Struktur Aljabar (Teori Grup)

  Diktat Ku liah STRUKTUR ALJABAR 1

  ( TEO R I GR U P ) Oleh :

  FEBRUL DEFILA, S.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012

BAB I Pendahuluan Februl defila

  defiladefila@gmail.com Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan tentang teori grup.

1. Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.

  Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.

  Contoh I.1 : 1. Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8.

  2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.

  3. Himpunan : Negara-negara Uni Eropa.

  Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dan digunakan notasi huruf besar. Jika himpunan di atas ditulis secara matematik diperoleh :

  1. A = {2, 4, 6, 8 }

  2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }

  3. C = { Negara-negara Uni Eropa } Untuk membentuk himmpunan dapat digunakan metode Roster (tabelaris) yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan B, sedangkan metode lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya. Sebagai contoh penggunaan metode Rule adalah

  C = { x | x negara-negara Uni Eropa } Kalimat dibelakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat keanggotaan. Jika suatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang digunakan adalah ; sebaliknya jika bukan merupakan anggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah . Sebagai contoh, jika himpunan E = {1, 3, 5, 7 }maka 3 E sedangkan 2 E. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(E) = 4.

  Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh diatas himpunan

  Februl defila defiladefila@gmail.com A={2, 4, 6, 8} ekuivalen dengan himpunan E={1, 3, 5, 7}. Dalam hal ini jika A = B maka pasti A B tetapi tidak berlaku sebaliknya.

  Catatan :

  Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa : (i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {2, 4, 6, 8}, {2, 8, 4, 6} dipandang sama dengan {2, 6, 4, 8} (ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {1, 1, 3, 3, 5, 7} dan {1, 3, 5, 7, 7, 7} dipandang sama dengan {1, 3, 5, 7}.

  Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={2, 4, 6, 8} maka dapat diambil himpunan semestanya U = {bilangan genap} atau U = {himpunan bilangan asli} dan lain-lain. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi atau { }. Sebagai contoh jika D={bilangan ganjil yang habis dibagi dua} maka D = atau D = { }.

  Diagram Venn adalah diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau relasi

  antar himpunan. Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanya berupa titik dalam lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagai contoh jika diketahui himpunan E = {1, 3, 5, 7}dan himpunan semestanya adalah himpunan bilangan genap U maka dapat dibuat diagram Vennnya.

  Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari B artinya setiap anggota A merupakan anggota B. Dalam hal ini digunakan notasi A B. Sebagai contoh himpunan A = {2, 4, 6, 8} himpunan bagian dari F = {2, 4, 6, 8, 10, 12} atau A F. Relasi antara A dan F dapat dinyatakan dalam diagram Venn.

  Himpunan A bukan himpunan bagian himpunan G ={1, 3, 6, 8} atau A G karena ada anggota A (misalnya 1) yang bukan anggota G. Perlu dicatat bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan, sehingga A.

  Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A dan notasi yang digunakan Februl defila defiladefila@gmail.com

  A H

  adalah 2 . Sebagai contoh himpunan H={1, 2} maka 2 ={ ,{1},{2},{1,2}}. Dalam hal

  A

  2 ini n(2 ) = 2 n(A) = 2 = 4.

  Himpunan A memuat himpunan B yang diberi notasi A B berarti B A. Sebagai contoh himpunan A ={1, 3, 5, 7} memuat himpunan K={1, 3}atau A K. Dua himpunan A dan B dikatakan sama (yang dinotasikan dengan A=B) jika A B dan B A. sebagai contoh { x | 5x-15 = 0 } = { 3 }. Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing jika masing-masing tidak kosong dan A B= . Sebagai contoh himpunan A={1, 3, 5, 7} saling asing dengan himpunan E={2,

  4, 6, 8}.

  Komplemen himpunan A adalah semua anggota dalam semesta yang bukan C

  anggota A. Notasi komplemen A adalah A . Secara matematik dapat ditulis sebagai

  C A ={x | x U dan x A}.

  C Sebagai contoh jika U = {1, 2, 3,…, 10} dan A = {3, 5, 7} maka A ={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}.

  Relasi antara himpunan A dan komplemennya dapat dinyatakan dalam diagram venn berikut:

  C C Dalam hal ini U = dan =U.

  Gabungan dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-

  anggotanya terdiri atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakan adalah A B. Secara matematika A B={x | x A atau x B}. Sebagai contoh jika A={a, i, e} dan B={i, e, o, u} maka A B={a, i, e, o, u}. Dalam hal ini berlaku sifat A (A B} dan B (A

  C B}dan juga A A = U.

  Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal ini digunakan notasi A B. Secara matematik A B ={x | x A dan x B } dan dapat dibuat diagram Venn untuk irisan. Sebagai contoh jika A={2, 3, 5, 7} dan B={2, 4, 6, 8}maka A

  C B ={ 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa (A B) A dan (A B) B dan juga A A = .

  Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah anggota A yang bukan B. Notasi yang digunakan adalah A-B. Secara matematik A-B = { x | x A dan x B }. Sebagai contoh jika A={1, 2, 3, 4, 5} dan B={3, 4, 5} maka A-B={ 1, 2 }.

  Jumlahan himpunan A dan B adalah himpunan A saja atau himpunan B saja tetapi

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  Februl defila defiladefila@gmail.com bukan anggota A dan B. Dalam hal ini digunakan notasi A + B. Secara matematik dapat dinyatakan sebagai A+B={x | x (A B) tetapi x (A B) }. Sebagai contoh jika A={1, 2, 3, 4, 5,} dan B={2, 4, 6} maka A+B={1, 3, 5,6}.

  = A

  Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan

  Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.

  Definisi I.1 Misalkan A himpunan tidak kosong.

  Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.

  c = { x R | x Q }.

  Himpunan bilangan Rasional Q = {a/b | a, b Z dan b 0}. Himpunan bilangan irrasional R – Q =Q

  Himpunan bilangan prima P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }. Himpunan bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, …. }. Himpunan bilangan bulat Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. }. Himpunan bilangan Real R adalah himpunan yang memuat semua bilangan anggota garis bilangan.

  Himpunan bilangan Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5, …. }.

  6. Jika A B maka A B = A dan A B = B.

  B .

  c

  c

  Catatan bahwa :A+B = (A B)-(A B) atau A+B =(A - B) (B - A).

  dan (A B)

  c

  B

  c

  = A

  c

  5. De Morgan : (A B)

  4. Distributif : A (B C) = (A B) (A C) dan A (B C) = (A B) (A C).

  3. Idempoten : A A = A dan A A = A.

  2. Assosiatif : A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C.

  Hukum-hukum aljabar himpunan: 1. Komutatif : A B = B A dan A B = B A.

2. Operasi biner

  padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x + y dan x .y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z. Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:

  1. terdefinisikan dengan baik(well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x,y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.

  2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.

  Contoh I.2: Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif.

  Didefinisikan * dengan aturan x*y = x - y. Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.

  Contoh I.3 :

  Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y = x + 2y dengan x,y dalam N = {1, 2, 3, … } Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.

  Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x + 2y memberikan hasil tunggal untuk setiap x,y dalam N. Untuk sebarang x,y dalam N maka jelas bahwa x + 2y masih merupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0. Berarti hasil dari x + 2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya P tertutup di bawah operasi #.

3. Hukum-hukum Aljabar

  Suatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  Definisi I.2 Misalkan * operasi biner pada himpunan A.

  (1) operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b * c) untuk semua a, b, c dalam A. (2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

  Dalam pembahasan selanjutnya hokum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan Real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.

  Contoh I. 4 : Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a * b = (1/2) a b.

  Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif. Karena (a * b) * c = (1/2 a b) * c

  =1/2((1/2 a b) c) =1/4(a b)c dan pada sisi lain a * (b * c)=a *(1/2) bc)

  = (1/2)a((1/2) bc) = ¼ (a b) c untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.

  Karena a * b = (1/2) a b = (1/2) b a = b*a. Untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.

  Contoh I. 5 :

  Operasi didefinisikan pada bilangan bulat Z dengan aturan a b = a + 2b. Akan ditunjukkan bahwa tidak komutatif dan tidak assosiatif. Karena pada satu sisi

  (a b) c = (a + 2b) c = (a + 2b) + 2c dan pada sisi lain a (b c) = a (b + 2c) = a +

  2(b + 2c) = a + (2b + 4c) = (a + 2b) + 4c

  Februl defila defiladefila@gmail.com dari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c 0 maka tidak assosiatif. Karena a b = a + 2b dan b a = b + 2a dan kedua hasil ini tidak sama untuk a b maka tidak komutatif.

  Terlihat bahwa aturan untuk * tidak menjamin bahwa himpunan X tertutup di bawah operasi *. Berikut ini diberikan suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu himpunan tertutup terhadap suatu operasi.

  Untuk membuktikan sifat tertutup dari suatu sistem X dimulai dengan dua sebarang anggota yang dioperasikan dengan operasi * dan kemudian ditunjukkan bahwa hasilnya masih memenuhi syarat keanggotaan dalam X.

2 Untuk selanjutnya dalam tulisan ini R dimaksudkan himpunan semua pasangan

  2 berurutan dari bilangan real R = {(a,b) | a, b dalam R}.

  Contoh I. 6: Misalkan mempunyai aturan (a,b) (c,d) = (a+c,b+d).

  2 Akan ditunjukkan bahwa R tertutup di bawah operasi .

  2 Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R berlaku (a,b) (c,d) = (a+c,b+d) dengan a+c dan b+d dalam R

  2 sehingga (a+c,b+d) dalam R .

  Oleh karena itu hasilnya merupakan pasangan berurutan dan tertutup di bawah operasi .

  Selanjutnya operasi < A , * > menyatakan himpunan A dan * merupakan operasi yang didefinisikan pada A.

  Definisi I.3:

  (1) < A , * > memenuhi hukum identitas asalkan A mengandung suatu anggota e sehingga e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang mempunyai sifat demikian dinamakan identitas untuk < A , * >. (2) < A , * > memenuhi hokum invers asalkan A mengandung suatu identitas e untuk operasi * dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a’ dalam A yang memenuhi a*a’ = a’*a = e. Elemen a’ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a. Sebagai contoh, Z mengandung identitas 0 untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap a dalam Z, anggota – a memenuhi a + (-a) = (-a ) + a = 0 sehingga a mempunyai

  Februl defila defiladefila@gmail.com invers terhadap operasi penjumlahan dan < Z , + > memenuhi hukum invers. Di samping itu Z mengandung identitas 1 terhadap operasi pergandaan tetapi Z tidak mengandung invers terhadap pergandaan kecuali 1 dan -1.

  Untuk membuktikan hukum identitas dilakukan dengan menduga anggota tertentu e dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan kemudian menguji apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.

  Untuk membuktikan hukum invers dilakukan dengan sebarang anggota x dalam himpunan yang mempunyai identitas e dan menduga invers dari x yaitu x’ dalam himpunan dan kemudian menguji apakah x * x’ = e dan x’ * x = e.

  Contoh I.7 :

  Bila operasi didefinisikan seperti pada contoh I.6 maka akan dibuktikan bahwa hukum invers dan hukum identitas berlaku. Diduga bahwa (0,0) merupakan anggota identitas.

2 Karena untuk sebarang (a,b) dalam R berlaku

  (0,0) + (a,b) = (0 + a, 0 + b) = (a,b)

  2 dan (a,b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a,b) maka (0,0) identitas dalam R .

  

2

  2 Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R maka akan ditunjukkan (-a,-b) dalam R

  merupakan inversnya

  2 Karena –a dan –b dalam R maka (-a,-b) dalam R .

  Lebih jauh lagi , (a,b) (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) dan

  (-a,-b) (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0)

  2 sehingga (-a,-b) merupakan invers dari (a,b) dalam R .

  Contoh I.8 :

  Bila * didefinisikan pada R dengan aturan a * b = ab + a maka akan ditunjukkan bahwa < R, *> tidak memenuhi hukum identitas. Karena supaya a * e sama dengan a untuk semua a haruslah dimiliki ae + a = a sehingga eperlulah sama dengan 0.

  Februl defila defiladefila@gmail.com Tetapi meskipun a * 0 = a maka 0 * a = 0 a + 0 = 0 yang secara umum tidak sama dengan a. Oleh karena itu tidak ada e dalam R yang memenuhi a * e =a dan e * a = a. Terbukti bahwa tidak ada identitas dalam R terhadap *.

4. Bukti dengan induksi

  Dalam pembuktian biasanya diinginkan untuk membuktikan suatu pernyataan tentang bilangan bulat positif n. berikut ini diberikan dua prinsip tentang induksi berhingga.

  Prinsip pertama induksi berhingga Misalkan S(n) pernyataan tentang bilangan bulat positif n.

  Apabila sudah dilakukan pembuktian : (1) S(n ) benar untuk bilangan bulat pertama n . (2) Dibuat anggapan induksi (induction assumption) bahwa pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat positif k n dan mengakibatkan S(k+1) benar. maka S(n) benar untuk semua bilangan bulat n n 0.

  Contoh I.8 n

  Akan dibuktikan bahwa 2 > n + 4 untuk semua bilangan bulat n 3 dengan menggunakan induksi .

  Bukti pernyataan benar untuk n =3 .

3 Untuk n = 3 maka pernyataan 2 > 3 + 4 benar. Asumsi induksi.

  k Dianggap pernyataan benar berarti 2 > k + 4 untuk suatu bilangan bulat k 3.

  Langkah induksi. k

  Dengan anggapan induksi berlaku 2 > k + 4 dan bila kedua ruas digandakan dengan 2

  k k+1

  diperoleh 2 (2 ) > k+4 atau 2 > 2k + 8 dan jelas bahwa 2k + 8 >5 karena k positif

  k+1 sehingga diperoleh 2 > k + 5 = (k+1) + 4.

  Berarti bahwa dianggap pernyataan benar untuk S(k) maka sudah dibuktikan bahwa pernyataan benar untuk S(k+1). Jadi dengan prinsip induksi maka S(n) benar untuk semua bilangan bulat n 3.

  Februl defila defiladefila@gmail.com Prinsip induksi berikut ekuivalen dengan prinsip pertama induksi berhingga tetapi biasanya lebih cocok untuk bukti tertentu.

  Prinsip kedua induksi berhingga Misalkan S(n) suatu pernyataan tentang bilangan bulat n.

  Apabila sudah dilakukan pembuktian: (1) S(n ) benar untuk suatu bilangan bulat pertama n 0. (2) Dibuat anggapan S(k) benar untuk semua bilangan bulat k yang memenuhi n k < m dan mengakibatkan S(m) benar.

  maka S(n) benar untuk semua bilangan bulat n > n .

  Prinsip kedua induksi tersebut di atas dapat digunakan untuk membuktikan teorema faktorisasi berikut ini.

  Teorema I.1

  Setiap bilangan bulat positif n 2 dapat difaktorkan sebagai hasil kali berhingga banyak bilangan prima yaitu n = p p ……p ..

  1 2 w Bukti Untuk n =2 maka 2=2 yaitu faktorisasi dengan satu faktor prima.

  Anggapan induksi adalah bahwa semua bilangan bulat positif k < m dengan k 2 dapat difaktorkan sebagai hasil kali bilangan prima sebanyak berhingga. Jika m bilangan prima maka jelas faktorisasinya adalah m = m. Jika m bukan bilangan prima maka m mempunyai faktor sejati m = s t dengan s dan t lebih kecil dari m tetapi lebih besar atau sama dengan 2.

  Dengan anggapan induksi maka s dan t mempunyai faktor prima yaitu: s = p p … p

  1 2 u

  dan t = q q … q

  1 2 v

  Oleh karena itu, m = s = p p … p q q … q dan berarti m juga mempunyai faktor

  1 2 u

  1 2 v

  prima. Jadi dengan menggunakan prinsip kedua induksi maka teorema tersebut telah dibuktikan. 

  Februl defila defiladefila@gmail.com

5. Relasi ekuivalensi dan penyekatan

  Obyek matematika dapat direlasikan dengan yang lain dalam berbagai cara seperti: m membagi n x dibawa ke y dengan fungsi f dan sebagainya. Secara intuitif relasi R dari suatu himpunan X ke himpunan Y adalah aturan

  

yang memasangkan anggota X dengan anggota Y. Secara formal, relasi R dari X ke Y

  didefinisikan berikut ini. Pertama-tama didefinisikan hasil kali Cartesian X Y sebagai himpunan pasangan berurutan { (x,y) | x dalam X dan y dalam Y }. Kemudian didefinisikan suatu relasi R sebagai himpunan bagian tertentu dari X Y. Jika pasangan berurutan (s,t) anggota himpunan bagian tertentu untuk R maka ditulis s R t.

  Contoh I.10

  (a) Relasi < didefinisikan pada himpunan bilangan real dengan sifat x < y jika dan hanya jika x – y positif. (b) Relasi membagi habis ( | ) didefinisikan pada himpunan bilangan bulat positif dengan sifat m | n jika dan hanya jika n = mq untuk suatu bilangan bulat q.

  Definisi I.4

  Suatu relasi R pada himpunan X dikatakan mempunyai sifat: (1) Refleksif jika x R x untuk semua x dalam X.

  (2) Simetrik jika x R y menyebabkan y R x. (3) Transitif jika x R y dan y R z menyebabkan x R z (4) Antisimetris jika x R y dan y R x menyebabkan x = y.

  Definisi I.5

  Misalkan relasi yang didefinisikan pada suatu himpunan X. Jika relasi refleksif, simetrik dan transitif maka relasi merupakan relasi ekuivalensi.

  Contoh I.11 Diketahui f : A B suatu fungsi.

  Jika didefinisikan pada A dengan x y jika f(x) = f(y) maka dapat dibuktikan bahwa relasi merupakan relasi ekuivalensi.

  Februl defila defiladefila@gmail.com Suatu penyekatan (partition) dari himpunan X merupakan suatu keluarga himpunan bagian tidak kosong dari X yang saling asing dan gabungannya sama dengan X. penyekatan merupakan hal yang penting dalam matematika dan terdapat hubungan antara relasi ekuivalensi dan peyekatan. Jika x dalam X dan ~ relasi pada X maka dapat didefinisikan suatu kelas dari x yang dinotasikan dengan C(x) adalah himpunan semua y dalam x sehingga x ~y. jika ~ merupakan relasi ekuivalensi maka C(x) dinamakan ekuivalensi dari x.

  Teorema 1.2 :

  Jika ~ suatu relasi ekuivalensi pada himpunan X maka keluarga kelas ekuivalensi C(x) membentuk penyekatan himpunan X.

  Bukti :

  Karena ~ refleksif maka x ~ x untuk senua x dalam X Oleh karna itu,kelas C(x) mengandung x Misalkan C(x) dan C(y) mempunyai paling sedikit satu anggota serikat z.

  Maka x ~ z dan y~ z (berarti juga z~ y) dan akibatnya x ~ y Hal itu berarti bahwa untuk setiap t sehingga y t menyebabkan x t dan diperoleh C(y) C(x). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula bahwa C(y) C(x). Akibatnya C(y) = C(x) sehingga kelas-kelas ekuivalensi yang bertumpang tindih akan sama dan kelas-kelas yang berbeda akan saling asing. 

  Latihan 1. Misalkan A himpunan bagian B.

  Buktikan bahwa A B = B dan A B = B.

  2. Diketahui A = n{6m | m dalam Z }, B = {4m | m dalam Z } dan C = {12m | m dalam Z }.

  Buktikan bahwa A B = C.

  3. Diberikan operasi * dengan aturan a * b = - a b dengan a dan b bilangan bulat.

  a. Jelaskan mengapa * operasi biner pada Z.

  b. Buktikan * assosiatif.

  c. Buktikan bahwa * komutatif.

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  Februl defila defiladefila@gmail.com d. Buktikan bahwa Z mengandung suatu identitas terhadap operasi *.

  e. Jika a dalam Z maka tentukan z’ dalam Z terhadap operasi *.

  4. Buktikan bahwa 1 + 5 + 9 + … + (4n + 1) = (2n + 1) (n + 1) untuk semua n 0.

  5. Relasi didefinisikan pada himpunan oprang-orang dan dikatakan bahwa a b jika dan hanya jika a dan b mempunyai hari ulang tahun yang sama(tidak perlu tahunnya sama) a. Tunjukkan bahwa merupakan relasi ekuivalensi.

  b. Berapa banyak kelas-kelas ekuivalensi yang ada ? Jelaskan !

  6. Berikan contoh suatu contoh relasi yang disamping mempunyai sifat simetrik juga mempunyai sifat antisimetrik dan jelaskan mengapa relasi itu mempunyai kedua sifat tersebut.

BAB II Grup Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar

  abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi. Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari system tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.

  Definisi II.1

  Suatu grup (group) < G , * > terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner

• yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut:

  (1) Hukum tertutup : a * b G untuk semua a, b G (2) Hukum assosiatif : (a * b) * c = a * ( b * c) untuk semua a, b, c G (3) Hukum identitas :terdapatlah suatu anggota e G sehingga e * x = x * e = x untuk semua x G

  (4) Hukum invers : untuk setiap a G, terdapatlah a’ G sehingga a *a’ = a’* a = e Biasanya lambang < G, * > hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b

• 1 dan a adalah lambang untuk invers a.

  Contoh II.1 1. Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi +.

  2. Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi +.

  3. Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi +.

  4. Himpunan bilangan real R – {0}merupakan grup terhadap operasi perkalian.

  5. Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

  6. Himpunan bilanga rasional merupakan grup terhadap operasi +.

  Sistem ini dilambangkan dengan < Q, + > dengan Q = {a/b | a, b Z dan b 0} Februl defila defiladefila@gmail.com

  Operasi penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/bd Akan dibuktikan bahwa Q grup berdasarkan sifat-sifat bilangan bulat.

  Hukum tertutup

  Misalkan a/b , c/d Q. Berdasarkan definisi operasi penjumlahan pada bilangan rasional didapat (ad + bc)/bd. Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat tertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat. Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol. Berarti penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup.

  Hukum assosiatif .

  Misalkan a/b, c/d dan e/f Q. Akan ditunjukkan bahwa sifat assosiatif berlaku. (a/b + c/d) + e/f = (ad + bc)/bd + e/f

  = [(ad + bc)f + (bd)e] / (bd)f = [(ad)f + (bc)f + (bd)e] / (bd)f = [a(df) + b(cf) + b(de)] / b(df) = a/b + (cf+de) / df = a/b + (c/d + e/f) Berarti sifat assosiatif berlaku.

  Hukum identitas

  0/1 merupakan identitas karena 0/1 + a/b = (0.b + 1.a) / (1.b) = (0 + a) / b = a/b

  Pada sisi lain, a/b + 0/1 = (a.1 + b.0) / (b.1) = (a + 0) / b = a/b

  Hukum invers

  Untuk sebarang anggota a/b Q akan ditunjukkan bahwa (-a)/b merupakan inversnya. Jelas bahwa (-a)/b Q. Anggota (-a)/b merupakan invers a/b karena a/b + (-a)/b = ab + b(-a)/bb

  = (ab + (-a)b / bb = 0.b / bb

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  = 0 / b = 0 / 1 Terbukti Q grup.

  

  Sifat-sifat sederhana dalam grup

  Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup, sebarang persamaan a * x = mempunyai penyelesaian dalam suatu group yaitu x = a’ * b. Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.

  Teorema II.1

  Dalam sebarang group berlaku sifat sifat berikut : 1. Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y .

  2. Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y .

  3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dn e’ elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e’.

  4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.

• 1 -1 -1

  5. ( ab) = b a Bukti : 1. Diberikan ax = ay.

• 1 -1 -1

  Karena G grup dan a G maka terdapat a sehingga a a = a a = e dengan e identitas. Akibatnya

• 1 -1

  a (ax) = a (ay)

• dan dengan menggunakan hukum assosiatif didapat (a

  1 -1

  a)x = (a a)y dan dengan hukum invers didapat ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x = y.

  Februl defila defiladefila@gmail.com

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1

  ) a

  e b = b

  a)b = b

  (a

  . ab = b

  a

  = e dan b

  = a a

  = a e a

  = a (b b

  Latihan

  a

  5. Karena ab . b

  Dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b.

  4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb.

  3. Karena e suatu anggota identitas maka e e’ = e’. Pada sisi lain e e’ = e, sehingga e e’ = e’ = e.

  2. Analog dengan 1 (untuk latihan).

• 1
• 1
• 1
• 1

• -1

  = b a.

• menyatakan bilangan real positif maka buktikan bahwa R
• bukan grup.

  1. Jika R

  b = e maka (ab)

2. Tunjukan bahwa himpunan bilangan bulat Z bukan grup terhadap pengurangan.

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1 .

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  ….a

  Buktikan bahwa < R ,* > merupakan grup.

  6. Operasi * didefinisikan pada R dengan aturan a * b = a + b + 2.

  )

  1

  …..( a

  )

  n-1

  (a

  )

  n

  =(a

  )

  n

  a

  2

  3. Buktikan bahwa < Q ,+ > merupakan grup komutatif (grup abelian ).

  1

  (3) (a

  a

  x

  = a

  x a)

  (2) (a

  )

  adalah : (a

  5. buktikan sifat sifat berikut : (1) Tunjukan bahwa invers dari a

  adalah himpunan semua matrik ordo 2 Buktikan bahwa M

  2x2

  4. Misalkan M

  2x2 merupakan grup terhadap operasi jumlahan dua matrik.

BAB III Grup Bagian Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil. Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun system yang lebih

  besar. Sebagai contoh group < R, + > mengandung group yang lebih kecil seperti < Q , + > dan < Z , + >. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung R* =R – { 0}.

  Contoh-contoh diatas menyarankan bahwa disamping tipe tertentu dari sistem juga dipelajari sistem bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas tentang sistem bagiannya yang dinamakan grup bagian.

  Definisi III.1

  Sutatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan dari bagian G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dalam G yang di batasi pada S.

  Contoh III.1 1. Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup bagian dari R.

  2. S = { 0, 2, 4 }merupakan grup bagian dari Z .

  6

  3. Z bukan grup bagian dari Z

  6 12.

  4. Untuk sebarang grup G, himpunan { e } dan G merupakan grup bagian dari G. Grup

  bagian ini dinamakan grup bagian tak sejati ( improper subgroup) dari G, sedangkan grup bagian yang lain dinamakan grup bagian sejati. Teorema berikut merupakan teorema yang efisien untuk membuktikan bahwa suatu himpunan bagian dari grup G merupakan grup bagiannya. Februl defila defiladefila@gmail.com

  Teorema III.1

  Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. himpunan S merupakan grup bagian dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat : 1. e S

  2. S tertutup di bawah operasi dari G

• 1 3. untuk sebarang x S, inversnya x terletak dalam S.

  Bukti :

  1. Dengan mengingat definisi S grup bagian maka S merupakan grup sehingga anggota identitasnya e’ S.

  Akan ditunjukkan bahwa e’ sebenarnya adalah e yaitu anggota identitas dalam G. Karena e’ anggota identitas dalam S maka e’ e’ = e’. Dengan menggunakan sifat identitas dari e maka e’ = e’ e sehingga e’ e’ = e’ e dan dengan hukum kanselasi didapat e’ = e.

  2. Karena S grup maka S tertutup di bawah operasi dalam G.

  3. Misalkan x sebarang anggota S.

  Karena S grup maka x mempunyai invers x’ dalam S.

• 1

  Dengan mengingat ketunggalan dari suatu invers maka x’ = x yaitu invers dari x dalam G.

  Syarat 1 sampai 3 merupakan tiga syarat supaya suatu himpunan merupakan grup. Syarat lain yang harus dipenuhi adalah hukum assosiatif.

  Karena (ab) c = a (bc) untuk semua anggota dalam G maka tentu saja juga berlaku untuk semua anggota dalam S G. 

  Contoh III.2 1. Q* = { p/q | p dan q tidak nol dalam Z } merupakan grup bagian dari R*.

  2. Himpunan bilangan genap E merupakan grup bagian dari Z.

  k 3. S = { 3 | k Z } merupakan grup bagian dari R*.

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  Bukti:

  a. Anggota identitas dalam S Karena 1 = 3 maka berarti anggota identitas berada dalam S.

  j k b. Misalkan 3 ,3 dalam S. j k j k j+k

  Karena pergandaan 3 dan 3 adalah 3 3 = 3 dengan j + k bilangan bulat maka

  j k

  3 3 S.

  k k k -1 -k -

  c. Misalkan 3 S. Invers dari 3 adalah (3 ) = 3 dengan – k Z. Berarti 3

  k S.

  Februl defila defiladefila@gmail.com

• grup bagian dari R ? Buktikan jawaban anda !
• | x 1 }.
• .
• .
• .

• 1 .
• 1

  Jika untuk semua a dan b dalam S berlaku ab

  12. Misakan S suatu himpunan bagian tidak kosong dari grup G.

  C = { x G | gx = xg untuk semua g dalam G} Merupakan grup bagian dari G.

  Misalkan G sebarang grup. Buktikan bahwa

  10. Jika H dan K grup bagian dari grup G. Buktikan dengan contoh bahwa H K = { x | x H atau x K } tidak perlu merupakan grup bagian dari G. 11.

  9. Jika H dan K grup bagian dari grup G. Buktikan bahwa : H K = {x | x H dan x K } merupakan grup bagian dari G.

  Tunjukkan bahwa S mengandung identitas dan mengandung invers dari semua anggotanya tetapi tidak perlu menjadi grup bagian dari G.

  

2

= e}.

  8. Misalkan G sebarang grup dan S = { x G | x

  2 , +>.

  | 2a -3b = 0 }. Buktikan bahwa S grup bagian dari <R

  2

  Jika didefinisikan H + K = {h + k | h H dan k K } maka buktikan H + K grup bagian dari G.

  7. Misalkan S = {(a,b) R

  6. Diketahui < G, + > grup abelian dan H, K grup bagian dari G.

  5. Jika a sebarang anggota grup multiplikatif G maka buktikan bahwa (a) = (a)

  c. Tunjukkan bahwa T bukan grup bagian dari R

  b. Buktikan bahwa T bukan grup bagian dari R

  a. Tunjukkan bahwa T mengandung identitas dari R

  4. Diketahui T = { x R

  3. Apakah R

  2. Buktikan bahwa S = { 0 + b i | b R }merupakan grup bagian dari C tetapi bukan grup bagian dari C*.

  18 yang dibangun oleh (4).

  1. Tentukan grup bagian dari Z

  Latihan

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  dalam S maka buktikan bahwa S grup bagian dari G.

Bab IV Grup Siklik Sebelum dibahas tentang grup siklik terlebih dahulu didefinisikan pangkat bilangan bulat dalam suatu grup penggandaan . Definisi IV.1

  1 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, . >. Didefinisikan : a

  = a

  2

  3 a = a . a a = a .a . a

  dan secara induksi , untuk sebarang bilangan bulat positif k,

  k+1 k

  a = a . a

  n

  Hal ini berarti bahwa a dimaksudkan sebagai perkalian a dengan a sampai n kali. Dalam hal ini suatu identitas dan invers dapat juga dinyatakan dengan menggunakan perpangkatan.

  Definisi IV.2

• Perjanjian bahwa a = e dan untuk sebarang integer positif n berlaku a

  n -1 n -1 -1 -1

  = ( a ) = ( a ) ( a ) … ( a ) sebanyak n faktor . Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

  n m m+n a a = a m n mn

  (a ) = a

  n n n

  Jika ab = ab maka ( ab ) = a b

  n n n n n n Catatan : Biasanya ( ab ) a b . Jika a b = b a maka (ab) = a b . n

  Notasi a digunakan dalam grup dengan operasi penggandaan, sedangkan dalam grup dengan operasi penjumlahan digunakan definisi berikut ini .

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  Definisi IV. 3 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, + >.

  Pergandaan n .a didefinisikan ssebagai berikut : 1. a = a, 2. a = a + a, 3. a = a + 2 . a dan secara induksi untuk sebarang integer positif k, ( k

• 1 ) . a = a + k . a. Lebih jauh , 0 . a = 0 ( elemen identitas )
• n . a = n . ( -a ) = ( -a ) + (-a ) +…+ ( -a ) sebanyak n suku.

  n

  Perlu dicatat bahwa dalam a dan n . a , bukan anggota grup. Disamping itu berlaku sifat berikut : n . a + m . a = ( n + m ). a, n .( m . a ) = (nm) . a, n . ( a + b ) = n . a + n . b Jika a + b = b + a.

  Teorema IV.1

  Misalkan < G , . > grup dan misalkan a sebarang anggota tertentu dari G.Jika ( a

  k

  ) = { a | k Z } maka himpunan ( a ) merupakan grup bagian dari G.

  Bukti : ( digunakan sebagai latihan ). Definisi IV.4

  Grup bagian ( a ) seperti yang didefinisikan dalam teorema diatas dinamakan grup bagian siklik yang dibangun oleh a.

  Catatan : Grup bagian (a) merupakan grup bagian terkecil yang mengandung a.

  Februl defila defiladefila@gmail.com Algoritma berikut ini dikenal dengan nama algoritma pembagian dan sangat penting dalam aljabar.

  Algoritma pembagian

  Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b dengan b > 0 terdapatlah dengan tunggal q dan r sehingga a = bq + r dengan 0 r < b. Lebih jauh b merupakan factor dari a jika dan hanya jika r = 0.

  Bukti:

  Bila diamati barisan bilangan b, 2b, 3b, …. Maka pada suatu saat barisan itu akan melampaui a. Misalkan q + 1 adalah bilangan positif terkecil sehingga (q + 1)b > a sehingga qb a < (q + 1)b dan berarti qb a < qb + b atau 0 a – qb < b. Misalkan ditulis r = a – qb. Akibatnya a = qb + r dengan 0 r < b. Akan ditunjukkan bahwa q dan r yang terpilih adalah tunggal. Misalkan a = bq + r dan dianggap bahwa r r .

  1

  1

  1 Karena bq + r = bq + r maka b(q – q) = r – r .

  1

  1

  1

  

1

Tetapi r – r lebih kecil dari b dan r – r tidak negatif karena r r .

  1

  1

  1 Oleh karena itu q – q 0.

1 Tetapi jika q – q 1 maka r –r akan melampaui atau sama dengan b dan berarti timbul suatu

  1

  1 kontradiksi sehingga didapat q –q = 0 dan juga r – r = 0.

  1 Berarti r = r dan q = q.

1 Kejadian a = bq untuk suatu bilangan bulat q jika dan hanya jika r = 0 sehingga b dan q merupakan faktor dari a.

   Februl defila defiladefila@gmail.com

  Teorema IV.2

  Misalkan a sebarang anggota grup < G , . > Sifat – sifat berikut ini berlaku :

  m

  1. Jika untuk semua bilangan bulat positif m didapat a e maka berbagai kuasa dari a akan

• 2 -1

  1

  2 berbeda dan (a) = { …, a , a , a , a , a , … } tak hingga. m

  2. Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil m sehingga a = e maka

  1 2 m

  (a) = {a , a , … , a } mempunyai tepat m anggota.

  Bukti 1. Misalkan k dan n bilangan bulat dengan k > n. k-n k e sehingga

  Karena k > n maka k – n positif dan dengan anggapan didapat a a

  n = a .

  berbeda. Hal ini berarti bahwa kuasa berbagai bilangan bulat positif akan Akibatnya (a) mempunyai anggota tak hingga banyak.

  m k

  2. Misalkan bilangan bulat positif terkecil m sehingga a = e dan a sebarang kuasa bilangan bulat positif dari a.

  Dengan menggunakan algoritma pembagian maka untuk k dan m dalam Z terdapatlah Q dan r dalam Z sehingga k = m q + r dengan 0 r < m. Akibatnya

  k mq+r mq r m q r q r r r a = a = a a = (a ) a = a a = e a = a . k r

  Hal ini berarti bahwa sebarang kuasa a dapat mereduksi menjadi a dengan 0 r < m .

  r m Bila r = 0 maka a = a = e = a . r-s r s Jika 0 < r < s m maka 0 < s - r < m sehingga a e dan akibatnya a a .

  1 2 m Jadi a , a , …, a semuanya berbeda dan (a) mempunyai m anggota.

   Februl defila defiladefila@gmail.com Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diberikan sifat-sifat berikut ini :

  1. Order dari grup G adalah banyak anggota dalam G..

  2. Grup G dikatakan abelian jika ab = ba untuk semua a, b G.

  3. Grup G dikatakn siklik asalkan G = (a) untuk suatu anggota a dalam G yaitu G = {an | n Z } Berarti G dibangun oleh a.

  4. Order dari anggota a dalam suatu grup G didefinisikan sebagai banyak anggota dalam Grup bagian siklik (a).

  Berikut ini diberikan contoh-contoh yang berkaitan dengan sifat-sifat di atas.

  Contoh IV.1

  1. Z mempunyai orde 6 karena mengandung 6 anggotan yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. Secara

  6 umum Z mempunyai orde n. n 2. Z mempunyai orde tak hingga karena Z mempunyai tak berhingga banyak anggota.

  3. Orde dari himpunan (i) = { i, -1, -i, 1 } adalah 4 dalam C.

  nxn nxn

• 4. Grup M * untuk n > 1 bukanlah grup abelian karena terdapat A, B dalam M

  1

  1

  2

  1 Dengan A = dan B = .

  1

  3

  1 1 2 1 5

  1 Tetapi dalam hal ini AB =

  1 3 0 3

  2 1 1 1 2

  3 dan BA = .

  3 0 0 1 3

  3 Berarti secara umum AB BA.

  5. Himpunan bilangan kompleks tidak nol C* merupakan grup komutatif.

  6. Grup Z untuk n 1 merupakan grup siklik karena Z = (1) untuk n 2 sedangkan Z = (0).

  n n

  1 Demikian juga Z merupakan grup siklik karena Z = (1).

  7. Himpunan bilangan Real R bukan grup siklik tidak ada anggota R yang dapat membangun R.

  8. Anggota 2 dalam Z mempunyai orde 3 karena (2) = { 0, 2, 4 }mempunyai 3 anggota.

6 Februl defila

  defiladefila@gmail.com Berikut ini daftar dari orde anggota-anggota Z

  6 Anggota Z

  1

  2

  3

  4

  5

6 Orde

  1

  6

  3

  2

  3

  6

  9. Dalam sebarang grup G, identitas e mempunyai orde 1 karena (e) = { e }dan tidak ada anggota lain yang mempunyai orde 1 karena jika a dalam G dan a e maka (a) paling sedikit mengandung dua anggota yaitu a dan e.

  10. Dalam himpunan bilangan real R, -1 mempunyai orde tak hingga karena (-1) = { …, 2, 1,0, -1, -2, -3, … } mempunyai tak hingga banyak anggota.

  Ternyata, semua anggota R yang tidak nol mempunyai orde tak hingga.

  11. Dalam R* , -1 mempunyai orde 2 karena (-1) = { -1, 1 }.

  12. Dalam C* , i mempunyai orde 4 karena (i) = { i, -1, -i, 1 }.

  2x2

  13. Dalam M * , matriks mempunyai orde 4 karena matriks ini membangun suatu

  2x2

  grup bagian dari M * yang mempunyai 4 anggota yaitu: 0 1 1 0 0

  1

  1

{ , , , } .

1 0 01 1

  00

  1 Untuk menjadi grup siklik suatu grup harus mempunyai pembangkit (generator). Jika suatu grup mempunyai 20 anggota maka pembangkitnya seharusnya mempunyai orde 20.

  Teorema IV.2

  Grup berhingga G yang berorde n siklik jika dan hanya jika G mengandung suatu anggota dengan orde n.

  Untuk grup tak hingga, tidak berlaku sifat yang analog dengan teorema di atas. Suatu grup tak hingga yang mengandung suatu anggota dengan orde tak hingga tidak perlu merupakan grup siklik. Sebagai contoh yaitu R dan Q.

  Februl defila defiladefila@gmail.com

  Teorema IV.3 Jika G grup siklik maka G abelian. Bukti: Misalkan G grup siklik.

  Karena G siklik maka G = (a) untuk suatu a G.

  k

  Misalkan G = {a | k Z } Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y G. Ambil sebarang x, y dalam G. Karena x, y dalam G maka

  m n x = a dan y = a untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga m n m+n a a = a

  dan

  n m n+m m+n m n yx = a a = a = a = a a = xy.

  Terbukti G grup abelian. 