Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva; Garis Singgung di Ruang

  MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017

8 Maret 2017

  

Kuliah yang Lalu

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

  10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

  10.5 Sistem Koordinat Polar ₃

  11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R 11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

  11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

  11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

  11.8 Permukaan di Ruang

  

Kuliah Hari Ini

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

  10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

  10.5 Sistem Koordinat Polar

  3

  11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R 11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

  11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

  11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

  11.8 Permukaan di Ruang

MA1201 MATEMATIKA 2A

  

11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN

GERAK SEPANJANG KURVA

• Menghitung limit dan turunan fungsi ber-

  nilai vektor

• Menentukan kecepatan dan percepatan dari suatu partikel yang bergerak sepanjang kurva yang diketahui persamaan posisinya

Fungsi Bernilai Vektor

  Fungsi F yang memetakan tiap bilangan real t ke suatu vektor

  ϵ I ₂ π π/2

  2

3 F(t) di R atau R disebut sebagai

  π/2)

  F( fungsi bernilai vektor.

  Sebagai contoh,

  F(t) = (cos t, sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π ₁ merupakan fungsi bernilai vektor.

  Daerah nilai fungsi ini adalah

  lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari

  1 . Limit Fungsi Bernilai Vektor lim ( )

  Kita tuliskan F t L apabila _{t  c}  untuk setiap terdapat

  ε > 0 δ > 0

  sehingga _{F L} (t), t ≈ c ( ) .

   t  c    F t  L  

  Secara intuitif: semakin dekat t ke c ,

  F L semakin dekat (t) ke . Teorema

  Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j . Maka F mempunyai limit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyai limit di c . Dalam hal ini, lim ( ) lim ( ). lim ( ). .

  

F t f t i g t j

  t  c t  c t  c

  Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanya lim ( ) ( ). jika f dan g kontinu di c. Dlm hal ini, F t  F c _{t  c} Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilai

  3 vektor di R . Contoh/Latihan

  Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di- definisikan _t

  sin

  

1

t  e

  ( ) , ,

  F t  i  j t  t t

  menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik.

  Turunan Fungsi Bernilai Vektor Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor.

  Turunan F di c didefinisikan sebagai ( ) ( )

  F t  F c ' ( ) lim . F c  t c

   t c

  

  Berdasarkan teorema tentang limit fungsi bernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan g mempunyai turunan di c , maka

' ( ) ' ( ) ' ( ) .

  F c f c i g c j   Teorema p

  Misalkan F dan G mempunyai turunan, fungsi skalar yang mempunyai turunan, dan c skalar.

  Maka [ ( ) ( )] ' ( ) ' ( )

  D F t G t F t G t

  1.    _t

  [ . ( )] . ' ( )

  2. D c F t  c F t _t 3.

  [ ( ). ( )] ( ) ' ( ) ' ( ) ( )

  D p t F t  p t F t  p t F t _t 4.

  [ ( ) ( )] ' ( ) ( ) ( ) ' ( )

  D F t G t F t G t F t G t _t     

  5. [ ( ( ))] ' ( ). ' ( ( ))

  D F p t p t F p t _t  Teorema

  3 Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R .

  Jika F dan G mempunyai turunan, maka 6. [ ( ) ( )] ' ( ) ( ) ( ) ' ( )

  D F t G t F t G t F t G t _t      D

  Catatan. menyatakan operasi turunan

  t terhadap t . Contoh/Latihan

  Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikan sebagai _t

  sin

  

1

t  e

  ( ) , ,

  F t  i  j t  t t ,

  ,  i  j t 

  mempunyai turunan di .

  Contoh/Latihan

  2 Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t .

  Tentukan:

  1. D [p(t).F(t)] t

  2. D F(p(t)) t

  Integral Fungsi Bernilai Vektor Intergral dari fungsi F = (f,g) yang bernilai

  2

  vektor di R didefinisikan sebagai ( ) ( ) . ( ) .

  F t dt f t dt i g t dt j

 

         _{b b b}

      ( )  ( ) .  ( ) .

  F t dt f t dt i g t dt j

     

     _{a a a}

      Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor di

3 R didefinisikan serupa.

  Gerak Sepanjang Kurva

  Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang suatu kurva di bidang dengan persamaan

  r (t) = f(t)i + g(t)j, t ϵ I,

  yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsb adalah (f(t),g(t)).

  Maka, kecepatan dan percepatan partikel tsb adalah

  v (t) = f’(t)i + g’(t)j, t ϵ I, a (t) = f’’(t)i + g’’(t)j, t ϵ I. Gerak Sepanjang Kurva v _(t) r _{(t) a (t)}

  Contoh

  Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang dengan persamaan

  r (t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0 .

  (a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatan- nya.

  ( ) ( ) ( ) ( )

  v t  r t a t  v t (b) Periksa bahwa dan .

  (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu |v(t)|, konstan.

  Soal

  Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/

  r

  ruang dengan (t) menyatakan vektor posisinya pada saat t . Buktikan bahwa |r(t)| konstan jika

  r dan hanya jika (t) .

  ● r’(t) = 0

MA1201 MATEMATIKA 2A

11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DI RUANG

• Menentukan persamaan garis di ruang, baik dalam bentuk persamaan vektor, persamaan

  parametrik, atau persamaan Cartesius Persamaan Garis di Bidang

  Persamaan Cartesius garis di bidang _m yang memotong sumbu- y di P(0,c)

  c

  dan mempunyai gradien m adalah ₁ y = mx + c .

  Persamaan garis ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

  Garis melalui (0,c) x = t, y = mt + c , _{vektor arah (1,m).} dan mempunyai

  atau persamaan vektor

  r Persamaan Garis di Bidang

  Dari persamaan parametrik _m

  x = t, y = mt + c , c

  kita dapat pula memperoleh ¹

  persamaan simetrik x  y  c .

  

  1 m

  Perhatikan bahwa garis melalui

  P(0,c) dan mempunyai vektor v

  arah = (1,m) terekam dalam

  Persamaan Garis di Ruang

  Persamaan garis yang melalui titik P(x ,y ,z ) dan mempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah

  r (t) = (x ,y ,z ) + t(a,b,c)

  … persamaan vektor

  x = x + ta , y = y + tb , z = z + tc

  … p. parametrik

  x  x y  y z  z ... persamaan simetrik   a b c Contoh

  Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,-2,3) dan

  

Q(4,5,6) . Tentukan persamaan vektor, persamaan

parametrik, dan persamaan simetrik garis tsb.

  Jawab:

  Soal 1 Persamaan bidang yang melalui titik P(x ,y ,z ) n dan mempunyai vektor normal = (n ,n ,n )

  1

  2

  3 diberikan oleh (x , y , z ) .

• – x – y – z ●n = 0

  Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan dua bidang: 2x dan

• – y – 5z = -6 4x + 5y + 4z = 9 .

  

Garis Singgung pada Kurva di Ruang

  Persamaan

  r (t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

  menyatakan sebuah kurva di ₎

  r’(t ruang. _{r (t )}

  Pada saat t = t , vektor posisi-

  r

  nya adalah (t ) dan vektor

  singgung-nya adalah r )i )j )k .

  ’(t ) = f’(t + g’(t + h’(t Persamaan Garis Singgung pada Kurva

  Persamaan parametrik garis singgung pada kurva tsb di titik P = r(t ) ₎

  r’(t

  adalah: _{r (t )} P

  x = f(t ) + t.f ), ’(t y = g(t ) + t.g ), ’(t z = h(t ) + t.h ).

  ’(t Contoh r

  

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva (t)

  2

  3 = (t, t , t ) di titik P(1,1,1) .

  2 r

  Jawab: ). Di titik P(1,1,1), t = 1, ’(t) = (1, 2t, 3t r sehingga Jadi, persamaan garis ’(1) = (1, 2, 3). singgung di P adalah x = 1 + s y = 1 + 2s z = 1 + 3s dengan s menyatakan paramater. [Apa hubungan antara s dan t ?]

  Soal 2

  Tentukan persamaan garis singgung pada kurva

  r (t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0, .

  π)