Definisi 1: ellips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

ELLIPS
Kurva- kurva bidang hasil dari interaksi kerucut dan bidang pada berbagai
posisi ( tidak hanya melalui puncak kerucut ) disebut irisan kerucut . irisan kerucut
memiliki sifat-sifat pokok yang menarik, yaitu bahwa seriap irisan kerucut ( kecuali
lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik di bidang dengan rasio jarak dari
titik tertentu ( focus kerucut ) dan garis tertentu adalah konstan .
Dalam setiap pembahasan potongan kerucut ini, berisi dua topik berikut ya .
adapun penjelasan secara detailnya, diuraikan berikut ini.
Untuk membangun suatu ellips melalui formulasi aljabar, dapat kita gunakan
definisidefinisi ellips berikut ini:

Definisi 1: ellips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik
tertentu (fokus ellips) besarnya tetap.

Misalkan ellips dengan fokus F1(c,0) dan F2(-c,0) dan jumlah jaraknya untuk sebarang
titik P(x,y) di ellips adalah PF1 + PF2 = 2a, maka (Gambar 4.4)
PF1 + PF2 = 2a

( x + c )2 + y 2 + ( x − c )2 + y 2 = 2 a
( x + c )2 + y 2 = 2 a − ( x − c )2 + y 2
( x + c )2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c )2 + y 2

2
x 2 + 2cx + c 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) + y 2 + x 2 − 2cx + c 2
a 2 − cx = a

(x − c )2 + y 2 ...atau...a − c x = (x − c )2 + y 2
a

Jadi jika kedua ruas dikuadratkan dan disederhanakan, didapat

x2
y2
+
=1
a2 a2 − c2

Dalam ΔF1PF2 berlaku hubungan (F1P + PF2) > F1F2 sehingga 2a > 2c atau a > c.
Dengan demikian pada persamaan diatas disimpulkan bahwa penyebut a 2 − c 2 > 0
mempunyai harga akar berikut

b = a2 + c2

Oleh sebab itu persamaan ellips dapat dinyatakan secara umum
x2 y2
+
=1
a2 b2

Dilihat dari persamaan pusat ellips, kita mendapatkan hal-hal berikut:
a. jika (x1 , y1 ) suatu titik pada ellips maka (− x1 , y1 ) juga suatu titik pada ellips .
Berarti sumbu –y merupakan sumbu simetri dari ellips.
b. jika (x1 , y1 ) suatu titik pasa eliips maka (x1 ,− y1 ) juga suatu titik pada ellips.
Berarti sumbu –x merupakan sumbu simetri ellips.
c. jika (x1 , y1 ) suatu titik pasa eliips maka (− x1 ,− y1 ) juga suatu titik pada ellips.
Berarti titik Q merupakan titik pusat ellips.
d. Titik – titik potong sumbu-sumbu simetri dengan ellips disebut puncak-puncak
Ellips.
Persamaan diatas adalah ellips berpusat di O(0,0) memotong sumbu-sumbu koordinat
di titik (±a,0) dan (0, ±b) dengan sumbu panjang 2a dan sumbu pendeknya 2b.
Jika titik pusat ellips tidak di O(0,0), tetapi misalnya di O’(p,q) dengan
sumbu-sumbu simetri ellips sejajar sumbu OX dan OY, maka koordinat baru untuk

ellips dapat dinyatakan sebagai

x' = x – p dan y’ = y – q

dengan sumbu-sumbu koordinat barunya adalah O’X’ dan O’Y’. Adapun untuk
persamaan ellips dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh bentuk

x '2 y '2
+
=1
a2 b2

tergantung dari sumbu panjang atau pendek yang mendefinisikannya.

Definisi 2: ellips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap
suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis tertentu (direktrik) adalah
konstan (tetap).

Ellips berpusat di O(0,0), sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendek 2b, dalam
bentuk parametrik dinyakan oleh

x = a cos θ
y = b sin θ
dengan θ suatu variabel parameter dan 0 ≤ θ ≤ 2π. Sedangkan penyajian ellips dalam
koordinat polar ditentukan melalui perhitungan berikut.
Misalkan fokus ellips F berada di kutub dan garis direktriknya berjarak d dari
kutub, maka menurut persamaan (4.21) berlaku bahwa perbandingan jarak sebarang
titik P(ρ,θ) di ellips ke fokus terhadap garis direktriknya adalah konstan, yaitu

PF
=e
PD
ρ = e[d − ρCos(θ − θ 0 )]

dengan nilai eksentrisitas e dalam interval 0 < e < 1.
Misalkan suatu ellips

x2 y2
+
=1
a2 b2

dan persamaan garis y = mx + k. Jika keduanya diiriskan didapat bentuk

(m a
2

2

+ b 2 )x 2 + (2a 2 mk )x + (m 2 a 2 + a 2 b 2 ) = 0

Jika gradien garis m diketahui, maka konstanta k garis singgung dapat dicari melalui
kondisi diskriminan
D = m2a 2 + b2 − k 2 = 0

Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y = mx ± m 2 a 2 + b 2

Prosedur untuk mendapatkan persamaan garis singgung di titik R(xR,yR) pada
ellips adalah identik dengan prosedur mencari persamaan garis singgung melalui titik
R(xR,yR) pada lingkaran x2 + y2 = r2 yang hasilnya ditunjukkan pada persamaan.

Oleh sebab itu persamaan garis singgung melalui titik R(xR,yR) pada ellips didapat

xR x y R y
+ 2 =1
a2
b
Selajutnya, kita akan mencari persamaan garis singgung pada ellips dengan titik

x2 y2
singgung T (x1, y1 ) . Misalkan persamaan ellips 2 + 2 = 1 dan P (x1, y1 ) suatu titik
a
b
2

2

x
y
pada ellips. Maka berlaku 22 + 22 = 1 .
a

b

Karena T pada rllips maka berlaku b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 .
2

2

Dari persamaan diatas dan penjabaran maka diperoleh persamaan garis PT adalah

y − y1 =

y1 − y 2
(x − x1 )
x1 − x 2

Persamaan ini dapat kita peroleh juga dengan menggunakan aturan Joachimsthal atau
aturan membagi adil.
Untuk ellips yang persamaannya

( x − α )2 + ( y − β ) 2

a2

b2

=1

Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1, y1 ) . Adalah

(x − α )(x − α )
a

2

+

( y − β )(x − β ) = 1
b2

Sifat utama dapat mencari persamaan pada ellips sebagai berikut:
Garis singgung di suatu titik di ellips membagi dua sama besar sudut antara

garis penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis
penghubung titik tersebut dengan titik api lainya.
2

2

x
y
Misalakan persamaan ellips 22 + 22 = 1 dan T (x1, y1 ) suatu titik pada ellips .
a
b

Persamaan garis singgung pada ellips di titik T adalah

x1 x y1 y
+ 2 =1
a2
b
b 2 x1
Berarti tg β = − 2

a y1
Dengan mudah kita mendapatkan tg γ =

y1
y1
dan tg γ =
x1 − c
x1 + c

Dengan penjabaran kita memperoleh tg α 1 =
Persamaan

b2
cy1

x1 x y1 y
+ 2 = 1 disebut persamaan tali busur singgung dari titik T (x1, y1 )
a2
b

Tampa memperoleh letak titik T (x1, y1 ) persamaan
2

garis kutub dari T terhadap ellips

x1 x y1 y
+ 2 = 1 disebut persamaan
a2
b

2

x2
y
+ 22 = 1
2
a
b

1. Jika T di luar ellips, maka garis kutub menjadi tali busur singgung
2. Jika T pada ellips, maka garis kutub menjadi daris singgung .
3. Jika T di dalam ellips, maka garis ellips tidak memotong ellips.
Beberapa sifat garis kutub pada ellips:
a. Jika titik Q terletak pada garis kutub p dari titik P maka garis kutub q daei titik
Q melalui P.
b. Jika suatu titik P menjalani suatu garis q, maka garis kutub dari titik P berputa
pada Q , yaitu kutub garis q.

Definisi 2 .
Ellips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadapa suatu titik
dan suatu garis tertentu besarnya tetap . Nilai perbandingan itu lebih dari 1 dan
dinamakan eksentrisitas numerik yang disimbolkan dengan e.

2

2

x
y
a2
Persamaan garis-garis arah dari ellips 22 + 22 = 1 adalah x = ±
c
a
b

Titik-titik pada ellips bersifat bahwa perbandingan jaraknya terhadap suatu titik api
dari garis arah yang bersesuaian tetap besarnya yaitu e =

c