BAHAN AJAR 2 KALKULUS LANJUT

BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT
Oleh: ENDANG LISTYANI
Volume dengan Integral Rangkap dua
Jika f (x , y )≥0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua
sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

∬ f ( x , y )dA

V=

R

,R={

( x , y ) : a ≤ x ≤b , c ≤ y ≤d
¿¿

a

.

b

a
R
b
Gambar 2

Gb. 1

Dibuat Irisan pada benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar
terhadap bidang xz (gb. 3)

z

y
LA(y)

Gb. 2b

x

Gb. 3

y

Δy

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)

Δy

Δv dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh

Volume

Δv ≈ A(y)

Δy , diintegralkan ,
d

V=

∫ A( y )dy
c

, untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

b

A(y) =

∫ f ( x, y)dx
a

Dari (1) dan (2) :

d

, sehingga : V =

b

∫ [∫ f ( x, y)dx ]dy
c

a

…….. (2)

d

∬ f ( x , y )dA

b

∫ [∫ f ( x, y)dx ]dy

=

R

b

c

begitu

a

juga

∬ f ( x , y )dA
R

d

∫ [∫ f ( x, y)dy ]dx
a

c

Contoh
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x 2 –y dan
( x , y ) : 0 ≤ x ≤1,0≤ y ≤2
¿¿

dibawah persegi panjang R = {
Jawab :

z

(0,0,4)
(0,2,2)

(1,0,3)
(1,2,1)
y
2
1

(1,2)

x
Jawab :

V=

∬ f ( x , y )dA
R

2 1

2

=

∬ (4−x − y )dA
R

=

2

∫∫( 4−x 2− y )dxdy
0 0

∫ [[ 4 x− 31 x 3− yx]10 ]dy
= 0
=
16
= 3

satuan volum

2

∫ (4− 31 − y)dy
0

=

Soal
1. Misalkan R = {
2
3
¿
f ( x , y )=¿ { ¿ ¿ ¿
¿

( x , y ) : 1≤ x ≤ 4,0≤ y ≤2
¿¿

1≤x≤3 ,

,

( x , y ) : 0 ≤ x ≤2
¿
¿
¿

( x , y ) :
¿
R1 =¿
¿

( x , y ) :
¿
R2 =¿
¿

∬ f ( x , y )dA
R

= 3,

R

R1

0≤ y≤2 }

0≤x≤2 , 1≤ y≤2 }

∬ g( x, y)dA

∬ [ 3f ( x , y )−g( x , y )]dA

R1

,

0≤x≤2 , 0≤ y≤1 }

∬ 2g( x , y )dA+∬ 3dA
b.

0≤ y≤2

R

2. Misalkan R =

a.

3≤x ≤4 ,

,

∬ f ( x , y )dA

Hitung

Jika

0≤ y≤2

.

R

∬ g ( x , y)dA
=5,

R1

= 2, tentukan :

∬ g ( x , y )dA
c.

R2

3. Hitung :
4 2

a.

∫ ∫ ( x+ y 2 )dydx
−1 1

π 1

b.

∫∫( x sin y)dxdy
0 0

1.

Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal
dibawah bidang z = x+y+1 diatas

R={

( x , y ) : 0 ≤ x ≤1,1≤ y ≤3
¿¿

Soal-soal
1. Hitung

∬ ( x 2+ y 2 )dA
R

jika R = {

( x , y ) :−1≤ x ≤1,0 ≤ y ≤2
¿¿

!

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z =
2x + 3y atas

R={

( x , y ) : 1≤ x ≤2,0 ≤ y ≤ 4
¿¿