PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN AIR PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM (PDAM) TIRTAULI PEMATANG SIANTAR (STUDI KASUS).
PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN AIR
PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM (PDAM)
TIRTAULI PEMATANG SIANTAR
(Studi Kasus)
Oleh:
Riana
Nim 408211036
Program Studi Matematika
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2013
iv
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya sehingga skripsi
yang berjudul “Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Air Perusahaan Daerah
Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar (Studi Kasus)”
terselesaikan.
Shalawat
serta
salam
semoga
ini
tetap terlimpahkan
dapat
kepada
junjungan Nabi Besar Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan
yang gelap menuju jalan yang terang benderang.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan ungkapan
terimakasih kepada Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing
Skripsi yang telah banyak memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjukpetunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini, ditengah-tengah
kesibukan beliau sehari-hari. Bapak
Prof.Dr. Mukhtar, M.Pd selaku ketua
Program Studi matematika. Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., D Ph. selaku dekan
FMIPA. Kepada Bapak Drs. Zul Amry, M.Si, Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd,
dan Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji. Seluruh staf
pengajar Jurusan Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada
penulis semenjak mengikuti perkuliahan. Seluruh staf pegawai di lingkungan
FMIPA UNIMED. Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima
kasih dan hormat kepada Ayahanda Aminuddin dan Ibunda Sarmiyah untuk
semua kasih sayang, doa, motivasi, dan jerih payah. Sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi. Juga terhadap kakak dan abangku tersayang Adawiyah,
Juraidah Darmi, Zainal Arifin, Indra Subakti, Abdul Kadim dan Fitri Maria yang
selalu menjadi kekuatan dan Penghilang rasa lelahku. Keponakan-keponakanku
tersayang Yeni, Jumbana, Sandika Rizki, Muhammad Azid, Samsul Sahputra,
Mahmud, Santi, Rubiah, Yusuf, Riski, dan Vahira Azzahra , terimakasih buat
dukungan semangatnya. Pimpinan serta seluruh pegawai Perusahaan Daerah Air
v
Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar yang telah banyak membantu penulis
dalam memberikan data-data yang diperlukan. Sahabat-sahabatku Dalida
Nasution, Elvina Chodijah Siregar, Pratiwi Wulandari Simarmata, Lidia Astuti
Sembiring, Rahayu Sashanti, Trisna Suci, Kasmini, Suriadi, dan Muhammad
Syafi’i yang selalu setia menemani dan memberikan dukungan semangat dan doa.
Teman seperjuanganku : Muslena Layla, Syafina Indriyani, Sardina, Andi Pranata,
Riadi Setiawan, Dedy Mas Ary, dan Rico Joslen Tamba yang selalu memberikan
semangat dan selalu ada disaat suka maupun duka. Teman – temanku
seperjuangan Non-Dik’08 yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu yang
selama ini selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa. Kakakku terspesial
dan tersayang yang selalu memberi motivasi, dukungan dan selalu menemani
dalam suka maupun duka.
Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan
dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi
ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Medan, Januari 2013
Penulis,
Riana
NIM. 408211036
iii
PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN AIR PERUSAHAAN
DAERAH AIR MINUM (PDAM) TIRTAULI PEMATANG SIANTAR
(Studi Kasus)
Riana (408211036)
ABSTRAK
Algoritma Prim adalah salah satu metode untuk mencari pohon rentang
minimum. Skripsi ini bersifat studi kasus sebagai penerapan Algoritma Prim pada
suatu jaringan air di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang
Siantar khususnya di Kecamatan Siantar Timur.
Data yang diperoleh dari perusahaan daerah air minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar di analisis dengan menggunakan Algoritma Prim. Berdasarkan
data yang diperoleh dari Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar dan dihitung secara manual panjang pipa air yang terpasang di
Kecamatan Siantar Timur adalah 25.790 meter. Kemudian panjang pipa
direpresentasikan sebagai himpunan jalur-jalur dan ujung pipa sambungan
direpresentasikan sebagai himpunan simpul-simpul. Panjang pipa air yang
diperoleh dengan menggunakan Algoritma Prim adalah 21.090 meter. Jadi,
dengan menggunakan Algoritma Prim selisih panjang pipa air yangdiperoleh
sebesar 4700 meter. Maka dapat dikatakan Algoritma Prim dapat digunakan untuk
mengoptimalkan jaringan air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
vi
viii
ix
x
BAB I PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Batasan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
4
4
4
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Dasar-dasar Graf
2.2 Panjang Walk, Trail, Sirkuit, Path dan Sikel
2.3 Pohon (Tree)
2.4 Pohon Rentang (Spanning Tree)
2.5 Pohon Rentang Minimum (Minimum Spanning Tree/MST)
2.6 Algoritma Prim (Prim’s Algorithm)
2.7 Contoh Pencarian Pohon Rentang Minimum
dengan Menggunakan Algoritma Prim
5
11
12
14
14
15
17
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan tempat penelitian
3.2 Jenis Penelitian
3.3 Prosedur Penelitian
24
24
24
BAB IV PEMBAHASAN
4.1
Data Awal
25
4.2
Merepresentasikan Data Ke Dalam Bentuk Graf Terhubung Berbobot 26
4.3
Penyelesaian dengan Menggunakan Algoritma Prim
4.4
Perbandingan Panjang Pipa Air Minimum (Menggunakan Algoritma
27
vii
Prim) dengan Panjang Pipa Air Yang Terpasang di Perusahaan
Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar.
71
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
73
5.2
Saran
73
DAFTAR PUSTAKA
74
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Daftar jalur dan panjang pipa distribusi air (bobot) di
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Kecamatan Siantar Timur
25
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 (a) Graf G dengan 4 simpul dan 6 jalur, (b) graf trivial
Gambar 2.2 Graf Sederhana
Gambar 2.3 Graf Tak Sederhana
Gambar 2.4 H subgraf G
Gambar 2.5 (a) Graf Terhubung, (b) Graf tidak terhubung
Gambar 2.6 Graf berbobot dan Berlabel
Gambar 2.7 Graf tidak berarah
Gambar 2.8 Pohon
Gambar 2.9 Pohon Rentang
Gambar 2.9 (a)
Gambar 2.9 (b)
Gambar 2.9 (c)
Gambar 2.9 (d)
Gambar 2.9 (e)
Gambar 2.9 (f)
Gambar 2.9 (g)
Gambar 2.10 Graf Berbobot
Gambar 2.10 (a)
Gambar 2.10 (b)
Gambar 2.10 (c)
Gambar 2.10 (d)
Gambar 2.10 (e)
Gambar 4.1 Graf jaringan air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli di Kecamatan Siantar Timur
Gambar 4.2 Representasi Langkah-langkah Algoritma Prim
Gambar 4.3 Graf Dengan Algoritma Prim
5
7
7
9
10
10
11
13
17
18
18
18
19
19
20
20
21
21
21
22
22
23
26
70
72
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Data Gambar Jaringan Air Kecamatan Siantar Timur
Lampiran 2 Graf Jaringan Air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli di Kecamatan Siantar Timur dengan Skala 1:1000
Lampiran 3 Representasi Langkah-langkah Algoritma Prim
Lampiran 4 Hasil Graf Dari Algoritma Prim
75
76
77
78
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Algoritma yang pertama kali dikembangkan untuk mencari Minimum
Spanning Tree ditemukan oleh seorang ilmuan bernama Otakar Boruvka pada
tahun 1926. Tujuannya saat itu adalah untuk melakukan efesiensi konstruksi
jaringan kabel listrik di sebuah perusahaan pembangkit tenaga listrik di Moravia
Barat, Brno. Salah satu metode untuk mencari Minimum Spanning Tree adalah
dengan menggunakan Algoritma Prim. Algoritma Prim berawal sejak tahun 1930
dari seorang matematikawan bernama Vojtech Jarnik, lalu secara independent
dikembangkan oleh ilmuan komputer bernama Robert C. Prim pada 1957,
kemudian direvisi oleh Edsger Dijkstra pada 1959. Selanjutnya algoritma ini
terkadang disebut DJP, atau The Jarnik Algorithm atau The Prim-Jarnik
Algorithm.
Metode lain yang digunakan untuk mencari Minimum Spanning Tree
adalah dengan menggunakan algoritma kruskal. Pada algoritma kruskal semua sisi
boleh dimasukkan asal tidak membentuk sirkuit, mula-mula semua jalur dalam G
di urutkan berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar. Sedangkan pada algoritma
prim sisi yang dimasukkan pada pohon T harus bersisian atau terhubung dengan
sebuah simpul di T. Algoritma prim membentuk Minimum Spanning Tree dengan
langkah per langkah. Pada setiap langkah kita mengambil jalur G yang telah
terbentuk mulai dari awalnya. Sehingga akan terbentuk hingga langkah terakhir
spanning tree dengan masing-masing jalur yang termuat di T adalah minimum.
Ilmu matematika saat ini berkembang begitu pesat dalam menciptakan
aplikasi-aplikasi baru yang lebih efesien dalam segi produktivitas dan biayanya.
Semakin berkembang suatu zaman, semakin banyak masalah yang dihadapi.
Permasalahan timbul karena orang menginginkan kenyamanan dan keuntungan
yang lebih. Misalnya saja pipa jaringan air yang akan dipasang haruslah optimal,
dalam arti panjang pipa yang terpasang haruslah minimal dan dapat mengalirkan
air ke seluruh rumah yang terbangun.
1
Jaringan kerja muncul pada sejumlah perencanaan dan dalam berbagai
bidang. Jaringan transportasi, listrik dan komunikasi merupakan sesuatu yang
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan-persoalan transportasi atau
distribusi
yang berkaitan dengan masalah pengiriman komoditas dari suatu
sumber ke suatu tujuan dengan ongkos transpormasi minimum, ternyata model
transpormasi ini dapat juga direpresentasikan dan diselesaikan sebagai suatu
jaringan. Suatu jaringan kerja terdiri atas suatu gugus titik dan sisi yang
menghubungkan pasangan titik tertentu.
Persoalan penting dalam jaringan kerja terdiri atas : 1) persoalan rute
terpendek (shortest route), 2) persoalan minimasi jaringan atau pohon rentang
minimum, 3) persoalan aliran maksimum (maximal flow).
Persoalan minimasi jaringan atau pohon rentang minimum merupakan
bentuk dari algoritma prim, dimana graf yang dihasilkan merupakan sebuah
pohon yang memiliki jarak paling minimum . Suatu graf dikatakan pohon apabila
graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Misalkan G = (V, E)
adalah graf tak berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, G adalah
pohon. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. G
terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. G tidak mengandung sirkuit dan
memiliki m = n – 1 buah sisi. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu
sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. G terhubung dan semua sisinya
adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang apabila dihapus menyebabkan graf
terpecah menjadi dua komponen).(Munir, 2003:372)
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V
merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul ( vertices atau node ) dan
E merupakan himpunan sisi ( edges atau arcs ) yang menghubungkan sepasang
simpul. Dalam kasus ini, panjang pipa direpresentasikan sebagai sisi dan ujung
pipa sambungan direpresentasikan sebagai simpul atau node. (Munir, 2003:291)
Persoalan rute terpendek merupakan lintasan dengan bobot yang
minimum. Bobot disini dapat berupa waktu tempuh, ongkos transpormasi atau
jarak dari satu titik ke titik lainnya yang berbentuk rute tertentu. Sedangkan
persoalan pohon rentang minimum merupakan variasi dari persoalan rute
2
terpendek yang perbedaannya terletak pada lintasan yang dicari, yaitu menentukan
sisi-sisi yang menghubungkan titik-titik yang ada pada jaringan sehingga
diperoleh panjang sisi total yang minimum. Masalah pohon rentang minimum ini
memiliki sejumlah penerapan praktis yang penting. Sebagai contoh menentukan
panjang minimum pipa jaringan air.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar
didirikan pada tahun 1976 atas Perda Kodya Pematangsiantar Nomor 9/1976
tentang pendirian perusahaan daerah air minum kotamadya Pematang Siantar
yang disahkan dengan SK Gubernur Sumut nomor 192//I/GSU tanggal 19 April
1976 tentang pendirian perusahaan daerah air minum kotamadya daerah tingkat II
Pematangsiantar. Jumlah Pelanggan (Total)
Rumah Tangga
Pemerintah
50.130 Sosial
651 HU/MCK/TA
52.538 Pelanggan Aktif
455 Usaha
1.124 Industri
52.538
104 Ins.
74 Lain-lain. ( www.pdamtirtauli.com)
Menurut wawancara yang dilakukan peneliti pada tanggal 30 Agustus
2012 dengan Bapak Ponidi ST (Kepala Bagian Perencaan Teknik) dan Bapak
Jimmi M. Simatupang (Kepala Seksi Survey dan Pengukuran), mengatakan
bahwa “ setiap tahun permintaan air bersih selalu meningkat, saat ini sudah 86
persen kebutuhan air bersih terpenuhi di kota Pematang Siantar”. Berdasarkan
data dan gambar yang diperoleh dari Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli Pematang Siantar (Lampiran I) peneliti mengamati jaringan air yang
terpasang pada Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar
belum membentuk sebuah pohon, karena pada jaringan yang terpasang terdapat
sirkuit. Hal ini menunjukkan jaringan yang terpasang belum optimal. Algoritma
Prim membentuk pohon merentang minimum langkah per langkah. Pada setiap
langkah kita mengambil sisi dari graf G yang mempunyai bobot minimum namun
terhubung dengan pohon merentang minimum T yang telah terbentuk.
Berdasarkan hal tersebut, penulis ingin mengetahui keoptimalan jaringan air yang
ada di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar. Oleh
karena itu, peneliti mengangkat penelitian yang berjudul “ Penerapan Algoritma
Prim Pada Jaringan Air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar (Studi Kasus)”.
3
1.2.
Rumusan Masalah
Berdasarkan pada latar belakang di atas, yang menjadi masalah dalam
studi kasus ini apakah jaringan air pada Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli Pematang Siantar sudah optimal.
1.3.
Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam tulisan ini tidak menyimpang, maka
perlu dilakukan beberapa batasan masalah sebagai berikut:
1. Peneliti hanya meneliti wilayah Kecamatan Siantar Timur,
2. Peneliti hanya meneliti pipa distribusi berukuran 150mm, 100mm dan
75mm.
1.4.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keoptimalan jaringan air pada
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar tanpa
memperhatikan kualitas pipa.
1.5.
Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan berguna bagi Perusahaan Daerah Air
Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar dan sebagai bahan pertimbangan
dalam membangun jaringan air dengan panjang pipa yang minimum dan optimal.
Penelitian ini juga diharapkan berguna bagi para peneliti lain mengenai
optimalisasi yang menggunakan algoritma prim.
4
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Dengan merepresentasikan panjang pipa sebagai jalur-jalur dan ujung pipa
sambungan sebagai simpul-simpul dari suatu graf berbobot, dengan menggunakan
algoritma prim dapat ditentukan pada pohon rentang minimum dari graf
terhubung berbobot tersebut. Panjang pipa yang telah terpasang di kecamatan
siantar timur adalah 25790 meter. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
algoritma prim adalah 21090 meter.
Jadi, selisih panjang pipa yang telah terpasang dengan panjang pipa yang
diperoleh dengan menggunakan algoritma prim adalah 4700 meter. Sehingga
jaringan air yang telah terpasang di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli khususnya Kecamatan Siantar Timur belum optimal.
5.2. Saran
Pada tulisan ini penulis meneliti jaringan pipa air yang telah terpasang di
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli khususnya Kecamatan Siantar
Timur belum optimal. Dimana dengan menggunakan algoritma prim diperoleh
hasil yang lebih optimal. Maka disarankan untuk membangun suatu jaringan pipa
air yang belum dibangun dengan menggunakan algoritma prim.
74
DAFTAR PUSTAKA
Goodaire, E.G., Parmenter, M.M., (2008), Discrete Mathematics With Graph
Theory Third Edition, Prentice-Hall of India, New Delhi.
http://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma_Prim (Diakses Mei 2012)
Lipschuttz, S., Lipson, M.L., (1992), Matematika Diskrit, Salemba Teknika,
Jakarta.
Liu, C.L., Mohapatra, D.P., (2008), Discrete Mathematics A Computer Oriented
Approach Third Edition, The McGraw-Hill Companies, New york.
Munir, S., (2003), Matematika Diskrit Edisi Kedua, Informatika Bandung,
Bandung.
Rosen, K.H., (2007), Discrete Mathematics And Its Applications Sixth Edition,
The McGraw-Hill Companies, New york.
Siang, J.J., (2006), Matematika Diskrit Dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer,
Edisi Ketiga, Andi, Yogyakarta.
Simpson, A., (2002), Discrete Mathematics By Example, The McGraw-Hill
Companies, New york.
Siringorigo, W., (2009), Optimalisasi Pengiriman Barang Pada Perusahaan
Surat Kabar Harian Kompas Dengan Menggunakan Algoritma Prim,
Skripsi, FMIPA, Unimed, Medan.
Syahfitri, R., (2009), Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik
Perumahan PT. INALUM, Medan:
http://repository.usu.ac.id/handle/123456789/14100
www.pdamtirtauli.com (Diakses Agustus 2012)
74
PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM (PDAM)
TIRTAULI PEMATANG SIANTAR
(Studi Kasus)
Oleh:
Riana
Nim 408211036
Program Studi Matematika
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2013
iv
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya sehingga skripsi
yang berjudul “Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Air Perusahaan Daerah
Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar (Studi Kasus)”
terselesaikan.
Shalawat
serta
salam
semoga
ini
tetap terlimpahkan
dapat
kepada
junjungan Nabi Besar Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan
yang gelap menuju jalan yang terang benderang.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan ungkapan
terimakasih kepada Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing
Skripsi yang telah banyak memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjukpetunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini, ditengah-tengah
kesibukan beliau sehari-hari. Bapak
Prof.Dr. Mukhtar, M.Pd selaku ketua
Program Studi matematika. Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., D Ph. selaku dekan
FMIPA. Kepada Bapak Drs. Zul Amry, M.Si, Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd,
dan Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji. Seluruh staf
pengajar Jurusan Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada
penulis semenjak mengikuti perkuliahan. Seluruh staf pegawai di lingkungan
FMIPA UNIMED. Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima
kasih dan hormat kepada Ayahanda Aminuddin dan Ibunda Sarmiyah untuk
semua kasih sayang, doa, motivasi, dan jerih payah. Sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi. Juga terhadap kakak dan abangku tersayang Adawiyah,
Juraidah Darmi, Zainal Arifin, Indra Subakti, Abdul Kadim dan Fitri Maria yang
selalu menjadi kekuatan dan Penghilang rasa lelahku. Keponakan-keponakanku
tersayang Yeni, Jumbana, Sandika Rizki, Muhammad Azid, Samsul Sahputra,
Mahmud, Santi, Rubiah, Yusuf, Riski, dan Vahira Azzahra , terimakasih buat
dukungan semangatnya. Pimpinan serta seluruh pegawai Perusahaan Daerah Air
v
Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar yang telah banyak membantu penulis
dalam memberikan data-data yang diperlukan. Sahabat-sahabatku Dalida
Nasution, Elvina Chodijah Siregar, Pratiwi Wulandari Simarmata, Lidia Astuti
Sembiring, Rahayu Sashanti, Trisna Suci, Kasmini, Suriadi, dan Muhammad
Syafi’i yang selalu setia menemani dan memberikan dukungan semangat dan doa.
Teman seperjuanganku : Muslena Layla, Syafina Indriyani, Sardina, Andi Pranata,
Riadi Setiawan, Dedy Mas Ary, dan Rico Joslen Tamba yang selalu memberikan
semangat dan selalu ada disaat suka maupun duka. Teman – temanku
seperjuangan Non-Dik’08 yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu yang
selama ini selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa. Kakakku terspesial
dan tersayang yang selalu memberi motivasi, dukungan dan selalu menemani
dalam suka maupun duka.
Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan
dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi
ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Medan, Januari 2013
Penulis,
Riana
NIM. 408211036
iii
PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN AIR PERUSAHAAN
DAERAH AIR MINUM (PDAM) TIRTAULI PEMATANG SIANTAR
(Studi Kasus)
Riana (408211036)
ABSTRAK
Algoritma Prim adalah salah satu metode untuk mencari pohon rentang
minimum. Skripsi ini bersifat studi kasus sebagai penerapan Algoritma Prim pada
suatu jaringan air di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang
Siantar khususnya di Kecamatan Siantar Timur.
Data yang diperoleh dari perusahaan daerah air minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar di analisis dengan menggunakan Algoritma Prim. Berdasarkan
data yang diperoleh dari Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar dan dihitung secara manual panjang pipa air yang terpasang di
Kecamatan Siantar Timur adalah 25.790 meter. Kemudian panjang pipa
direpresentasikan sebagai himpunan jalur-jalur dan ujung pipa sambungan
direpresentasikan sebagai himpunan simpul-simpul. Panjang pipa air yang
diperoleh dengan menggunakan Algoritma Prim adalah 21.090 meter. Jadi,
dengan menggunakan Algoritma Prim selisih panjang pipa air yangdiperoleh
sebesar 4700 meter. Maka dapat dikatakan Algoritma Prim dapat digunakan untuk
mengoptimalkan jaringan air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
vi
viii
ix
x
BAB I PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Batasan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
4
4
4
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Dasar-dasar Graf
2.2 Panjang Walk, Trail, Sirkuit, Path dan Sikel
2.3 Pohon (Tree)
2.4 Pohon Rentang (Spanning Tree)
2.5 Pohon Rentang Minimum (Minimum Spanning Tree/MST)
2.6 Algoritma Prim (Prim’s Algorithm)
2.7 Contoh Pencarian Pohon Rentang Minimum
dengan Menggunakan Algoritma Prim
5
11
12
14
14
15
17
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan tempat penelitian
3.2 Jenis Penelitian
3.3 Prosedur Penelitian
24
24
24
BAB IV PEMBAHASAN
4.1
Data Awal
25
4.2
Merepresentasikan Data Ke Dalam Bentuk Graf Terhubung Berbobot 26
4.3
Penyelesaian dengan Menggunakan Algoritma Prim
4.4
Perbandingan Panjang Pipa Air Minimum (Menggunakan Algoritma
27
vii
Prim) dengan Panjang Pipa Air Yang Terpasang di Perusahaan
Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar.
71
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
73
5.2
Saran
73
DAFTAR PUSTAKA
74
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Daftar jalur dan panjang pipa distribusi air (bobot) di
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Kecamatan Siantar Timur
25
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 (a) Graf G dengan 4 simpul dan 6 jalur, (b) graf trivial
Gambar 2.2 Graf Sederhana
Gambar 2.3 Graf Tak Sederhana
Gambar 2.4 H subgraf G
Gambar 2.5 (a) Graf Terhubung, (b) Graf tidak terhubung
Gambar 2.6 Graf berbobot dan Berlabel
Gambar 2.7 Graf tidak berarah
Gambar 2.8 Pohon
Gambar 2.9 Pohon Rentang
Gambar 2.9 (a)
Gambar 2.9 (b)
Gambar 2.9 (c)
Gambar 2.9 (d)
Gambar 2.9 (e)
Gambar 2.9 (f)
Gambar 2.9 (g)
Gambar 2.10 Graf Berbobot
Gambar 2.10 (a)
Gambar 2.10 (b)
Gambar 2.10 (c)
Gambar 2.10 (d)
Gambar 2.10 (e)
Gambar 4.1 Graf jaringan air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli di Kecamatan Siantar Timur
Gambar 4.2 Representasi Langkah-langkah Algoritma Prim
Gambar 4.3 Graf Dengan Algoritma Prim
5
7
7
9
10
10
11
13
17
18
18
18
19
19
20
20
21
21
21
22
22
23
26
70
72
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Data Gambar Jaringan Air Kecamatan Siantar Timur
Lampiran 2 Graf Jaringan Air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli di Kecamatan Siantar Timur dengan Skala 1:1000
Lampiran 3 Representasi Langkah-langkah Algoritma Prim
Lampiran 4 Hasil Graf Dari Algoritma Prim
75
76
77
78
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Algoritma yang pertama kali dikembangkan untuk mencari Minimum
Spanning Tree ditemukan oleh seorang ilmuan bernama Otakar Boruvka pada
tahun 1926. Tujuannya saat itu adalah untuk melakukan efesiensi konstruksi
jaringan kabel listrik di sebuah perusahaan pembangkit tenaga listrik di Moravia
Barat, Brno. Salah satu metode untuk mencari Minimum Spanning Tree adalah
dengan menggunakan Algoritma Prim. Algoritma Prim berawal sejak tahun 1930
dari seorang matematikawan bernama Vojtech Jarnik, lalu secara independent
dikembangkan oleh ilmuan komputer bernama Robert C. Prim pada 1957,
kemudian direvisi oleh Edsger Dijkstra pada 1959. Selanjutnya algoritma ini
terkadang disebut DJP, atau The Jarnik Algorithm atau The Prim-Jarnik
Algorithm.
Metode lain yang digunakan untuk mencari Minimum Spanning Tree
adalah dengan menggunakan algoritma kruskal. Pada algoritma kruskal semua sisi
boleh dimasukkan asal tidak membentuk sirkuit, mula-mula semua jalur dalam G
di urutkan berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar. Sedangkan pada algoritma
prim sisi yang dimasukkan pada pohon T harus bersisian atau terhubung dengan
sebuah simpul di T. Algoritma prim membentuk Minimum Spanning Tree dengan
langkah per langkah. Pada setiap langkah kita mengambil jalur G yang telah
terbentuk mulai dari awalnya. Sehingga akan terbentuk hingga langkah terakhir
spanning tree dengan masing-masing jalur yang termuat di T adalah minimum.
Ilmu matematika saat ini berkembang begitu pesat dalam menciptakan
aplikasi-aplikasi baru yang lebih efesien dalam segi produktivitas dan biayanya.
Semakin berkembang suatu zaman, semakin banyak masalah yang dihadapi.
Permasalahan timbul karena orang menginginkan kenyamanan dan keuntungan
yang lebih. Misalnya saja pipa jaringan air yang akan dipasang haruslah optimal,
dalam arti panjang pipa yang terpasang haruslah minimal dan dapat mengalirkan
air ke seluruh rumah yang terbangun.
1
Jaringan kerja muncul pada sejumlah perencanaan dan dalam berbagai
bidang. Jaringan transportasi, listrik dan komunikasi merupakan sesuatu yang
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan-persoalan transportasi atau
distribusi
yang berkaitan dengan masalah pengiriman komoditas dari suatu
sumber ke suatu tujuan dengan ongkos transpormasi minimum, ternyata model
transpormasi ini dapat juga direpresentasikan dan diselesaikan sebagai suatu
jaringan. Suatu jaringan kerja terdiri atas suatu gugus titik dan sisi yang
menghubungkan pasangan titik tertentu.
Persoalan penting dalam jaringan kerja terdiri atas : 1) persoalan rute
terpendek (shortest route), 2) persoalan minimasi jaringan atau pohon rentang
minimum, 3) persoalan aliran maksimum (maximal flow).
Persoalan minimasi jaringan atau pohon rentang minimum merupakan
bentuk dari algoritma prim, dimana graf yang dihasilkan merupakan sebuah
pohon yang memiliki jarak paling minimum . Suatu graf dikatakan pohon apabila
graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Misalkan G = (V, E)
adalah graf tak berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, G adalah
pohon. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. G
terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. G tidak mengandung sirkuit dan
memiliki m = n – 1 buah sisi. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu
sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. G terhubung dan semua sisinya
adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang apabila dihapus menyebabkan graf
terpecah menjadi dua komponen).(Munir, 2003:372)
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V
merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul ( vertices atau node ) dan
E merupakan himpunan sisi ( edges atau arcs ) yang menghubungkan sepasang
simpul. Dalam kasus ini, panjang pipa direpresentasikan sebagai sisi dan ujung
pipa sambungan direpresentasikan sebagai simpul atau node. (Munir, 2003:291)
Persoalan rute terpendek merupakan lintasan dengan bobot yang
minimum. Bobot disini dapat berupa waktu tempuh, ongkos transpormasi atau
jarak dari satu titik ke titik lainnya yang berbentuk rute tertentu. Sedangkan
persoalan pohon rentang minimum merupakan variasi dari persoalan rute
2
terpendek yang perbedaannya terletak pada lintasan yang dicari, yaitu menentukan
sisi-sisi yang menghubungkan titik-titik yang ada pada jaringan sehingga
diperoleh panjang sisi total yang minimum. Masalah pohon rentang minimum ini
memiliki sejumlah penerapan praktis yang penting. Sebagai contoh menentukan
panjang minimum pipa jaringan air.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar
didirikan pada tahun 1976 atas Perda Kodya Pematangsiantar Nomor 9/1976
tentang pendirian perusahaan daerah air minum kotamadya Pematang Siantar
yang disahkan dengan SK Gubernur Sumut nomor 192//I/GSU tanggal 19 April
1976 tentang pendirian perusahaan daerah air minum kotamadya daerah tingkat II
Pematangsiantar. Jumlah Pelanggan (Total)
Rumah Tangga
Pemerintah
50.130 Sosial
651 HU/MCK/TA
52.538 Pelanggan Aktif
455 Usaha
1.124 Industri
52.538
104 Ins.
74 Lain-lain. ( www.pdamtirtauli.com)
Menurut wawancara yang dilakukan peneliti pada tanggal 30 Agustus
2012 dengan Bapak Ponidi ST (Kepala Bagian Perencaan Teknik) dan Bapak
Jimmi M. Simatupang (Kepala Seksi Survey dan Pengukuran), mengatakan
bahwa “ setiap tahun permintaan air bersih selalu meningkat, saat ini sudah 86
persen kebutuhan air bersih terpenuhi di kota Pematang Siantar”. Berdasarkan
data dan gambar yang diperoleh dari Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli Pematang Siantar (Lampiran I) peneliti mengamati jaringan air yang
terpasang pada Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar
belum membentuk sebuah pohon, karena pada jaringan yang terpasang terdapat
sirkuit. Hal ini menunjukkan jaringan yang terpasang belum optimal. Algoritma
Prim membentuk pohon merentang minimum langkah per langkah. Pada setiap
langkah kita mengambil sisi dari graf G yang mempunyai bobot minimum namun
terhubung dengan pohon merentang minimum T yang telah terbentuk.
Berdasarkan hal tersebut, penulis ingin mengetahui keoptimalan jaringan air yang
ada di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar. Oleh
karena itu, peneliti mengangkat penelitian yang berjudul “ Penerapan Algoritma
Prim Pada Jaringan Air Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli
Pematang Siantar (Studi Kasus)”.
3
1.2.
Rumusan Masalah
Berdasarkan pada latar belakang di atas, yang menjadi masalah dalam
studi kasus ini apakah jaringan air pada Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli Pematang Siantar sudah optimal.
1.3.
Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam tulisan ini tidak menyimpang, maka
perlu dilakukan beberapa batasan masalah sebagai berikut:
1. Peneliti hanya meneliti wilayah Kecamatan Siantar Timur,
2. Peneliti hanya meneliti pipa distribusi berukuran 150mm, 100mm dan
75mm.
1.4.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keoptimalan jaringan air pada
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar tanpa
memperhatikan kualitas pipa.
1.5.
Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan berguna bagi Perusahaan Daerah Air
Minum (PDAM) Tirtauli Pematang Siantar dan sebagai bahan pertimbangan
dalam membangun jaringan air dengan panjang pipa yang minimum dan optimal.
Penelitian ini juga diharapkan berguna bagi para peneliti lain mengenai
optimalisasi yang menggunakan algoritma prim.
4
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Dengan merepresentasikan panjang pipa sebagai jalur-jalur dan ujung pipa
sambungan sebagai simpul-simpul dari suatu graf berbobot, dengan menggunakan
algoritma prim dapat ditentukan pada pohon rentang minimum dari graf
terhubung berbobot tersebut. Panjang pipa yang telah terpasang di kecamatan
siantar timur adalah 25790 meter. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
algoritma prim adalah 21090 meter.
Jadi, selisih panjang pipa yang telah terpasang dengan panjang pipa yang
diperoleh dengan menggunakan algoritma prim adalah 4700 meter. Sehingga
jaringan air yang telah terpasang di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM)
Tirtauli khususnya Kecamatan Siantar Timur belum optimal.
5.2. Saran
Pada tulisan ini penulis meneliti jaringan pipa air yang telah terpasang di
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtauli khususnya Kecamatan Siantar
Timur belum optimal. Dimana dengan menggunakan algoritma prim diperoleh
hasil yang lebih optimal. Maka disarankan untuk membangun suatu jaringan pipa
air yang belum dibangun dengan menggunakan algoritma prim.
74
DAFTAR PUSTAKA
Goodaire, E.G., Parmenter, M.M., (2008), Discrete Mathematics With Graph
Theory Third Edition, Prentice-Hall of India, New Delhi.
http://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma_Prim (Diakses Mei 2012)
Lipschuttz, S., Lipson, M.L., (1992), Matematika Diskrit, Salemba Teknika,
Jakarta.
Liu, C.L., Mohapatra, D.P., (2008), Discrete Mathematics A Computer Oriented
Approach Third Edition, The McGraw-Hill Companies, New york.
Munir, S., (2003), Matematika Diskrit Edisi Kedua, Informatika Bandung,
Bandung.
Rosen, K.H., (2007), Discrete Mathematics And Its Applications Sixth Edition,
The McGraw-Hill Companies, New york.
Siang, J.J., (2006), Matematika Diskrit Dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer,
Edisi Ketiga, Andi, Yogyakarta.
Simpson, A., (2002), Discrete Mathematics By Example, The McGraw-Hill
Companies, New york.
Siringorigo, W., (2009), Optimalisasi Pengiriman Barang Pada Perusahaan
Surat Kabar Harian Kompas Dengan Menggunakan Algoritma Prim,
Skripsi, FMIPA, Unimed, Medan.
Syahfitri, R., (2009), Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik
Perumahan PT. INALUM, Medan:
http://repository.usu.ac.id/handle/123456789/14100
www.pdamtirtauli.com (Diakses Agustus 2012)
74