dengan hukum
substitusi yang menyatakan bahwa suatu barang yang semakin langka, nilai
substitusinya semakin besar terhadap barang yang melimpah.
Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference
adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Perhatikan gambar berikut ini:
6.32
Matematika Ekonomi 1
Y
Y
0
X
0
X
(a)
(-h,-k)
(b)
Y
0
X
y = -k
(c)
Gambar 6.7
Bentuk-bentuk kurva Indifference
Pada gambar (a), kurva indifference ditunjukkan oleh bagian dari
lingkaran dengan persamaan:
(x - a)2 + (y - a)2 = a2
Bila parameter a diubah, maka titik pusat (a,a) akan bergeser dan jari-jari
lingkaran = a juga akan berubah sehingga didapat himpunan lingkaran. Jadi
yang digunakan sebagai kurva indifference hanyalah seperempat lingkaran
yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y. Persamaan dengan
bentuk umum seperti ditunjukkan di atas bentuknya dapat diubah menjadi:
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2ay + a2 = a2
x2 + 2xy + y2 - 2ax - 2ay + a2 = 2xy
ESPA4112/MODUL 6
6.33
(x + y)2 - 2a(x + y) + a2 = 2xy
(x + y - a)2 = 2xy
x + y - a = 2xy
x+y-
2xy = a
Contoh 6.13:
Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh
persamaan x + y - 2xy = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur,
maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia
mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15
satuan?
Jawaban:
x = 3, a = 15
Jadi 3 + y y - 12 =
6y = 15 atau
6y
y2 - 24y + 144 = 6y
y2 - 30y + 144 = 0
y2 - 24y - 6y + 144 = 0
(y - 24)(y - 6) = 0
Jadi y1 = 6 dan y2 = 24
Bila tidak ada barang x yang dikonsumsi, maka agar tingkat
kepuasannya tetap 15 satuan, jumlah barang y yang dikonsumsi adalah y =
15, oleh sebab itu pada tingkat kepuasan yang sama ia tidak mungkin
mengkonsumsi sebanyak 24 unit. Jadi jumlah barang y yang dikonsumsi
adalah 6 unit.
6.34
Matematika Ekonomi 1
Y
24
6
0
3
X
Bagian dari hiperbola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva
indifference. Pada gambar (b) dipakai hiperbola sama sisi dengan titik pusat
(-h,-k) yang terletak di kuadran ketiga. Bentuk persamaan hiperbola ini
adalah:
(x + h)(y + k) = a
dengan asimtot x = -h dan y = -k
titik potong dengan sumbu x = a/k - h
titik potong dengan sumbu y = a/h - k
Bagian hiperbola yang digunakan untuk kurva indifference adalah
bagian yang berada di kuadran pertama. Bila tingkat kepuasan a diubah-ubah
besarnya, maka diperoleh himpunan kurva indifference.
Contoh 6.14:
Seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya
ditunjukkan oleh persamaan:
xy + y + 6x = a – 6
Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang
x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?
6.35
ESPA4112/MODUL 6
Jawaban:
a = 30
xy + y + 6x + 6 = 30
y(x + 1) + 6(x + 1) = 30
(x + 1) × (y + 6) = 30
Titik pusat = (-1,-6)
Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila
tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0).
Jadi (x + 1)6 = 30 ,
6x + 6 = 30
6x = 30 – 6
24
=4
6
Barang x yang dikonsumsi = 4.
x=
Y
0
(-1, -6)
4
X
6.36
Matematika Ekonomi 1
Parabola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada
gambar (c) puncak parabola terletak pada satu garis lurus y = - k
Contoh 6.15:
Kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan:
x − (y + 1) = a
Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang
x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap
sebesar 4 satuan.
Kurva indifference untuk a = 4.
x − (y + 1) = 4
x − 4 = (y + 1)
(x − 4) 2 = y + 1
Puncak parabola (4,-1)
Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0,
atau (0 - 4)2 = y + 1
Jadi y = 15
Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0,
atau (x - 4)2 = 1
x-4=±1
Jadi x1 = 5
x2 = 3
Sifat kurva indifference adalah menurun dari kiri atas ke kanan bawah
dan cembung ke arah origin. Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik
dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Jadi
jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.
6.37
ESPA4112/MODUL 6
Y
15
0
3
5
(4,-1)
x
Seorang konsumen yang menghadapi himpunan kurva indifference
selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada di kurva
indifference yang paling jauh dari titik origin, karena kepuasan yang di dapat
lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut ia dapat mengkonsumsi
baik barang x maupun barang y dalam jumlah yang cukup banyak. Akan
tetapi kebebasan memilih kurva indifference dibatasi oleh jumlah uang yang
dimilikinya. Dengan sejumlah uang tertentu (M) seorang konsumen dapat
membelanjakan semuanya untuk membeli barang x saja dan memperoleh
sebanyak M/Px bila harga barang x adalah Px atau membelanjakan jumlah
uang M tersebut untuk membeli barang y saja dan memperoleh sebanyak
M/Py bila harga barang y adalah Py (lihat gambar di bawah).
Apabila dengan uang sebanyak M itu akan digunakan untuk membeli
barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli
ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py.
Garis ini disebut dengan garis anggaran atau budget line. Tingkat kepuasan
yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak
M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi
persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.
6.38
Matematika Ekonomi 1
M
Py
y1
I3
I2
I1
0
x1
M
Px
X
Gambar 6.8
Posisi Tingkat Kepuasan Maksimum
Posisi ini menunjukkan posisi kepuasan yang maksimum atau posisi
equilibrium konsumen dengan kendala M, karena I2 adalah kurva
indifference yang tertinggi yang dapat dicapai oleh garis anggaran tersebut.
Jadi dengan kurva indifference dan garis anggaran dapat ditunjukkan berapa
jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen yang memiliki
sejumlah uang tertentu agar kepuasannya maksimum.
Contoh 6.16:
Himpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan
xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah
2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan
dikonsumsi olehnya!
Jawaban:
Persamaan indifference: xy = a
Persamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100.
Langkah pertama adalah memotongkan garis anggaran dengan persamaan
indifference dengan cara menyelesaikan kedua persamaan secara serentak
yaitu:
ESPA4112/MODUL 6
6.39
2x + 5y = 100
5y = 100 – 2x
y=
100 − 2x 1
= (100 − 2x)
5
5
2
x
5
Kemudian substitusikan ke dalam persamaan indifference yaitu:
xy = a
2
xy = x(20 - x ) = a
5
2
= 20x - x 2 = a
5
2 2
x - 20x + a = 0
5
20
a
5
x 2 - 2 x + 2 = 0 ⇒ x 2 − 50x + a = 0
2
5
5
y = 20 -
Agar persamaan mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran
dengan kurva indifference, harus dipenuhi syarat:
5
502 - 4( a) = 0
2
2500 - 10 a = 0
a = 250
5
Jadi x2 - 50x + . 250 = 0
2
x2 - 50x + 625 = 0
(x - 25)2 = 0
x = 25
Untuk x = 25, maka
y=
1
(100 - 50)
5
6.40
Matematika Ekonomi 1
1
. 50
5
y = 10
y=
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 25 unit dan barang y sebanyak 10
unit.
y
20
10
0
10
20
30
40
50
x
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Bila himpunan kurva indifference diketahui (x + 2)(y + 1) = a dan harga
barang x adalah Rp 4,00 dan barang y Rp 6,00 per unit, sedangkan
jumlah uang yang dimiliki Rp130,00. Tentukan jumlah barang x dan y
yang akan dikonsumsi.
2) Gambarkan himpunan kurva indifference dengan persamaan:
(x + 2)(y + 1) = a untuk berbagai nilai a.
3) Bila himpunan kurva indifference diketahui 4x 2 − 2xy + 6y 2 = a dan
persamaan garis anggaran adalah x + y = 72, maka tentukan jumlah
barang x dan barang y yang dibeli konsumen.
ESPA4112/MODUL 6
6.41
4) Seorang konsumen mempunyai kurva indiference yang ditunjukkan oleh
persamaan xy = a, persamaan garis anggaran yang dihadapi adalah 5y +
6x = 60. Tentukan jumlah barang x dan y yang dikonsumsi.
5) Gambarkan keadaan keseimbangan pada soal nomor 4 di atas.
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Kurva indifference:
(x + 2)(y + 1) = a
Persamaan garis anggaran:
Pxx + Pyy = M
Untuk Px = 4, Py = 6 dan M = 130, persamaan garis anggarannya:
4x + 6y = 130
6y = 130 – 4x
2 2
y = 21 - x
3 3
Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:
2 2
(x + 2)(21 - x + 1) = a
3 3
2
2
(x + 2)(- x + 22 ) = a
3
3
Kedua ruas dikalikan 3:
(x + 2)(-2x + 68) = 3a
-2x2 + 64x + 136 = 3a
2
2x – 64x + 3a – 136 = 0
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
642 – 4(2)(3a – 136) = 0
4096 – 24a + 1088 = 0
24a = 5184
a = 216
Jadi
2x2 – 64x + 3(216) – 136 = 0
2x2 – 64x + 512 = 0
atau
6.42
Matematika Ekonomi 1
x2 – 32x + 256 = 0
(x – 16) 2 = 0
x = 16
Untuk x = 16, maka y = 11.
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 16 unit dan jumlah barang y yang
dikonsumsi 11 unit.
2) Persamaan (x + 2)(y + 1) = a merupakan persamaan hiperbola dengan
pusat (-2, -1) dan asimtot x = -2 dan y = -1. Titik potong dengan sumbu x
terjadi pada y = 0 dan x = a – 2; dan titik potong dengan sumbu y terjadi
a
pada x = 0 dan y = - 1.
2
x = -2
y
a=4
a = 12
a = 10
a=8
a=6
(-2, -1)
3) Kurva indifference :
4x2 – 2xy + 6y2 = a
Garis anggaran :
x + y = 72
atau
y = 72 – x
Disubstitusikan ke persamaan indifference:
4x2 – 2x(72 – x) + 6(72 – x) 2 = a
4x2 – 144x + 2x2 + 6(5184 – 144x + x2) = a
x
y = -1
6.43
ESPA4112/MODUL 6
6x2 – 144x + 31104 – 864x + 6x2 = a
12x2 – 1008x + 31104 = a
Kedua ruas dibagi 12, maka:
1
a =0
x2 – 84x + 2592 12
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
1
a =0
842 – 4(2592 12
1
7056 – 10368 + a = 0
3
1
-3312 + a = 0
3
1
a = 3312
3
a = 9936
Jadi x2 – 84x + 2592 -
1
(9936) = 0
12
x2 – 84x + 2592 – 828 = 0
x2 – 84x + 1764 = 0
(x – 42) 2 = 0
x = 42
Untuk x = 42, maka y = 72 – 42 = 30
Jadi jumlah barang x yang dikonsumi adalah 42 unit dan barang y yang
dikonsumsi sebanyak 30 unit.
4) Kurva indifference:
Garis anggaran
atau
:
xy = a
5y + 6x = 60
5y = 60 – 6x
6.44
Matematika Ekonomi 1
6
x
5
Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:
6
x(12 - x) = a
5
6 2
12x - x = a
5
atau
6 2
x – 12x + a = 0
5
6
dikalikan menjadi:
5
5
x2 – 10x + a = 0
6
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
5
100 – 4( )a = 0
6
6
a=
.100
20
= 30
Jadi
x2 – 10x + 25 = 0
(x – 5)2 = 0
x=5
y = 12 -
xy = 30 untuk x = 5, maka y = 6.
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan jumlah barang y adalah
6 unit.
6.45
ESPA4112/MODUL 6
5)
y
12
6
5y + 6x = 60
xy = 30
0
5
10
x
RA NGK UMA N
Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik
kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasaan tertentu.
Kumpulan dari kurva-kurva indifference disebut dengan himpunan kurva
indifference.
Sifat-sifat kurva indifference yang penting adalah:
a. merupakan kurva yang menurun;
b. cembung terhadap titik origin;
c. tidak saling berpotongan;
d. semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh
semakin tinggi.
Fungsi-fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva
indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Dalam melakukan
konsumsi, konsumen dibatasi kebebasan memilih kombinasi yang
diinginkan oleh jumlah uang yang dimiliki. Garis anggaran
menunjukkan kombinasi barang yang dapat dibeli dengan sejumlah uang
tertentu. Kepuasan maksimum dalam mengkonsumsi barang akan
tercapai pada saat kurva indifference menyinggung garis anggaran.
Kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi ditunjukkan oleh koordinat
titik singgung.
6.46
Matematika Ekonomi 1
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva
indifference ditunjukkan oleh persamaan: 5x 2 + 6y 2 − xy dan garis
anggarannnya x + 2y = 24.
A. x = 9, y = 6
B. x = 6, y = 9
C. x = 5, y = 10
D. x = 6, y = 7
2.
Bila harga barang x dan y sama yaitu Rp1,00 dan jumlah uang yang
dimiliki Rp8,00. Tentukan berapa jumlah barang x dan y yang harus
dibelinya, bila fungsi indifferencenya x 2 + 2y 2 − xy = a
A. x = 5, y = 3
B. x = 3, y = 5
C. x = 5, y = 6
D. x = 6, y = 3
3) Tentukan jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen jika
garis anggarannya adalah 2x + y = 21 dan kurva indifferencenya
ditunjukkan oleh persamaan 3x 2 + 4y 2 − xy = a .
A. x = 7,5, y = 3
B. x = 7,5, y = 5
C. y = 8,5, y = 4
D. y = 8,5, y = 3
4) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan xy = a dan harga
barang x = 15, harga barang y = 5 dan pendapatan konsumen adalah 150.
Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi.
A. x = 5, y = 15
B. x = 10, y = 15
C. x = 5, y = 10
D. x = 10, y = 10
5) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan x 2 y = a dan Px =
4, Py = 5 dan M = 120, maka tentukan jumlah x dan y yang harus dibeli
agar kepuasan yang diperoleh maksimum.
6.47
ESPA4112/MODUL 6
A.
B.
C.
D.
x = 20,
x = 10,
x = 20,
x = 20,
y = 10
y=8
y=8
y=8
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.
6.48
Matematika Ekonomi 1
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) A
2) C
3) B
4) C
5) D
Tes Formatif 2
1) B
2) A
3) C
4) A
5) D
ESPA4112/MODUL 6
6.49
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical
Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical
Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,
Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis
Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher
Limited,
Jacques, Ian, Mathematics for Economics and Business, (1995). Second
Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, (1998). Microeconomics, Fourth
Edition, Prentice Hall International Inc.
Prakin, Michael and Robin Bade, (1995). Modern Macroeconomics, Prentice
Hall Canada Inc Scarborough Ontaro.
Silberberg, Eugene and Wing Suen, (2001). The Structure of Economics a
Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.
Kembali ke Daftar Isi
Penggunaan Fungsi
Non-Linear Dalam Ekonomi
Drs. Wahyu Widayat, M.Ec
PE NDAH ULUA N
F
ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika
untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang
menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh
sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan
memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat
dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi,
karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi
yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat
dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk
fungsi permintaan dan penawaran.
Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier,
sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul
berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik
yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu:
a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi
non-linier;
b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier;
c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang
disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik;
d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan;
e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep
kurva indifference;
6.2
f.
Matematika Ekonomi 1
menghitung kombinasi jumlah barang
menggunakan konsep garis anggaran.
yang
diminta
dengan
6.3
ESPA4112/MODUL 6
Kegiatan Belajar 1
Fungsi Permintaan dan Penawaran
P
ada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi
penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi
permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear
seperti berikut:
P
S
D
0
Q
Gambar 6.1 Kurva permintaan dan penawaran
Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu
horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun
penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung. Mengingat bahwa
keinginan seseorang untuk membeli suatu barang akan bertambah bila
harganya turun dan keinginan seseorang untuk menjual suatu barang akan
bertambah bila harganya naik, maka dari gambar kedua kurva di atas dengan
mudah dapat ditebak bahwa kurva yang menurun adalah kurva permintaan
dan kurva yang menaik merupakan kurva penawaran. Kurva permintaan
dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola atau hiperbola, sedangkan
kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola. Dalam ilmu
ekonomi, umumnya seseorang tidak akan meninjau harga dan jumlah barang
yang nilainya negatif, sehingga bagian kurva yang berlaku dan digunakan
adalah bagian kurva permintaan dan penawaran yang berada di kuadran satu.
Melalui gambar di bawah ini dapat dilihat bahwa kurva permintaan
dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan
sumbu vertikal maupun sumbu horisontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas
6.4
Matematika Ekonomi 1
maupun ke bawah atau terbuka ke kiri maupun ke kanan. Meskipun demikian
setiap bentuk kurva ini mempunyai ciri-ciri sendiri yang satu sama lainnya
berbeda.
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu
vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut:
(Q - h)2 = 4p (P - k)
P
P
p0
p>0
h>0
k≤0
(a)
0
Q
0
P
Q
P
p0
k0
h≤0
k>0
0
Q
Q
Gambar 6.2 Grafik Bentuk-bentuk Kurva Parabola
Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex
(h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h
≤ 0 dan k > 0.
Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola
macam ini mempunyai
p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran
keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0
6.5
ESPA4112/MODUL 6
dan k ≤ 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu
bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan
yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku
mempunyai batas yaitu
0 < Q < Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva
yang menurun.
Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah
parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan
bentuk umumnya adalah
(P - k)2 = 4p(Q - h)
Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik
vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.
Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0.
Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P
> 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.
Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h ≤ 0
dan k > 0. Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa bagian parabola yang
berada di kuadran pertama ada dua potong, yakni bagian kurva yang menaik
dan potongan kurva yang menurun. Mengingat sifat kurva permintaan yang
selalu menurun, maka bagian kurva yang digunakan untuk kurva permintaan
adalah potongan parabola yang menurun. Dengan demikian maka nilai P
yang memenuhi batas adalah 0 < P < P1, di mana P1, terletak pada kurva
yang menurun.
Contoh 6.1:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
1
P = 11 - Q - Q 2
4
Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut:
4P = 44 - 4Q - Q2 + 4 – 4
atau
Q2 + 4Q + 4 = 4P + 48
(Q + 2)2 = -4(P - 12)
6.6
Matematika Ekonomi 1
maka:
P = -1, h = -2, k = 12
Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11.
Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan
Q1 = -2 + 4 3
Q2 = -2 - 4 3
P
p = 11 – Q -
0
1 2
Q
2
Q
Contoh 6.2:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
1
P = Q 2 − 4Q + 20
5
Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut:
1 2
Q − 4Q + 20 = P
5
Q 2 − 20Q + 100 = 5P
5
(Q −10) 2 = 4. (P − 0)
4
5
, h = 10, k = 0 dan titik vertex berada di sumbu Q.
4
Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0, jadi untuk Q = 0, maka P
=20.
Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0, jadi untuk P = 0 makaQ= 10.
Jadi p =
6.7
ESPA4112/MODUL 6
20
14
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
Kurva permintaan adalah P =
10
1
Q − 4Q + 20 untuk 0 < Q < 10
5
Contoh 6.3:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
1
Q = 15 − P − P 2
4
Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara:
1 2
P + P − 15 = − Q
4
P 2 + 4P − 60 = − 4Q
P 2 + 4P + 4 = − 4Q + 64
(P + 2) 2 = − 4(Q − 16)
Jadi P = -1, h = 16, k = -2.
Dari persamaan Q = 15 − P −
maka P1 = 6 dan P2 = -10.
1 2
P , bila P = 0, maka Q = 15 dan bila Q = 0,
4
6.8
Matematika Ekonomi 1
Contoh 6.4:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
P 2 − 20P − 5Q + 100 = 0
Persamaan ini dibawa ke bentuk umumnya:
P 2 − 20P + 100 = 5Q
(P − 10) 2 = 5(Q − 0)
5
Jadi P = , h = 0, k = 10, titik vertex di sumbu P.
4
Kurva memotong sumbu Q bila P = 0 dan Q = 20.
6.9
ESPA4112/MODUL 6
P
10
0
20
Q
Di atas telah disebutkan bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian
dari hiperbola yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu
vertikal. Seperti pada parabola, maka hiperbola yang dipakai sebagai
permintaan adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Gambar grafik
dari hiperbola yang bagiannya merupakan permintaan dapat dilihat pada
gambar berikut ini:
Y
0
Y
(a)
Q
0
Gambar 6.3
Grafik Kurva Permintaan dari Hiperbola
X
6.10
Matematika Ekonomi 1
Dari dua grafik di atas dapat dilihat bahwa titik pusat parabola terletak di
kuadran pertama atau di kuadran ketiga. Sesungguhnya tidak ada batasan
untuk letak titik pusat parabola. Bila pada kuadran pertama terdapat dua
bagian hiperbola yang masing-masing menurun dari kiri atas ke kanan
bawah, maka kurva yang akan dipilih, sangat ditentukan oleh permasalahan
yang sedang dihadapi.
Contoh 6.5:
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:
QP + 2P = 20
Persamaan ini dapat dirubah menjadi (Q + 2)(P - 0) = 20, dan merupakan
hiperbola dengan pusat (-2, 0) dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2.
Perpotongannya dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 dan P = 10.
P
QP + 2P = 20
Q
(-2, 0)
0
Contoh 6.6:
Gambarkan kurva permintaan QP – 10P – 12Q + 100 = 0 untuk P < 10 dan
1
Q< 8 .
3
Kurva permintaan dibawa ke bentuk umum hiperbola:
QP – 10P – 12Q + 100 = 0
QP – 10P – 12Q + 120 = 20
6.11
ESPA4112/MODUL 6
P(Q – 10) – 12(Q – 10) = 20
(Q – 10)(P – 12) = 20
Titik pusat hiperbola (10, 12) dengan asimtot Q = 10, P = 12.
1
Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu Q bila P = 0 dan Q = 8 .
3
Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu P bila Q = 0 dan P = 10.
(10,12)
10
QP – 10P – 12Q + 100 = 0
0
8
1
3
Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola. Parabola yang
digunakan sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu
vertikal. Bagian kurva yang digunakan untuk kurva penawaran adalah bagian
kurva yang menaik dan terletak pada kuadran pertama., seperti terlihat pada
gambar di bawah ini
6.12
Matematika Ekonomi 1
P
P
0
Q
0
Q
Gambar 6.4
Grafik Kurva Penawaran dari Parabola
Contoh 6.7:
Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan:
Q 2 + 2Q + 1
P=
4
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi:
(Q + 1)2 = 4(P - 0)
Titik Vertex (-1,0)
P
y=
0
Q 2 + 2Q +1
4
Q
6.13
ESPA4112/MODUL 6
Contoh 6.8:
Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan:
4x − y 2 − 2y − 5 = 0
Persamaan dibawa ke bentuk normal:
4x = y 2 + 2y + 1 + 4
4(x + 1) = (y + 1) 2
Titik vertex (-1, -1) dan p =
1
4
P
4x − y2 − 2 y −5 = 0
Q
(-1, -1)
Kurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga
dan jumlah keseimbangan. Harga dan jumlah keseimbangan merupakan titik
potong kurva penawaran dan permintaan yang nilainya dapat ditentukan
secara grafis dengan melukiskan kedua kurva secara seksama. Penentuan
harga dan jumlah keseimbangan secara analisis belum tentu di dapat dengan
mudah karena mungkin akan menyangkut pencarian akar persamaan derajat
tiga atau empat yang teori penyelesaiannya tidak akan dibicarakan di sini.
Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan
dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua.
Persamaan ini timbul karena:
6.14
*
*
*
Matematika Ekonomi 1
Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat
dua;
Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk
parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk
fungsi permintaan.
Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan
fungsi kuadrat dari harga.
Contoh 6.9:
Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan kurva
permintaan berikut:
Q s = P2 + P – 2
Qd = -2P + 16
Keseimbangan tercapai jika Qs = Qd
Jadi:
P2 + P - 2 = -2P + 16
P2 + 3P - 18 = 0
(P - 3)(P + 6) = 0
P1 = -6 (tidak dipakai)
P2 = 3
Untuk P = 3, maka Q = -2(3) + 16 = 10
Jadi harga keseimbangan = P = 3
Jumlah keseimbangan
= Q = 10.
6.15
ESPA4112/MODUL 6
P
8
Q = -2P + 16
Q = P2 + P -2
3
1
0
10
16
Q
-2
Contoh 6.10:
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan
permintaan berikut:
Qs = P2 + 2p – 2
Qd = -P2 + 10
Keseimbangan tercapai apabila Qs = Qd, atau:
P2 + 2P – 2 = -P2 + 10
2P2 + 2P – 12 = 0
P2 + P – 6 = 0
(P + 3)(P – 2) = 0
P1 = -3 (tidak dipakai)
P2 = 2
Untuk P = 2, maka Q = 6.
6.16
Matematika Ekonomi 1
Jadi harga keseimbangan = P = 2
Jumlah keseimbangan = Q = 6
P
8
Q = -2P + 16
Q = P2 + P - 2
3
1
0
10
16
Q
-2
Contoh 6.11
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan
permintaan berikut:
2P = 5Qs + 2
3P = -Qd2 – 2Qd + 26
Qd = Qs, maka
6P = 15Q + 6 = -2Q2 – 4Q + 52
2Q2 + 19Q – 46 = 0
2Q2 + 23Q – 4Q – 46 = 0
Q(2Q + 23) – 2(Q + 23) = 0
(2Q + 23)(Q – 2) = 0
Q1 = - 11
1
(tidak dipakai)
2
Q2 = 2
Untuk Q = 2, maka P =
1
(5(2) + 2) = 6
2
6.17
ESPA4112/MODUL 6
Jadi harga keseimbangan = P = 6
Jumlah keseimbangan = Q = 2.
P
(-1,9)
2P = 5Q + 2
(2,6)
3P = -Q2 – 2Q + 26
0
Q
Bila konsumen membeli barang sebesar Q satuan pada tingkat harga P,
maka produsen akan menerima uang sebanyak Q.P yaitu jumlah yang dibeli
dikalikan harganya atau dengan simbol:
TR = Q . P
TR adalah simbol untuk penerimaan total (total revenue). Untuk fungsi
permintaan yang menurun dan linear, harga (P) tidak tetap, sehingga kurva
TR = Q.P merupakan fungsi yang tidak linear.
Misalkan, ada fungsi permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan P
= a - bQ di mana a dan b > 0, maka kurva penerimaannya adalah:
TR = a Q – b Q2
Ini merupakan persamaan parabola yang terbuka ke bawah dan
memotong sumbu horisontal Q di titik Q = 0 dan Q = a/b. Titik puncak
terjadi di:
a a2
a
dengan koordinat ( , ).
Q=
2b 4b
2b
6.18
Matematika Ekonomi 1
Grafik dari fungsi permintaan dan fungsi penerimaan dapat dilihat pada
gambar berikut ini:
P
2
( 2ab , a4b )
TR
0
Q
0
Q
a
2b
a
b
Gambar 6.5 Grafik fungsi permintaan
Contoh 6.12:
Bila diketahui fungsi permintaan P = 20 - Q, gambarkan kurva
penerimaannya.
Penerimaan = Q . P
TR = 20Q - Q2
Titik potong TR dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 20 dengan titik
puncak (10,100).
TR
(10, 100)
0
10
20
Q
6.19
ESPA4112/MODUL 6
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Permintaan: 2Q + P = 10
Penawaran: P2 – 4Q = 4
2) Permintaan: 2Q2 + P = 9
Penawaran: Q2 + 5Q – P = -1
3) Permintaan: Q = 64 – 8P – 2P2
Penawaran: Q = 10P + 5P2
4) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97
Penawaran: P – Q = 6
Dapatkan fungsi penerimaan dan gambar grafiknya bila diketahui fungsi
permintaannya.
5) Permintaan: P + 2Q = 5
6) Permintaan : Q + 2P = 10
Petunjuk Jawaban Latihan
1) 2Q + P = 10
P2 – 4Q = 4
atau
atau
4Q + 2P = 20
-4Q + P2 = 4
2P + P2 = 24
+
P2 + 2P – 24 = 0
(P + 6)(P – 4) = 0
P1 = -6 (tidak dipakai)
P2 = 4
Untuk P = 4, maka Q = 3
Jadi harga keseimbangan
=P=4
Jumlah keseimbangan = Q = 3
6.20
Matematika Ekonomi 1
P
P2 – 4Q = 4
(3,4)
2Q + P = 10
Q
2) 2Q2 + P = 9 atau
P = 9 – 2Q2
Q2 + 5Q – P = -1
atau
P = Q2 + 5Q + 1
Jadi P = 9 – 2Q2 = Q2 + 5Q + 1
atau 3Q2 + 5Q – 8 = 0
3Q2 + 8Q – 3Q – 8 = 0
Q(3Q + 8) – (3Q + 8) = 0
(3Q + 8)(Q – 1) = 0
Q1 = −
8
(tidak dipakai)
3
Q2 = 1
Untuk Q = 1, maka P = 7
Jadi harga keseimbangan
=P=7
6.21
ESPA4112/MODUL 6
Jumlah harga keseimbangan
=Q=1
P
(0,9)
Q2 + 5Q – P = -1
(1,7)
2Q2 + P = 7
Q
3) Q = 10P + 5P2
Q = 64 – 8P – 2P2
Q = 10P + 5P2 = 64 – 8P – 2P2
7P2 + 18P – 64 = 0
7P2 + 32P – 14P – 64 = 0
P(7P + 32) – 2(7P – 32) = 0
(7P + 32)(P – 2) = 0
P1 = −
32
(tidak dipakai)
7
P2 = 2
Untuk P = 2, maka Q = 40
6.22
Matematika Ekonomi 1
Jadi harga keseimbangan
Jumlah harga keseimbangan
=P=2
= Q = 40.
Q
Q = 64 – 8P – 2P2
Q = 10P + 5P2
2
0
40
4) PQ + 12P + 6Q = 97
atau PQ + 12P + 6Q + 72 = 169
P(Q + 12) + 6(Q + 12) = 169
(P + 6)(Q + 12) = 169
Penawaran: P – Q = 6 atau P = 6 + Q
Substitusikan penawaran ke dalam permintaan, diperoleh:
(6 + Q + 6)(Q + 12) = 169
(Q + 12)(Q + 12) = 169
Q
6.23
ESPA4112/MODUL 6
P
P–Q=6
PQ + 12P + 6Q = 97
Q
5) Permintaan P + 2Q = 5
atau P = 5 – 2Q
Penerimaan = TR = P.Q
TR = 5Q – 2Q2
Perpotongan dengan sumbu Q pada Q = 0 dan Q = 2
1 1
(1 , 6 )
4 4
1
; dan puncak
2
6.24
Matematika Ekonomi 1
Rp
TR = 5Q – 2Q2
P + 2Q = 5
0
Q
1
6) Permintaan Q + 2P = 10 atau P = 5 − Q
2
Penerimaan TR
= P.Q
1
= 5Q - Q2
2
Perpotongan dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 10.
1
Titik puncak (5, 12 ).
2
Rp
TR = 5Q -
1 2
Q
2
Q + 2P = 10
0
5
10
Q
ESPA4112/MODUL 6
6.25
RA NGK UMA N
Selain berbentuk fungsi linear, fungsi permintaan dan penawaran
dapat pula berbentuk fungsi non-linear. Bentuk non-linear dari fungsi
permintaan dapat berupa potongan parabola dan potongan hiperbola.
Adapun bentuk non-linear dari fungsi penawaran adalah potongan
parabola. Fungsi permintaan dan penawaran bersama-sama akan
membentuk harga dan jumlah keseimbangan yang merupakan titik
potong kedua kurva di kuadran pertama.
Persamaan permintaan yang linear memberikan fungsi penerimaan
(total revenue) yang non-linear. Fungsi penerimaan ini merupakan
parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu harga (P) dan terbuka ke
bawah.
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Diketahui pasangan persamaan:
a. Q = 16 – 2P
b. 4Q = 4P + P2
Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran serta harga dan
jumlah keseimbangan
: 4Q = 4P + P2
A. Fungsi penawaran
Fungsi permintaan
: Q = 16 – 2P
Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4)
: 4Q = 4P + P2
B. Fungsi penawaran
Fungsi permintaan
: Q = 16 – 2P
Harga dan jumlah keseimbangan (9, 5)
: Q = 16 – 2P
C. Fungsi penawaran
Fungsi permintaan
: 4Q = 4P + P2
Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4)
D. Fungsi penawaran
: Q = 16 – 2P
Fungsi permintaan
: 4Q = 4P + P2
Harga dan jumlah keseimbangan (5, 9)
6.26
Matematika Ekonomi 1
2) Diketahui pasangan persamaan:
Q Q2
a. P = 2 + +
5 20
30 − Q
b. P =
4
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
Q Q2
A. Fungsi penawaran = P = 2 + +
5 20
30 − Q
Fungsi permintaan = P =
4
Harga dan jumlah keseimbangan ((5, 61), (5, 99))
30 − Q
B. Fungsi penawaran = P =
4
Q Q2
Fungsi permintaan = P = 2 + +
5 20
Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77))
Q Q2
+
5 20
30 − Q
Fungsi permintaan = P =
4
Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77))
C. Fungsi penawaran = P = 2 +
Q Q2
+
5 20
30 − Q
Fungsi penawaran = P =
4
Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 99), (5, 7))
D. Fungsi permintaan = P = 2 +
3) Diketahui pasangan persamaan:
a. Q = 32 – 4P – P2
Q
b. P =
+1
20
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
6.27
ESPA4112/MODUL 6
A. Fungsi penawaran = P =
Q
+1
20
Fungsi permintaan = Q = 32 − 4P − P 2
Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 22)
B. Fungsi penawaran = P =
Q
+1
20
Fungsi permintaan = Q = 32 − 4P − P 2
Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 2)
C. Fungsi penawaran = Q = 32 − 4P − P 2
Q
+1
20
Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 2)
Fungsi permintaan = P =
D. Fungsi penawaran = Q = 32 − 4P − P 2
Q
+1
20
Harga dan jumlah keseimbangan = (2, 10)
Fungsi permintaan = P =
4) Diketahui pasangan persamaan:
a. P = 48 – 3Q2
b. P = Q2 + 4Q + 16
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
A. Fungsi penawaran = P = 48 − 3Q 2
Fungsi permintaan = P = Q 2 − 4Q + 16
Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 31), (37, 15))
B. Fungsi penawaran = P = 48 − 3Q 2
Fungsi permintaan = P = Q 2 − 4Q + 16
Harga dan jumlah keseimbangan = ((31, 37), (2, 15))
C. Fungsi penawaran = P = Q 2 + 4Q + 16
Fungsi permintaan = P = 48 − 3Q 2
6.28
Matematika Ekonomi 1
Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 37), (31, 15))
D. Fungsi penawaran = P = Q 2 + 4Q + 16
Fungsi permintaan = P = 48 − 3Q 2
Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 15), (37, 31))
5) Diketahui pasangan persamaan:
a. (Q + 16)(P + 12) = 480
b. P = 2Q + 4
Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah
keseimbangan
A. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 12) = 480
Fungsi permintaan = 2Q + 4
Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 12)
B. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 12) = 480
Fungsi permintaan = 2Q + 4
Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 14)
C. Fungsi penawaran = 2Q + 4
Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 12) = 480
Harga dan jumlah keseimbangan = (12, 14)
D. Fungsi penawaran = 2Q + 4
Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 12) = 480
Harga dan jumlah keseimbangan = (4, 12)
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
Jumlah Soal
× 100%
ESPA4112/MODUL 6
6.29
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
6.30
Matematika Ekonomi 1
Kegiatan Belajar 2
Kurva Indifference
S
etiap orang tahu persis berapa penghasilannya sebulan. Dalam waktu
tersebut ia harus membelanjakan uangnya untuk membeli barang dan jasa
yang dibutuhkannya. Kalau dimisalkan hanya ada dua macam barang yang
dapat dibelinya, yaitu barang x dan y, maka tempat kedudukan, titik-titik
yang koordinatnya menunjukkan kombinasi pembelian kedua macam barang
dinamakan kurva indifference.
Definisi kurva indifference adalah kurva yang menunjukkan titik-titik
kombinasi jumlah barang x dan barang y yang dikonsumsi pada tingkat
kepuasan tertentu. Kurva indifference dapat ditunjukkan oleh fungsi f(x,y) =
a, di mana x dan y adalah macam barang yang dikonsumsi dan a adalah
menunjukkan tingkat kepuasan. Perhatikan gambar berikut ini:
Y
A (X1, Y1)
y1
y3
C(X3, Y3) = a
B(X2, Y2) = a
y2
X
0
x1
x3
x2
Gambar 6.6
Kurva Indifference
Sumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x
yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y. Kurva
indifference f(x,y) = a, seperti telah disebutkan di atas merupakan tempat
kedudukan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan y yang dikonsumsi pada
tingkat kepuasan tertentu. Seandainya konsumen memilih kombinasi di titik
A, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x1 dan jumlah barang y
yang dikonsumsi sebanyak y1. Bila kombinasi yang dipilih adalah titik B,
maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x2 dan barang y yang
ESPA4112/MODUL 6
6.31
dikonsumsi sebanyak y2. Konsumen akan mengkonsumsi di kombinasi A
atau kombinasi B tidak menjadi persoalan, karena baginya kepuasan yang
diperoleh sama saja yaitu sebesar a.
Apabila parameter a besarnya diubah-ubah, maka akan diperoleh
himpunan kurva indifference yang satu sama lain tidak saling memotong
(Gambar 6.6). Pada umumnya konsumen akan bertambah kepuasannya
apabila dengan sejumlah uang yang sama dapat membeli barang x atau y
dalam jumlah yang lebih banyak. Oleh sebab itu kombinasi di titik C(x3,y3)
akan memberikan kepuasan yang lebih besar dari titik A (x1,y1) karena x3 >
x1, sehingga kedua titik terletak di kurva indifference yang berbeda.
Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa kurva indifference
merupakan kurva yang menurun, karena untuk menambah jumlah barang x
yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap
barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.
Suatu hal yang perlu diperhatikan lagi adalah kurva indifference
bentuknya cembung terhadap titik origin. Keadaan itu menunjukkan bahwa
setiap pengurangan y dengan selisih yang sama yaitu ∆y harus diimbangi
oleh pertambahan x sebesar ∆x yang nilainya semakin bertambah, agar
tingkat kepuasan yang sama dapat dipertahankan. Ini sesuai dengan hukum
substitusi yang menyatakan bahwa suatu barang yang semakin langka, nilai
substitusinya semakin besar terhadap barang yang melimpah.
Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference
adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Perhatikan gambar berikut ini:
6.32
Matematika Ekonomi 1
Y
Y
0
X
0
X
(a)
(-h,-k)
(b)
Y
0
X
y = -k
(c)
Gambar 6.7
Bentuk-bentuk kurva Indifference
Pada gambar (a), kurva indifference ditunjukkan oleh bagian dari
lingkaran dengan persamaan:
(x - a)2 + (y - a)2 = a2
Bila parameter a diubah, maka titik pusat (a,a) akan bergeser dan jari-jari
lingkaran = a juga akan berubah sehingga didapat himpunan lingkaran. Jadi
yang digunakan sebagai kurva indifference hanyalah seperempat lingkaran
yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y. Persamaan dengan
bentuk umum seperti ditunjukkan di atas bentuknya dapat diubah menjadi:
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2ay + a2 = a2
x2 + 2xy + y2 - 2ax - 2ay + a2 = 2xy
ESPA4112/MODUL 6
6.33
(x + y)2 - 2a(x + y) + a2 = 2xy
(x + y - a)2 = 2xy
x + y - a = 2xy
x+y-
2xy = a
Contoh 6.13:
Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh
persamaan x + y - 2xy = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur,
maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia
mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15
satuan?
Jawaban:
x = 3, a = 15
Jadi 3 + y y - 12 =
6y = 15 atau
6y
y2 - 24y + 144 = 6y
y2 - 30y + 144 = 0
y2 - 24y - 6y + 144 = 0
(y - 24)(y - 6) = 0
Jadi y1 = 6 dan y2 = 24
Bila tidak ada barang x yang dikonsumsi, maka agar tingkat
kepuasannya tetap 15 satuan, jumlah barang y yang dikonsumsi adalah y =
15, oleh sebab itu pada tingkat kepuasan yang sama ia tidak mungkin
mengkonsumsi sebanyak 24 unit. Jadi jumlah barang y yang dikonsumsi
adalah 6 unit.
6.34
Matematika Ekonomi 1
Y
24
6
0
3
X
Bagian dari hiperbola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva
indifference. Pada gambar (b) dipakai hiperbola sama sisi dengan titik pusat
(-h,-k) yang terletak di kuadran ketiga. Bentuk persamaan hiperbola ini
adalah:
(x + h)(y + k) = a
dengan asimtot x = -h dan y = -k
titik potong dengan sumbu x = a/k - h
titik potong dengan sumbu y = a/h - k
Bagian hiperbola yang digunakan untuk kurva indifference adalah
bagian yang berada di kuadran pertama. Bila tingkat kepuasan a diubah-ubah
besarnya, maka diperoleh himpunan kurva indifference.
Contoh 6.14:
Seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya
ditunjukkan oleh persamaan:
xy + y + 6x = a – 6
Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang
x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?
6.35
ESPA4112/MODUL 6
Jawaban:
a = 30
xy + y + 6x + 6 = 30
y(x + 1) + 6(x + 1) = 30
(x + 1) × (y + 6) = 30
Titik pusat = (-1,-6)
Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila
tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0).
Jadi (x + 1)6 = 30 ,
6x + 6 = 30
6x = 30 – 6
24
=4
6
Barang x yang dikonsumsi = 4.
x=
Y
0
(-1, -6)
4
X
6.36
Matematika Ekonomi 1
Parabola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada
gambar (c) puncak parabola terletak pada satu garis lurus y = - k
Contoh 6.15:
Kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan:
x − (y + 1) = a
Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang
x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap
sebesar 4 satuan.
Kurva indifference untuk a = 4.
x − (y + 1) = 4
x − 4 = (y + 1)
(x − 4) 2 = y + 1
Puncak parabola (4,-1)
Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0,
atau (0 - 4)2 = y + 1
Jadi y = 15
Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0,
atau (x - 4)2 = 1
x-4=±1
Jadi x1 = 5
x2 = 3
Sifat kurva indifference adalah menurun dari kiri atas ke kanan bawah
dan cembung ke arah origin. Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik
dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Jadi
jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.
6.37
ESPA4112/MODUL 6
Y
15
0
3
5
(4,-1)
x
Seorang konsumen yang menghadapi himpunan kurva indifference
selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada di kurva
indifference yang paling jauh dari titik origin, karena kepuasan yang di dapat
lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut ia dapat mengkonsumsi
baik barang x maupun barang y dalam jumlah yang cukup banyak. Akan
tetapi kebebasan memilih kurva indifference dibatasi oleh jumlah uang yang
dimilikinya. Dengan sejumlah uang tertentu (M) seorang konsumen dapat
membelanjakan semuanya untuk membeli barang x saja dan memperoleh
sebanyak M/Px bila harga barang x adalah Px atau membelanjakan jumlah
uang M tersebut untuk membeli barang y saja dan memperoleh sebanyak
M/Py bila harga barang y adalah Py (lihat gambar di bawah).
Apabila dengan uang sebanyak M itu akan digunakan untuk membeli
barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli
ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py.
Garis ini disebut dengan garis anggaran atau budget line. Tingkat kepuasan
yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak
M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi
persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.
6.38
Matematika Ekonomi 1
M
Py
y1
I3
I2
I1
0
x1
M
Px
X
Gambar 6.8
Posisi Tingkat Kepuasan Maksimum
Posisi ini menunjukkan posisi kepuasan yang maksimum atau posisi
equilibrium konsumen dengan kendala M, karena I2 adalah kurva
indifference yang tertinggi yang dapat dicapai oleh garis anggaran tersebut.
Jadi dengan kurva indifference dan garis anggaran dapat ditunjukkan berapa
jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen yang memiliki
sejumlah uang tertentu agar kepuasannya maksimum.
Contoh 6.16:
Himpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan
xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah
2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan
dikonsumsi olehnya!
Jawaban:
Persamaan indifference: xy = a
Persamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100.
Langkah pertama adalah memotongkan garis anggaran dengan persamaan
indifference dengan cara menyelesaikan kedua persamaan secara serentak
yaitu:
ESPA4112/MODUL 6
6.39
2x + 5y = 100
5y = 100 – 2x
y=
100 − 2x 1
= (100 − 2x)
5
5
2
x
5
Kemudian substitusikan ke dalam persamaan indifference yaitu:
xy = a
2
xy = x(20 - x ) = a
5
2
= 20x - x 2 = a
5
2 2
x - 20x + a = 0
5
20
a
5
x 2 - 2 x + 2 = 0 ⇒ x 2 − 50x + a = 0
2
5
5
y = 20 -
Agar persamaan mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran
dengan kurva indifference, harus dipenuhi syarat:
5
502 - 4( a) = 0
2
2500 - 10 a = 0
a = 250
5
Jadi x2 - 50x + . 250 = 0
2
x2 - 50x + 625 = 0
(x - 25)2 = 0
x = 25
Untuk x = 25, maka
y=
1
(100 - 50)
5
6.40
Matematika Ekonomi 1
1
. 50
5
y = 10
y=
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 25 unit dan barang y sebanyak 10
unit.
y
20
10
0
10
20
30
40
50
x
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Bila himpunan kurva indifference diketahui (x + 2)(y + 1) = a dan harga
barang x adalah Rp 4,00 dan barang y Rp 6,00 per unit, sedangkan
jumlah uang yang dimiliki Rp130,00. Tentukan jumlah barang x dan y
yang akan dikonsumsi.
2) Gambarkan himpunan kurva indifference dengan persamaan:
(x + 2)(y + 1) = a untuk berbagai nilai a.
3) Bila himpunan kurva indifference diketahui 4x 2 − 2xy + 6y 2 = a dan
persamaan garis anggaran adalah x + y = 72, maka tentukan jumlah
barang x dan barang y yang dibeli konsumen.
ESPA4112/MODUL 6
6.41
4) Seorang konsumen mempunyai kurva indiference yang ditunjukkan oleh
persamaan xy = a, persamaan garis anggaran yang dihadapi adalah 5y +
6x = 60. Tentukan jumlah barang x dan y yang dikonsumsi.
5) Gambarkan keadaan keseimbangan pada soal nomor 4 di atas.
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Kurva indifference:
(x + 2)(y + 1) = a
Persamaan garis anggaran:
Pxx + Pyy = M
Untuk Px = 4, Py = 6 dan M = 130, persamaan garis anggarannya:
4x + 6y = 130
6y = 130 – 4x
2 2
y = 21 - x
3 3
Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:
2 2
(x + 2)(21 - x + 1) = a
3 3
2
2
(x + 2)(- x + 22 ) = a
3
3
Kedua ruas dikalikan 3:
(x + 2)(-2x + 68) = 3a
-2x2 + 64x + 136 = 3a
2
2x – 64x + 3a – 136 = 0
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
642 – 4(2)(3a – 136) = 0
4096 – 24a + 1088 = 0
24a = 5184
a = 216
Jadi
2x2 – 64x + 3(216) – 136 = 0
2x2 – 64x + 512 = 0
atau
6.42
Matematika Ekonomi 1
x2 – 32x + 256 = 0
(x – 16) 2 = 0
x = 16
Untuk x = 16, maka y = 11.
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 16 unit dan jumlah barang y yang
dikonsumsi 11 unit.
2) Persamaan (x + 2)(y + 1) = a merupakan persamaan hiperbola dengan
pusat (-2, -1) dan asimtot x = -2 dan y = -1. Titik potong dengan sumbu x
terjadi pada y = 0 dan x = a – 2; dan titik potong dengan sumbu y terjadi
a
pada x = 0 dan y = - 1.
2
x = -2
y
a=4
a = 12
a = 10
a=8
a=6
(-2, -1)
3) Kurva indifference :
4x2 – 2xy + 6y2 = a
Garis anggaran :
x + y = 72
atau
y = 72 – x
Disubstitusikan ke persamaan indifference:
4x2 – 2x(72 – x) + 6(72 – x) 2 = a
4x2 – 144x + 2x2 + 6(5184 – 144x + x2) = a
x
y = -1
6.43
ESPA4112/MODUL 6
6x2 – 144x + 31104 – 864x + 6x2 = a
12x2 – 1008x + 31104 = a
Kedua ruas dibagi 12, maka:
1
a =0
x2 – 84x + 2592 12
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
1
a =0
842 – 4(2592 12
1
7056 – 10368 + a = 0
3
1
-3312 + a = 0
3
1
a = 3312
3
a = 9936
Jadi x2 – 84x + 2592 -
1
(9936) = 0
12
x2 – 84x + 2592 – 828 = 0
x2 – 84x + 1764 = 0
(x – 42) 2 = 0
x = 42
Untuk x = 42, maka y = 72 – 42 = 30
Jadi jumlah barang x yang dikonsumi adalah 42 unit dan barang y yang
dikonsumsi sebanyak 30 unit.
4) Kurva indifference:
Garis anggaran
atau
:
xy = a
5y + 6x = 60
5y = 60 – 6x
6.44
Matematika Ekonomi 1
6
x
5
Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:
6
x(12 - x) = a
5
6 2
12x - x = a
5
atau
6 2
x – 12x + a = 0
5
6
dikalikan menjadi:
5
5
x2 – 10x + a = 0
6
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
5
100 – 4( )a = 0
6
6
a=
.100
20
= 30
Jadi
x2 – 10x + 25 = 0
(x – 5)2 = 0
x=5
y = 12 -
xy = 30 untuk x = 5, maka y = 6.
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan jumlah barang y adalah
6 unit.
6.45
ESPA4112/MODUL 6
5)
y
12
6
5y + 6x = 60
xy = 30
0
5
10
x
RA NGK UMA N
Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik
kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasaan tertentu.
Kumpulan dari kurva-kurva indifference disebut dengan himpunan kurva
indifference.
Sifat-sifat kurva indifference yang penting adalah:
a. merupakan kurva yang menurun;
b. cembung terhadap titik origin;
c. tidak saling berpotongan;
d. semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh
semakin tinggi.
Fungsi-fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva
indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Dalam melakukan
konsumsi, konsumen dibatasi kebebasan memilih kombinasi yang
diinginkan oleh jumlah uang yang dimiliki. Garis anggaran
menunjukkan kombinasi barang yang dapat dibeli dengan sejumlah uang
tertentu. Kepuasan maksimum dalam mengkonsumsi barang akan
tercapai pada saat kurva indifference menyinggung garis anggaran.
Kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi ditunjukkan oleh koordinat
titik singgung.
6.46
Matematika Ekonomi 1
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva
indifference ditunjukkan oleh persamaan: 5x 2 + 6y 2 − xy dan garis
anggarannnya x + 2y = 24.
A. x = 9, y = 6
B. x = 6, y = 9
C. x = 5, y = 10
D. x = 6, y = 7
2.
Bila harga barang x dan y sama yaitu Rp1,00 dan jumlah uang yang
dimiliki Rp8,00. Tentukan berapa jumlah barang x dan y yang harus
dibelinya, bila fungsi indifferencenya x 2 + 2y 2 − xy = a
A. x = 5, y = 3
B. x = 3, y = 5
C. x = 5, y = 6
D. x = 6, y = 3
3) Tentukan jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen jika
garis anggarannya adalah 2x + y = 21 dan kurva indifferencenya
ditunjukkan oleh persamaan 3x 2 + 4y 2 − xy = a .
A. x = 7,5, y = 3
B. x = 7,5, y = 5
C. y = 8,5, y = 4
D. y = 8,5, y = 3
4) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan xy = a dan harga
barang x = 15, harga barang y = 5 dan pendapatan konsumen adalah 150.
Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi.
A. x = 5, y = 15
B. x = 10, y = 15
C. x = 5, y = 10
D. x = 10, y = 10
5) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan x 2 y = a dan Px =
4, Py = 5 dan M = 120, maka tentukan jumlah x dan y yang harus dibeli
agar kepuasan yang diperoleh maksimum.
6.47
ESPA4112/MODUL 6
A.
B.
C.
D.
x = 20,
x = 10,
x = 20,
x = 20,
y = 10
y=8
y=8
y=8
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.
6.48
Matematika Ekonomi 1
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) A
2) C
3) B
4) C
5) D
Tes Formatif 2
1) B
2) A
3) C
4) A
5) D
ESPA4112/MODUL 6
6.49
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical
Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical
Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,
Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis
Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher
Limited,
Jacques, Ian, Mathematics for Economics and Business, (1995). Second
Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, (1998). Microeconomics, Fourth
Edition, Prentice Hall International Inc.
Prakin, Michael and Robin Bade, (1995). Modern Macroeconomics, Prentice
Hall Canada Inc Scarborough Ontaro.
Silberberg, Eugene and Wing Suen, (2001). The Structure of Economics a
Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.
Kembali ke Daftar Isi