02 operasi bilangan real
1
02. OPERASI BILANGAN
A. Macam-macam Bilangan Real
Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika berbagai keterangan seringkali menggunakan bilangan yang biasa digunakan adalah bilangan asli. Bilangan adalah ungkapan dari penulisan satu atau beberapa simbol bilangan.
Misal : 1 2 5 terdiri dari simbol bilangan 1, 2 dan 5.
Dalam hal ini 1 berarti 100, 2 berarti 20 dan 5 berarti 5 yang sebenarnya. Untuk mengingatkan kembali mengenai macam bilangan adalah sebagai berikut :
a) bilangan Asli, adalah bilangan 1, 2, 3, … dan seterusnya. b) Bilangan Cacah, adalah bilangan 0, 1, 2, 3, … dan seterusnya. c) Bilangan Bulat, adalah … , -2, -1, 0, 1, 2, … dan seterusnya. d) Bilangan Rasional adalah bilangan yang berbentuk
b
a
dengan a dan b bilangan bulat serta b 0.
Misal : 5,
3
1
,4
7
, -3, dan sebagainya.
e) Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
b
a
atau bilangan yang bukan rasional.
Misal : ,
2
, 3, dan sebagainyaf) Bilangan Real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan Irrasional. g) Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk a+ bi dan a, b adalah bilangan
real serta i dikenal sebagi bilangan imajiner (i2 = -1).
(2)
2
1. Operasi Bilangan Bulata) Penjumlahan
(1) Komulatip : a + b = b + a Contoh : 1. 4p + 3q = 3q + 4p
2. 5 + 3 = 5 + 3 = 8
(2) Asosiatif : a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c Contoh : 1. 2x + 3y + 4z = 2x + (3y + 4z) = (2x +3y) + 4z 2. 3 + 4 + 1 = 3 + (4 + 1) = (3 + 4) + 1 = 8 b) Pengurangan.
Sifat-sifat pengurangan dan perluasannya dalam praktek perhitungannya diperoleh aturan sebagai berikut :
(1) a – b – c = a – (b + c) (2) a – b + c = a – (b – c) (3) –a – b – c = - (a + b + c) Contoh :
Sederhanakan : 5(2a – 3b + c) – 3(4b + 2c) + 7a Penyelesaian : 5(2a – 3b + c) – 3(4b + 2c) + 7a = 10a – 15b + 5c – 12b – 6c + 7a = 10a + 7a – 15b – 12b + 5c – 6c = 17a – 27b – c
c) Perkalian
(1) Komutatif : a x b = b x a
Contoh : 1. 2a x 3b = 3b x 2a = 6 ab 2. 4 x 5 = 5 x 4 = 20 (2) Assosiatipf: (a x b) x c = a x (b x c)
Contoh : 1. (2q x 4t) x p = 2q x (4t x p) 2. (3 x 4) x 6 = 3 x (4 x 6) = 72 (3) Distributif : a x (b + c) = ab + ac
Contoh : 1. 2p x (3t + 5q) = 6pt + 10 pq 2. 4 x (5 + 6) = 20 + 24 = 44 Beberapa perkalian penting :
(a – b) (a + b) = a2– b2
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 (a – b)2 = a2– 2 ab + b2
(3)
3
Catatan : a xa
1
= 1,
a
1
disebut invers perkalian dari a sedangkan 1 disebut unsur identitas.
d. Pembagian
Sifat-sifat Pembagian :
(1) a x (b : c) = (a x b) : c atau a x b =
c
b
x
a
Contoh : 2 x
3
5
=
3
5
x
2
(2)
q
b
x
p
a
q
x
p
b
x
a
Contoh :7
2
x
5
3
7
x
5
2
x
3
(3)b
c
x
a
c
b
a
Contoh :
3
2
x
5
2
3
5
(4)
c
x
b
a
c
b
a
Contoh :
2
x
5
3
2
5
3
(5)
pb
pa
b
a
Contoh:2.4
2.3
4
3
(6)p
b
p
a
p
b
a
Contoh : 1.
7
3
7
5
7
3
5
2.8
6
8
3
8
6
-3
(4)
4
2. Operasi Bilangan Pecahana. Penjumlahan 1. Kumutatif =
a
1
b
1
b
1
a
1
Contoh : 1.
p
2
1
q
3
1
q
3
1
p
2
1
2.35
12
35
7
5
5
1
7
1
7
1
5
1
2. Assosiatif =c
1
)
b
1
a
1
(
)
c
1
b
1
(
a
1
c
1
b
1
a
1
Contoh : 1.
q
5
1
q)
4
1
p
3
1
(
n)
5
1
q
4
1
(
p
3
1
n
5
1
q
4
1
p
3
1
2.4
1
3
1
2
1
4
1
3
1
2
1
4
1
3
1
2
1
12
3
4)
(6
12
3)
(4
6
12
3
4
6
12
3
1
12
3
1
12
3
1
b. Pengurangan :Contoh : 1.
10
7
10
2
-5
5
1
2
1
2.24
3
24
18
21
24
16
2
-21
3
2
-12
1
8
7
c. Perkalian :1. Kumutatif :
a
1
x
b
1
b
1
x
a
1
Contoh : 1.15
1
3
1
x
5
1
5
1
x
3
1
2.20
6
4
3
x
5
2
5
2
x
4
3
2. Assosiatif :
c
1
x
b
1
x
a
1
c
1
x
b
1
x
a
1
c
1
x
b
1
x
a
1
Contoh : 1.5
1
x
3
1
x
2
1
5
1
x
3
1
x
2
1
5
1
x
3
1
x
2
1
2.6
1
x
4
3
x
3
2
6
1
x
4
3
x
3
2
6
1
x
4
3
x
3
2
(5)
5
6
1
x
12
6
24
3
x
3
2
6
x
4
x
3
1
x
3
x
2
6
x
12
1
x
6
24
x
3
3
x
2
72
6
72
6
=
72
6
=72
6
d. Pembagian :Contoh : 1.
2
3
1
3
x
2
1
3
1
:
2
1
2.
24
70
2
7
:
12
10
7
2
:
12
10
7
2
:
4
5
x
3
2
7
2
:
5
4
:
3
2
B. Konversi pecahan, perbandingan, skala, persen 1. Konversi Pecahan
Agar pengertian konversi dapat dipahami dengan baik maka untuk
mengkonversikan pecahan biasa ke bentuk persen dapat dilakukan dengan membagi
pembilangnya oleh penyebut pada pecahan kemudian dikalikan 100%.
Contoh :
1.
0,4
x
100%
40%
5
2
Cara :
5
2
0
,
4
20
0
0
20
2. 8 125
Caranya :
125
8
0
,
064
80
0
800
00
500
750
(6)
6
0
500
3.
%
3
1
33
100%
x
0,3
...
0,3333
3
1
4.
0,363636
...
0,36
x
100%
36%
11
4
5.
0,714285.7
14285
...
0,71
x
100%
71%
7
5
6.
0,36666666
...
0,36
x
100%
36%
30
11
7.
0,75
75%
4
3
8.
0,125
12,5%
8
1
9.
%
3
2
16
0,16
6
1
10.
0,3
30%
10
3
2. Perbandingan :
Perbandingan dua buah nilai dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Misal = 3 : 5 atau
5
3
dibaca 3 banding 5.
Secara umum perbandingan antara besaran a terhadap b dituliskan sebagai a : b atau
b
a
(dibaca “a banding b”).
Ada 2 jenis perbandingan yaitu : a. Perbandignan Senilai :
Perbandingan disebut sebagai perbandignan senilai jika dua perbandingan harganya sama.
Contoh :
1. 5 liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 10 liter minyak mempunyai massa 8 kg. Perbandingan antara kualitas minyak dan massanya dituliskan sebagai berikut: 5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 = 1 : 2
(7)
7
Lama berjalan dalam jam 1 2 3 4 …. n
Jarak yang dicapai dalam km 60 120 180 240 …. n.60
Jika waktu yang digunakan bertambah maka jarak yang dicapai juga bertambah. Dengan model matematika variabel-variabel yang saling bergantung tersebut kita namakan x dan y sehingga x berubah dari x1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2 dengan demikian :
y
y
x
x
2 1
2 1
disebut perbandingan senilai.
b. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan disebut perbandigan berbalik nilai jika dua perbandingan harganya saling berbalikan.
Contoh :
1. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan seleai dalam 60 hari, jika 2 orang 30 hari, 3 orang 30 hari dan seterusnya.
Banyaknya orang 1 2 3 4 …. 60
Waktu 60 30 20 15 …. 1
Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyak orang dan banyaknya hari tidak tetap (akan tetapi hasil kali dua variabel tesebut tetap).
Dengan model matematika maka persyaratan tersebut dapat ditulis :
y
y
x
x
1 2
2 1
3. Skala
Skala adalah perbandingan antara jarak (panjang pada gambar) dan jarak (panjang sebenarnya). Contoh :
1. Skala pita : 1 : 200.000
Maksudnya jika jarak pada gambar 1 cm maka jarak pada bumi (sebenarnya) 200.000 cm.
(8)
8
jarak 2 kota pada gambar 7,5 cmBerapa jarak sesungguhnya 2 kota tersebut ?
Jawab :
Jarak sesungguhnya = 7,5 x 200.000 = 1500.000 cm = 15000 m = 15 km
3. Skala 1 : 200.000
Jarak dua kota 60 km. Berapakah jarak pada gambar ? Jawab :
60 km = 60.000 m = 6.000.000 cm
jarak peta = = 6.000.000 / 200.000 = 60/2 = 30 cm
4. Persen
Suatu pecahan dapat ditulis dalam 3 cara : a. Pecahan biasa misal
10
3
b. DesimalDesimal menggunakan nilai tempat
100
1
,
10
1
dan seterusnya Misal :
0,75
100
75
angka 7 nilainya 7 per sepuluh, angka 5 nilainya 5 per seratus. c. PersenPersen adalah bentuk lain dari pecahan yang penyebutnya seratus. Simbol yang
digunakan untuk menyatakan persen adalah “%”.
Misalnya 2% artinya
100
2
Untuk mengubah bentuk persen menjadi pecahan dilakukan dengan jalan membagi persen tersebut dengan 100%.
Misal :
%
2
1
12
8
1
100
1
x
2
25
100
:
2
25
100%
:
%
2
1
12
Jadi
8
1
%
2
1
(9)
9
Untuk menyatakan perbandingan antara dua besaran persentase dapat ditentukan dengan pertolongan pernyataan perbandingan sehingga :
Besaran pertama : besaran kedua = persentase : 100%
Persentase =
x
100%
kedua
besaran
pertama
besaran
Misal :
Berapa persenkah Rp 20,00 terhadap Rp 40,00 Jawab :
Persentase =
x
100%
50%
40
20
C. Operasi pada Bilangan Berpangkat
Agar pengertian konsep operasi pada bilangan berpangkat dapat dipahami dengan baik simaklah pernyataan di bawah ini :
Pengertain Bilangan Berpangkat :
a3 artinya a x a x a sebanyak 3 faktor a3dibaca a berpangkat tiga
Secara umum : anartinya a x a x a x … a sebanyak n faktor. a disebut bilangan berpangkat
a disebut bilangan dasar pokok 3 disebut pangkat atau eksponen Contoh :
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
1. Aturan dasar mengenai pangkat :
a. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama. Contoh :
1) 32 x 34 = (3 x 3) x (3 x 3 x 3 3) = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36 2) 32 x 34 = 32+4 = 36
3) a3 x a2 = (a x a x a) x (a x a) = a x a x a x a x a = a5 4) a3 + a2 = a3+2 = a5
(10)
10
Secara umum : am x an = am + n, a 0b. Pembagian Bilangan Berpangkat : Contoh :
1. 54 : 52 = 2 4
5
5
=
5
x
5
5
x
5
x
5
x
5
= 5 x 5 = 52 = 54 – 2 = 52
2. a5 : a2 = 2 5
a
a
=
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
= a x a x a = a3 = a5-2 = a3
Secara umum : am : an = am-n, a 0
c. Pemangkatan Bilangan Berpangkat Contoh :
1. (43)2 = 43 x 43
= (4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4) = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46
= 43x2 = 46
2. (a4)2 = a4 x a4
= (a x a x a x a) x (a x a x a x a) = a x a x a x a x a x a x a x a = a8
= a4x2 = 48
(11)
11
d. Pemangkatan dari perkalian dua atau lebih bilangan Contoh:
1. (4 x 5)3 = (4 x 5) x (4 x 5) x (4 x 5) = 4 x 5 x 4 x 5 x 4 x 5 = 4 x 4 x 4 x 5 x 5 x 5 = 43 x 53
2. (a x b)2 = (a x b) x (a x b) x (a x b) = a x b x a x b x a x b = a x a x b x b = a2 x b2
Secara umum : (a - b)m = am = bm
e. Pemangkatan suatu pecahan: Contoh:
1. 3
5
4
=
5
4
x
5
4
x
5
4
=
5
x
5
x
5
4
x
4
x
4
= 3 3
5
4
1. 3
b
a
=
b
a
x
b
a
=b
x
b
a
x
a
= 2 2
b
a
Secara umum : m
b
a
=
b
a
m m
, a, b 0
f. Bilangan berpangkat nol Contoh:
1. 53 : 53 = 3 3
5
5
53-3 =
5
x
5
x
5
5
x
5
x
5
(12)
12
2. an : an = nn
a
a
an-n =
a
x
a
x
...
a
suku
suku
a
...
x
a
x
a
a0 = 1Secara umum aD = 1, a 0 g. Pangkat negatif Contoh
1. 83 : 85 = 5 3
8
8
83-5 =
8
x
8
x
8
x
8
8
x
8
x
8
82 = 2
8
1
2. a2 : a6 = 6 2
a
a
a2-6 =
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
a-4 = 4
a
1
Secara umum am : an = m-n
a
1
,m < n
Bilangan dalam bentuk baku = a x 10n dengan 1 < a < 10, a R, m B Contoh:
1) 3 x 102 x 10-4 = 3 x 10-2 2) 0,0045 x 102 = 4,5 x 105 3) 1850000 = 1,85 x 106
D. Operasi pada Bilangan Irrasional (bentuk akar) Akar :
Akar merupakan lawan dari pangkat dengan tanda yang dipunyai oleh suatu bilangan adalah untuk menunjukkan bahwa pangkat dari bilangan tadi dibagi oleh indeks yang terdapat pada tanda akar.
Secara umum dapat dituliskan : m
n m n
a
(13)
13
dengan m adalah indeks akarPenulisan akar yang tidak disertai dengan indeks berarti indeks dari akar tersebut adalah 2 misalnya 3artinya sama dengan 3 ½
Operasi akar dilakukan sebagai berikut: 1. n a x n b n a x b
Contoh:
a. 3 4 x 3 3 3 4 x 33 21
b. 5 x 7 5 x 73 35
2.
b
a
x
b
a
nn n
Contoh: a.3
2
x
3
2
b.4
3
x
4
3
33 3
3.
na
n
a
Contoh: a.
3
2
3
b.
325
3
25
4.
a
a
mna
1 mn n
m
Contoh:
2
8
8
8
124 6.2
4 4 2 6
Catatan:
2
2
2
8
8
3 11 3 3 1 12
4
5. Penjumlahan dan pengurangan akar Contoh:
a. selesaikanlah : 5 3- 7 3 + 4 3
jawab: 5 3- 7 3 + 4 3 = (5 – 7 + 4) 3 = 2 3
b. selesaikanlah : 72 8 2
(14)
14
=6
2
2
2
2
= (6 – 2 + 1)2
= 52
6. Merasionalkan penyebut suatu pecahan a. Pecahan-pecahan berbentuk :
b
a
Dengan menggunakan sifat : b . b = b
Maka
Pengubahan
b
a
menjadi
b
b
a
disebut merasionalkan
b
a
Contoh :
Rasionalkanlah : 1.
3
1
2.
2
6
Jawab : 1.
3
1
=
3
1
.
3
3
= 2
3
3
= 2
3
3
=
3
3
1
2.
2
6
=
2
6
.
2
2
=
2
2
6
=
3
2
b. Pecahan-pecahan berbentuk
b
a
1
Bentuk-bentuk akar a + b dan a - b di mana a adalah rasional dan
b adalah bentuk akar, dinamakan bentuk-bentuk akar yang sekawan.
Hasil perkaliannya adalah rasional. Sebab (a + b) (a - b) = a2– b bilangan pada ruas kanan tersebut adalah rasional. Sifat bentuk akar yang sekawan ini kita gunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan-pecahan yang berbentuk seperti
1
-3
4
atau
2
1
2
-1
Contoh :Rasionalkan : 1.
1
-3
4
2.
2
1
2
-1
Jawab :(15)
15
1.
1
-3
4
Bilangan sekawan 3-1adalah 31
Maka :
1
-3
4
=
1
-3
4
.1
3
1
3
=1
-3
1)
3
(
4
=
2
1)
3
(
4
= 2 (
3
1)
2.2
1
2
-1
=Bilangan sekawan dari 1 +
2
adalah 1 -2
maka :2
1
2
-1
=1
2
2
-1
x1
2
2
-1
=2
-1
2
2
2
-1
=
1
-2
2
-3
= -3 + 2
2
= 22
- 3(1)
10
Secara umum : am x an = am + n, a 0b. Pembagian Bilangan Berpangkat : Contoh :
1. 54 : 52 = 2 4
5
5
=
5
x
5
5
x
5
x
5
x
5
= 5 x 5 = 52 = 54 – 2 = 52
2. a5 : a2 = 2 5
a
a
=
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
= a x a x a = a3 = a5-2 = a3
Secara umum : am : an = am-n, a 0
c. Pemangkatan Bilangan Berpangkat Contoh :
1. (43)2 = 43 x 43
= (4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4) = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46
= 43x2 = 46
2. (a4)2 = a4 x a4
= (a x a x a x a) x (a x a x a x a) = a x a x a x a x a x a x a x a = a8
= a4x2 = 48
(2)
11
Contoh:1. (4 x 5)3 = (4 x 5) x (4 x 5) x (4 x 5) = 4 x 5 x 4 x 5 x 4 x 5 = 4 x 4 x 4 x 5 x 5 x 5 = 43 x 53
2. (a x b)2 = (a x b) x (a x b) x (a x b) = a x b x a x b x a x b = a x a x b x b = a2 x b2
Secara umum : (a - b)m = am = bm
e. Pemangkatan suatu pecahan: Contoh:
1. 3
5
4
=
5
4
x
5
4
x
5
4
=
5
x
5
x
5
4
x
4
x
4
= 3 3
5
4
1. 3
b
a
=
b
a
x
b
a
=
b
x
b
a
x
a
= 2 2
b
a
Secara umum : m
b
a
=
b
a
m m
, a, b 0
f. Bilangan berpangkat nol Contoh:
1. 53 : 53 = 3 3
5
5
53-3 =
5
x
5
x
5
5
x
5
x
5
(3)
12
2. an : an = nn
a
a
an-n =
a
x
a
x
...
a
suku
suku
a
...
x
a
x
a
a0 = 1
Secara umum aD = 1, a 0 g. Pangkat negatif Contoh
1. 83 : 85 = 5 3
8
8
83-5 =
8
x
8
x
8
x
8
8
x
8
x
8
82 = 2
8
1
2. a2 : a6 = 6 2
a
a
a2-6 =
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
a-4 = 4
a
1
Secara umum am : an = m-n
a
1
,m < n
Bilangan dalam bentuk baku = a x 10n dengan 1 < a < 10, a R, m B Contoh:
1) 3 x 102 x 10-4 = 3 x 10-2 2) 0,0045 x 102 = 4,5 x 105 3) 1850000 = 1,85 x 106
D. Operasi pada Bilangan Irrasional (bentuk akar) Akar :
Akar merupakan lawan dari pangkat dengan tanda yang dipunyai oleh suatu bilangan adalah untuk menunjukkan bahwa pangkat dari bilangan tadi dibagi oleh indeks yang terdapat pada tanda akar.
Secara umum dapat dituliskan : m
n m n
a
(4)
13
Penulisan akar yang tidak disertai dengan indeks berarti indeks dari akar tersebut adalah 2 misalnya 3artinya sama dengan 3 ½
Operasi akar dilakukan sebagai berikut: 1. n a x n b n a x b
Contoh:
a. 3 4 x 3 3 3 4 x 33 21 b. 5 x 7 5 x 73 35 2.
b
a
x
b
a
nn n
Contoh: a.
3
2
x
3
2
b.
4
3
x
4
3
33 3
3.
na
n
a
Contoh: a.
3
2
3
b.
325
3
25
4.
a
a
mna
1 mn n
m
Contoh:
2
8
8
8
124 6.2
4 4 2 6
Catatan:
2
2
2
8
8
3 11 3 3 1 12
4
5. Penjumlahan dan pengurangan akar Contoh:
a. selesaikanlah : 5 3- 7 3 + 4 3
jawab: 5 3- 7 3 + 4 3 = (5 – 7 + 4) 3 = 2 3 b. selesaikanlah : 72 8 2
(5)
14
=6
2
2
2
2
= (6 – 2 + 1)2
= 52
6. Merasionalkan penyebut suatu pecahan a. Pecahan-pecahan berbentuk :
b
a
Dengan menggunakan sifat : b . b = b Maka
Pengubahan
b
a
menjadi
b
b
a
disebut merasionalkan
b
a
Contoh :
Rasionalkanlah : 1.
3
1
2.
2
6
Jawab : 1.
3
1
=
3
1
.
3
3
= 2
3
3
= 2
3
3
=
3
3
1
2.
2
6
=
2
6
.
2
2
=
2
2
6
=
3
2
b. Pecahan-pecahan berbentuk
b
a
1
Bentuk-bentuk akar a + b dan a - b di mana a adalah rasional dan b adalah bentuk akar, dinamakan bentuk-bentuk akar yang sekawan. Hasil perkaliannya adalah rasional. Sebab (a + b) (a - b) = a2– b bilangan pada ruas kanan tersebut adalah rasional. Sifat bentuk akar yang sekawan ini kita gunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan-pecahan yang berbentuk seperti
1
-3
4
atau
2
1
2
-1
Contoh : Rasionalkan :
1.
1
-3
4
2.
2
1
2
-1
(6)
15
1.
1
-3
Bilangan sekawan 3-1adalah 31 Maka :
1
-3
4
=
1
-3
4
.1
3
1
3
=
1
-3
1)
3
(
4
=
2
1)
3
(
4
= 2 (
3
1)
2.2
1
2
-1
=Bilangan sekawan dari 1 +
2
adalah 1 -2
maka :2
1
2
-1
=1
2
2
-1
x1
2
2
-1
=
2
-1
2
2
2
-1
=
1
-2
2
-3
= -3 + 2