Bahan Ajar 3 Stat Elementer

UKURAN PEMUSATAN
Rata-rata, Median, Modus
Oleh: ENDANG LISTYANI

1

Perhatikan pengelompokan data sampel berikut

• Data tunggal : x
•

1

, x 2 , , x n

Data dalam tabel dist frek
Sko
r

Frekuen
si

x1
x2
.
.
.
xk

f1
f2
.
.
.
fk



k

f

i 1

i

n

Data dalam tabel distribusi
frekuensi
Skor

Frekuen
si

a1 b1
a2 - b2
.
.
.
ak - bk

f1
f2
.
.
.
fk



k

f

i

n

i 1

2

Ukuran Pemusatan

adalah ukuran yang menunjukan pusat segugus
data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.
(Rata-rata, Median, Modus)

3

Ukuran Bentuk
(Measure of Shape)

Kurva negatif

Kurva positif
4

• Rata-rata = 67,3, Mo = 45,2
• Me = (Mo +2
)/3 = (45,2 +

134,6)/3 = 59,9

5

Rata-rata
• Rata-rata hitung
• Rata-rata harmonis

sering digunakan untuk merataratakan kecepatan untuk beberapa jarak tempuh yang
sama

• Rata-rata geometrik

digunakan untuk merata-ratakan
data yang rasio suku-suku berurutannya kira-kira tetap.
Sering terjadi pada data yang berupa laju perubahan,
rasio, indeks ekonomi, ukuran-ukuran populasi untuk
periode waktu yang berurutan.

• Rata-rata terboboti

digunakan untuk merata-ratakan
k buah nilai dengan menganggap bahwa sebagian lebih
penting dari lainnya.

• Rata-rata gabungan
6

Rata-rata Hitung (rata-rata)
• Data tunggal: x1 , x2.

.......

, xn
N

a. data populasi
xi

i 1

rata-rata populasi  μ N=
n

b. data sampel
xi

i 1
x

rata-rata sampel 
n

7

• Data dalam tabel distribusi frekuensi
xi

fi

fixi

x1
x2
.
.
.
xk

f1
f2
.
.
.
fk

f1x1
f2x2
.
.
.

fkxk



k

f
i 1

i

n

Rata-rata
k

fx
i

x

i

i 1

n

k

fx
i

i

i 1

8

• Data dalam tabel distribusi frekuensi
Skor

fi

xi

fixi

a1 - b 1
a2 - b 2
.
.
.
ak - bk

f1
f2
.
.
.
fk

x1
x2
.
.
.
xk

f1x1
f2x2
.
.
.
fkxk



k

f
i 1

i

n

k

 fi xi

i 1

Rata-rata
k

 fi xi

x i 1

n

tandaa kelas
b
xi 

i

i

2
9

Hitunglah nilai rata-rata dari data berikut
Nilai

fi

31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100

4
3
11
21
33
15
3



90

xi
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5 =
x*
85,5
95,5

fixi

c

i

-2
-1
0
1

f ic

i

xi  x*
ci 
p
x*= titik tengah
yang dipilih
p= panjang/lebar
kelas

10

Jika lebar kelas sama untuk setiap kelas interval

Nilai

fi

xi

fixi

ci

fici

31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100

4
3
11
21
33
15
3

35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
*
85,5
95,5

142
136,5
610,5
1375,5
2491,5
1282,5
286,5

-4
-3
-2
-1
0
1
2

-16
-9
-22
-21
0
15
6



90

6325

-47

k

 fi xi

x i 1

n
6325

90
70,278

k

fici

 47
 70 , 278
x x  pi1  75 , 5  10 
90
n
*

11

• No 6
120.270  100.250  110 .255  80.275
x

120  100  110  80
262,073

12

Masalah
• Rony bersepeda pp dari A ke B yang berjarak 30km.
Berangkat dengan kecepatan 30km/jam, pulang dengan
kecepatan 20km/jam. Tentukan rata-rata kecepatan
bersepeda Rony dari A ke B pp

Tentu jawabnya bukan (30+20)/2 = 25 km/jam
Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 1 jam,
sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 1,5 jam,
sehingga pergi pulang perlu waktu 2.5 jam,
sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 60/2,5 =
24 km/jam.
Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata
harmonis diperoleh:
13

Rata-rata Harmonis
Data tunggal

xH 

n
n

1

i 1 x i

Data dalam tabel distribusi
frekuensi

xH 

n
k


i 1

fi
xi

14

Contoh penggunaan rata-rata harmonis
Seseorang menempuh perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak
300km, pergi pulang. Kecepatan perjalanan dari kota A ke kota B
adalah 100 km/jam, sedangkan kecepatan perjalanan dari kota B ke
kota A adalah 150 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pergipulang?
Tentu jawabnya bukan (100+150)/2 = 125 km/jam
Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 3 jam, sedangkan untuk
pulang diperlukan waktu 2 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 5
jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 600/5 = 120
km/jam.
Jika dihitung dengan
2 rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh:

xH 

1
1

100 150

120

Jadi rata-rata kecepatan yang dimaksud adalah 120 km/jam.
15

• Contoh: Jarak antara kota A dan B 60 km,
dari B ke C 80 km, jalan pintas dari C ke A
100km. Ary berangkat dari A ke B dg kec
40 km/jam, dari B ke C 30 km/jam, dan
dari C ke A 50 km/jam. Hitunglah rata-rata
kec dari
A40
ke C
X1 
, Xpp
2 30 , X 3 50
• Data: 3
xH 

1
1
1
 
40 30 50

= (3 x 600)/47 = 38,297
16

Rata-rata Ukur/Geometrik
Data tunggal

k

n

xG  n

 xi
i 1

1 n
 log xG   log xi 
n i 1
 xG 10

Data terkelompok



xG n

x

fi
i

i 1

1 k
 log xG   f i log xi 
n i 1
 xG 10 

Perhatikan data berikut : 8, 17, 33, 67, 136, 275, 560
7
Rata-rata Ukur = 8.17.33.67.136.275.560
= 67,37
17

Rata-rata Ukur
Suatu percobaan jenis makanan yang diberikan
pada unggas tertentu memberikan kenaikan
berat (dlm gram) pada minggu pertama sampai
kelima berturut-turut sbb.
250, 690, 990, 1890, 3790. Tentukanlah kira-kira
kenaikan berat unggas rata-rata
tiap minggu
1/ 5
xU (250 690 990 1890 3790)

= 1041,13

18

Rata-rata Terboboti
• Perhatikan kasus berikut!
Penilaian mata kuliah Statistika Elementer meliputi
Tugas : 10%  95
Kuis : 10%  70
Ujian Sisipan I : 25%  85
Ujian Sisipan II : 25%  80
Ujian Akhir : 30%  65
Maka nilai akhir (NA) adalah

NA 

95 10%  70 10%  85 25%  80 25%  65 30% 7725%

77,25
10%  10%  25%  25%  30%
100%

Misalkan wi bobot xi maka rata-rata terboboti adalah

k

w x
i

i

x  i 1k

w

i

i 1

19

Rata-rata Gabungan
• Bila sampel acak berukuran n1, n2, …, nk yang
diambil dari k populasi dengan masing-masing
mempunyai rata-rata
maka rata-rata
gabungannya adalah
k

n x
i

i

x  i 1k

n

i

i 1

20

Median
Median adalah nilai yang membagi data
menjadi 2 bagian yang sama besar setelah
data diurutkan dari yang kecil ke besar.

21

• Median untuk Data tunggal ( sudah diurutkan)
• Bila n adalah bilangan ganjil

median  x  n 1 
 2 



Bila n adalah bilangan genap

x n   x n
median 



1
2 



2
 

2

Rumus berikut berlaku untuk n bilangan ganjil dan genap

22

Median
• Atau (setelah data diurutkan)
Median = skor 1ke
(n  1)
2
Contoh
Tentukanlah median dari
1) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16,
16
13 5,
1 7, 7, 9, 10, 10, 10, 15,
Data: 2, 3, 5,
7
2
16, 16
Me = skor ke(
)

23

Median
2) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16,
16, 3
14 5,
1 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10,
Data: 2, 3, 3,
7,5
2
15, 16, 16 1
1 ke ( 2
Me = skor
)
2
= skor ke 7 +
(skor ke 8 –
skor ke 7)
= 7 + ( 9 – 7)
=8
24

Data dalam tabel distribusi frekuensi
3) Data
skor
40
50
60
80
95


Me = 60

fi
5
11
10
13
11

fku
m
5
16
26
39
50

50

25

Median
Data dalam tabel distribusi frekuensi
skor

40
50
60
70

fi

30 39
- 49
- 59
- 69
- 79

5
11
10
13
11



50

n

  F

Me b   2
 f 





26

Rumus Median
untuk data dalam tabel distribusi
frekuensi
n

  F

Me b   2
 f 




b : batas bawah kelas Median
l : lebar kelas Median
F : jumlah frekuensi sebelum kelas Median
f : frekuensi kelas Median

27

MODUS
• Data tunggal
Modus adalah nilai data yang paling
sering muncul.
Contoh: 3, 3, 2, 7, 2, 5, 10, 7, 4, 7
Mo = 7
Data: 5, 4, 6, 4, 6, 8, 9, 12 Mo = 4
dan 6
Data : 5, 4, 6, 7, 10, 15 Mo = tidak ada
• Data terkelompok

28

Modus
Data terkelompok
Skor

f

30 – 39

2

40 – 49

16

50 – 59

14

60 – 69

5

70 – 79

16

80 – 89

3

 b1
Mo b  
 b1  b2





56

29

Rumus Modus
untuk data dalam tabel distribusi
frekuensi
 b1 

Mo b  
 b1  b2 
b : batas bawah kelas Modus
l
: lebar kelas Modus
b1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sebelumnya
b2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sesudahnya

30

Data dalam tabel distribusi frekuensi
skor

fi

fku
m

1 – 40
40
10 70
110
11 – 30
140
20 100
240
21 – 60
300
30
31 –
Kelas 40
Me : kelas yang memuat
x[n/2] =41
x[300/2]
– = x[150]  31- 40
50
 150  140 
300
Me 30,5  10

 31,5
 100 
l : lebar kelas Me
l = 40,5 – 30,5 = 10

frekuensi
100

50

140
0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5
240

31

modus

• Data tunggal
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul.

• Data terkelompok
Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi
paling besar

32

Data dalam tabel distribusi frekuensi
skor

fi

fku
m

1 – 40
40
10 70
110
11 – 30
140
20 10
240
21 –
0
300
30 60
31 –
40
x y x y
41, – 
a b 50c d
maka
300

b
x b1
x
 ,
 1
y b2
x  y b1  b2

frekuensi
100
a d
b1
50

b2

b
c

x y
0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5

33

Rumus Modus
untuk data dalam tabel distribusi frekuensi

 b1
Mo b  
 b1  b2





b : batas bawah kelas Modus
l : lebar kelas Modus
b1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas
sebelumnya
b2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas
sesudahnya
34

35