Bahan Ajar Stat matematis

TRANSFORMASI
PEUBAH ACAK
P.MAT 2012
Bahan ajar Statistika Matematis
Oleh: ENDANG LISTYANI

STATISTIKA MATEMATIS
Referensi
INTRODUCTION TO PROBABILITY ANG
MATHEMATICAL STATISTICS
Lee J. Bain
Max Engelhardt
Chapter 6 sd 9

Bab 6Transformasi Peubah Acak dan Statistik Urutan
Bab 7 Distribusi Limit
Bab 8 Distribusi Sampling
Bab 9 Estimasi Titik
Bobot Penilaian
USEM
40%

USIP
35%
TUGAS
25%

Transformasi Peubah Acak
• Jika Y = u(X) merupakan fungsi satu-satu, maka
Y mempunyai invers, yaitu X = U  1( y ) = w(y)
Teorema. (Untuk Peubah acak Diskret)
Andaikan X peubah acak diskret dengan fp f X (x)
dan Y = u(X) adalah fungsi satu-satu, maka fp dari
Y adalah
fY ( y )  f X ( w( y )) y B, dengan B { y fY ( y ) 0}

Transformasi Peubah Acak Diskret
Bukti

fY ( y )  P(Y=y) = P(u(X) =y) P(X u 1(y))P(X w(y))

 f X ( w( y ))

Contoh

Misalkan XGEO(p),

f X ( x)  pq x  1 , x 1,2,3,...

Jika Y = X  1, tentukan fungsi peluang untuk Y
• Jawab
Y = X – 1 fungsi satu-satu sehingga Y mempunyai invers
X = w(y) = y + 1

Transformasi Peubah Acak Diskret
• Sehingga

fY ( y )  f X ( w( y ))  f X ( y  1)

 pq

( y 1)  1

 pq

y

, y 0,1,2,3,...

Transformasi Peubah Acak Diskret
Soal 2
Misalkan X ~ Bin(n,3/4).
Jika Y = 3X, tentukan f.p dari Y
Jawab
 n
f X ( x)  (3 / 4) x (1 / 4) n  x
 x

, x 0,1,2,...,n

y
fY ( y )  f X ( )
3

 n 
(3 / 4) y / 3 (1 / 4)1 y / 3 , y 0,3,6,...,3n
fY ( y ) 
 y / 3

Transformasi Peubah Acak Diskret
Soal 3
Peubah acak X berdistribusi poisson dengan

parameter
Jika Y = ½ X – 3, tentukan fungsi peluang dari Y
Jawab
 x e  

, x 0,1,2,...
f X ( x)  x!
 0 untuk x yang lain

Transformasi Peubah Acak Diskret

Soal 4
Peubah acak X1 dan X 2 saling bebas

X1 ~ Poiss(1) , X 2 ~ Poiss(2 )
Tentukan fungsi peluang dari

Y  X1  X 2

Penyelesaian

Langkah penyelesaian, menentukan:
1. f.p bersama dari X1 dan X 2
2. f.p bersama dari Y dan Z dengan Z = X1
atau Z = X 2
3. f.p batas/marginal dari Y

Penyelesaian

 1x1 e  1 2x2 e  2


f X1 , X 2 ( x1, x2 )  x1! . x2 ! , x1 x2 0,1, 2,...
 0 untuk x1 dan x2 yang lain

fY , Z ( y, z )  P (Y  y, Z z )
P ( X 1  X 2  y , X 2  z )

P ( X 1  y  z , X 2  z )
 f X1 , X 2 ( y  z , z )

Penyelesaian
e  ( 1 2 )1 y  z 2 z
fY , Z ( y, z ) 
( y  z )! z!

y = 0,1,2, . . .
z

 (1 2 ) y  z z
1 2
fY ( y )   e

fY ,Z ( y, zz)0 ( y  z)! z!

y e  ( 1 2 )  y  z  z
2
1

e (1 2 )
fY ( y ) 
y!

( y z)! y!
y

z 0( y

e  ( 1 2 )

y!

 z )! z!



z= 0,1,2, . . .

y

 n  x n x
Ingat (a  b)     a b
x 0  x 
n

n

1 y  z 2 z

y

 y  y z z
  1 2

z 0 z 

e ( 1 2 )
fY ( y ) 
(1  2 ) y
y!

Jadi Y ~ Poiss(1  2 )

Transformasi Peubah Acak

Teorema. (Utk p.a. Kontinu)
Andaikan X peubah acak kontinu dengan fkp
dan Y = u(X) adalah fungsi satu-satu dari
A {x f X ( x ) 0} ke B { y fY ( y ) 0}
dengan fungsi invers x = w(y). Jika turunan
dw( y ) kontinu dan tidak nol pada B, maka fkp
dy

dari Y adalah

fY ( y )  f X ( w( y )) d ( w( y )
dy

y B

Transformasi Peubah Acak

Bukti
• Jika Y=u(X) monoton naik
FY ( y ) P(Y≤ y) = P(u(X) ≤ y)
= P(X ≤ u  1( y ) w( y ) )

FX ( w( y ))

dF
(
y
)
d ( w( y ))
Y

fY ( y ) 
 f X ( w( y )).
dy
dy

Y=u(X)

y
u(X)

u  1( y ) w( y )
x

Transformasi Peubah Acak

• Jika Y = u(X) monoton turun
FY ( y )  P(Y y) = P(u(X)  y)
= P(X > w(y))
= 1 – P(X
=1



w(y) )

- FX ( w( y ))

dw( y )
fY ( y )   f X ( w( y )).
dy

y
Y=u(X)
u(X)

u  1( y ) w( y )

x

Transformasi Peubah Acak

• Karena fY ( y ) 0
maka
dw( y )
fY ( y )  f X ( w( y )).
dy
dx
atau fY ( y )  f X ( w( y ))
dy
Soal 1
Jika X p.a. dengan f.p f X (x) = 2x untuk 0 < x < 1, dan
Y = 2x, tentukan f.p dari Y

Soal- soal
Soal 2
Jika p.a X mempunyai f.p f(x) = exp(-x) untuk x >0
dan 0 untuk x yang lain, tentukan f.p dari Y =
exp(-x)
Soal 3
Jika p.a X ~ N(µ,  2) dan Y = a + bX
Tentukan f.p dari Y

Penyelesaian

Soal 1
Jika X p.a. dengan f.p f(x) = 2x untuk
0 < x < 1, dan Y = 2X, tentukan f.p dari Y
Jawab
w(y) = X= ½ y
dx/dy= ½
f(y) = 2. ½ y . ½ = ½ y , 0 < y < 2

Penyelesaian

Soal 2
Jika p.a X mempunyai f.p f(x) = exp(-x)
untuk x >0 dan 0 untuk x yang lain,
tentukan f.p dari Y = exp(-x)
Jawab

 e x untuk x  0
f X ( x) 
 0 untuk x yang lain
w(y) = x = - ln y
fY ( y )  f X ( w( y )).

dx/dy = - 1/y
dx
dy

fY ( y ) e (  ln y ) 

 1 untuk 0  y  1
fY ( y ) 
 0 untuk y yang lain

1
y

Soal 3
Jika p.a X ~ N(µ, ) dan Y = a + bX
Tentukan f.p dari Y
Penyelesaian
Jika p.a X ~ N(µ,



1
f X ( x) 
e
 2

2)

1 ( x  )2

2 2

TRANSFORMASI P.A KONTINU BIVARIAT
Misalkan p.a X1, X 2 saling bebas

dengan fungsi peluang f X 1 ( x1 ) dan f X 2 ( x2 )
Misalkan Y1 u ( X1, X 2 ) dan Y2 v( X1, X 2 )

Untuk menentukan fp dari Y1 dan Y2
Dilakukan dengan langkah-langkah sbb
Menentukan 1) fp bersama dari

X1 dan X 2 yaitu f X1 , X 2 ( x1, x2 )  f X1 ( x1 ). f X 2 ( x2 )

2) X1 u  1 ( y1, y2 ) dan X 2 u  1 ( y1, y2 )
3) Transforma si Jacobian
x1
y1
J
x2
y1

x1
y2
x2
y2

4) Daerah batas untuk Y1 dan Y2

5) fp bersama dari Y1 dan Y2 yaitu :
1

1

fY1 ,Y2 ( y1, y2 )  f X1 , X 2 (u ( y1, y2 ), v ( y1, y2 )). J

6) fp m arg inal dari Y1 dan Y2

Contoh
X1 dan X2 p.a salaing bebas dengan f.p
 e  x1 untuk x1  0
f X1 ( x1 ) 
 0 untuk x1 yang lain

 2 x2 untuk 0  x2  1
f X 2 ( x2 ) 
 0 untuk x2 yang lain
Tentukan fp dari Y1 = X1 + X2

Penyelesaian
f . p bersama dari X1 dan X 2
f X1 , X 2 ( x1, x2 ) 2e  x1 x2
Y1  X1  X 2 Y2  X 2

x1  0,0  x2  1

x1  y1  y2

3) Transforma si Jacobian
x1
y1
J
x2
y1

x1
y2
x2
y2



1 1
0

1

=1

x2  y2

Daerah batas untuk Y1 dan Y2
x1>0 , 0< x2 0 dan 0