Pertemuan 2 Model Matematika dalam Siste

Pertemuan-2: Model Matematika dalam Sistem Kontrol

Tujuan Instruksional Khusus (TIK):
Review model matematika untuk menganalisa model fisik sebuah sistem
kontrol
Pokok Pembahasan:
1. Persamaan diferensial/transformasi Laplace
2. Transfer function
3. Diagram blok

4. Diagram aliran sinyal (signal flow diagram

1. Latar belakang
Dipakai matematika sebagai media analisa system control dikarenakan karekteristik system
control yang perubahannya dan sifat prosesnya yang hanya dapat dilihat dengan besaran
matematika. Proses analisis dilakukan apabila ada penyimpangan keluaran (output) yang
tidak sesuai dengan harapan atau karena kualitas output yang tidak sesuai dengan yang
diinginkan.
Control problem adalah masalah menentukan set point agar diperoleh target output yang
diinginkan. Untuk menetapkan set point tersebut dibutuhkan pemahamam sifat-sifat fisis
sistem yang didapat dari model system dalam keluaran sistem fungsi waktu. Hal ini hanya

bisa dijelaskan dan dipahami dengan menggunakan pendekatan matematika.

2. Model matematika dalam system control:
Beberapa pendekatan matematika yang lazim digunakan utk menganalisa system control
atau pemodelan system adalah:
1. Persamaan diferensial/transformasi Laplace
2. Diagram blok
3. Transfer function

4. Diagram aliran sinyal (signal flow diagram)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

1

Proses atau siklus aplikasi matematika dapat digambarkan dengan gambar-2. Problem
system control diformulasikan ke dalam persamaan matematika yang kemudian dilakukan

transformasi atau penyederhanaa agar dapat diselesaikan secara matematika. Terakhir
persamaan tersebut ditranslasikan ke bentuk semula untuk melihat respond dan
kestabilannya.
2.1. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalaha persamaan matematika untuk sebuah fungsi yang tidak
diketahui dengan satu atau beberapa variable yang berhubungan dengan fungsi itu sendiri
dimana turunannya dalam beberapa order. Persamaan diferensial sangat penting dan
dipakai luas dalam bidang keteknikan (engineering), fisika, ekonomi dan disiplin ilmu yang
lain.

Formulasi

Formulasi Matematika

Problem
Translasi

Matematika
problem/solusi

Gambar-1: Proses pendekatan matematika dalam penyelesaian problem system kontrol

Gambar-2. Visualisasi aliran udara dalam sebuah saluran yang dimodelkan menggunakan
persamaan Navier-Stokes merupakan contoh persamaan diferensial..

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

2

Bentuk persamaan diferensial sederhana:
dy
 f  y, t   t t0 , y  y0
dt

Model persamaan diferensial adalah model persamaan system dinamik dengan bentuk:

Y= output/respn, X= input dalam bentuk Laplace: Y n 

dny
s n y s 
n
dt

2.2. Transformasi Laplace
Transformasi laplace dalam system control digunakan untuk:
o

Memodelkan system dalam variable Laplace (P Diff Laplace)

o

Memudahkan solusi lengkap persamaan diferensial karena persamaan diferensial
sangat mudah diselesaikan dengan transformasi laplace.

Sebuah fungsi Transformasi Laplace f(t) for t > 0 didefiniskan dengan sebuah integral 0
hingga ∞:

{ f(t)} =

2.3. Diagram Blok
Sebuah system sering dimodelkan secara sederhana dengan bentuk grafis dimana sebuah
proses disimbolkan dengan blok atau kotak:

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

3

Jika system H memiliki respon impuls h(t) dalam domain waktu (time), dapat dinyatakan
dengan persamaa y(t) sbb:
y(t) = x(t) * h(t)
Simbol asterisk ( * ) sebagai bentuk penyatuan (convolution).
Apabila system H adalah sebuah fungsi transfer dalam domain Laplace (H(s)), maka

hubungan antara input dan output digambarkan dengan diagram blok sbb:

Y(s) = X(s)H(s)

2.3.1. Sistem Dirangkai Seri
Apabila dua sistem atau lebih dirangkai seri, maka sistem keseluruhan dapat dinyatakan
dengan sebuah fungsi transfer dimana solusinya merupakan penjumlahan dari masingmasing sistem.

Dua systems, f(t) dan g(t) terangkai seri sehingga output sistem f(t) adalah input sistem g(t).
Jika output sistem pertama dinyatakan sebagai h(t), maka:
h(t) = x(t) * f(t)
dan output sistem y(t) dalam h(t):
y(t) = h(t) * g(t)
sehingga dikembangkan persamaan keseluruhan sistem:
y(t) = [x(t) * f(t)] * g(t)
y(t) = x(t) * [f(t) * g(t)]

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

4

Diagram blok gabungan menjadi:

2.3.2. Sistem Dirangkai Paralel

Blok terangkai parallel harus dipasangkan sebuah blok penambah (adder) . Blok
dihubungkan dengan adder memiliki total fungsi transfer sebagai berikut:
Y(s) = X(s)[F(s) + G(s)]
Karena Transformasi Laplace adalah linear maka transformasi ke domain waktu dapat
dilakukan dengan sederhana dengan mengganti perkalian ke penggabungan (convolution)
y(t) = x(t) * [f(t) + g(t)]

2.3.3. Model Variable State (State Space Model)
Persamaan variabel state (state-space) dengan matrik bukan nol A, B, C dan D dimodelkan
dengan blok sebagai berikut:

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

5

Pada gambar tersebut, blok asing ditengah dapat berupa sebuah blok penggabungan atau
blok penundaan (delaying) dimana dalam domain transfer dinyatakan:

atau
Tergantung karakteristik waktu system. Jika hanya memperhitungkan waktu system belanjut,
kita dapat menggantik blok asing tersebut dengan sebuah blok penggabungan (integrator):

2.3.4. Penyederhanaan Diagram Blok
Transformation
Cascaded
1
Blocks

Combining

Equation

Block Diagram

Equivalent Block Diagram

2 Blocks in
Parallel

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

6

Removing a

3

Block from a
Forward
Loop
Eliminating a

4 Feedback
Loop
Removing a
5

Block from a
Feedback
Loop

Rearranging
6 Summing
Junctions

Moving a
Summing
7 Juction in
front of a
Block
Moving a
Summing
8 Juction
beyond a
Block
Moving a
9

Takeoff Point
in front of a
Block
Moving a

10

Takeoff Point
beyond a

Block
11 Moving a
Takeoff Point
in front of a
Summing

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

7

Junction
Moving a
Takeoff Point
12 beyond a
Summing
Junction

2.4. Fungsi Transfer (FT)
Fungsi transfer (FT) adalah perbandingan output terhadap input dalam variable laplace.
System dalam variable Laplace yang telah diturunkan dari persamaan diferensial system
dituliskan dengan persamaan:

a s
0

2



 a1 s  a 2 . X  s  bU  s 

Maka fungsi transfer system menjadi:

G s  

X  s
1

2
U  s  a 0 s  a1 s  a s





2.4.1. Fungsi Transfer Loop Terbuka dan Loop Tertutup
Loop terbuka:

R(s)

G(s)

C(s)

Fungsi transfernya dinyatakan dengan persamaan:

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

8

T  s 

C s
G  s 
R s 

Loop tertutup:

R(s)

+

G(s)

C(s)

H(s)

Fungsi transfernya dinyatakan dengan persamaan:

T  s 

C s
G s 

R s  1  G s  H  s 

2.4.2. Series Transfer Functions
If two or more systems are in series with one another, the total transfer function of the series
is the product of all the individual system transfer functions.

In the time domain we know that:
y(t) = x(t) * [f(t) * g(t)]
But, in the frequency domain we know that convolution becomes multiplication, so we can rewrite this as:

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

9

Y(s) = X(s)[F(s)G(s)]
We can represent our system in the frequency domain as:

2.5. Diagram Aliran Sinyal

R = Sinyal input dan C = sinyal output

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Salman

DASAR SISTEM KONTROL

10