SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 4.3 JUMLAH SELISIH SINUS KOSINUS TANGEN ATAU JUMLAH SELISIH SUDUT)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
4. 3.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus
jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.
Trigonometri Kelas XI IPA
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut , , dan (– ).
Diperoleh dua segitiga
yaitu, ∆
dan ∆
dengan ∠
=∠
sehingga,
=
−
�
�
Dengan membuktikan
�
+
=�
�
−
+
=
, diperoleh:
− �
�
diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif � ( + − )
dan �
−
diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
cos
±
±
= sin cos
= cos cos
Substitusi =
+
= �
+
�
=�
�
�
Trigonometri Sudut Rangkap
Sudut Rangkap Kosinus
�in
cos
= cos
�
Substitusi identitas trigonometri
− sin
+�
=
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
Sinus Kuadrat
cos
= − sin
sin
=√
− cos
Eliminasi
dengan �
dengan �
+
+
−
−
+
−
+
−
−
Kosinus Kuadrat
cos
= cos
−
Trigonometri Setengah Sudut
Sinus Setengah Sudut
�
Jumlah, Selisih dan Perkalian
Sudut Rangkap Sinus
= sin cos
± cos sin
∓ sin sin
Kosinus Setengah Sudut
cos
=√
+ cos
Khusus untuk tan ± ,
tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut,
cukup gunakan sifat identitas
TAN A = �INA DIPERKO�A
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 167
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.
Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut
adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos + . Begitu konsep awal ini dipahami, maka
dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri
di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya.
Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini
Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut
sebagai berikut:
Konsep awal yang harus diingat adalah sin
sin
cos
±
±
= sin cos
= cos cos
Perhatikan, untuk sin
±
SELANG-SELING
SIN
SAMA
± cos sin
∓ sin sin
±
dan cos
±
.
, diawali huruf � , yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:
Keterangan:
Selang-seling diambil dari bahasa Jawa,
artinya adalah pola yang selalu bergantian.
SELANG-SELING
dimulai dari SIN
�
SAMA
tanda plus minusnya
±
Keterangan:
Kalau cos
±
berarti kebalikannya.
SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS
SAMA >< BERBEDA
Tanda SAMA
sin
sin
+
−
= sin cos
= sin cos
Dimulai dari SIN
+ cos sin
− cos sin
�ELANG-�ELING ,
bergantian SIN COS lalu COS SIN
Jadi, untuk cos
±
tinggal membalik konsep menghafal rumus sin
Tidak SELANG-SELING (KEMBAR)
Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos)
Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)
±
di atas.
Tanda BEDA
cos
cos
+
−
= cos cos
= cos cos
Dimulai dari COS
− sin sin
+ sin sin
KEMBAR,
bergantian COS COS lalu SIN SIN
Halaman 168
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……??
sin
cos
Asyik….
+
= sin cos + cos sin
dan
= cos cos − sin sin
+
Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin
sin +
dan cos +
dengan mengganti = .
sin
+
dan cos
Ganti
sin
=
dan cos
adalah:
sin
+
= sin cos
+ cos sin
sin
+
= sin cos
+ cos sin
sin
= sin cos
Konsep untuk mendapatkan cos
adalah:
cos
+
= cos cos
− sin sin
cos
+
= cos cos
− sin sin
=
−
Jadi,
sin
cos
, diperoleh dari rumus
+
Konsep untuk mendapatkan sin
cos
dan cos
cos
sin
= sin cos
= cos � − sin �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 169
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……??
cos
= cos
Asyik….
− sin
Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos
yang lainnya. Rumus kosinus
sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos
dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras.
cos
= cos
Substitusi sin
cos
= cos
− sin
+ cos
=
cos
=
−
Konsep untuk mendapatkan cos
= cos
cos
= cos
−
sin
cos
= cos
−
− cos
cos
= cos
−
cos
=
cos
− sin
cos
=
− sin
− sin
cos
=
− sin
Konsep untuk mendapatkan cos
=
− sin
− adalah:
− sin
⇒
sin
+ cos
sin
=
=
− cos
sin
+ cos
cos
=
=
− sin
adalah:
⇒
TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.
cos
=
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Ingat posisi huruf alfabet,
posisi C lebih awal dari S.
Gunakan singkatan CIS, jadi
cos
memiliki dua bentuk
lain, yaitu CI dan IS.
Halaman 170
��
cos
=
�
cos
=
�os
cos
=��
cos
=
−
−
in
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……??
cos
cos
Asyik….
= cos
−
= − sin
Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut.
Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep cos
Pythagoras .
Pak Anang menyebut rumus cos
Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas.
cos
cos
= cos
Pythagoras
−
cos
=
− sin
Invers, pindah ruas sampai diperoleh cos dan sin
cos
+ cos
=√
sin
=√
− cos
Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut �EBENARN�A �IDAK PERLU DIHAFAL………!
Kenapa?
Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep cos
Pythagoras menjadi
konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias pindah ruas saja.
Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI �AJA…..!!!!!
Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:
Konsep trigonometri sudut setengah
Diketahui sudut rangkap,
ditanya setengah sudut.
cos
=
cos
Konsep trigonometri sudut setengah
Diketahui sudut rangkap,
ditanya setengah sudut.
−
dan
Konsep trigonometri sudut rangkap
Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
cos
=
− sin
Konsep trigonometri sudut rangkap
Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.
cos
+
= cos
cos
=
−
− sin
⇒ cos
=√
⇒ sin
=√
+ cos
− cos
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Dihasilkan dari invers konsep
cos
Pythagoras
Tanda plus minus dilihat dari
tanda koefisien trigonometri.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 171
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada �RIK �UPERKILA� paling awal tadi……??
sin
±
cos
±
Asyik….
= sin cos ± cos sin
dan
= cos cos ∓ sin sin
Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih
sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama
pada sin +
dan sin −
serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos +
dan cos − .
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
sin
sin
sin
+
−
sin cos
±
cos
Eliminasi
dengan sin
+
−
sin
sin
+
cos
+
−
cos sin
cos
cos
−
Eliminasi
dengan cos
+
+
−
±
cos
cos
+
cos cos
−
+
−
− sin sin
−
Substitusi
+
−
=
=
sin
sin
sin
+
cos
−
+
cos
=
=
+
−
+
+
=
=
+
−
=
dibagi 2
+
sin
sin
+
sin
=
=
−
=
−
−
cos
cos
cos
+
cos
−
−
+
−
dibagi 2
cos
cos
− sin
+
sin
−
−
LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:
Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT:
S adalah sin dan C adalah cos.
�
+
−
+
−
Halaman 172
−
�+�
�
+ �
=
�C
=
�
+
+
+
+
+ �
�+�
−
�
−
−
=
=
�
�
�C
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:
Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:
Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?
sin
cos
+
−
+
−
+
+
= sin cos + cos sin
= cos cos − sin sin
Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:
−
+=
+=
+
−
Lihat ruas kiri ada + dan +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan
membubuhkan tanda + dan − bergantian.
Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi.
Jadi, urutannya adalah + , lalu − , dan + lalu − .
+
−
+
−
Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah , , , dan – .
Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2.
Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi.
−
−
Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di
bawah ini:
+
−
+
−
Perhatikan cara membacanya: tanda
+ →
+ ←
dibaca:
dibaca:
dibaca
�
�
+ �
�
+
dan tanda
=
= �
JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:
�
+
dibaca
+
�
+ �
−
−
−
Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta.
Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna.
Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan.
Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna.
Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif − .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 173
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.
Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih
dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut.
Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:
TAN A adalah SINA DIPERKOSA
atau dituliskan sebagai:
�
�
=
tan
+
=
tan
±
=
Sehingga,
�
sin
cos
+
+
⇒ tan
+
=
sin cos
cos
+ cos
cos
cos
=
sin
cos cos
− cos
cos cos
sin
sin
+ cos
cos
=
sin sin
− cos cos
tan + tan
=
− tan tan
Jadi,
Sehingga jika
tan
+
sin
cos
sin
cos
× cos cos
cos cos
tan ± tan
∓ tan tan
= , akan diperoleh:
=
sin cos + cos sin
cos cos − sin sin
tan + tan
− tan tan
⇒ tan
=
tan
− tan
Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:
sin
=√
cos
=√
tan
=√
− cos
+ cos
Jadi,
Halaman 174
}
tan
sin
=
cos
=
√ − cos
√ + cos
=√
− cos
×√
+ cos
=√
− cos
+ cos
− cos
+ cos
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Rumus Khusus untuk Tangen
Khusus untuk tan ± ,
tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut,
cukup gunakan sifat identitas
TAN A = �INA DIPERKO�A
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
cos
±
±
= sin cos
= cos cos
Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen
± cos sin
∓ sin sin
tan
±
Substitusi =
+
= �
�
=�
�
+
�
Sudut Rangkap Kosinus
�in
cos
= cos
�
tan
− sin
+�
Sinus Kuadrat
= − sin
=
sin
=√
− cos
a ±a
∓a
a
=
tan
− tan
=
Kosinus Kuadrat
cos
= cos
−
Trigonometri Setengah Sudut
Sinus Setengah Sudut
=
= �
+
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
cos
±
±
Tangen Sudut Rangkap
Sudut Rangkap Sinus
Substitusi identitas trigonometri
i
Substitusi
Trigonometri Sudut Rangkap
= sin cos
=c
Kosinus Setengah Sudut
cos
=√
+ cos
Tangen Setengah Sudut
Tangen Setengah Sudut
tan
=
sin
cos
=√
− cos
+ cos
�RIK �UPERKILA� dan LOGIKA PRAK�I� yang lain akan segera diupdate dan dipublish….
Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK
SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 175
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut.
Contoh Soal:
Diketahui dari sin
a.
√
b.
c.
d.
e.
° + cos
° adalah ….
√
√
√
Penyelesaian:
Ingat, sin +
= sin cos
Perhatikan juga bahwa
Sehingga,
sin ° + cos
°=
° = sin
= sin
+ cos sin
°+
° .
dan cos
° + ° + cos
° cos ° + cos
+
= cos cos
°+ °
° sin ° + cos
° cos
=( √ ∙ √ + √ ∙ )+( √ ∙ √ − √ ∙ )
− sin sin .
° − sin
° sin
°
= √ + √
= √
Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.
Halaman 176
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan
trigonometri dari dua sudut tersebut.
Contoh Soal 1:
Diketahui sin = dan sin
a. −
=
, dengan
sudut lancip dan
sudut tumpul. Nilai dari cos
−
= ….
b. −
c. −
d. −
e. −
Penyelesaian:
Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain
bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin
= adalah: (Ingat adalah sudut lancip)
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin
=
Sehingga, cos
Jadi,
cos
−
= cos cos
=
=−
=−
∙ (−
+
=
adalah: (Ingat adalah sudut tumpul)
Sehingga, cos
=−
(Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)
+ sin sin
)+ ∙
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 177
Contoh Soal 2:
Pada segitiga
a.
= dan sin
lancip, diketahui cos
=
, maka sin
= ….
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain
bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos
= adalah: (Ingat adalah sudut lancip)
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin
=
Sehingga, sin
=
Sehingga, cos
Sehingga,
sin
⇔ sin
Jadi,
sin
= sin(
°−
= sin +
= sin
+
= sin cos
=
=
=
Halaman 178
+
∙
+
+
=
=
Ingat, besar sudut dalam segitiga
⇔ + + =
°
⇔
=
− +
adalah: (Ingat adalah sudut lancip)
°.
) Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin
∙
°−
= sin
+ cos sin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya.
Contoh Soal:
Nilai sin ° cos
a.
b.
c.
d.
e.
° + cos
° sin
° sama dengan ….
√
√
√
√
Penyelesaian:
Ingat, sin cos
Sehingga,
sin
° cos
+ cos sin
° + cos
= sin
° sin
+
° = sin
°+
° = sin
°= √
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 179
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu
komponen rumusnya.
Contoh Soal:
Diketahui dan adalah sudut lancip dan
a.
−
=
°. Jika cos sin = , maka nilai dari sin cos = ….
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut − ,
dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos sin .
Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan
adalah sin − .
Jadi,
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
Halaman 180
sin
−
sin
+
+
= sin cos − cos sin
° = sin cos −
= sin cos −
= sin cos
= sin cos
= sin cos
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu
komponen rumusnya
Contoh Soal:
Diketahui +
a. −
=
�
dan sin sin
= . Nilai dari cos
−
= ….
b. −
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut + ,
dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin sin .
Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah
cos + .
Sehingga untuk mencari nilai cos −
maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya,
SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada.
Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos
⇒
cos
⇔
⇔
+
cos
�
+
⇔
+
⇔
= cos cos
− sin sin
= cos cos
−
= cos cos
= cos cos
−
:
−
= cos cos
= cos cos
Jadi,
cos
−
= cos cos
=
=
+
+ sin sin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 181
Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus.
Contoh Soal:
c
Nilai dari
c
a.
b.
c.
d.
°c
°
°
adalah ….
e.
Penyelesaian:
Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa.
Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus.
Jadi,
cos °
cos ° cos
Halaman 182
°
cos
°
munculkan bentuk cos cos = cos +
+ cos
° cos °
cos °
(dibagi = dikali )
=
× cos
° + ° + cos
°− °
cos °
ingat relasi sudut negatif, cos − = cos
=
×
cos ° + cos − °
cos °
=
+ cos °
cos °
=
cos °
=
=
× cos
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus.
Contoh Soal:
Nilai dari cos
a.
√
b.
c.
d.
° + cos
° adalah ….
√
√
e. − √
Penyelesaian:
Ingat cos + cos
Jadi,
cos
° + cos
= cos
+
° = cos
= cos
= cos
cos
−
°+
° cos
° cos
°
° cos
°
°−
°
= (− √ ) ( √ )
=− √
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 183
TRIK SUPERKILAT
Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran.
Contoh Soal:
Nilai dari sin
a.
√
b.
c.
d.
e.
° + cos
° adalah ….
√
√
√
Penyelesaian:
Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus.
�ang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos.
Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar
kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos.
Ingat, sin
Jadi,
sin
°−
° + cos
= cos
atau cos
° = sin
= sin
= sin
= sin
= sin
° + cos
° + sin
°+
°−
°
° cos
° cos
°
= sin .
°−
° cos
°
°
°−
°
= ( √ )( √ )
= √
Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan
LOGIKA PRAKTIS terbarunya.
Halaman 184
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui α β
A. 1
3
B.
4
1
C.
2
1
D.
4
E. 0
2.
3.
cos
−
= cos cos
= cos cos
⇔ cos cos
cos
⇒ cos
⇔ cos
=
+
= cos cos
+
= −
+
=
−
= sin cos
sin
=−
Diketahui nilai sin α cos β
Nilai sin (α β) ....
sin
3
A.
5 ⇒
2
⇔ cos
B.
5
1
sin
C.
5 ⇒ sin
1
D.
⇔ sin
5
3
E.
5
Diketahui sin α
A.
B.
C.
D.
E.
4.
⇒
π
1
dan sin α sin β dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos(α β) ....
3
4
1
4
1
B.
2
3
C.
4
D. 1
5
E.
4
A.
+
∙ sin
=
dan
−
=
�
− sin sin
1
3
dan sin (α β) untuk 0 α 180 dan 0 β 90.
5
5
− cos sin
= − cos sin
+
= sin cos
+
=−
diketahui dari soal sin
∙ cos
=
dan sin
−
=
+ cos sin
= + −
+
diketahui dari soal sin
12
3
( dan sudut lancip) . Nilai sin (α β) ....
dan cos
5
13
56
65
48
65
36
65
sin
20 ⇒ sin
65
⇔ sin
16
65 ⇔ sin
Jika A B
+ sin sin
5
sin
3
⇒ cos
4
+
= sin cos
+
=
+
+
= ∙
=
+
+ ∙
=
=
13
5
12
cos
⇒ sin
=
=
+ cos sin
π
5
dan cos A cos B , maka cos(A B) ....
�
3
8
cos +
diketahui dari soal cos cos = dan + =
= cos cos − sin sin
⇒
⇔ sin sin
= − sin sin
=
cos
−
= cos cos
⇔ cos
−
= =
⇒ cos
−
= +
+ sin sin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 185
5.
Nilai dari sin 75 sin 165 adalah ....
+
−
1
A.
2
sin − sin = cos (
) sin (
)
4
°+
°
°−
°
1
⇒ sin ° − sin
° = cos (
) sin (
)
B.
3
4
= cos
° sin − ° ingat sin −� = − sin �
1
= − cos
° sin °
C.
6
° − � = − cos �
=
−
cos
° − ° sin ° ingat cos
4
= − −cos ° sin °
1
= cos ° sin
D.
2
2
= ∙ ∙ √
1
E.
6
2
= √
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 186
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
4. 3.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus
jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.
Trigonometri Kelas XI IPA
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut , , dan (– ).
Diperoleh dua segitiga
yaitu, ∆
dan ∆
dengan ∠
=∠
sehingga,
=
−
�
�
Dengan membuktikan
�
+
=�
�
−
+
=
, diperoleh:
− �
�
diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif � ( + − )
dan �
−
diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
cos
±
±
= sin cos
= cos cos
Substitusi =
+
= �
+
�
=�
�
�
Trigonometri Sudut Rangkap
Sudut Rangkap Kosinus
�in
cos
= cos
�
Substitusi identitas trigonometri
− sin
+�
=
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
Sinus Kuadrat
cos
= − sin
sin
=√
− cos
Eliminasi
dengan �
dengan �
+
+
−
−
+
−
+
−
−
Kosinus Kuadrat
cos
= cos
−
Trigonometri Setengah Sudut
Sinus Setengah Sudut
�
Jumlah, Selisih dan Perkalian
Sudut Rangkap Sinus
= sin cos
± cos sin
∓ sin sin
Kosinus Setengah Sudut
cos
=√
+ cos
Khusus untuk tan ± ,
tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut,
cukup gunakan sifat identitas
TAN A = �INA DIPERKO�A
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 167
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.
Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut
adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos + . Begitu konsep awal ini dipahami, maka
dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri
di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya.
Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini
Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut
sebagai berikut:
Konsep awal yang harus diingat adalah sin
sin
cos
±
±
= sin cos
= cos cos
Perhatikan, untuk sin
±
SELANG-SELING
SIN
SAMA
± cos sin
∓ sin sin
±
dan cos
±
.
, diawali huruf � , yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:
Keterangan:
Selang-seling diambil dari bahasa Jawa,
artinya adalah pola yang selalu bergantian.
SELANG-SELING
dimulai dari SIN
�
SAMA
tanda plus minusnya
±
Keterangan:
Kalau cos
±
berarti kebalikannya.
SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS
SAMA >< BERBEDA
Tanda SAMA
sin
sin
+
−
= sin cos
= sin cos
Dimulai dari SIN
+ cos sin
− cos sin
�ELANG-�ELING ,
bergantian SIN COS lalu COS SIN
Jadi, untuk cos
±
tinggal membalik konsep menghafal rumus sin
Tidak SELANG-SELING (KEMBAR)
Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos)
Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)
±
di atas.
Tanda BEDA
cos
cos
+
−
= cos cos
= cos cos
Dimulai dari COS
− sin sin
+ sin sin
KEMBAR,
bergantian COS COS lalu SIN SIN
Halaman 168
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……??
sin
cos
Asyik….
+
= sin cos + cos sin
dan
= cos cos − sin sin
+
Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin
sin +
dan cos +
dengan mengganti = .
sin
+
dan cos
Ganti
sin
=
dan cos
adalah:
sin
+
= sin cos
+ cos sin
sin
+
= sin cos
+ cos sin
sin
= sin cos
Konsep untuk mendapatkan cos
adalah:
cos
+
= cos cos
− sin sin
cos
+
= cos cos
− sin sin
=
−
Jadi,
sin
cos
, diperoleh dari rumus
+
Konsep untuk mendapatkan sin
cos
dan cos
cos
sin
= sin cos
= cos � − sin �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 169
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……??
cos
= cos
Asyik….
− sin
Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos
yang lainnya. Rumus kosinus
sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos
dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras.
cos
= cos
Substitusi sin
cos
= cos
− sin
+ cos
=
cos
=
−
Konsep untuk mendapatkan cos
= cos
cos
= cos
−
sin
cos
= cos
−
− cos
cos
= cos
−
cos
=
cos
− sin
cos
=
− sin
− sin
cos
=
− sin
Konsep untuk mendapatkan cos
=
− sin
− adalah:
− sin
⇒
sin
+ cos
sin
=
=
− cos
sin
+ cos
cos
=
=
− sin
adalah:
⇒
TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.
cos
=
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Ingat posisi huruf alfabet,
posisi C lebih awal dari S.
Gunakan singkatan CIS, jadi
cos
memiliki dua bentuk
lain, yaitu CI dan IS.
Halaman 170
��
cos
=
�
cos
=
�os
cos
=��
cos
=
−
−
in
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……??
cos
cos
Asyik….
= cos
−
= − sin
Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut.
Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep cos
Pythagoras .
Pak Anang menyebut rumus cos
Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas.
cos
cos
= cos
Pythagoras
−
cos
=
− sin
Invers, pindah ruas sampai diperoleh cos dan sin
cos
+ cos
=√
sin
=√
− cos
Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut �EBENARN�A �IDAK PERLU DIHAFAL………!
Kenapa?
Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep cos
Pythagoras menjadi
konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias pindah ruas saja.
Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI �AJA…..!!!!!
Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:
Konsep trigonometri sudut setengah
Diketahui sudut rangkap,
ditanya setengah sudut.
cos
=
cos
Konsep trigonometri sudut setengah
Diketahui sudut rangkap,
ditanya setengah sudut.
−
dan
Konsep trigonometri sudut rangkap
Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
cos
=
− sin
Konsep trigonometri sudut rangkap
Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.
cos
+
= cos
cos
=
−
− sin
⇒ cos
=√
⇒ sin
=√
+ cos
− cos
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Dihasilkan dari invers konsep
cos
Pythagoras
Tanda plus minus dilihat dari
tanda koefisien trigonometri.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 171
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada �RIK �UPERKILA� paling awal tadi……??
sin
±
cos
±
Asyik….
= sin cos ± cos sin
dan
= cos cos ∓ sin sin
Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih
sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama
pada sin +
dan sin −
serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos +
dan cos − .
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
sin
sin
sin
+
−
sin cos
±
cos
Eliminasi
dengan sin
+
−
sin
sin
+
cos
+
−
cos sin
cos
cos
−
Eliminasi
dengan cos
+
+
−
±
cos
cos
+
cos cos
−
+
−
− sin sin
−
Substitusi
+
−
=
=
sin
sin
sin
+
cos
−
+
cos
=
=
+
−
+
+
=
=
+
−
=
dibagi 2
+
sin
sin
+
sin
=
=
−
=
−
−
cos
cos
cos
+
cos
−
−
+
−
dibagi 2
cos
cos
− sin
+
sin
−
−
LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:
Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT:
S adalah sin dan C adalah cos.
�
+
−
+
−
Halaman 172
−
�+�
�
+ �
=
�C
=
�
+
+
+
+
+ �
�+�
−
�
−
−
=
=
�
�
�C
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:
Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:
Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?
sin
cos
+
−
+
−
+
+
= sin cos + cos sin
= cos cos − sin sin
Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:
−
+=
+=
+
−
Lihat ruas kiri ada + dan +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan
membubuhkan tanda + dan − bergantian.
Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi.
Jadi, urutannya adalah + , lalu − , dan + lalu − .
+
−
+
−
Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah , , , dan – .
Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2.
Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi.
−
−
Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di
bawah ini:
+
−
+
−
Perhatikan cara membacanya: tanda
+ →
+ ←
dibaca:
dibaca:
dibaca
�
�
+ �
�
+
dan tanda
=
= �
JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:
�
+
dibaca
+
�
+ �
−
−
−
Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta.
Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna.
Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan.
Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna.
Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif − .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 173
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.
Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih
dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut.
Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:
TAN A adalah SINA DIPERKOSA
atau dituliskan sebagai:
�
�
=
tan
+
=
tan
±
=
Sehingga,
�
sin
cos
+
+
⇒ tan
+
=
sin cos
cos
+ cos
cos
cos
=
sin
cos cos
− cos
cos cos
sin
sin
+ cos
cos
=
sin sin
− cos cos
tan + tan
=
− tan tan
Jadi,
Sehingga jika
tan
+
sin
cos
sin
cos
× cos cos
cos cos
tan ± tan
∓ tan tan
= , akan diperoleh:
=
sin cos + cos sin
cos cos − sin sin
tan + tan
− tan tan
⇒ tan
=
tan
− tan
Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:
sin
=√
cos
=√
tan
=√
− cos
+ cos
Jadi,
Halaman 174
}
tan
sin
=
cos
=
√ − cos
√ + cos
=√
− cos
×√
+ cos
=√
− cos
+ cos
− cos
+ cos
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Rumus Khusus untuk Tangen
Khusus untuk tan ± ,
tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut,
cukup gunakan sifat identitas
TAN A = �INA DIPERKO�A
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
cos
±
±
= sin cos
= cos cos
Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen
± cos sin
∓ sin sin
tan
±
Substitusi =
+
= �
�
=�
�
+
�
Sudut Rangkap Kosinus
�in
cos
= cos
�
tan
− sin
+�
Sinus Kuadrat
= − sin
=
sin
=√
− cos
a ±a
∓a
a
=
tan
− tan
=
Kosinus Kuadrat
cos
= cos
−
Trigonometri Setengah Sudut
Sinus Setengah Sudut
=
= �
+
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
cos
±
±
Tangen Sudut Rangkap
Sudut Rangkap Sinus
Substitusi identitas trigonometri
i
Substitusi
Trigonometri Sudut Rangkap
= sin cos
=c
Kosinus Setengah Sudut
cos
=√
+ cos
Tangen Setengah Sudut
Tangen Setengah Sudut
tan
=
sin
cos
=√
− cos
+ cos
�RIK �UPERKILA� dan LOGIKA PRAK�I� yang lain akan segera diupdate dan dipublish….
Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK
SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 175
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut.
Contoh Soal:
Diketahui dari sin
a.
√
b.
c.
d.
e.
° + cos
° adalah ….
√
√
√
Penyelesaian:
Ingat, sin +
= sin cos
Perhatikan juga bahwa
Sehingga,
sin ° + cos
°=
° = sin
= sin
+ cos sin
°+
° .
dan cos
° + ° + cos
° cos ° + cos
+
= cos cos
°+ °
° sin ° + cos
° cos
=( √ ∙ √ + √ ∙ )+( √ ∙ √ − √ ∙ )
− sin sin .
° − sin
° sin
°
= √ + √
= √
Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.
Halaman 176
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan
trigonometri dari dua sudut tersebut.
Contoh Soal 1:
Diketahui sin = dan sin
a. −
=
, dengan
sudut lancip dan
sudut tumpul. Nilai dari cos
−
= ….
b. −
c. −
d. −
e. −
Penyelesaian:
Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain
bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin
= adalah: (Ingat adalah sudut lancip)
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin
=
Sehingga, cos
Jadi,
cos
−
= cos cos
=
=−
=−
∙ (−
+
=
adalah: (Ingat adalah sudut tumpul)
Sehingga, cos
=−
(Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)
+ sin sin
)+ ∙
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 177
Contoh Soal 2:
Pada segitiga
a.
= dan sin
lancip, diketahui cos
=
, maka sin
= ….
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain
bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos
= adalah: (Ingat adalah sudut lancip)
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin
=
Sehingga, sin
=
Sehingga, cos
Sehingga,
sin
⇔ sin
Jadi,
sin
= sin(
°−
= sin +
= sin
+
= sin cos
=
=
=
Halaman 178
+
∙
+
+
=
=
Ingat, besar sudut dalam segitiga
⇔ + + =
°
⇔
=
− +
adalah: (Ingat adalah sudut lancip)
°.
) Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin
∙
°−
= sin
+ cos sin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya.
Contoh Soal:
Nilai sin ° cos
a.
b.
c.
d.
e.
° + cos
° sin
° sama dengan ….
√
√
√
√
Penyelesaian:
Ingat, sin cos
Sehingga,
sin
° cos
+ cos sin
° + cos
= sin
° sin
+
° = sin
°+
° = sin
°= √
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 179
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu
komponen rumusnya.
Contoh Soal:
Diketahui dan adalah sudut lancip dan
a.
−
=
°. Jika cos sin = , maka nilai dari sin cos = ….
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut − ,
dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos sin .
Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan
adalah sin − .
Jadi,
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
Halaman 180
sin
−
sin
+
+
= sin cos − cos sin
° = sin cos −
= sin cos −
= sin cos
= sin cos
= sin cos
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu
komponen rumusnya
Contoh Soal:
Diketahui +
a. −
=
�
dan sin sin
= . Nilai dari cos
−
= ….
b. −
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut + ,
dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin sin .
Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah
cos + .
Sehingga untuk mencari nilai cos −
maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya,
SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada.
Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos
⇒
cos
⇔
⇔
+
cos
�
+
⇔
+
⇔
= cos cos
− sin sin
= cos cos
−
= cos cos
= cos cos
−
:
−
= cos cos
= cos cos
Jadi,
cos
−
= cos cos
=
=
+
+ sin sin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 181
Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus.
Contoh Soal:
c
Nilai dari
c
a.
b.
c.
d.
°c
°
°
adalah ….
e.
Penyelesaian:
Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa.
Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus.
Jadi,
cos °
cos ° cos
Halaman 182
°
cos
°
munculkan bentuk cos cos = cos +
+ cos
° cos °
cos °
(dibagi = dikali )
=
× cos
° + ° + cos
°− °
cos °
ingat relasi sudut negatif, cos − = cos
=
×
cos ° + cos − °
cos °
=
+ cos °
cos °
=
cos °
=
=
× cos
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus.
Contoh Soal:
Nilai dari cos
a.
√
b.
c.
d.
° + cos
° adalah ….
√
√
e. − √
Penyelesaian:
Ingat cos + cos
Jadi,
cos
° + cos
= cos
+
° = cos
= cos
= cos
cos
−
°+
° cos
° cos
°
° cos
°
°−
°
= (− √ ) ( √ )
=− √
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 183
TRIK SUPERKILAT
Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran.
Contoh Soal:
Nilai dari sin
a.
√
b.
c.
d.
e.
° + cos
° adalah ….
√
√
√
Penyelesaian:
Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus.
�ang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos.
Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar
kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos.
Ingat, sin
Jadi,
sin
°−
° + cos
= cos
atau cos
° = sin
= sin
= sin
= sin
= sin
° + cos
° + sin
°+
°−
°
° cos
° cos
°
= sin .
°−
° cos
°
°
°−
°
= ( √ )( √ )
= √
Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan
LOGIKA PRAKTIS terbarunya.
Halaman 184
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui α β
A. 1
3
B.
4
1
C.
2
1
D.
4
E. 0
2.
3.
cos
−
= cos cos
= cos cos
⇔ cos cos
cos
⇒ cos
⇔ cos
=
+
= cos cos
+
= −
+
=
−
= sin cos
sin
=−
Diketahui nilai sin α cos β
Nilai sin (α β) ....
sin
3
A.
5 ⇒
2
⇔ cos
B.
5
1
sin
C.
5 ⇒ sin
1
D.
⇔ sin
5
3
E.
5
Diketahui sin α
A.
B.
C.
D.
E.
4.
⇒
π
1
dan sin α sin β dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos(α β) ....
3
4
1
4
1
B.
2
3
C.
4
D. 1
5
E.
4
A.
+
∙ sin
=
dan
−
=
�
− sin sin
1
3
dan sin (α β) untuk 0 α 180 dan 0 β 90.
5
5
− cos sin
= − cos sin
+
= sin cos
+
=−
diketahui dari soal sin
∙ cos
=
dan sin
−
=
+ cos sin
= + −
+
diketahui dari soal sin
12
3
( dan sudut lancip) . Nilai sin (α β) ....
dan cos
5
13
56
65
48
65
36
65
sin
20 ⇒ sin
65
⇔ sin
16
65 ⇔ sin
Jika A B
+ sin sin
5
sin
3
⇒ cos
4
+
= sin cos
+
=
+
+
= ∙
=
+
+ ∙
=
=
13
5
12
cos
⇒ sin
=
=
+ cos sin
π
5
dan cos A cos B , maka cos(A B) ....
�
3
8
cos +
diketahui dari soal cos cos = dan + =
= cos cos − sin sin
⇒
⇔ sin sin
= − sin sin
=
cos
−
= cos cos
⇔ cos
−
= =
⇒ cos
−
= +
+ sin sin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 185
5.
Nilai dari sin 75 sin 165 adalah ....
+
−
1
A.
2
sin − sin = cos (
) sin (
)
4
°+
°
°−
°
1
⇒ sin ° − sin
° = cos (
) sin (
)
B.
3
4
= cos
° sin − ° ingat sin −� = − sin �
1
= − cos
° sin °
C.
6
° − � = − cos �
=
−
cos
° − ° sin ° ingat cos
4
= − −cos ° sin °
1
= cos ° sin
D.
2
2
= ∙ ∙ √
1
E.
6
2
= √
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 186
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)