Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

Pertemuan Ke 2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
By
SUTOYO,ST.,MT

Pendahuluan
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan
persaman linier simultan) adalah satu set persamaan
dari sejumlah unsur yang tak diketahui.

a11 x1    a1n xn  b1
Bentuk umum:

a21x1    a2n xn  b2
. . . . . . . . . . .
am1x1    amn xn  bm

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang
tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefsien dari sistem itu, yang
biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilanganbilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun
bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan
tersebut disebut sistem persamaan homogen

Sistem Persamaan Linear
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi
yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem
persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial
(solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari
sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat
mempunyai
satu solusi?

SISTEM PERSAMAAN LINIER
(SPL)

Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPL

Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL
BANYAK

ILUSTRASI GRAFIK
 SPL 2 persamaan 2 variabel:
 Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya
adalah titik potong kedua garis ini.

kedua garis sejajar

kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS

SPL

BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang
lebih sederhana.

Cara Penyelesaian SPL
 Metode
Subtitusi
 
 Metode Eliminasi
Contoh Penyelesaian SPL menggunakan Metode
subtitusi
Tentukan penyelesaian 3 persamaan linear berikut :

2

JAWAB
 

  
2

=2
5y+4z =1

2

 

 
y

=2
-1 =2
2

 

=1
5(1) +4z
=1
4z =- 4
Z=- 1

Metode Eliminasi

  

 
2

2
 

Kalikan 3

 
3
2

Lanjutan
 

 

10 2

 

maka y =1

Latihan
 Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode subtitusi
a+b+c
=2
a+b+2c
=0
2a+b+3c = 1
 Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode Eliminasi
4a+3b+5c = 18
2a-6b+4c
= -42
a-b+c
=-5

TIGA OPERASI YANG
MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL

SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.

MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris
dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.

2. Menukar posisi dua baris
sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan
lainnya.

3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris

a11 x1    a1n xn  b1
a21x1    a2n xn  b2
. . . . . . . . . . .
am1x1    amn xn  bm

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang
disebut operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat
dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa
mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke
ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga
dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan

sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah
mengganggu himpunan sistem persamaan.

CONTOH
DIKETAHUI

…………(i)
…………(ii)
…………(iii)

kalikan pers (i)
dengan (-2), kemudian tambahkan ke
pers (ii).

kalikan baris (i)
dengan (-2), lalu
tambahkan ke
baris (ii).

kalikan pers (i)
dengan (-3), kemudian tambahkan ke
pers (iii).

kalikan baris (i)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke
baris (iii).

kalikan pers (ii)
dengan (1/2).

kalikan baris (ii)
dengan (1/2).

LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).

kalikan baris (ii)
dengan (1/2).

kalikan pers (ii)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke pers
(iii).

kalikan brs (ii)
dengan (-3),
lalu tambahkan
ke brs (iii).

kalikan pers (iii)
dengan (-2).

kalikan brs (iii)
dengan (-2).

kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).

kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).

Lanjutan CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).

kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers (i)
dan kalikan pers (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)

kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke brs (i)
dan kalikan brs (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.

Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis
untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks
gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem
persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan
pada matriks gandengan ini.
Contoh:
x A  xB  8
Suatu sistem persamaan
linier:
 x  4x  2x  0
A

B

C

x A  3 xB  5 xC  2 x D  8
 x A  4 x B  3 xC  2 xD  0
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

0 x A  8
 1 1 0
 1 4  2 0 x  0

 B    
 1  3 5  2xC  8

   

1
4

3
2

xD  0

Matriks
gandengnya
adalah:

0
 1 1 0
 1 4  2 0

1  3 5  2

 1 4  3 2

|
|
|
|

8
0

8

0

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada
matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1
(disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat
suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini
dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2,
mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan
baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

0
1 1 0
0 3  2 0

0  2 5  2

0 3  3 2

|
|
|
|

8
8

0

8

pivot
( baris1)
( baris 1)
( baris 1)

0
1 1 0
0 3  2 0

0  2 5  2

0 3  3 2

|
|
|
|

8
8

0

8

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2
dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai
pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya
menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2
dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan
mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini
adalah

0
0
1 1
0 3
2
0

0 0 5  4 / 3  2

1
2
0 0

|
8 
|
8 

| 16 / 3

|
0 

(pivot)
(2/3 baris 2)
(-baris 2)

0
0
1 1
0 3
2
0

0 0 5  4 / 3  2

1
2
0 0

|
8 
|
8 

| 16 / 3

|
0 

(pivot)
(2/3 baris 2)
(-baris 2)

Kalikan baris ke 3
dengan 3 agar
diperoleh bilangan
bulat

0
1 1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 0 1 2

| 8
| 8

| 16

| 0

0
1 1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 0 1 2

|

8
| 8

| 16

| 0

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3
sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4
menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris
ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris
ke-3. Hasilnya adalah:

0
1  1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 16
0 0

| 8
| 8

| 16
pivot

| 16 11  baris 3

0
1 1 0
Hasil terakhir 0 3  2 0
langkah ketiga 
0 0 11  6
adalah:

0 16
0 0

|
|

8
8

| 16

| 16

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

0 x A  8 
1 1 0
0 3  2 0 x  8 

 B    
0 0 11  6xC  16

   
0 16 x D  16
0 0
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

x A  xB  8
3xB  2 xC  8
11 xC  6 xD  16
16 xD  16

yang dengan substitusi
mundur akan
memberikan:

xD  1 ; xC  2 ; xB  4 ; x A  12