5 persamaan diferensian orde 2

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2
Model persamaan diferensial orde 2 terdiri dari 4 type, yaitu :
 Tipe

d2y

 Tipe

d2y

dx 2

dx

 Tipe a .
 Tipe a

2

 f ( x)
 f ( x,

d2y
dx

2

d2y
dx

2

 b.
b

A. PD Orde 2 Tipe

Contoh

:

dy
)
dx

dy
 c. y  0
dx

dy
 cy  f ( x)
dx

d2y
dx 2

 f ( x)

carilah jawaban umum persamaan deferensial

d2y

3
2
2  4 x  3x  x
dx
Jawab

:

d2y
dx

2

  4 x3  3x 2  xdx

1
 x 4  x3  x 2  c1
2
dx

dy

y   x4  x3 

Persamaan Diferensial Orde 2

1 2
x  c1 dx
2

Hal

62

y

1 5 1 4 1 3
x  x  x  c1 x  c 2
5
4

6

B. PD Orde 2 Tipe

Contoh

: x.

d2y
dx

2

d2y
dx 2

 f ( x,



dy
)
dx

dy
x0
dx

 Carilah jawaban

umumnya.

Penyelesaian :
misal

dy
dp d 2 y

: p
maka

...................(1)
dx
dx dx 2
apabila persamaan (1) dimasukkan ke soal

x.

dp
 p . x  0
dx

x.

dp
 p  x
dx

ingat rumus

................................(2)

d ( x. p )
dx

 x.

dp
dx

 p.

dx
dx

d ( x. p )
dp
 x  p.1 ........(3)
dx
dx
Jika persamaan (2) = persamaan (3) maka

Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

63

d ( xp )
 x
dx
xp    x dx

Kemudian kedua ruas diintegralkan

xp   12 x 2  c1

Dari persamaan (1) diketahui bahwa p 

dy
maka harga p dapat

dx

dy
diganti dengan

dx

x

dy
dx

menjadi

  1 2 x 2  c1

kemudian semua ruas dibagi x

c
dy

  12 x  1
dx
x
y    12 x 

c1
x

y   14 x 2  c1 .n x  c2
C. PD Orde 2 Yang Berbentuk a .

d2y
dx

2

 b.

dy
 c. y  0
dx

Persamaan tersebut, jika harga

Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

64

 mdan y  1, sehingga persamaannya menjadi :
dx
dx
a m 2  bm  c  0  disebut persamaan karakteristik.
d2y
2

 m2 ,

dy

m  m1 dan m  m2

Dimana m = akar-akar penyelesaian
 Jika m1 ≠ m2 maka harga :

y  A e m1 x  B e m2 x

A dan B = Konstanta (atau c1 dan c2)

 Jika m1 = m2 maka

Y  e m1 x ( A  B x)

 Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks),

Y  e a x Acos  x  Bsin.x

atau m = a + b j, atau m = a + bi

Contoh soal :
1. Carilah penyelesaian Persamaan Deferensial berikut ini.

1

d2y
dx 2

3

dy
 2y  0
dx

Jawab :
Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

65

jika

d2y
dx

2

 m2 ,

dy
dx

 m dan y  1, maka

Persamaan karakteristiknya :
1 m2 + 3 m + 2 = 0
(m+1)(m+2)=0
sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠m2)
Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :

Y  A. e  x  B . e 2 x

Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

66

2.

Carilah penyelesaian PD berikut: 1

d2y
dx 2

6

dy
 9y  0
dx

Jawab :

m2  6m  9  0
(m  3)(m  3)  0  m  3 akar kembar sehingga

Y  e 3 x ( A  B x)

D. PD Orde 2 Yang Berbentuk a

d2y
dx

2

b

dy
 cy  f ( x)
dx

Pada persamaan deferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu :
1). FUNGSI KOMPLEMENTER : diperoleh dengan memecahkan
persamaan bila f(x)= 0, seperti dalam bagian program sebelum
ini.
Adapun pemecahannya, jika f(x)= 0 , adalah :

 Untuk akar yang berbeda Y  A e
 Untuk akar kembar

m1 x

 B e m2 x

Y  e m1 x ( A  B x)





Y  e Acos  x  Bsin.x
 Untuk akar imaginer
2). INTEGRAL KHUSUS : Diperoleh dengan menggunakan
ax

bentuk umum dari fungsi ruas kanan persamaan yang diberikan,
Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

67

yaitu dengan mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam
persamaannya dan kemudian menyamakan koefisienkoefisiennya.

 Jika ruas kanan adalah fungsi berderajat dua, bentuk umum
nya :

Y  C x2  D x  E

 Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya :
Y= Cx + D .
3). Jawaban yang sesungguhnya = jawaban fungsi komplemerter
+ integral khusus.

Contoh :
d2y
dy
 6y  x2
Selesaikan persamaan deferensial dari
2 5
dx
dx

Jawab :
1). Fungsi Komplementer, pemecahannya dengan persamaan kiri =
0, yaitu :
d2y
dx

2

5

dy
dx

 6 y  0 yang memberikan

m2 - 5m + 6 = 0
(m - 2)(m - 3)= 0
m = 2 atau m = 3

Jawaban fungsi komplementer :

Y  A e 2 x  B e 3x

Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

68

2). Integral khusus :
Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2)sehingga
bentuk umum persamaan berderajat dua adalah :

Y  C x2  D x  E

dy
 2C x  D
dx

maka

d2y
dx 2

 2C

dy
d2y
harga y,
dx dan dx 2 dimasukkan ke persamaan semula (soal) ,
yaitu :

d2y
dy
 6y  x2
2 5
dx
dx
2C - 5 (2 Cx + D) + 6 (Cx2 + Dx+ E) = x2
2C - 10 Cx - 5D + 6Cx2 + 6Dx+ 6 E = x2
6Cx2 + (6D - 10 C)x+ (2C- 5D+ 6E) = x2

bentuk ini bisa ditulis :
6 Cx2 + (6D - 10C)x + (2x-5D + 6E) = 1x2 + 0x + 0

dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita
dapatkan :

x2  6c = 1
c=

1
6

x  6 D -10 c = 0
Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

69

1
5
6 D  10 .  0  D 
6
18

0  2c  5D  6E  0

5
1
2 .  5.  6 . E  0
18
6
E

19
108

Jadi Integral khususnya adalah :

Y  cx 2  Dx  E



1 2 5
19
x 
x
6
18
108

Persamaan Diferensial Orde 2

Hal

70

Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah :
Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus

 Ae 2 x  Be 3 x +

Persamaan Diferensial Orde 2

1 2 5
19
x  x
6
18
108

Hal

71