37. trigonometri jumlah dan selisih sudut

1

Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menyelesaikan
soal-soal yang berkaitan
dengan jumlah dan selisih sudut
serta sudut rangkap
2

Rumus
jumlah dan selisih dua sudut
sin( + ) = sin.cos + cos.sin
sin( - ) = sin.cos - cos.sin

3

1. Sin 75o = ….
Bahasan:
sin( + ) = sin.cos + cos.sin
sin750 = sin(450 + 300)

= sin450.cos300 + cos450.sin300
= ½√2.½√3 + ½√2.½
= ¼√6 + ¼√2
= ¼√2(√2 + 1)
4

3
7
2. Diketahui sin A = 5 cos B = 25

A dan B adalah sudut-sudut lancip
sin(A – B) =….
?
?
Bahasan:
sin(A – B)= sinAcosB – cosAsinB
3

5
A sinA =

4

cosA =

3
5 24
4
5

cos B
7

25
B

sin B

7
= 25
24

= 25

5

4
5

3
sin A = 5 
7
cos B = 25

cos A =
24
 sin B = 25
sin(A – B) =….
= sinAcosB – cosAsinB
3
7
= 5 x 25

21
96

= 125 125
75
3


= 125 5

-

4
5

x

24
25

6

Rumus
jumlah dan selisih dua
sudut
cos( + )
= coscos - sinsin
cos( - )
= coscos + sinsin

7

5
13
5
13
cos
cos

sin

sin
 ....
1.
7
28
7
28
Bahasan:
coscos + sinsin = cos( - )

cos 57 cos 1328  sin 57 sin 1328  cos( 57 

13
28

)

7
cos(
)

=
28


cos(
)
4
=
1
2
=
2
8

cos( a  b )
 ....
2.
cos a . cos b
a. –sina.sinb
b. cosa.cosb

c. sina.sinb
d. 1 – tana.tanb
e. 1 + tana.tanb

9

cos( a  b )
cos a .cos b  sin a . sin b

cos a .cos b
cos a .cos b
cos a .cos b sin a . sin b
= cos a .cos b  cos a .cos b

= 1 – tana.tanb  jawab d

10

3. Tentukan
nilai cos56° + sin56°.tan28°

Bahasan:
cos56° + sin56°.tan28° 0
= cos56° +
= cos56° +

sin 28
sin56°. cos 28 0
sin 56 0 . sin 28 0
cos 28 0
11

=
=
=
=

sin 56 0 . sin 28 0
cos56° +
cos 28 0
cos 56 0 cos 28 0  sin 56 0 . sin 28 0

cos 28 0
cos( 56 0  28 0 )
cos 28 0
sin 28 0
=
1
0
cos 28

Jadi,
Nilai cos56° + sin56°.tan28° = 1
12

4. Pada suatu segitiga siku-siku
ABC berlaku cosA.cosB = ½.
Maka cos(A – B) =….
Bahasan:
 siku-siku ABC; cosA.cosB = ½
maka ΔABC siku-siku di C
C = 90°

A + B + C = 180°  A + B = 90°
13

A + B + C = 180°  A + B = 90°
A = 90° – B  B = 90° – A
cos(A – B)
= cosA.cosB + sinA.sinB
= ½ + sin(90 – B).sin(90-A)
= ½ + cosB.cosA
=½+½
=1
Jadi cos(A – B) = 1
14

Rumus
jumlah dan selisih dua
sudut
tan   tan 
tan( + ) =
tan( - ) =

1  tan  . tan 
tan   tan 
1  tan  . tan 

15

1. tan 105° = ….
Bahasan:
tan105° = tan(60° + 45°)
o
o
tan 60  tan 45

o
o
1  tan 60 . tan 45
3 1

1  3.1
1 3 1  3

x
1 3 1  3
16

tan 105° =
=
=
=

1 3

x

1 3

1 3
1 3
( 1  3 )2
1 3
12 3 3
1 3
42 3
 2

= -2 - √3

17

2. Diketahui A + B = 135° dan
tan B = ½. Nilai tan A= ….

Bahasan:
A + B = 135°
tan(A + B) = tan 135°
tan A  tan B
1  tan A . tan B = -1
tan A  21
1  tan A . 21

= -1
18

tan A  21
1  tan A . 21

= -1

tan A + ½= -1 + ½tan A
tan A - ½tan A = -1 - ½
½tan p = -1½
Jadi, tan p = -3
19

3. Jika tan q = ½ dan p – q = ¼π
maka tan p = ….

Bahasan:
p – q = ¼π
tan(p – q) = tan ¼π
tan p  tan q
1  tan p . tan q = 1
tan p  21
1  tan p . 21

=1
20

tan p  21
1  tan p . 21

=1

tan p - ½ = 1 + ½tan p
tan p - ½tan p = 1 + ½
½tan p = 1½
Jadi, tan p = 3

21

Rumus Sudut Rangkap

sin2a = 2 sina.cosa
contoh: 1. sin10° = 2sin5°.cos5°
2. sin6P = 2sin3P.cos3P
3. sin t = 2sin½t.cos½t
22

1.Diketahui cos =
Nilai sin 2 =….
Bahasan:
cos  = 3
5
5 sin = 4
4


3
5

5

3

23

cos  =
5 sin =

4



3
5
4
5

3

Jadi sin2 = 2sin.cos
= 2. 4 x 3 = 24
5

5

25

24

2. Jika tan A = ½ maka sin 2A =….
Bahasan:
tan A = ½
1
2
2
sinA
=
2

1

5
1
5
2
A
dan cosA =
5
2
sin2A = 2 sinA.cosA
=2x 1 x 2
=4
5

5

5

25

3. Jika sinx – cosx = p
maka harga sin 2x =….
Bahasan:
sinx – cosx = p
(sinx – cosx)2 = p2
sin2x – 2sinx.cosx + cos2x = p2
26

sin2x – 2sinx.cosx + cos2x = p2
sin2x + cos2x – 2sinx.cosx = p2
1 – sin2x = p2
1 – p2 = sin2x
Jadi, harga sin2x = 1 – p2
27

4. Diketahui A adalah sudut lancip
dan cos½A = x  1
2x
Nilai sin A = ….
Bahasan:
x 1

t = √x - 1

cos½A =
2x
√2x dengan phytagoras
2
t
= 2x – (x + 1)
½
√x+A1 t = √x - 1
28

√2x

t = √x - 1

½
√x+A1

cos½A = x  1  sin½A =
2x
sinA = 2sin½A.cos½A
=2x
=

x 1

x

2x
x 2  1 Jadi,
x

x 1
2x

x 1
2x

sin2x =

x2  1
x
29

Rumus Sudut Rangkap
cos 2a = cos2a – sin2a
= 2cos2a – 1
= 1 – 2sin2a

30

1. Diketahui cos = 1
3
maka cos 2 =….
Bahasan:
cos2 = 2cos2 - 1
= 2( 1 )2 – 1
3
= 2 -1
9
=- 7
9

31

2. Diketahui sinx = ½
maka cos 2x =….
Bahasan:
cos2x = 1 – 2sin2x
= 1 – 2(½)2
=1–½
=½
32

3. Diketahui tan p = ½
maka cos 2p =….
Bahasan:
1
tan p = ½  sin p = 5
2
cos2p
=
1
–
2sin
p
√5
1
1 )2
=
1
–
2(
p
2
2 5
=1– 5
3
=5
33

4. Diketahui sudut lancip A
1
dengan cos 2A =
3
Nilai tan A = ….
Bahasan:
• cos 2A = 1 – 2sin2A
1
2
=
1
–
2sin
A
3
2sin2A = 1 – 1 = 2
3

3

34

• cos 2A = 2cos2A – 1
1 = 2cos2A – 1
3

2cos A =
2

1
3

+1=
2sin2A
2cos2A

4
3

2
3
4
3

tan2A =
=
tan2A = ½
A lancip  Jadi, tan A = ½√2

35

5. Diketahui A adalah sudut lancip
dan cos½A = x  1
2x
Nilai sin A adalah….
Bahasan:

cos A = 2cos2½A – 1
=2






x 1
2x






2

-1

= 2  x  1  - 1
=

1
x

 2x 

36

cos x = 2  x  1  - 1
cos x =
cos x =

 2x 
2x  2  2x
2x
1
x



x

√x – 1
2

1

Jadi, nilai sin x =

x

x2  1
x
37

6. Buktikan:
1  cos a
tan 21 a
sin a

Bahasan:

2 1
2
1
2

1  (1  2 sin a )
1  cos a

2 sin 12 a cos a
sin a
2 sin 2 21 a

2 sin 21 a cos 21 a
38

2 sin 2 21 a
1  cos a

sin a
2 sin 21 a cos 21 a

sin 21 a

cos 21 a

Terbukti :

tan 21 a
1  cos a
 tan 21 a
sin a
39

Rumus Sudut Rangkap
tan 2a =

Contoh:

2 tan a
2
1  tan a
0

2 tan 10
1. tan 20 =
1  tan 2 10 0
2 tan 5 x
2. tan 10x =
1  tan 2 5 x
°

40

1. Jika tan A = 3
maka tan 2A =….
Bahasan:

tan 2A =
=
=

2. tan A
1  tan 2 A
2. 3
1  32
3
6
=
4
 8
41

2. Jika cos x = 5
13
maka tan 2x =….
Bahasan:
13

12

x
5

12
tan x =
5

tan 2x =
=
=

2. tan A
2
1  tan A
2. 125
1

 

12 2
5

24
5
144
25

1

42

tan 2x =

24
5
144
25

1

=
=
Jadi,

24
5
25  144
25

24.5
120

tan 2x119
= 119

43

SELAMAT BELAJAR

44