Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
A. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
2
Akar-akar persamaan kuadrat ax +bx +c=0 , (a ≠ 0) dapat diperoleh
dengan rumus berikut:
x 1,2=
−b ± √ b2−4 ac .
2a
Ke-dua akar tersebut adalah:
x 1=
−b+ √ b2 −4 ac atau
−b−√ b2−4 ac
x
=
2
2a
2a
Sifat dari kedua akar tersebut sangat dipengaruhi oleh nilai b 2−4 ac
yang disebut diskriminan ( D). Jika a , b , dan c adalah jenis bilangan real,
2
diskriminan ( D)=b −4 ac. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat tersebut
dapat ditunjukkan sebagai berikut:
D=b2−4 ac,
Akar-akar persamaan kuadrat menjadi:
x 1,2=
−b ± √ b2−4 ac x = −b ± √ D
1,2
2a
2a
Sehingga kedua akar persamaan tersebut adalah:
x 1=
−b+ √ D
−b−√ D
2 a atau x 2= 2 a
2
Diskriminan ( D)=b −4 ac menunjukkan jenis akar persamaan
kuadrat sebagai berikut:
1. Jika b 2−4 ac=0, artinya D=0. Akan diperoleh:
x 1,2=
−b ± √ D
2a
−b ± √ 0
2a
−b
x 1,2=
2a
x 1,2=
−b
−b
Sehingga diperoleh x 1= 2 a dan x 2= 2 a
Jadi, apabila diskriminan ( D)=0, maka persamaan ax 2 +bx +c=0
mempunyai akar-akar sama dan real.
2. Jika b 2−4 ac< 0, artinya D0 . Akan diperoleh:
x 1,2=
x 1=
−b ± √ D
2a
−b+ √ D
−b−√ D
x
=
dan
2
2a
2a
Apabila nilai D>0 , maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0 mempunyai
akar-akar real berbeda. Apabila a , b , dan c adalah bilangan rasional,
maka akan diperoleh:
a. Apabila b 2−4 ac=r 2 (bilangan kuadrat), maka akan diperoleh:
x 1,2=
−b ± √ D
2a
x 1,2=
−b ± √ r 2
2a
−b ± √ r
2a
−b+r
−b−r
x 1=
x=
2 a dan 2
2a
x 1,2=
Apabila nilai D=r 2, maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0
mempunyai akar-akar rasional.
b. Apabila b 2−4 ac=r (bukan bilangan kuadrat), maka akan diperoleh:
x 1,2=
−b ± √ D
2a
x 1,2=
−b ± √ r
2a
x 1=
−b+ √ r
−b−√ r
dan x 2= 2 a
2a
Apabila nilai D=r , maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0
mempunyai akar-akar irrasional.
4. Jika b 2−4 ac ≥ 0, artinya D ≥ 0. Akan diperoleh:
x 1,2=
x 1=
−b ± √ D
2a
−b+ √ D
−b−√ D
x
=
dan
2
2a
2a
Page | 2
Apabila nilai D ≥ 0, maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0 mempunyai
akar-akar real.
Contoh 1:
Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut ini dengan memperhatikan
diskriminan!
2
1. x −2 x+1=0
2. x 2+ 5 x +7=0
3. 2 x2 + x−3=0
Penyelesaian:
1. x 2−2 x+1=0
2
D=b2−4 ac¿ ( −2 ) −4.1 .1¿ 4−4=0
Diskriminan ( D)=0, maka persamaan x 2−2 x+1=0 mempunyai akar
yang sama. Jadi, x 1=x 2 ⇔ akar-akar real dan sama.
Diuji dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat
x=
−b ± √ b2−4 ac ¿ −(−2 ) ± 0 ¿ 2 ¿ 1
2
2
2a
Jadi, x 1=1 atau x 2=1
2. x 2+ 5 x +7=0
D=b2−4 ac¿ 52−4.1.7 ¿ 25−28=−3
Diskriminan ( D ) =−3 0.
a=1, b= ( p+1 ) x , c=9
2
Diskriminan ( D ) =b −4 ac>0
2
( p +1 )
−4.1 .>0( p2 +2 p+ 12) −36>0 p2 +2 p+ 1−36>0
p2 +2 p−35>0
Pembuat nol:
( p +7 ) ( p−5 ) =0
p+7=0 atau p−5=0
p=−7 atau p=5
2
Jadi, nilai p yang memenuhi persamaan x + ( p+1 ) x+ 9=0, sehingga
mempunyai akar real berbeda adalah p←7 atau p>5.
2
2. x + px +( p+ 3)=0
Persamaan kuadrat mempunyai akar yang sama jika D=0
2
Diskriminan ( D ) =b −4 ac=0
Page | 4
2
( p)
−4.1 .( p+3)=0 p2−4( p+ 3)=0 p2−4 p+12=0
( p−6 ) ( p+ 2 ) =0
p=6 atau p=−2
Nilai p yang memenuhi adalah p=6 atau p=−2.
Jika p=6, persamaan tersebut menjadi:
2
x + px +( p+ 3)=0
x 2+ 6 x+(6+3)=0
x 2+ 6 x+ 9=0
Sehingga D=b2−4 ac
2
D=(6) −4.1.9
D=36−36=0
Diuji dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat
x=
−b ± √ b2−4 ac ¿ −( 6 ) ± 0 ¿ −6 ¿−3
2
2
2a
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p=6 atau p=−2.
B. Pertidaksamaan Kuadrat
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut ini:
(i) x 2−4 x+3< 0
(ii) x 2+ 2 x−3 ≤ 0
(iii) 2 x2 −11 x+5> 0
(iv) 3 x 2−x+ 3≥ 0
Setiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x berpangkat 2 (dua).
Pertidaksamaan yang berbentuk seperti itu disebut pertidaksamaan kuadrat
dalam variabel x .Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x
ada 4 (empat) macam, yaitu:
(i) ax 2 +bx +c 0
(iv) ax 2 +bx +c ≥ 0
Dengan a , b , dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0.
Page | 5
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
kuadrat dalam variabel x ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan
menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dan garis bilangan.
1. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis
bilangan
Langkah-langkah yang diperlukan adalah sebagai berikut:
a. Langkah 1 yaitu mengubah pertidaksamaan dalam bentuk baku,
apabila bentuk pertidaksamaan masih belum baku.
b. Langkah 2 yaitu menentukan nilai diskriminan terlebih dahulu.
1) Jika D0, sehingga pertidaksamaan x 2−4 x←3
mempunyai aka-akar real. Sehingga pertidaksamaan tersebut
mempunyai penyelesaian.
c. Langkah 3: menentukan nilai-nilai pembuat nol pada interval
pertidaksamaan.
x 2−4 x+3=0( x−1 ) ( x−3 ) =0
x=1 atau x=3
d. Langkah 4 yaitu menggambar nilai-nilai nol yang diperoleh pada
langkah 3 pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol tersebut
Page | 7
membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu: x 0 ) untuk x dalam selang x 3. Jadi, x 2−4 x+3> 0 dalam selang x 3.
b. Parabola tepat sumbu X ( y=0 ) untuk x dalam selang x=1 atau
x=3. Jadi, x 2−4 x+3=0 dalam selang x=1 atau x=3.
c. Parabola di bawah sumbu X ( y 0
d. x 2−4 x+ 4> 0
2
3. Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x ) =−x + 2 x−2,
carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan kuadrat berikut:
a. −x 2+ 2 x−2< 0
b. −x 2+ 2 x−2> 0
Penyelesaian:
1. Sketsa
grafik
f ( x ) =−2 x2 +5 x +3
fungsi
kuadrat
atau
parabola
y=−2 x 2 +5 x+3 dapat dilihat pada
gambar di samping.
Titik potong dengan sumbu
X
diperoleh apabila y=0,sehingga:
−2 x2 +5 x +3=0
( −2 x −1 ) ( x−3 ) =0
−2 x−1=0 atau x−3=0
−2 x=1 atau x=3
x=
−1
x=3
2 atau
2
Grafik fungsi kuadrat f ( x ) =−2 x +5 x +3 dapat dilihat pada gambar di
samping ini:
Sehingga dapat ditetapkan:
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2 x2 +5 x +33 , x ∈ R .
2
{|
}
Page | 13
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2 x2 +5 x +3 ≤0
1
adalah HP= x x ≤− 2 atau x ≥3 , x ∈ R .
{|
}
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2 x2 +5 x +3>0
−1
adalah HP= x 2 < x 0
adalah
HP= { x| x2 , x ∈ R } .
Dapat
ditulis
juga
HP= { x| x ∈ R dan x ≠ 2 } .
Page | 14
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2−4 x+ 4 ≥ 0
HP= { x| x ≤ 2atau x ≥ 2 , x ∈ R } .
adalah
Dapat
ditulis
juga
HP= { x| x ∈ R } .
3. Sketsa
grafik
fungsi
f ( x ) =−x 2+ 2 x−2atau
kuadrat
parabola
y=−x2 +2 x−2dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Titik
potong
dengan
sumbu
X
diperoleh apabila y=0,sehingga:
−x 2+ 2 x−2=0
Nilai diskriminan D=b2−4 ac
a=( −1 ) , b=2, dan c=−2
2
D=(2) −4 (−1)(−2)¿ 4−8¿−4
Karena D 0
adalah himpunan kosong.
DAFTAR PUSTAKA
Page | 15
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Untuk Kelas X. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Noormandiri dan Endar Sucito. 2014. MATEMATIKA SMA Untuk Kelas X.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Page | 16
2
Akar-akar persamaan kuadrat ax +bx +c=0 , (a ≠ 0) dapat diperoleh
dengan rumus berikut:
x 1,2=
−b ± √ b2−4 ac .
2a
Ke-dua akar tersebut adalah:
x 1=
−b+ √ b2 −4 ac atau
−b−√ b2−4 ac
x
=
2
2a
2a
Sifat dari kedua akar tersebut sangat dipengaruhi oleh nilai b 2−4 ac
yang disebut diskriminan ( D). Jika a , b , dan c adalah jenis bilangan real,
2
diskriminan ( D)=b −4 ac. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat tersebut
dapat ditunjukkan sebagai berikut:
D=b2−4 ac,
Akar-akar persamaan kuadrat menjadi:
x 1,2=
−b ± √ b2−4 ac x = −b ± √ D
1,2
2a
2a
Sehingga kedua akar persamaan tersebut adalah:
x 1=
−b+ √ D
−b−√ D
2 a atau x 2= 2 a
2
Diskriminan ( D)=b −4 ac menunjukkan jenis akar persamaan
kuadrat sebagai berikut:
1. Jika b 2−4 ac=0, artinya D=0. Akan diperoleh:
x 1,2=
−b ± √ D
2a
−b ± √ 0
2a
−b
x 1,2=
2a
x 1,2=
−b
−b
Sehingga diperoleh x 1= 2 a dan x 2= 2 a
Jadi, apabila diskriminan ( D)=0, maka persamaan ax 2 +bx +c=0
mempunyai akar-akar sama dan real.
2. Jika b 2−4 ac< 0, artinya D0 . Akan diperoleh:
x 1,2=
x 1=
−b ± √ D
2a
−b+ √ D
−b−√ D
x
=
dan
2
2a
2a
Apabila nilai D>0 , maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0 mempunyai
akar-akar real berbeda. Apabila a , b , dan c adalah bilangan rasional,
maka akan diperoleh:
a. Apabila b 2−4 ac=r 2 (bilangan kuadrat), maka akan diperoleh:
x 1,2=
−b ± √ D
2a
x 1,2=
−b ± √ r 2
2a
−b ± √ r
2a
−b+r
−b−r
x 1=
x=
2 a dan 2
2a
x 1,2=
Apabila nilai D=r 2, maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0
mempunyai akar-akar rasional.
b. Apabila b 2−4 ac=r (bukan bilangan kuadrat), maka akan diperoleh:
x 1,2=
−b ± √ D
2a
x 1,2=
−b ± √ r
2a
x 1=
−b+ √ r
−b−√ r
dan x 2= 2 a
2a
Apabila nilai D=r , maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0
mempunyai akar-akar irrasional.
4. Jika b 2−4 ac ≥ 0, artinya D ≥ 0. Akan diperoleh:
x 1,2=
x 1=
−b ± √ D
2a
−b+ √ D
−b−√ D
x
=
dan
2
2a
2a
Page | 2
Apabila nilai D ≥ 0, maka persamaan kuadrat ax 2 +bx +c=0 mempunyai
akar-akar real.
Contoh 1:
Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut ini dengan memperhatikan
diskriminan!
2
1. x −2 x+1=0
2. x 2+ 5 x +7=0
3. 2 x2 + x−3=0
Penyelesaian:
1. x 2−2 x+1=0
2
D=b2−4 ac¿ ( −2 ) −4.1 .1¿ 4−4=0
Diskriminan ( D)=0, maka persamaan x 2−2 x+1=0 mempunyai akar
yang sama. Jadi, x 1=x 2 ⇔ akar-akar real dan sama.
Diuji dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat
x=
−b ± √ b2−4 ac ¿ −(−2 ) ± 0 ¿ 2 ¿ 1
2
2
2a
Jadi, x 1=1 atau x 2=1
2. x 2+ 5 x +7=0
D=b2−4 ac¿ 52−4.1.7 ¿ 25−28=−3
Diskriminan ( D ) =−3 0.
a=1, b= ( p+1 ) x , c=9
2
Diskriminan ( D ) =b −4 ac>0
2
( p +1 )
−4.1 .>0( p2 +2 p+ 12) −36>0 p2 +2 p+ 1−36>0
p2 +2 p−35>0
Pembuat nol:
( p +7 ) ( p−5 ) =0
p+7=0 atau p−5=0
p=−7 atau p=5
2
Jadi, nilai p yang memenuhi persamaan x + ( p+1 ) x+ 9=0, sehingga
mempunyai akar real berbeda adalah p←7 atau p>5.
2
2. x + px +( p+ 3)=0
Persamaan kuadrat mempunyai akar yang sama jika D=0
2
Diskriminan ( D ) =b −4 ac=0
Page | 4
2
( p)
−4.1 .( p+3)=0 p2−4( p+ 3)=0 p2−4 p+12=0
( p−6 ) ( p+ 2 ) =0
p=6 atau p=−2
Nilai p yang memenuhi adalah p=6 atau p=−2.
Jika p=6, persamaan tersebut menjadi:
2
x + px +( p+ 3)=0
x 2+ 6 x+(6+3)=0
x 2+ 6 x+ 9=0
Sehingga D=b2−4 ac
2
D=(6) −4.1.9
D=36−36=0
Diuji dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat
x=
−b ± √ b2−4 ac ¿ −( 6 ) ± 0 ¿ −6 ¿−3
2
2
2a
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p=6 atau p=−2.
B. Pertidaksamaan Kuadrat
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut ini:
(i) x 2−4 x+3< 0
(ii) x 2+ 2 x−3 ≤ 0
(iii) 2 x2 −11 x+5> 0
(iv) 3 x 2−x+ 3≥ 0
Setiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x berpangkat 2 (dua).
Pertidaksamaan yang berbentuk seperti itu disebut pertidaksamaan kuadrat
dalam variabel x .Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x
ada 4 (empat) macam, yaitu:
(i) ax 2 +bx +c 0
(iv) ax 2 +bx +c ≥ 0
Dengan a , b , dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0.
Page | 5
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
kuadrat dalam variabel x ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan
menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dan garis bilangan.
1. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis
bilangan
Langkah-langkah yang diperlukan adalah sebagai berikut:
a. Langkah 1 yaitu mengubah pertidaksamaan dalam bentuk baku,
apabila bentuk pertidaksamaan masih belum baku.
b. Langkah 2 yaitu menentukan nilai diskriminan terlebih dahulu.
1) Jika D0, sehingga pertidaksamaan x 2−4 x←3
mempunyai aka-akar real. Sehingga pertidaksamaan tersebut
mempunyai penyelesaian.
c. Langkah 3: menentukan nilai-nilai pembuat nol pada interval
pertidaksamaan.
x 2−4 x+3=0( x−1 ) ( x−3 ) =0
x=1 atau x=3
d. Langkah 4 yaitu menggambar nilai-nilai nol yang diperoleh pada
langkah 3 pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol tersebut
Page | 7
membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu: x 0 ) untuk x dalam selang x 3. Jadi, x 2−4 x+3> 0 dalam selang x 3.
b. Parabola tepat sumbu X ( y=0 ) untuk x dalam selang x=1 atau
x=3. Jadi, x 2−4 x+3=0 dalam selang x=1 atau x=3.
c. Parabola di bawah sumbu X ( y 0
d. x 2−4 x+ 4> 0
2
3. Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x ) =−x + 2 x−2,
carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan kuadrat berikut:
a. −x 2+ 2 x−2< 0
b. −x 2+ 2 x−2> 0
Penyelesaian:
1. Sketsa
grafik
f ( x ) =−2 x2 +5 x +3
fungsi
kuadrat
atau
parabola
y=−2 x 2 +5 x+3 dapat dilihat pada
gambar di samping.
Titik potong dengan sumbu
X
diperoleh apabila y=0,sehingga:
−2 x2 +5 x +3=0
( −2 x −1 ) ( x−3 ) =0
−2 x−1=0 atau x−3=0
−2 x=1 atau x=3
x=
−1
x=3
2 atau
2
Grafik fungsi kuadrat f ( x ) =−2 x +5 x +3 dapat dilihat pada gambar di
samping ini:
Sehingga dapat ditetapkan:
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2 x2 +5 x +33 , x ∈ R .
2
{|
}
Page | 13
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2 x2 +5 x +3 ≤0
1
adalah HP= x x ≤− 2 atau x ≥3 , x ∈ R .
{|
}
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2 x2 +5 x +3>0
−1
adalah HP= x 2 < x 0
adalah
HP= { x| x2 , x ∈ R } .
Dapat
ditulis
juga
HP= { x| x ∈ R dan x ≠ 2 } .
Page | 14
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2−4 x+ 4 ≥ 0
HP= { x| x ≤ 2atau x ≥ 2 , x ∈ R } .
adalah
Dapat
ditulis
juga
HP= { x| x ∈ R } .
3. Sketsa
grafik
fungsi
f ( x ) =−x 2+ 2 x−2atau
kuadrat
parabola
y=−x2 +2 x−2dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Titik
potong
dengan
sumbu
X
diperoleh apabila y=0,sehingga:
−x 2+ 2 x−2=0
Nilai diskriminan D=b2−4 ac
a=( −1 ) , b=2, dan c=−2
2
D=(2) −4 (−1)(−2)¿ 4−8¿−4
Karena D 0
adalah himpunan kosong.
DAFTAR PUSTAKA
Page | 15
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Untuk Kelas X. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Noormandiri dan Endar Sucito. 2014. MATEMATIKA SMA Untuk Kelas X.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Page | 16