MATEMATIKA DISKRIT UNTUK ILMU KOMPUTER a

MATEMATIKA DISKRIT UNTUK ILMU KOMPUTER DAN SAINS

(Discreate Mathematical For Computer & Sains) Lecture Module Version

Materi diringkas dari : Rinaldi Munir (Dosen ITB)

Dosen Pengampu: Maxrizal, S.Pd.Si., M.Sc. JURUSAN SISTEM INFORMASI STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2016

Pertemuan 1 Pengantar Matematika Diskrit

A. Matematika Diskrit

Matematika diskrit adalah cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Suatu benda dikatakan diskrit jika:

1. Terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda, atau

2. Elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).

Contoh:

Himpunan bilangan bulat (integer)

B. Peran Matematika Diskrit

Pada prinsipnya, komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit sehingga matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.

Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika seperti algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb. Karena sangat penting dan krusial, matematika diskrit sering dikatakan matematika-nya orang informatika.

Beberapa materi yang akan dibahas dalam matematika diskrit, yaitu:

1. Logika (logic)

2. Teori Himpunan (set)

3. Relasi dan Fungsi (relation and function)

4. Induksi Matematik (mathematical induction)

5. Teori Bilangan Bulat (integers)

6. Kombinatorial (combinatorics)

7. Teori Graf (graph – included tree)

8. Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)

C. Contoh Permasalah Matematika Diskrit

Contoh-contoh persoalan di dalam matematika diskrit, yaitu:

1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter?

2. Bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?

3. Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?

4. Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?

5. Buktikan bahwa perangko senilai n (n  8) rupiah dapat menggunakan hanya perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja

6. Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaian sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?

7. Bagaimana rangkaian logika untuk membuat peraga digital yang disusun oleh 7 buah batang (bar)?

8. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perubahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

9. “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?

Pertemuan ke 2 Logika

A. Proposisi

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements). Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya disebut proposisi.

Contoh:

1. “12 10  “merupakan proposisi bernilai salah.

2. “Sekarang tahun 2015 dan 9 1  “merupakan proposisi bernilai salah.

3. “Jangan memakai HP saat kelas sedang berlangsung” bukan merupakan proposisi.

4. “ y  2 5 “ bukan merupakan proposisi.

Suatu proposisi dilambangkan dengan huruf kecil yaitu pqr ,,, .

B. Menggabungkan 2 Proposisi atau Lebih

Jika diberikan proposisi p dan q maka berlaku:

1. Ingkaran : tidak p Ingkaran dari p dinotasikan p

2. Konjungsi (conjunction): p dan q Dinotasikan : p  q,

3. Disjungsi (disjunction): p atau q Dinotasikan : p q

4. Implikasi : Jika p maka q Dinotasikan : p  q

5. Biimplikasi : p jika dan hanya jika q Dinotasikan : p  q

Perhatikan bahwa p dan q disebut proposisi atomic. Sedangkan kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).

C. Tabel Kebenaran

Berikut ini disajikan tabel kebenaran: p q  p p  q p  q p  p q  q

Contoh:

Tentukan tabel kebenaran dari ekspresi logika  p  q   ! p

Jawab:

p q  p p  q  p  q   p

D. Tautologi dan Kontradiksi

Suatu proposisi majemuk disebut tautologi jika semua kasusnya bernilai benar (B). Sedangkan proposisi majemuk disebut kontradiksi untuk semua kasus bernilai salah (S). Jika tidak berlaku keduanya makan proposisi itu disebut kontingensi (campuran B dan S).

Contoh:

(Silakan cek tabel kebenaran)

1.  p   p  q   merupakan tautologi.

2.   p  q   p  q   merupakan kontingensi.

E. Ekuivalensi logis

Kedua ekspresi logika disebut ekuivalensi logis jika memiliki nilai kebenaran yang sama pada tiap baris tabel kebenaran.Selanjutnya, ekuivalensi logis disimbolkan dengan “  ”.

F. Hukum-Hukum Logika

Beberapa hukum-hukum logika, yaitu: No. Nama Hukum Logika

Ekuivalensi Logis

1 Hukum Negasi Ganda

  p p

p  q q p

2 Hukum Komutatif

p  q q p p  q q p

 p  q  r p  q r 

3 Hukum Asosiatif

 p  q  r p  q r 

p   q r  p  q  p  r 

4 Hukum Distributif

p   q r  p  q  p  r 

p  p p

5 Hukum Idempoten

p  p p p  S p

p  B B

6 Hukum Identitas

p  S S p  B p

7 HukumNegasi

p  p B p  p B

  p  q   p q

8 Hukum DeMorgan

  p  q   p q

9 Hukum Kontrapositif

p  q q p

10 Hukum Implikasi

p  q p q

11 HukumBiimplikasi

p  q  p  q   q  p  p   p  q   p

12 Hukum Absorsi

Contoh:

Buktikan sifat ekuivalensi logis dengan menggunakan hukum logika pada ekspresi

 p  q  p . q  p

Jawab:

 p  q  p       (Hukum Distributif) q  p  q q 

 p B (Hukum Negasi)

 p ≡p

(Hukum Identitas)

Jadi, terbukti  p  q  p . q  p

G. Sifat Implikasi

Sifat Implikasi secara umum disajikan dalam tabel berikut:

Kontraposisi  q p

Contoh:

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari “Jika Amir mempunyai mobil maka ia orang kaya”

Jawab:

Konvers : Jika Amir orang kaya maka ia mempunyai mobil. Invers

: Jika Amir tidak mempunyai mobil maka ia bukan orang kaya. Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya maka ia tidak mempunyai mobil. Selanjutnya perbandingan nilai kebenaran keempat sifat di atas akan ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut ini.

p q  p  q p  q q  p  p q  q p

BS

H. Penarikan Kesimpulan Dengan Aturan Inferensi

Selain menggunakan hukum-hukum logika, dalam penarikan kesimpulan, kita membutuhkan beberapa konsep tambahan, yaitu:

a. Modus Ponens

  q

b. Modus Tollens

  p

c. Silogisme Hipotetikal

  p r

d. Adisi

p   p q p   p q

 atau 

f. Konjungsi

pq

  p q

Contoh:

Diberikan beberapa premis berikut ini: P 1 : p  q .

Pq 2 :  r . P 2 :  r

C :  . p Apakah penarikan kesimpulan dari premis-premis di atas valid?

Jawab:

Langkah ke- Ekspresi Alasan

1 p  Premis 1 q

Premis 2

Premis 3

Langkah 1,2; Silogisme hipotetikal

5  p Langkah 3,4; Modus tollens

Perhatikan bahwa pada langkah 5 telah menunjukkan kesimpulan yang diketahui. Dengan demikian, argumen yang diselidiki valid.

Contoh:

Diberikan beberapa premis berikut ini: P 1 : Anda pintar membuat program atau merakit hardware komputer.

P 2 : Anda tidak pintar membuat program atau mengelola anti virus. :

C Anda pintar membuat program atau mengelola anti virus. Apakah penarikan kesimpulan dari premis-premis di atas valid?

Jawab:

Sebelumya untuk memudahkan penalaran, premis-premis dan kesimpulan di atas kita ubah ke dalam simbol, sehingga diperoleh:

Pp 1 : . q P 2 :  p r .

Cq :  r . Berikut langkah pembuktian: Langkah ke- Ekspresi Alasan

1 p  q Premis 1

2  p r Premis 2

3 q  p Langkah 1; Hukum Komutatif

4   Langkah 3; Hukum Implikasi q p

5 p  r Langkah 2; Hukum Implikasi

6  q r Langkah 4,5; Silogisme Hipotetikal

7 q  r Langkah 6; Hukum Implikasi

Perhatikan bahwa langkah 7 menunjukkan kesimpulan yang diberikan. Jadi, penarikan kesimpulan dari argumen di atas valid.

I. Latihan Mandiri

1. Manakah yang merupakan proposisi? Jika merupakan proposisi maka tentukanlah nilai kebenarannya.

a. Siapa namamu?

b. Hari ini hari Rabu.

c. x  y 0

d. 15 adalah bilangan negatif.

e. Jika 22  4 maka saya akan bunuh diri.

2. Buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika   p  q   . q  p

3. Diberikan ekspresi logika  p      . Tentukan apakah termasuk tautologi, q  p q 

kontradiksi atau kontingensi?

4. Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari “Jika hari hujan maka kuliah matematika diskrit diliburkan”

5. Tunjukkan validitas dari kesimpulan dengan aturan inferensi. Jika Zeta rajin bekerja maka ia mendapat reputasi kerja yang baik. Bila Zeta memiliki reputasi yang baik maka karirnya akan meningkat dengan cepat. Karir Zeta mandek. Jadi, Zeta tidak rajin bekerja.

Pertemuan 3 Himpunan

A. Pengertian Himpuan

Himpunan (sets) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

a. Kumpulan mahasiswa jurusan Teknik Informatika STIMIK Atma Luhur.

b. Kumpulan mahasiswa jurusan Manajemen Informatika yang berumur di atas 19 tahun.

Dalam matematika, tidak semua pengelompokkan benda atau manusia disebut dengan himpunan.

Contoh:

a. Kumpulan mahasiswa jurusan TI yang ganteng.

b. Kumpulan masakan Bangka yang enak.

Perhatikan bahwa kedua contoh diatas melibatkan sisi kualitas sehingga menimbulkan sifat ambiguitas. Kita tidak bisa mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun kriteria suatu makanan dikatakan enak. Pada intinya, setiap kelompok yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas bukanlah suatu himpunan.

B. Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti ABC ,,, dan diikuti oleh tanda

kurung kurawal  . Anggota atau elemen dari himpunan berupa huruf, biasanya dinyatakan dalam huruf kecil.

Contoh:

a. A   1, 2,3  a. A   1, 2,3 

c. C   abcd ,,, 

Berdasarkan contoh di atas, 1 adalah anggota dari himpunan A dinotasikan 1  A dan d adalah anggota himpunan C , dinyatakan sebagai d  . Selanjutnya, a bukan anggota dari C himpunan A dinotasikan a  . Banyaknya anggota himpunan A A ada 3 dan dinotasikan

nA   atau 3 A  . 3

Selanjutnya cara penyajian pada contoh a) dan c) disebut bentuk pendaftaran (tabular-form) dan cara penyajian pada contoh c) disebut bentuk perincian (set-builder form).

Contoh:

1. Misalkan A   1,3,5, 

2. B   Andi Canas Toni , ,  Bentuk diatas bisa diubah menjadi bentuk perincian (set-builder form).

1. A   x x adalah bilangan ganjil 

2. B   x x adalah pelajar pemenang lomba  Perhatikan bahwa pada bentuk pendaftaran (tabular-form), semua elemen/anggota himpunan

dituliskan dalam kurung kurawal. Sedangkan pada bentuk perincian (set-builder form), elemen himpunan hanya diwakili dengan sifat/ketentuan yang sesuai.

C. Jenis-Jenis Himpunan

a. Himpunan kosong (null sets)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Notasi untuk himpunan kosong

adalah  atau .

Contoh:

1. A   x x adalah manusia berkaki empat 

 xx  4 dan x  ganjil 

2. 2 B 

Jelas bahwa A   , karena tidak ada manusia normal yang berkaki empat. Sedangkan B   , karena tidak ada angka ganjil yang memenuhi persamaan itu. Nilai x yang mungkin hanyalah

2 atau  2 .

b. Himpunan semesta (universal sets)

Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta.

Contoh:

1. Misalkan A   1,3,5,  atau himpunan bilangan ganjil dan B   2, 4, 6,  atau himpunan bilangan genap. Paling tidak kita bisa memilih himpunan bilangan asli 

sebagai himpunan semesta yaitu S .

2. Misalkan diberikan beberapa himpunan berikut ini.

A   x x adalah mahasiswaTI STMIK 

C   x x adalah mahasiswa MI STMIK  Maka dapat dipilih himpunan semesta yaitu S   x x adalah mahasiswa STIMIK  .

c. Himpunan bagian (subsets)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A merupakan

anggota B , yang dinotasikan dengan A  B .

Jika paling sedikit ada satu anggota dari A bukan merupakan anggota B maka A bukan

himpunan bagian dari B , dinotasikan A . B

Contoh:

1.  merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

2. Misalkan A   2,3 dan B   1, 2,3, 4  maka jelas A  B .

Perhatikan bahwa A  B dibaca A subset B atau bisa juga dinyatakan sebagai B super set dari A .

Jika himpunan n A memiliki n anggota maka banyak himpunan bagian dari A adalah 2 .

Misalkan A   abc ,,  maka himpunan bagiannya adalah  ,  1,  2,  3,  1, 2 ,  1, 3 ,  2,3 dan  1, 2,3 . 

d. Keluarga himpunan (family of sets)

Himpunan A dinamakan keluarga himpunan jika semua elemennya berupa himpunan.

Contoh :

1. A    1 , 1, 2 

2. B    x x bilangan genap  ,  abc ,,  ,   Selanjutnya C    0, 1 , ab ,  bukan merupakan contoh keluarga himpunan karena ada satu

anggota yang bukan merupakan himpunan yaitu 0 .

e. Himpunan kuasa (power sets)

 2 adalah keluarga himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan

Himpunan kuasa A

Contoh:

1. Diberikan 2 A  

1, 2 , maka banyak himpunan bagian dari A adalah 2  yaitu 4

Jadi A 2  

2. Diberikan 1 B  

a , maka banyak himpunan bagian dari B adalah 2  yaitu 2

 ,a  .

Jadi B 2  

,  a  .

f. Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga (infinite)

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga.

Contoh:

1. Himpunan 

2. Himpunan dengan n anggota.

3. M   x x adalah mahasiswa TI STIMIK 

4. P   y y adalah banyak UKM yang ada di STMIK 

Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Contoh:

1. Himpunan bilangan asli.

2. Himpunan bilangan bulat.

g. Himpunan terhitung (countable) dan tak terhitung (uncountable)

Himpunan terhitung adalah himpunan terhingga (finite) atau tak terhingga (infinite).

Contoh:

1. A   abc ,, 

2. Himpunan bilangan ganjil.

Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung jumlahnya. Himpunan bilangan Real  adalah contoh himpunan yang tak terhitung. Hal ini cukup

beralasan karena kita tidak bisa menentukan berapa banyak bilangan Real yang terletak diantara dua bilangan bulat yang berurutan.

h. Himpunan saling lepas (disjoint sets)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika himpunan A dan B tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh:

Misalkan himpunan A   1, 2,3  dan B   ab , maka himpunan A dan B dikatakan saling

lepas.

D. Kesamaan Himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B dan sebaliknya.

Contoh:

1. A   1, 2,3  dan B   3, 2,1  maka A  B .

2. C   1, 2, 2, 2,1  dan D   2,1, 2  maka C . D

3. 2 E  

5, 6 , F   xx  11 x  30  maka E  F .

Perhatikan bahwa jika ada elemen yang sama cukup dihitung sekali dan pada himpunan urutan elemen tidak dipermasalahkan.

Berdasarkan sifat himpunan bagian, himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika

berlaku A  B dan B  A .

E. Representasi Himpunan

Ada dua cara untuk menyajikan himpunan yaitu menggunakan diagram Venn dan diagram garis. Diagram Venn biasanya lebih umum digunakan karena dapat menyajikan elemen himpunan dengan jelas.

a. Diagram Venn

Pada diagram Venn, daerah persegi untuk menggambarkan himpunan semesta dan daerah lingkaran untuk menggambarkan himpunan di dalamnya.

Contoh:

1. Misalkan S   abcde ,,,,  , A   ab , dan B   cd , .

2. Diberikan diagram Venn sebagai berikut.

Dari diagram diperoleh S   abcde ,,,,  , AS  dan B   cd , . Perhatikan bahwa

berlaku B  A .

Pada contoh 1, himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan (not comparable) sedangkan pada contoh 2, himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable).

b. Diagram garis

Cara kedua untuk menyatakan hubungan antar himpunan dengan menggunakan diagram garis.

Pada diagram garis A  B dinyatakan sebagai

Contoh:

1. Misalkan A   1, 2,3  , B   3 dan C   1, 2 .

Jelas bahwa B  A , C  dan B C A  .

2. Perhatikan diagram garis berikut ini!

Jelas bahwa B  A E , B  A F , C , C A E , BC A F  dan

E . F

F. Operasi Pada Himpuan

Jika kita memiliki dua himpunan atau lebih, kita bisa mengoperasikan himpunan-himpunan tersebut. Beberapa operasi yang dikenakan pada himpunan:

a. Irisan

A  B  xx  A dan x  B 

b. Gabungan

A  B  xx  A atau x  B  A  B  xx  A atau x  B 

AB   xx  Ax ,  Bx ,  A B 

d. Selisih

AB   xx  A dan x  B 

e. Komplemen

xx 

A dan x  S 

Contoh:

1. Diketahui S   1, 2, ,10  , A   2,3 dan B   2, 4, 6,8,10  maka diperoleh

a. A  B  2

b. A  B  2,3, 4, 6,8,10 

c. AB   3, 4, 6,8,10 

d. AB   3

e. B  A  4, 6,8,10 

f. c A  

g. c B   1,3,5, 7,9 

2. Perhatikan diagram Venn berikut ini!

Berdasarkan diagram diperoleh S   abcdefgh ,,,,,,, 

a. A   abfh ,,, 

b. B   cdg ,,  b. B   cdg ,, 

d. A  B

e. A  C  fh ,

G. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Beberapa sifat yang berlaku pada operasi himpunan:

a. Sifat komutatif

A  B B A dan A  B B A .

b. Sifat Asosiatif

 A  B   C A  B  C  dan  A  B   C A  B  C  .

c. Sifat Distributif

A   B  C   A  B   B  C  dan A   B  C   A  B   B  C  .

d. Sifat Identitas

A    , A S A ,A   dan A S S A .

e. Sifat Idempoten

A  A A dan A  A A .

f. Sifat De Morgan

A  B   A  B dan  A  B   A  B .

H. Latihan Soal

1. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari

A   xx bilangan kelipatan 3, x  

a. M   0,3, 6,9 

b. N   xx bilangan kelipatan 6, x  

c. O   99,103,106 

d. A   xx bilangan yang habis dibagi 12, x  

2. Diberikan S   xx  7, x  bil cacah . 

A   xx  7, x  bil prima .  .

B   x 2  x 4, x   Tentukanlah:

a. A  B

b. A  B

c. AB 

d. AB 

c e. c A  B

f. c 

g. c 

h. Diagram Venn

i. Diagram Garis

3. Perhatikan diagram Venn di bawah ini!

Tentukan himpunan dari

a. Laut

b. Sungai

c. Danau

d. Laut  Danau d. Laut  Danau

f. Sungai  Danau

g. Laut  Danau  Sungai

4. Berikut ini daftar olahraga favorit beberapa mahasiswa kelas Agribisnis A. Yuda menyukai sepak bola dan futsal. Siska menyukai bulutangkis. Amri tidak menyukai sepak bola, dan menyukai futsal. Bambang menyukai semua jenis olahraga. Aqida tidak menyukai semua jenis olahraga yang ada.

a. Buatlah diagram Venn untuk masalah di atas!

b. Siapa yang menyukai futsal dan Bulutangkis!

Pertemuan 4 Fungsi

A. Pengertian Fungsi

Diberikan dua buah himpunan tak kosong yaitu himpunan A dan B . Elemen pada himpunan A dapat dihubungkan dengan elemen pada himpunan B , hubungan atau aturan ini dinamakan relasi.

Relasi yang mengaitkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B disebut dengan fungsi.

Fungsi dari himpunan A ke B ditulis fA :   B , dimana A disebut sebagai daerah asal

atau domain  D f dan B disebut sebagai daerah kawan atau kodomain. Selanjutnya a  A

disebut sebagai pra-bayangan (pre-image) dari b dan fa   disebut sebagai bayangan B

(image) dari a . Himpunan R f   b Bb  faa  ,  A  disebut sebagai daerah hasil atau

range.

Berikut ini ilustrasi dari suatu fungsi.

fungsi

bukan fungsi, sebab ada elemen

A yang mempunyai 2 kawan

bukan fungsi sebab ada elemen

A yang tidak mempunyai kawan

Untuk lebih mudahnya memahami definisi fungsi pahami 2 aturan berikut ini:

1) Setiap elemen himpunan A harus habis terkait dengan elemen himpunan B .

2) Tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

Contoh:

Diberikan himpunan A   x, y, z,  dan himpunan B   1, 2, . didefinisikan suatu fungsi fA :   B sebagai berikut: x  1, y  2, z  1 atau fx   1, fy   2, fz   . 1

Dari contoh diatas dapat dikatakan bahwa image dari x adalah 1 atau x adalah pre-image dari

1 dan R f   1, 2 .

B. Cara menyajikan fungsi

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:

1. Himpunan pasangan terurut.

Contoh: Penulisan pada relasi. R    1, a , 2, a , 3, b  .

2. Formula pengisian nilai (assignment).

Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x 2 , dan f(x) = 1/x.

3. Kata-kata

C ontoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.

4. Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin

if x < 0 then abs:=-x else if x < 0 then abs:=-x else

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah f merupakan fungsi?

Jawab:

Relasi f adalah fungsi dari A ke B. Karena f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Range atau daerah hasil dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah f merupakan fungsi? Jawab: Relasi f adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan range fungsi adalah {u, v}.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w}. Apakah f merupakan fungsi?

Jawab:

Relasi f bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah f merupakan fungsi?

Jawab:

Relasi f bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.

C. Jenis-Jenis Fungsi

Ada 3 macam jenis fungsi yaitu:

1. Fungsi Injektif Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x}. Apakah merupakan fungsi injektif?

Jawab:

Relasi f adalah fungsi satu-ke-satu.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah merupakan fungsi injektif?

Jawab:

Relasi f bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

Contoh:

Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x 2 + 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?

Jawab: Jawab:

2. Fungsi Surjektif Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan

B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah atau range dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} . Apakah merupakan fungsi pada?

Jawab:

Relasi f bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah atau range dari f.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah merupakan fungsi pada? Relasi f merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Contoh:

Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x 2 + 1 merupakan fungsi pada?

Jawab:

f(x) = x 2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.

3. Fungsi Bijektif Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke- satu dan juga fungsi pada.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah merupakan fungsi bijektif?

Jawab:

Relasi f adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Fungsi satu-ke-satu, Fungsi pada, bukan pada

bukan satu-ke-satu

AB

Buka fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi

maupun pada

D. Invers Fungsi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1 . Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b.

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh:

Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}. Apakah fungsi ini invertible?

Jawab:

Relasi f adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah

f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}

Jadi, f adalah fungsi invertible.

Contoh:

Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Jawab:

Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah

f -1 (y) = y +1.

E. Komposisi Dua Fungsi.

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

(f  g)(a) = f(g(a))

Contoh:

Diberikan fungsi

g = {(1, u), (2, u), (3, v)}

yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi

f = {(u, y), (v, x), (w, z)}

yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Tentukan fungsi komposisi dari A ke C.

Jawab:

Fungsi komposisi dari A ke C adalah

f  g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

Contoh:

Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x 2 + 1. Tentukan f  g dan g  f .

Jawab:

a. (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = x 2 +1 –1=x 2 .

b. (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1) 2 +1=x 2 - 2x + 2.

F. Beberapa Fungsi Khusus

1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x:

x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Fungsi ceiling dari x:

x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.

Contoh:

Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 3.5 = 3

Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah 125/8 =

16 byte. Perhatikanlah bahwa 16  8 = 128 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits).

2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m.

Contoh:

Beberapa contoh fungsi modulo

25 mod 7 = 4

15 mod 5 = 0 3612 mod 45 = 12

0 mod 5 = 5 –25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7  (–4) + 3 )

3. Fungsi Faktorial

n ! 

 12  .(  n 1) n , n  0

4. Fungsi Eksponensial

a  aa a , n  0 a  n

 a

Untuk kasus perpangkatan negatif,

5. Fungsi Logaritmik

a Fungsi logaritmik berbentuk y y  log x  x a .

6. Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

a. Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.

b. Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Contoh definisi rekursif dari faktorial:

a. basis: n! = 1

, jika n = 0

b. rekurens: n! = n  (n -1)! , jika n > 0

Contoh:

Hitunglah nilai 5!.

Jawab:

5! dihitung dengan langkah berikut: (1) 5! = 5  4!

Di bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif lainnya:

1. Fx () 

 2( Fx  1) x , x  0

2. Fungsi Chebysev, Tnx (,)  

 2 xT n (  x 1, )  Tn (  x 2, ) , n  1

3. Fungsi fibonacci, fn ()  

  fn (  1) fn (  2) , n  1

G. Latihan

1. Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v), (3,w)}

dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w, x} . Apakah merupakan fungsi?

2. Diberikan relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, u), (4, u)}

dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w, x} . Apakah merupakan fungsi bijektif?

3. Diberikan 2 fx  

2 x  , 1 gx   dan x hx   . Tentukan: 4

a.  f g   x

b.  g f   x

c.  fh   x

d.  gh   x

e.  f g   2

4. Tentukan nilai dari:

d. - 4.8 = ...

e.  – 100.1 = ...

5. Hitunglah nilai fungsi Fibonacci untuk n  dan 5 n  6

 fn ()  

  fn (  1) fn (  2) , n  1

Pertemuan 5 Induksi Matematika

A. Pengertian Induksi Matematika

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Contoh :

nn   1 

Diketahui p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah ”. Buktikan p(n)

2 benar!

Contoh:

1. Setiap bilangan bulat positif n (n  2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

2. Untuk semua n  1, n 3 + 2n adalah kelipatan 3.

3. Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n  8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar.

4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n +1)/2.

5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2 n

Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

B. Prinsip Induksi Matematika

Prinsip dasar induksi matematika yaitu:

a. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan bulat positif.

b. Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

c. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(1) benar, dan

2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar, untuk setiap n  1,

Perhatikan bahwa langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Contoh:

Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2 .

Jawab:

a. Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1 2 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

b. Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n 2

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

=n 2 + (2n + 1) =n 2 + 2n + 1

= (n + 1) 2

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka

jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2 .

Contoh:

Buktikan jumlah n bilangan bulat positif yang pertama adalah nn   1  yaitu;

pn  :1 2 3  n nn   1 

Jawab:

a. Basis induksi:

Untuk n = 1, maka 1    111   sehingga p  1 benar.

b. Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan

123  n nn   1 

adalah benar (hipotesis induksi) Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

123  n  n  1   n  1  n  2 

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

123  n   n  1   nn   1   n  1 

  nn   1  2 n  1   2 

n  1  n  2 

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka

jumlah n bilangan bulat positif yang pertama adalah nn   1  .

Contoh:

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 2 0 +2 1 +

2 2 +…+2 n =2 n+1 -1

Jawab:

a. Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh: 2 0 =2 0+1 – 1.

Ini jelas benar, sebab 2 0 =1=2 0+1 –1

b. Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

2 0 +2 1 +2 2 +…+2 n =2 n+1 -1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

2 0 +2 1 +2 2 +…+2 n +2 n+1 =2 (n+1) + 1 -1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

0 2 +2 1 +2 2 +…+2 n +2 n+1 = (2 0 +2 1 +2 2 +…+2 n )+2 n+1 = (2 n+1 – 1) + 2 n+1 (hipotesis induksi)

= (2 n+1 +2 n+1 ) –1 = (2 . 2 n+1 ) –1

n+2 =2 -1 (n+1) + 1 =2 –1

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan

bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 2 0 +2 1 +2 2 +…+2 n =2 n+1 –1

Contoh:

Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen (n  8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.

Jawab:

a. Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar.

b. Langkah induksi. Andaikan p(n) benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n (n  8) sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu

diperiksa:

a. Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen.

b. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n  8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.

C. Latihan

1. Buktikan proposisi berikut:

2 2 2 nn   12  n  1 

pn  :1  2  n 

2. Buktikan proposisi berikut:

pn  :1 4 7   3 n  2  

3. Buktikan proposisi berikut:

1 1 1 1 n pn :

 13 35 57  2 n  12  n  1  2 n  1

4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa n 5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif.

Pertemuan 6 Teori Bilangan

A. Bilangan Bulat

Misalkan a dan b bilangan bulat, a  0.

a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

Notasi: a | b jika b = ac, c  Z dan a  0.

Contoh:

4 | 12 karena 124 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3. Tetapi 4 | 13 karena 134 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

B. Teorema Euclidan

Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga berlaku

m = nq + r

dengan 0  r < n.

Contoh:

a. 1987:97 = 20, sisa 47. Jadi dapat dinyatakan 1987 = 97  20 + 47

b. –22/3 = –8, sisa 2. Jadi dapat dinyatakan –22 = 3(–8) + 2 Perhatikan bahwa –22 = 3(–7) – 1 salah, karena r = –1 (syarat 0  r < n) .

C. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

(Teorema 1)

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol. Faktor persekutuan terbesar (FPB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.

Contoh:

Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45; Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36; Faktor pembagi bersama 45 dan 36: 1, 3, 9 Jadi, FPB(45, 36) = 9.

(Teorema 2)

Misalkan m dan n bilangan bulat, dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga

m = nq + r

,0 r<n

maka FPB(m, n) = FPB(n, r)

Contoh:

Diberikan m = 60, n = 18,

maka PBB(60, 18) = PBB(18, 12) = 6

D. Algoritma Euclidean

Algoritma Euclidean digunakan untuk mencari FPB dari dua buah bilangan bulat. Penemu algoritma Euclides, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam buku, Element.

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m  n. Misalkan r 0 = m dan r 1 = n. Lakukan secara berturut-turut pembagian untuk memperoleh

r 0 =r 1 q 1 +r 2 0 r 2 r 1 , r 1 =r 2 q 2 +r 3 0 r 3 r 2 ,

r n –2 =r n –1 q n –1 +r n 0 r n r n –1 , r n –2 =r n –1 q n –1 +r n 0 r n r n –1 ,

Secara umum, Algoritma Euclidean yaitu:

1. Jika n = 0 maka m adalah PBB(m, n); stop. tetapi jika n  0, lanjutkan ke langkah 2.

2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.

3. Ganti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke langkah 1.

Contoh:

Diberikan m = 80, n = 12 dan dipenuhi syarat m  n.

Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 4, maka PBB(80, 12) = 4.

E. Kombinasi Linear

FPB (a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear (linear combination) a dan b dengan dengan koefisien-koefisennya.

Contoh:

FPB(80, 12) = 4 , dapat dinyatakan sebagai 4 = (-1)  80 + 7  12.

(Teorema 3) Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBB(a, b) = ma + nb.

Contoh:

Nyatakan FPB(21, 45) sebagai kombinasi lanjar dari 21 dan 45.

Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 3, maka FPB(45, 21) = 3. Substitusi dengan persamaan –persamaan di atas menghasilkan:

yang merupakan kombinasi linear dari 45 dan 21.

Contoh:

Nyatakan FPB(312, 70) sebagai kombinasi lanjar 312 dan 70.

Jawab:

Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh PBB(312, 70): 312 = 4  70 + 32

Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 2, maka PBB(312, 70) = 2 Susun pembagian nomor (3) dan (2) masing-masing menjadi

Suubsitusikan (6) ke dalam (5) menjadi

Susun pembagian nomor (1) menjadi

Subsitusikan (8) ke dalam (7) menjadi

Jadi, PBB(312, 70) = 2 = 11  312 – 49  70

F. Relatif Prima

Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1.

Contoh:

20 dan 3 relatif prima sebab PBB(20, 3) = 1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga

ma + nb = 1

Contoh:

Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) =1, atau dapat ditulis

2 . 20 + ( –13) . 3 = 1 (m = 2, n = –13) Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBB(20, 5) = 5  1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1.

G. Aritmatika Modulo

Misalkan a dan m bilangan bulat (m > 0). Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Notasi a mod m = r sedemikian sehingga

a = mq + r, dengan 0  r < m.

m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0,

1, 2, …, m – 1}.

Contoh:

Beberapa hasil operasi dengan operator modulo:

H. Kongruen

Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka dikatakan 38  13 (mod 5) . (dibaca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5). Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0, maka a  b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a / b (mod m) .

Contoh:

a. 17  2 (mod 3) karena 3 habis membagi 17 – 2 = 15.

b. –7  15 (mod 11) karena 11 habis membagi –7 – 15 = –22

c. –7 / 15 (mod 3) karena 3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22.

a  b (mod m ) dalam bentuk “sama dengan” dapat dituliskan sebagai

a = b + km

(k adalah bilangan bulat)

Contoh:

a. 17  2 (mod 3)  17 = 2 + 5  3

b. –7  15 (mod 11)  –7 = 15 + (–2)11

a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a  r (mod m)

Contoh:

a. 23 mod 5 = 3  23  3 (mod 5)

b. 27 mod 3 = 0  27  0 (mod 3)

(Teorema 4) Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

a. Jika a  b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka (i) (a + c)  (b + c) (mod m) (ii) ac  bc (mod m)

(iii) a p b p (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif

b. Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m), maka (i) (a + c)  (b + d) (mod m) (ii) ac  bd (mod m)

Contoh:

Misalkan 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3), maka menurut Teorema 4,

17 + 5 = 2 + 5 (mod 3)

 22 = 7 (mod 3)

17 . 5 = 5  2 (mod 3)  85 = 10 (mod 3)

Teorema 4 tidak memasukkan operasi pembagian pada aritmetika modulo karena jika kedua ruas dibagi dengan bilangan bulat, maka kekongruenan tidak selalu dipenuhi.

Contoh:

a. 10  4 (mod 3) dapat dibagi dengan 2 , karena 10/2 = 5 dan 4/2 = 2, dan 5  2 (mod 3)

b. 14  8 (mod 6) tidak dapat dibagi dengan 2, karena 14/2 = 7 dan 8/2 = 4, tetapi

7 / 4 (mod 6).

I. Kekongruenan Linear

Kekongruenan linear berbentuk:

ax  b (mod m)

dengan m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah peubah bilangan bulat.

 b km

Solusi dari ax = b + km berbentuk x 

(Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat)

Contoh:

Tentukan solusi dari 4x  3 (mod 9) .

Jawab:

3  k 9

Solusi untuk 4x  3 (mod 9) adalah x 

k = 0  x = (3 + 0  9)/4 = 3/4 (bukan solusi) k = 1  x = (3 + 1  9)/4 = 3 k = 2  x = (3 + 2  9)/4 = 21/4 (bukan solusi) k = 3, k = 4 tidak menghasilkan solusi k = 5  x = (3 + 5  9)/4 = 12

… k= –1  x = (3 – 1  9)/4 = –6/4

(bukan solusi)

k= –2  x = (3 – 2  9)/4 = –15/4

(bukan solusi)

k= –3  x = (3 – 3  9)/4 = –6 … k= –6  x = (3 – 6  9)/4 = –15 … Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …

J. Chinese Remainder Problem

Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut:

“Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7. ”

Misakan bilangan bulat tersebut = x. Formulasikan kedalam sistem kongruen linear: x  3 (mod 5) x  5 (mod 7) x  7 (mod 11)

Teorema 5. (Chinese Remainder Theorem) Misalkan m 1 ,m 2 , …, m n adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga FPB(m i ,m j ) = 1 untuk i  j. Maka sistem kongruen lanjar

x a k (mod m k ) mempunyai sebuah solusi unik dalam modulo m = m 1 m 2  …m n .

Contoh:

Tentukan solusi dari pertanyaan Sun Tse di atas.

Jawab:

x  3 (mod 5)  x = 3 + 5k 1 (i)

Subsitusikan (i) ke dalam kongruen kedua menjadi:

3 + 5k 1  5 (mod 7)  k 1  6 (mod 7), atau k 1 = 6 + 7k 2 (ii)

Subsitusikan (ii) ke dalam (i):

x = 3 + 5k 1 = 3 + 5(6 + 7k 2 ) = 33 + 35k 2 (iii)

Subsitusikan (iii) ke dalam kongruen ketiga menjadi:

33 + 35k 2  7 (mod 11)  k 2  9 (mod 11) atau k 2 = 9 + 11k 3 .

Subsitusikan k 2 ini ke dalam (iii) menghasilkan:

x = 33 + 35(9 + 11k 3 ) = 348 + 385k 3 atau x  348 (mod 385).

Ini adalah solusinya. 348 adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan solusi sistem kekongruenan di atas. Perhatikan bahwa 348 mod 5 = 3, 348 mod 7 = 5, dan 348 mod 11 = 7. Catatlah bahwa 385 = 5 

Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut. Solusi tersebut dalam modulo:

35  6  1 (mod 11), maka solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah x  3  77  3 + 5  55  6 + 7  35  6 (mod 385)  3813 (mod 385)  348 (mod 385)

K. Bilangan Prima

Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p. Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5,

7, 11, 13, ….Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

Teorema 6. (The Fundamental Theorem of Arithmetic).

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

c. 13 = 13 (atau 1  13)

Algoritma uji bilangan prima:

a. Bagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima  n.

b. Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit,

c. Tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.

Contoh:

Tes apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.

Jawab:

a. 171 = 13.077. Bilangan prima yang  171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit.

b. 199 = 14.107. Bilangan prima yang  199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.

Teorema 7 (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka

a p –1  1 (mod p)

Contoh:

Tes apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan dengan Teorema Fermat

Jawab:

Ambil a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1.

a. 2 17 –1 = 65536  1 (mod 17), karena 17 habis membagi 65536 – 1 = 65535. Jadi, 17 prima.

b. 2 21 –1 =1048576 \ 1 (mod 21), karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575. Jadi, 21 bukan prima.

Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2 n –1  1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes).

Contoh:

341 adalah komposit (karena 341 = 11  31) sekaligus bilangan prima semu, karena menurut teorema Fermat,

2 340  1 (mod 341)

Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat. Untuk bilangan bulat yang lebih kecil dari 10 10 terdapat 455.052.512 bilangan prima, tapi hanya 14.884 buah yang merupakan bilangan prima semu terhadap basis 2.

L. Latihan

1. Nyatakan FPB(315, 80) sebagai kombinasi lanjar 315 dan 80.

2. Tentukan solusi dari 5x  2 (mod 8) .

3. Tentukan solusi dari sistem kongruen linear: x  2 (mod 5) x  5 (mod 8) x  8 (mod 10)

4. Tes apakah 319 dan 181 merupakan bilangan prima atau komposit.

5. Tes apakah 19 dan 39 bilangan prima atau bukan dengan Teorema Fermat.

Pertemuan 9 Aplikasi Teori Bilangan

A. Penerapan Teori Bilangan

Beberapa penerapan teori bilangan yaitu;

a. ISBN (International Book Serial Number)

b. Fungsi hash

c. Kriptografi

d. Pembangkit bilangan acak-semu

B. ISBN

Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya

0 –3015–4561–9. ISBN terdiri atas empat bagian kode:

a. kode yang mengidentifikasikan bahasa,

b. kode penerbit,

c. kode unik untuk buku tersebut,

d. karakter uji (angka atau huruf X (=10)).

Karakter uji dipilih sedemikian sehingga

ix i   0 mod11 

ix i  mod11   karakter uji

Contoh:

Diberikan ISBN 0 –3015–4561–8

0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris, 3015 : kode penerbit 4561 : kode unik buku yang diterbitkan

8 : karakter uji. Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:

Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8. Perhatikan bahwa untuk kode ISBN ini,

ix i   ix i + 10x 10 = 151 + 10  8 = 231.

dan 231 mod 11 = 0 atau 231  0 (mod 11).

C. Fungsi Hash

Tujuan fungsi hash adalah pengalamatan (pengalokasian) di memori. Bentuknya

h(k) = k mod m

m : jumlah lokasi memori yang tersedia k

: kunci (integer) h(k) : lokasi memori untuk record dengan kunci k

Contoh:

Diambil m = 11 mempunyai sel-sel memori yang diberi indeks 0 sampai 10. Akan disimpan data record yang masing-masing mempunyai kunci 15, 558, 32, 132, 102, dan 5.

h(15) = 15 mod 11 = 4 h(558) = 558 mod 11 = 8 h(32) = 32 mod 11 = 10 h(132) = 132 mod 11 = 0 h(102) = 102 mod 11 = 3 h(5) = 5 mod 11 = 5

Beberapa istilah pada fungsi hash yaitu;

a. Kolisi (collision) terjadi jika fungsi hash menghasilkan nilai h yang sama untuk k yang berbeda.

b. Jika terjadi kolisi, cek elemen berikutnya yang kosong.

c. Fungsi hash juga digunakan untuk me-locate elemen yang dicari.

D. Kriptografi

Kriptografi (cryptography) berasal d ari Bahasa Yunani yang artinya “secret writing”. Ilmu kriptografi adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan.

Berikut diberikan beberapa istilah pada ilmu kriptografi yaitu:

a. Pesan Data atau informasi yang dapat dibaca dan dimengerti maknanya. Nama lain: plainteks (plaintext). Pesan dapat berupa: teks, gambar, audio, video. Pesan ada yang dikirim atau disimpan di dalam media penyimpanan.

b. Cipherteks (ciphertext) Pesan yang telah disandikan sehingga tidak memiliki makna lagi. Tujuannya agar pesan tidak dapat dimengerti maknanya oleh pihak lain. Cipherteks harus dapat diubah kembali ke plainteks semula

Contoh:

Plainteks: culik anak itu jam 11 siang Cipherteks: t^$gfUi89rewoFpfdWqL:p[uTcxZ

c. Enkripsi (encryption): proses menyandikan plainteks menjadi ciphertek.

d. Dekripsi (decryption): Proses mengembalikan cipherteks menjadi plainteksnya.

plainteks

chiperteks

plainteks semula

enkripsi

dekripsi dekripsi

f. Kunci: Parameter yang digunakan untuk transformasi enciphering dan dechipering. Kunci bersifat rahasia, sedangkan algoritma kriptografi tidak rahasia.

E. Aplikasi Kriptografi

Beberapa kegunaan kriptografi yaitu;

a. Pengiriman data melalui saluran komunikasi (data encryption on motion).

b. Penyimpanan data di dalam disk storage (data encryption at rest)

Proses Kriptografi, yaitu

a. Data ditransmisikan dalam bentuk chiperteks. Di tempat penerima chiperteks dikembalikan lagi menjadi plainteks.

b. Data di dalam media penyimpanan komputer (seperti hard disk) disimpan dalam bentuk chiperteks. Untuk membacanya, hanya orang yang berhak yang dapat mengembalikan chiperteks menjadi plainteks.

Bebepara contoh enkripsi pada dokumen Plainteks (plain.txt):