Istilah Matematika dalam Bahasa Inggris

Konsep limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah
satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak sebagai
jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga untuk
|x–a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum Nilai Mutlak didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi :
Nilai Mutlak dari bilangan
didefinisikan sebagai berikut

real

a,

dinotasikan

dengan

|a|

dan

|a| :=
Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :

1. |5| = 5
2. |0| = 0
3. |-8| = 8
Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a|
0 untuk semua a
a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a
.

, dan |

Teorema :
(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b
(b) |a|2 = a2 untuk setiap a, b
(c) jika c
(d) -|a|

0 maka |a|

a

c jika dan hanya jika –c

a

c

|a| untuk setiap a, b

Bukti :
(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu
untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0
untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|
untuk a > 0, b < 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = = -ab = a(-b) =
|a||b|

untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a||
b|
untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |(-a)(-b)| = (a)(-b) = ab = |a||b|

(b) karena a2

0 maka berlaku a2 = |a2| = |aa| = |a||a| = |a|2

(c) jika |a|
c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a
c dan -a
c, ini ekuivalen dengan –a
c
a. Kemudian jika –a
c
a maka berlaku a
c
dan -a
c sehingga |a|
c.
(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga |
a|
|a| dan berlaku a
|a| dan -a

|a|, hal ini ekivalen dengan –a
|a|
a
Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)
Jika a, b

maka |a + b|

|a| + |b|

Bukti :
Dari Teorema (d) kita punya -|a|
a
|a| dan -|b|
b
ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh –(|a| + |b|)
Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b|
|a| + |b|

|b|. Jumlahkan kedua

a + b
|a| + |b|.

Akibat (Corollary)
Jika a, b

maka

(a) ||a| – |b||
(b) |a – b|

|a – b|

|a| + |b|

Bukti :
(a) ambil a = a – b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| =
|(a – b) + b|
|a – b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b|
sehingga diperoleh |a| – |b|

|a – b|.Sekarang pandang b = b – a + a, dengan
Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b – a + a|
|b – a| + |a|. Kemudian
kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| – |a|
|b – a|. Kalikan kedua
ruas dengan (-1) sehingga menjadi –(|b| – |a|)
-|b – a|. Ketaksamaan
tersebut ekivalen dengan -|a – b|
|a| – |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut,
berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| – |b||
|a – b|.
(b) Dengan memandang Ketaksamaan Segitiga dan mensubstitusi –b, maka diperoleh
|a + (-b)|
|a| + |-b|. Karena |-b| = |b|, maka berakibat |a – b|
|a| + |b|
Kemudian jika –a

c

a maka berlaku a

c dan -a

c sehingga |a|

c