KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN
CCM 110, MATEMATIKA DISKRIT
Pertemuan 6-7 , Teori Graph
Drs. Holder Simorangkir, M.Kom
Program Studi Teknik Informatika
UNIVERSITAS ESA UNGGUL
KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN
Mahasiswa dapat memahami tentang Teori Graph serta dapat
mengaplikasinya keberbagai mata kuliah seperti Basis Data ,
Artificial Intelligent
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari , banyak persoalan yang dapat
disimpulkan sebagai persoalan yang berhubungan dengan
himpunan dan relasi binary , di mana logika dari persoalan
tersebut sering kali dapat digambarkan dengan sebuah graph.
Contoh :
Seorang programmer ingin membuat software sistem jaringan
transportasi sedemikian rupa sehingga apabila sebuah
kendaraan bergerak dari titik A ke semua titik lain kemudian
kembali ke titik A dapat dilakukan dengan efisien.
Gambarnya :
A
B
C
D
E
Tree Structure ( Pohon Keputusan )
A
A = Root.
B dan C = Node.
D , E , F dan G
adalah Leaves.
B
D
C
E
F
G
Garis adalah penghubung
Soal :
Dari gambar di slide 4 , bila Node adalah kota dan Garis jalan
yang menghubungkan satu kota ke kota lainnya dan diberikan
besaran jarak, maka carilah jarak terpendeknya dari A dan setelah
melalui kota-kota lain dan kembali ke A !!
A. Jenis-jenis Graph
Jenis-jenis graph dilihat dari strukturnya ada 6 jenis, yaitu :
a.Multigraph
Adalah graph yang mempunyai satu atau lebih pasangan
rusuk ganda yang menghubungkan 2 buah titiknya.
A
B
Titik A dan D dihubungkan oleh 2 buah
e3 e4
e5
Garis (rusuk ) e1 dan e2 demikian juga
e1
e2
C
titik B dan C dihubungkan oleh rusuk
e6
e7
e4 dan e5
D
E
b. Pseudograph
adalah graph yang memiliki satu atau lebih pasangan rusuk ganda
yang menghubungkan 2 buah titiknya (multigraph) dan memiliki satu
atau lebih loop pada titiknya.
e8
A
B
e3 e4
e1
Graph di atas selain memiliki rusuk
e2
e5
C
e6
e7
E
D
e9
ganda juga memiliki dua buah loop
di titik B dan E. Loop adalah rusuk
yang ujungnya hanya memiliki sebuah
titik.
c. Trivialgraph
adalah graph yang hanya terdiri dari satu titik.
A
d. Graph Lengkap ( Kn )
adalah graph yang
setiap titiknya terhubung
dengan semua titik yang
lain dengan hanya satu
rusuk.
C
B
D
E
e. Graph Teratur
adalah graph yang setiap
titiknya mempunyai sejumlah
incident rusuk yang sama
A
B
f.Bipartitegraph
A
adalah graph yang titik-titiknya
dapat dikelompokkan menjadi dua,
titik-titik dalam satu kelompok tak
terhubung dan titik-titik antar
kelompok terhubung lengkap.
C
E
B
C
D
E
B. Menurut Lintasannya :
a. Traversable Graph
adalah graph yang semua
rusuk-rusuknya dapat dilalui
masing-masing sekali atau
graph yang dapat digambar
tanpa pena diangkat.
2
1
6
B
9
7
5
4
A
8
3
Teori EULER :
*. Semua graph terhubung yang mempunyai titik ganjil maksimum dua
adalah Traversable Graph
*. Traversable Graph lintasannya selalu dimulai dari titik ganjil pertama (A)
dan diakhiri pada titik ganjil kedua (B).
Catatan : Titik ganjil adalah titik di mana rusuknya yang Incident (bertemu)
dengan titik tersebut berjumlah ganjil.
b.Eulerian Graph
adalah graph yang semua rusuknya
dapat dilalui masing-masing sekali
dan memiliki lintasan tertutup, artinya
titik awal = titik akhir
1
2
5
8
9
14
4
6
13 7
10
12
11
3
Teori Euler :
*. Bila sebuah graph semua titiknya genap maka graph tersebut
mempunyai lintasan euler.
*. Graph Euler dapat digambarkan tanpa angkat pena maka Euler graph
juga merupakan Traversable Graph.
c. Hameltonian Graph
adalah graph yang semua titik-titiknya
dapat dilalui masing-masing sekali dan
mempunyai lintasan tertutup,
artinya : titik awal = titik akhir.
2
3
4
1
5
8
7
6
C.Koneksitas
Hubungan atau lintasan antar titik dalam sebuah graph dapat dibedakan
menjadi beberapa jenis , yaitu :
a.Walk
adalah lintasan dari satu titik ke titik yang lain.
Contoh : Misalkan titik mewakili kota dan rusuk mewakili jalan, maka
dari Jakarta ke Bandung dapat dibuat banyak Walk.
Yaitu : Jakarta – Jagorawi - Bogor.
dll
b. Closed Walk
adalah Walk yang titik awal = titik akhir.
Contoh : Jakarta – Cikampek – Jakarta
dll
c. Trail
adalah Walk yang semua rusuknya berlainan, artinya yang diperhatikan
adalah lintasannya.
Contohnya : Jakarta – Cikampek - Purwakarta.
dll
d. Path
adalah Walk yang semua titiknya berlainan, artinya yang diperhatikan
adalah lintasannya.
Contoh :
Jakarta – Cikampek - Purwakarta
e. Cycle
adalah Path yang tertutup, artinya titik awal = titik akhir
Contoh :
Jakarta – Tangerang – Bogor – Jakarta
dll
e.
f. Girth
adalah cycle terpendek dari cycle-cycle yang dimiliki oleh sebuah graph.
Contoh : A
B
C
D
E
F
G
Graph di atas mempunyai banyak cycle, tetapi ada satu yang terpendek yang disebut “GIRTH= CGFC” ,
panjangnya 3 rusuk yang membentuk cycle.
g. Circumference
adalah cycle terpanjang dari cycle-cycle yang dimiliki oleh sebuah graph.
Contoh : Dari gambar (Girth) di atas, adalah ”Circumference =
ABCGFEDA”, dengan panjang = 7 yang memiliki 7 rusuk .
a
Berkaitan Dengan Masalah Jarak
Dalam sebuah graph, perlu diketahui yang berkaitan dengan jarak
penting , al. untuk menentukan jari-jari, diameter, sentral dan pusat graph.
Jarak anatara dua titik adalah Walk yang semua titiknya berlainan dan
mempunyai lintasan terpendek.
Contoh :
Dapat dibuat banyak Walk yang semua titiknya berlainan anatar Jakarta –
Bogor , yaitu :
Jakarta – Jagorawi – Bogor
Jakarta – Tangerang – Bogor
Dari contoh lintasan-lintasan di atas yang disebut jarak adalah lintasan
Jakarta – Jagorawi – Bogor karena terpendek .
Ada beberapa hal yang berkaitan dengan jarak , yaitu :
Eksentrisitas suatu titik adalah jarak terpanjang suatu titik terhadap semua
titik dalam sebuah graph.
Contoh :
A
B
C
Jarak A – B = 1
D
E
F
G
A–C
A–D
A–E
H
A–F
A–G=3
A–H=4
=2
=2
=1
=2
Jadi Eksentrisitas titik A = e(A) = 4
d. Pusat Graph
adalah himpunan titik-titik yang nilai eksentrisitasnya = jari-jarinya.
Contoh :
Dari contoh di atas pusat graph adalah (F)
b. Jari-jari Graph { r(G)}
adalah eksentrisitas titik yang terkecil dalam sebuah graph.
Contoh :
Dari gambar (a) , eksentrisitas titik-titiknya sebagai berikut :
e(A) = 4 ;
e(E) = 3
e(B) = 3 ;
e(F) = 2
e(C) = 4 ;
e(G) = 3
e(D) = 4 ;
e(H) = 4
Jadi jari-jari graph = r(F) = 2
c. Diameter Graph { d(H)}
Diameter graph adalah eksentrisitas titik yang terbesar dalam sebuah
graph.
Contoh :
Dari Graph di atas dapat disimpulkan bahwa Diameter Grap d(H) = 4
e. Titik Sentral Graph
adalah titik-titik simpul yang nilai eksentrisitasny = NILAI JARI-JARINYA.
Contoh :
Dari contoh di atas titik sentral garph adalah titik F
D. Derajat/Degree Suatu Titik
Seperti diketahui sebuah titik dalam graph dapa mempunyai 1 atau lebih
rusuk yang incident padanya atau tidak ada satupun rusuk yang incident
padanya. Derajat sebuah titik adalah banyaknya rusuk yang incident pada
titik tersebut. Titik ganjil adalah titik yang derajatnya ganjil. Titik genap
adalah titik yang derajat genap.
Contoh :
C
B
D
A
E
F
I
H
Jumlah degree
Jumlah rusuk
Jumlah degree
= 24
= 12
= 2 kali jumlah rusuk
Maka derajat titik-titiknya =
deg (A) = 4
deg (B) = 3
deg (C) = 2
deg (D) = 3
deg (E) = 4
deg (F) = 3
deg (H) = 2
deg ( I) = 3
Pertemuan 6-7 , Teori Graph
Drs. Holder Simorangkir, M.Kom
Program Studi Teknik Informatika
UNIVERSITAS ESA UNGGUL
KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN
Mahasiswa dapat memahami tentang Teori Graph serta dapat
mengaplikasinya keberbagai mata kuliah seperti Basis Data ,
Artificial Intelligent
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari , banyak persoalan yang dapat
disimpulkan sebagai persoalan yang berhubungan dengan
himpunan dan relasi binary , di mana logika dari persoalan
tersebut sering kali dapat digambarkan dengan sebuah graph.
Contoh :
Seorang programmer ingin membuat software sistem jaringan
transportasi sedemikian rupa sehingga apabila sebuah
kendaraan bergerak dari titik A ke semua titik lain kemudian
kembali ke titik A dapat dilakukan dengan efisien.
Gambarnya :
A
B
C
D
E
Tree Structure ( Pohon Keputusan )
A
A = Root.
B dan C = Node.
D , E , F dan G
adalah Leaves.
B
D
C
E
F
G
Garis adalah penghubung
Soal :
Dari gambar di slide 4 , bila Node adalah kota dan Garis jalan
yang menghubungkan satu kota ke kota lainnya dan diberikan
besaran jarak, maka carilah jarak terpendeknya dari A dan setelah
melalui kota-kota lain dan kembali ke A !!
A. Jenis-jenis Graph
Jenis-jenis graph dilihat dari strukturnya ada 6 jenis, yaitu :
a.Multigraph
Adalah graph yang mempunyai satu atau lebih pasangan
rusuk ganda yang menghubungkan 2 buah titiknya.
A
B
Titik A dan D dihubungkan oleh 2 buah
e3 e4
e5
Garis (rusuk ) e1 dan e2 demikian juga
e1
e2
C
titik B dan C dihubungkan oleh rusuk
e6
e7
e4 dan e5
D
E
b. Pseudograph
adalah graph yang memiliki satu atau lebih pasangan rusuk ganda
yang menghubungkan 2 buah titiknya (multigraph) dan memiliki satu
atau lebih loop pada titiknya.
e8
A
B
e3 e4
e1
Graph di atas selain memiliki rusuk
e2
e5
C
e6
e7
E
D
e9
ganda juga memiliki dua buah loop
di titik B dan E. Loop adalah rusuk
yang ujungnya hanya memiliki sebuah
titik.
c. Trivialgraph
adalah graph yang hanya terdiri dari satu titik.
A
d. Graph Lengkap ( Kn )
adalah graph yang
setiap titiknya terhubung
dengan semua titik yang
lain dengan hanya satu
rusuk.
C
B
D
E
e. Graph Teratur
adalah graph yang setiap
titiknya mempunyai sejumlah
incident rusuk yang sama
A
B
f.Bipartitegraph
A
adalah graph yang titik-titiknya
dapat dikelompokkan menjadi dua,
titik-titik dalam satu kelompok tak
terhubung dan titik-titik antar
kelompok terhubung lengkap.
C
E
B
C
D
E
B. Menurut Lintasannya :
a. Traversable Graph
adalah graph yang semua
rusuk-rusuknya dapat dilalui
masing-masing sekali atau
graph yang dapat digambar
tanpa pena diangkat.
2
1
6
B
9
7
5
4
A
8
3
Teori EULER :
*. Semua graph terhubung yang mempunyai titik ganjil maksimum dua
adalah Traversable Graph
*. Traversable Graph lintasannya selalu dimulai dari titik ganjil pertama (A)
dan diakhiri pada titik ganjil kedua (B).
Catatan : Titik ganjil adalah titik di mana rusuknya yang Incident (bertemu)
dengan titik tersebut berjumlah ganjil.
b.Eulerian Graph
adalah graph yang semua rusuknya
dapat dilalui masing-masing sekali
dan memiliki lintasan tertutup, artinya
titik awal = titik akhir
1
2
5
8
9
14
4
6
13 7
10
12
11
3
Teori Euler :
*. Bila sebuah graph semua titiknya genap maka graph tersebut
mempunyai lintasan euler.
*. Graph Euler dapat digambarkan tanpa angkat pena maka Euler graph
juga merupakan Traversable Graph.
c. Hameltonian Graph
adalah graph yang semua titik-titiknya
dapat dilalui masing-masing sekali dan
mempunyai lintasan tertutup,
artinya : titik awal = titik akhir.
2
3
4
1
5
8
7
6
C.Koneksitas
Hubungan atau lintasan antar titik dalam sebuah graph dapat dibedakan
menjadi beberapa jenis , yaitu :
a.Walk
adalah lintasan dari satu titik ke titik yang lain.
Contoh : Misalkan titik mewakili kota dan rusuk mewakili jalan, maka
dari Jakarta ke Bandung dapat dibuat banyak Walk.
Yaitu : Jakarta – Jagorawi - Bogor.
dll
b. Closed Walk
adalah Walk yang titik awal = titik akhir.
Contoh : Jakarta – Cikampek – Jakarta
dll
c. Trail
adalah Walk yang semua rusuknya berlainan, artinya yang diperhatikan
adalah lintasannya.
Contohnya : Jakarta – Cikampek - Purwakarta.
dll
d. Path
adalah Walk yang semua titiknya berlainan, artinya yang diperhatikan
adalah lintasannya.
Contoh :
Jakarta – Cikampek - Purwakarta
e. Cycle
adalah Path yang tertutup, artinya titik awal = titik akhir
Contoh :
Jakarta – Tangerang – Bogor – Jakarta
dll
e.
f. Girth
adalah cycle terpendek dari cycle-cycle yang dimiliki oleh sebuah graph.
Contoh : A
B
C
D
E
F
G
Graph di atas mempunyai banyak cycle, tetapi ada satu yang terpendek yang disebut “GIRTH= CGFC” ,
panjangnya 3 rusuk yang membentuk cycle.
g. Circumference
adalah cycle terpanjang dari cycle-cycle yang dimiliki oleh sebuah graph.
Contoh : Dari gambar (Girth) di atas, adalah ”Circumference =
ABCGFEDA”, dengan panjang = 7 yang memiliki 7 rusuk .
a
Berkaitan Dengan Masalah Jarak
Dalam sebuah graph, perlu diketahui yang berkaitan dengan jarak
penting , al. untuk menentukan jari-jari, diameter, sentral dan pusat graph.
Jarak anatara dua titik adalah Walk yang semua titiknya berlainan dan
mempunyai lintasan terpendek.
Contoh :
Dapat dibuat banyak Walk yang semua titiknya berlainan anatar Jakarta –
Bogor , yaitu :
Jakarta – Jagorawi – Bogor
Jakarta – Tangerang – Bogor
Dari contoh lintasan-lintasan di atas yang disebut jarak adalah lintasan
Jakarta – Jagorawi – Bogor karena terpendek .
Ada beberapa hal yang berkaitan dengan jarak , yaitu :
Eksentrisitas suatu titik adalah jarak terpanjang suatu titik terhadap semua
titik dalam sebuah graph.
Contoh :
A
B
C
Jarak A – B = 1
D
E
F
G
A–C
A–D
A–E
H
A–F
A–G=3
A–H=4
=2
=2
=1
=2
Jadi Eksentrisitas titik A = e(A) = 4
d. Pusat Graph
adalah himpunan titik-titik yang nilai eksentrisitasnya = jari-jarinya.
Contoh :
Dari contoh di atas pusat graph adalah (F)
b. Jari-jari Graph { r(G)}
adalah eksentrisitas titik yang terkecil dalam sebuah graph.
Contoh :
Dari gambar (a) , eksentrisitas titik-titiknya sebagai berikut :
e(A) = 4 ;
e(E) = 3
e(B) = 3 ;
e(F) = 2
e(C) = 4 ;
e(G) = 3
e(D) = 4 ;
e(H) = 4
Jadi jari-jari graph = r(F) = 2
c. Diameter Graph { d(H)}
Diameter graph adalah eksentrisitas titik yang terbesar dalam sebuah
graph.
Contoh :
Dari Graph di atas dapat disimpulkan bahwa Diameter Grap d(H) = 4
e. Titik Sentral Graph
adalah titik-titik simpul yang nilai eksentrisitasny = NILAI JARI-JARINYA.
Contoh :
Dari contoh di atas titik sentral garph adalah titik F
D. Derajat/Degree Suatu Titik
Seperti diketahui sebuah titik dalam graph dapa mempunyai 1 atau lebih
rusuk yang incident padanya atau tidak ada satupun rusuk yang incident
padanya. Derajat sebuah titik adalah banyaknya rusuk yang incident pada
titik tersebut. Titik ganjil adalah titik yang derajatnya ganjil. Titik genap
adalah titik yang derajat genap.
Contoh :
C
B
D
A
E
F
I
H
Jumlah degree
Jumlah rusuk
Jumlah degree
= 24
= 12
= 2 kali jumlah rusuk
Maka derajat titik-titiknya =
deg (A) = 4
deg (B) = 3
deg (C) = 2
deg (D) = 3
deg (E) = 4
deg (F) = 3
deg (H) = 2
deg ( I) = 3