Penalaran Matematika hubungan antara kemampuan

Penalaran
Matematika

Logika sebagai
Ilmu Penalaran Sistematis
PENGERTIAN LOGIKA

Secara etimologis, istilah Logika berasal dari kata “
Logos “ (Yunani) yang berarti kata, ucapan (sesuatu
yg diutarakan/ungkapan lewat bahasa), fikiran
secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu
pengetahuan.

Dalam arti luas Logika adalah sebuah metode
dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara
tegas antara penalaran yang tepat ( correct ) dengan
penalaran yang tidak tepat.
 Dalam Logika kita mempelajari dan meneliti apakah
sebuah penalaran yang kita lakukan itu tepat
( correct ) atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan
tepat (correct) , Logika menawarkan sejumlah

aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan
agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat


Logika tidak menjelaskan bagaimana sifat
atau karakteristik orang yang berfikir, juga tidak
mempersoal-kan bagaimana dan dalam keadaan
apa seseorang dapat menarik kesimpulan benar
atau dapat berfikir dengan tepat, namun Logika
menganalisa apakah jalan fikiran atau penarikan
kesimpulan benar atau tidak dan Logika juga
mempersoalkan apakah sebuah kesimpulan
ditarik secara syah atau tidak.
Orang yang pertama merintis dan mempelopori
Logika adalah Aristoteles , seorang ahli filsafat
Yunani yg mengobservasi dan mencatat hukumhukum dari logika formal , yaitu logika yang
kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang
hanya dari bentuk (form) dari rangkaian langkahlangkah itu dan tidak bergantung pada materi
persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam,
ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lainnya serta

dalam persoalan sehari-hari.


Sebagai contoh bentuk penalaran khusus

yang dikenal dengan Silogisme dengan
bentuk Barbara yang terdiri dari dua premis
dan satu konklusi:
Premis 1 :
semua a adalah b.
Premis 2:
semua b adalah c.
Konklusi:  semua a adalah c.

Langkah dari dua premis di atas

menghasilkan konklusi, tidak tergantung
pada isi dari a , b dan c.

Dalam karya-karya tentang logika formal, Aristoteles

menggunakan bahasa alami (natural language).

Kelebihan bahasa alami, yaitu adanya berbagai
nuansa arti dari kata-kata yang memungkinkan orang
mengungkap-kan perbedaan perasaan-perasaan yang
halus

Kelemahan dan kekurangan bahasa alami yaitu jika
dipandang dari segi univalensi dan ketepatan ungkapan,
sebab bahasa alami bermakna ganda (multivalent) , tak
jelas/kabur (ambiguous) dan tak beraturan (irregular).

Padahal ilmu, khususnya matematika, memerlukan
ketunggalan dan ketepatan ungkapan, ciri-ciri yang
diperlukan untuk menggapai ketajaman penalaran.
Pada khususnya kata-kata kunci dalam suatu penalaran
seperti “ dan “, “ atau “, “ jika – maka – “, dan lain-lain
memerlukan definisi-definisi yang tunggal dan tepat
(precise) agar supaya penalaran dapat berjalan dengan
derajat ketajaman yang tinggi.


Perlu juga dicatat bahwa di dalam matematika,
bahasa itu tidak hanya merupakan alat komunikasi,
tetapi juga, dan lebih-lebih berfungsi sebagai pembawa
pikiran, kendaraan berfikir.


Setiap ilmu, termasuk logika formal, mengabdi pada

dan mencari kebenaran.
Tadi dikatakan bahwa dalam logika formal, isi dari
kalimat-kalimatnya dikesampingkan maka timbul
pertanyaan demikian: Misalkan sebagai konklusi
dari suatu penalaran didapat suatu kalimat atomic,
seperti “ Tono adalah pem-bunuh Ali “.
Benarnya suatu kalimat atomic didefinisikan dengan
adanya persesuaian antara apa yang disampaikan
kalimat itu dan keadaan sebenarnya yang terjadi di
realitas.
Jika dalam logika formal kalimat-kalimatnya

dikosongkan dari isinya, bagaimana menentukan
nilai benarnya suatu kalimat ? Dengan kata lain,
bagaimana hubungan antara logika formal dengan
kebenaran yang menjadi tujuan setiap ilmu ?
Hubungan tersebut dapat dijelaskan demikian : “
Apabila kalimat-kalimat pangkal bernilai benar, dan
kebenaran itu diyakini dari observasi factual atau
mental (berupa kesesuaian dengan fakta-fakta ilmu)
atau didapat dari sumber terpercaya, maka, jika

Dengan kata lain logika formal

memandu penalaran kita bergerak
dari hal yang benar ke hal yang
benar. Dengan syarat-syarat :
Pangkal benar.
langkah-langkah sesuai dengan
hukum-hukum dari logika formal.
Jadi ilmu logika formal hanya
menentukan dan mencatat hukumhukum dari penalaran yang sahih

( correct ) .

Perlu dicatat bahwa kata “ benar “

untuk menyatakan kebenaran suatu
kalimat (pernyataan), sedangkan
untuk tepatnya suatu penalaran
mengguna-kan istilah “ sahih “ .
Jadi disini dibedakan antara “
benarnya kalimat atomic “ ( truth of
a sentence ) dan “ sahihnya
penalaran “ ( validity of reasoning ).

Dalam kehidupan sehari-hari kita dituntut untuk
menggunakan akal fikiran dalam melakukan setiap
kegiatan dengan penuh pemikiran dan
pertimbangan. Oleh karena itu kita harus
mempunyai pola berfikir yang tepat, akurat,
rasional dan obyektif, disamping dapat berfikir
kritis. Pola berfikir seperti ini adalah cara berfikir

atau penalaran yang terdapat dalam logika.
 Oleh karena itu Logika sangat penting dalam setiap
bidang kehidupan manusia.
 Difihak lain mempelajari logika juga mempunyai
nilai praktis, karena penguasaan prinsip-prinsipnya
dapat membantu kita untuk menjadi lebih effektif
dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam
penalaran, baik penalaran yang dilakukan orang
lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri.
 Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari
kesalahan logika dalam penalaran akan dapat
berfikir lebih jelas dan tepat, lebih baik dan lebih
yakin, apapun yang mungkin merupakan pokok
persoalan yang akan dihadapi .


LOGIKA KALIMAT
Di dalam Logika Kalimat, kalimat-kalimat
dipandang sebagai suatu keseluruhan yang tidak
dianalisis atas subyek dan predikat.

Kalimat-kalimat itu satu sama lain dihubungkan
dengan kata-kata penghubung kalimat yaitu : “dan“
(untuk konjungsi), “ atau “ (untuk disjungsi), “jika …
maka …“ (untuk implikasi), “ … jika dan hanya jika …“
(untuk biimplikasi), “tidak“ (untuk negasi).
Dalam percakapan sehari-hari, pemakaiannya
diwarnai dengan macam-macam konotasi dan arti
sampingan, yang tidak sesuai dengan matematika
sebagai ilmu yang eksak.
Karena itu penggunaannya dalam matematika
ditertibkan. Hal ini dilaksanakan di dalam logika kalimat
dengan menggunakan tabel-tabel nilai kebenaran.
Dalam penalaran matematika, logika kalimat
memegang peranan yang penting disamping teori
kuantifikasi yang menganalisis struktur internal dari
kalimat.

PERNYATAAN MAJEMUK DLM LOGIKA
KALIMAT
1. Konjungsi antara pernyataan p dan

q dinyatakan dengan simbol “p  q”
atau
“p & q” , dibaca “ p dan q”.
p
q
pq
 
B

B

B

S

S

B

S

S

2. Disjungsi antara pernyataan p dan q

dinyatakan dengan “ p  q “ , dibaca “
p atau q”.

Pernyataan “p  q“ bisa mempunyai arti
p
atau
q, tetapi tidak kedua-duanya.
Arti yang demikian dinamakan arti
eksklusif.
Namun dilain pihak pernyataan “p  q“
dapat juga diartikan p atau q, atau
kedua- duanya. Disjungsi seperti ini
disebut disjungsi inklusif.

p

B
B
S
S

q
B
S
B
S

Disjungsi
Inklusif

p q
Disjungsi
Eksklusif

p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

pq

3. Implikasi antara pernyataan p dan

q dinyatakan dengan simbol “p 
q”
dibaca :
a. Jika p maka q
b. p hanya jika q
c. p berimplikasi q
d. q jika p
e. p adalah syarat cukup untuk q
f. q adalah syarat perlu untuk p

p

q

B

B

B

S

S

B

S

S

pq

Jika

p”

“p q” suatu pernyataan implikasi, maka
1. Konvers dari implikasi “p  q” adalah “q 

2. Invers dari implikasi “p  q” adalah “~p
~q”
3. Kontraposisi dari implikasi “p
pq”
 adalah
p q~p” p
q pq qp
q  p
“~q
q
B

B

S

S

B

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

B

4. Biimplikasi antara pernyataan p

dan q dinyatakan dengan simbol
“p  q”
dibaca : “p jika dan hanya jika q”
atau
“p bila dan hanya bila q” ,
p
q “p
biasapdisingkat q“p jhj q”
atau
bhb q”. B
B

B
S
S

S
B
S

Bagaimana Negasi (Ingkaran) dari
Pernyataan Majemuk?





(p
(p
(p
(p

 q)
 q)
 q)
 q)






………………..
………………..
………………..
………………..

PENALARAN
MATEMATIKA

Menurut Keraf (1982:5): Penalaran (jalan
pikiran / reasoning) adalah proses berfikir yang
berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta
yang diketahui menuju ke suatu kesimpulan.

Menurut Fadjar Shadiq (2004): Penalaran
adalah suatu kegiatan, suatu proses atau
aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau
membuat suatu pernyataan baru yang benar
berdasar pada beberapa pernyataan yang
kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan
sebelumnya.

Menurut Shurter dan Pierce (1966, 99):
Penalaran merupakan suatu proses pencapaian
kesimpulan berdasarkan fakta dan sumber yang
relevan.


Penalaran: merupakan suatu proses
pencapaian kesimpulan berdasarkan fakta
dan sumber yang relevan yang dinyatakan
sebagai premis-premis dalam sebuah
argumen
 Penalaran memiliki langkah-langkah
sistematis yang bersifat baku untuk setiap
bidang ilmu. Sehingga Orang lain yang
ingin membuktikan gejala yang sama
dengan langkah yang sama pasti akan
memperoleh hasil yang sama pula asalkan
situasi dan kondisinya sama .

Jadi dalam penalaran tidak ada
kebohongan ilmiah .


Penalaran:
merupakan suatu proses pencapaian
kesimpulan berdasarkan fakta dan sumber
yang relevan yang dinyatakan sebagai
premis-premis dalam sebuah argumen

ARGUMEN ?
Argumen merupakan serangkaian
pernyataan ( proposisi ) yang mempunyai
struktur, terdiri dari beberapa premis dan
satu kesimpulan atau konklusi .
Dalam Argumen terdapat kata-kata seperti :
“ jadi “ , “ maka “ , “ oleh karena itu ‘ , dsb.


Penalaran matematika (mathematical
reasoning) diperlukan untuk apa?
untuk menentukan apakah sebuah

argumen matematika benar atau salah;
untuk membangun suatu argumen
matematika;
untuk melakukan pembuktian (proof);
Untuk pemeriksaan program (program
verification);
untuk melakukan inferensi dalam suatu
sistem kecerdasan buatan (artificial
intelligence/AI)

Beberapa istilah yang akan dipakai
dalam penalaran matematika perlu
dimengerti artinya, yakni:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

bukti,
inferensi (penarikan kesimp.)
teorema,
lemma,
corollary, dan
konjektur (conjecture).

Aksioma (axiom) adalah pernyataan dasar

dari suatu struktur matematika yang tidak
perlu bukti.
Pembuktian (proof) dipakai untuk

menunjukkan bahwa suatu pernyataan
adalah benar. Suatu pembuktian terdiri
dari rangkaian pernyataan-pernyataan
yang membentuk sebuah argumen.
Langkah-langkah yang menghubungkan

pernyataan-pernyataan ini disebut sebagai
aturan inferensi (rules of inference).

Suatu penalaran yang salah disebut sebagai

fallacy.

Teorema adalah pernyataan yang dapat

ditunjukkan bernilai benar.

Suatu lemma adalah teorema sederhana yang

dipergunakan sebagai hasil-antara dalam
pem-buktian teorema lain,

corollary adalah suatu proposisi yang secara

langsung diperoleh dari teorema yang sudah
dibuktikan.

Suatu konjektur (hipotesa) adalah suatu

asumsi yang nilai kebenarannya tidak
diketahui. Setelah pembuktian berhasil
dilakukan, maka konjektur berubah menjadi
teorema.

Aturan-aturan inferensi memberikan

sarana untuk melakukan pembenaran dari
langkah-langkah yang dipakai dalam
proses pembuktian. Salah satu aturan
penting yang perlu kita kenal adalah
modus ponens.
Aturan ini didasarkan pada tautologi
((p  q)  p)  q.
Kita menuliskan modus ponen dengan
cara berikut:
pq
p

q

ARGUMEN

Modus Tolens :
pq
~q

~p

Silogisma

( Silogisma Hipotetik )

pq
qr

p  r

 Disamping aturan inferensi, dikenal juga argumen yang

juga terdiri dari satu atau beberapa buah hipotesis dan
suatu kesimpulan.

 Suatu argumen disebut valid, apabila, saat semua

hipotesisnya benar, maka kesimpulannya juga benar.
Tetapi, jika suatu hipotesis salah, argumen yang valid
sekalipun dapat mengakibatkan kesimpulan yang juga
salah, seperti ditunjukkan pada contoh berikut.

 Contoh: Pehatikan pernyataan berikut ini :

“Jika n dapat dibagi dengan 3, maka n2 juga dapat dibagi 9”
“101 dapat dibagi 3. Jadi, 1012 dapat dibagi 9.”
 Berdasarkan modus ponens, argumen diatas valid. Akan

tetapi kesimpulannya salah, karena satu dari hipotesisnya
salah (yakni “101 dapat dibagi 3.”). Jika dalam argumen
diatas kita gantikan 101 dengan 102, maka kita akan
secara benar menyimpulkan bahwa 1022 dapat dibagi
dengan 9.

Suatu teorema dapat dibuktikan dengan cara
langsung maupun secara tidak langsung.
Dalam pembuktian langsung, suatu

implikasi pq dapat dibuktikan dengan
menunjukkan bahwa jika p benar, maka q
juga benar.
Contoh: berikan pembuktian langsung
teorema berikut ini:
“Jika n ganjil, maka n2 juga ganjil.”
Ide: asumsikan bahwa hipotesis dari
implikasi ini benar (yakni, n ganjil). Lalu
gunakan aturan inferensi dan teorema
yang telah diketahui untuk menunjukkan
bahwa q juga benar (yakni n2 ganjil).

Bukti:
asumsikan n ganjil, maka n bisa dinyatakan

sebagai n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat.
Akibatnya,
n2 = (2k + 1)2 ( substitusi n = 2k +1)
= 4k2 + 4k + 1 (rumus kuadrat )
= 2(2k2 + 2k) + 1 (sifat distributif kiri)
= 2m +1; dengan m = 2k2 + 2k

Karena n2 dapat dituliskan dalam bentuk

tersebut diatas, maka n2 adalah juga bilangan
ganjil.

Suatu implikasi p  q adalah ekivalen dengan

bentuk contra-positive nya, yakni q  p.
Oleh karena itu, dalam pembuktian tidak
langsung, implikasi p  q dapat dibuktikan
dengan menunjukkan bahwa, saat q salah, maka
p juga salah.
Contoh: berikan bukti tak langsung teorema

“Jika 3n + 2 ganjil, maka n adalah ganjil.”
Ide: asumsikan bahwa kesimpulan dari implikasi

ini salah (n genap). Kemudian gunakan aturan
inferensi dan teorema yg telah diketahui untuk
menunjukkan bahwa p juga salah (3n+2 genap).

Bukti :

Tinjau n genap, sehingga bisa dinyatakan sebagai
n = 2k, dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian
3n + 2 = 3(2k) + 2 (substitusi n = 2k)
= 6k + 2
(sft asosiatif perkalian dn
hasil op)
= 2(3k + 1)
(sifat distributif kiri)
= 2m, dengan m = 3k + 1
Oleh karena itu, 3n + 2 adalah bilangan genap.
Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa

kontrapositif dari implikasi bernilai benar.
Akibatnya implikasinya sendiri juga benar
(yakni, “jika 2n+3 ganjil, maka n ganjil“).

Dalam pembuktian, ada suatu teknik penting

yang disebut sebagai prinsip induksi, yang
merupakan suatu cara (tool) untuk
membuktikan bahwa predikat tertentu
bernilai benar untuk semua bilangan cacah.

Prinsip ini tidak dapat dipakai untuk

menemukan suatu teorema, melainkan hanya
untuk membuktikannya saja.

Jika kita punya fungsi proposisi P(n), dan

kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar
untuk sebarang bilangan cacah n, kita
lakukan langkah-langkah berikut:
• Menunjukkan bahwa P(0) benar
(langkah dasar)
• Menunjukkan bahwa jika P(n) benar
maka P(n+1) juga benar untuk sebarang
nN. (langkah induktif)
• Maka P(n) haruslah benar untuk
sebarang nN. (kesimpulan)

 Contoh:

Tunjukkan bahwa n < 2n untuk semua bilangan bulat positif n.
Jawab:
Misalkan P(n) adalah proposisi “n < 2n”

1. Tunjukkan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

 Untuk n=1, diperoleh relasi 1