Pertemuan 13-14 – INTEGRAL Doctrina Aeternam

INTEGRAL

Tujuan Pembelajaran

Umum



_{Mahasiswa mampu memahami}

konsep matematika yang dapat

digunakan pada penerapan

ekonomi sehingga dapat

diaplikasikan untuk memecahkan

persoalan-persoalan ekonomi.

Tujuan Pembelajaran

Khusus



_{Mampu menjelaskan mengenai pengertian}

integral.



_{Mampu menjelaskan mengenai}

kaidah-kaidah integral.



_{Mampu menggunakan konsep integral}

pada penerapan ekonomi yaitu surplus

produsen dan konsumen.

PENGERTIAN INTEGRAL

 _{Integral pada dasarnya merupakan}

kebalikan proses dari Diferensial / Turunan

 _{Kegunaan ilmu integral:}

 _{Mencari fungsi asal jika hanya diketahui} fungsi turunannya saja  integral tak tentu (indefinite integral)

 _{Menentukan luas bidang dari sebuah kurva} yang dibatasi sumbu X  integral tertentu (definite integral)

INTEGRAL TAK TENTU

(

Indefinite Integral

)

 _{Syarat: jika nilai domainnya tidak ditentukan}

 _{Jika Y = F(x) dan Y’ = F’(x) atau dilambangkan lagi}

dengan f(x), maka integral tak tentu dari f(x) terhadap x adalah:

 _Keterangan:

• _ : tanda integral

• f(x) : integral

• F(x) : fungsi primitive

• dx : proses integral

• c : konstanta

INTEGRAL TERTENTU

(

Definite Integral

)

Syarat:

1. Jika nilai domainnya ditentukan (dari a sampai b)

2. Nilai a _ b

a : batas bawah b : batas atas











b

a

b

a

F

b

F

a

x

F

x

KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL

1.

Jika F’(x) = 0, maka integralnya

adalah

f(x) dx = c

2.

Jika F’(x) = a, maka integralnya

adalah

f(x) dx = ax + c

3.

Jika F’(x) = x

n

, maka integralnya

adalah

f(x) dx = x

n+1

+ c

dan dengan

asumsi bahwa n tidak boleh negatif

KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL

4.

Jika F’(x) =

1

/

_x

, maka integralnya

adalah

f(x) dx = ln x + c

5.

Jika F’(x) =

1

/

_(ax+b)

, maka integralnya

adalah

f(x) dx = ln (ax+b) + c

CONTOH SOAL DASAR

1.



(x

3

– 5x

2

+ x + ) dx

2.

Diketahui f ’(x) = 3x

2

– 6x +

10 dan f(2) = 20.

a.

Tentukan f(x) !

b.

Hitung f (6)

c.

Hitung

  

dx x f



3

1

) (

JAWABAN SOAL DASAR

1.



(x

3

– 5x

2

+ x + ) dx

=

2. a) (3x2 – 6x + 10) dx = x – 3x + 10x + c

b) f(x) = x – 3x + 10x + c , dimana f(2) = 20

 (2) – 3(2) + 10(2) + c = 20  c = 4

 f(x) = x – 3x + 10x + 4

Maka f(6) = (6) – 3(6) + 10(6) + 4 = 172

JAWABAN SOAL DASAR

2. c)

=

]

= [] – []

= 50,25 – 8,25 = 42

   ₌



(

_{x3 - 3x2 + 10x + 4) dx}

3 1 dx x f



3 1 ) (

APLIKASI INTEGRAL

APLIKASI INTEGRAL

1.Menghitung Fungsi Biaya Total (TC) jika hanya diketahui Fungsi Biaya Marginal (MC)

 _{Ingat bahwa TC merupakan fungsi gabungan}

dari Biaya Tetap (FC) dan Biaya Variabel (VC)

 _{FC adalah biaya yang nilainya selalu konstan}

selama jangka waktu tertentu

 _{VC adalah biaya yang nilainya berubah-ubah}

APLIKASI INTEGRAL



_{TC = f(x) + k ,}

dimana k = FC dan f(x) = VC



_{MC = TC’}



_{TC =}



_MC



_{MC (Biaya Marginal): Biaya}

ekstra yang harus dikeluarkan

untuk memperoleh tambahan

output sebanyak satu unit.

APLIKASI INTEGRAL

2. Menghitung Fungsi Konsumsi Total (C) jika hanya diketahui Fungsi Marginal Prospensity to Consume (MPC)

 _{C = jumlah konsumsi dalam satuan Rupiah}

untuk setiap tingkat pendapatan Y Rupiah

 _{Turunan dari C’ = F’(Y) atau C’ = MPC}

 _{Jika MPC diketahui dan fungsi konsumsi (C)}

tidak diketahui maka

C =  MPC atau C =  F’(Y) dy = F(Y) + c

APLIKASI INTEGRAL

1. Diketahui MC = 9Q2 + 30Q + 25 dan

TC akan menjadi sebesar 4880 ketika jumlah produksinya (Q) adalah 10 unit

a. Berapa FC ?

b. Tentukan fungsi TC yang final !

2. Diketahui MPC = 18Q2 + 10Q + 8 dan

autonomous consumption = 1000.

APLIKASI INTEGRAL

3. Menghitung Surplus Konsumen (SK) dan

Surplus Produsen (SP)

 _{Surplus Konsumen (SK) :}

Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari

harga equilibrium akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk setiap unit barang yang dibeli.

 _{Surplus Produsen (SP) :}

Penjual yang bersedia menjual barangnya

dibawah harga equilibrium akan memperoleh kelebihan harga jual untuk setiap unit barang yang terjual.

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

Kasus SK dan SP kebanyakan akan

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

Contoh soal:

1.

Fungsi permintaan Q = 90 -

3P. Hitung surplus konsumen

ketika Q

_e

= 30

2.

Fungsi penawaran P = Q

2

+ 3.

Hitung surplus produsen

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

1. Q = 90 - 3P

Jika P = 0  Q = 90  koordinat (90 , 0) Jika Q = 0  P = 30  koordinat (0 , 30) Ketika Q_e = 30  P_e = = 20

atau koordinat ekuilibrium (30 , 20)

Dari gambar berikutnya akan kelihatan bahwa ada selisih harga sebesar 10 unit,

yaitu dari 20 unit sampai dengan 30 unit. Di sinilah kita menggunakan Integral tertentu.

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 5 10 15 20 25 30 35 30 20 0 Surplus Konsumen Q P

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

Integral Tertentu dari Q = 90 - 3P = {90(30) – 1,5(30)2} – {90(20) –

1,5(20)2}

= (2700 – 1350) – (1800 – 600) = 1350 – 1300

= 50

Jadi akan terdapat surplus konsumen

sebesar 50 jika kuantitas ekuilibriumnya berada di tingkat 30 unit

  

30 20

APLIKASI INTEGRAL

3. Menghitung Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP)

 _{Surplus Konsumen (SK) :}

Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari

harga equilibrium akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk setiap unit barang yang dibeli.

 _{Surplus Produsen (SP) :}

Penjual yang bersedia menjual barangnya

dibawah harga equilibrium akan memperoleh kelebihan harga jual untuk setiap unit barang yang terjual.

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

Kasus SK dan SP kebanyakan akan

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

Contoh soal:

1.

Fungsi permintaan Q = 90 -

3P. Hitung surplus konsumen

ketika Q

_e

= 30

2.

Fungsi penawaran P = Q

2

+ 3.

Hitung surplus produsen

ketika P

_e

= 12

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

1. Q = 90 - 3P

Jika P = 0  Q = 90  koordinat (90 , 0) Jika Q = 0  P = 30  koordinat (0 , 30) Ketika Q_e = 30  P_e = = 20

atau koordinat ekuilibrium (30 , 20) Dari gambar berikutnya akan kelihatan bahwa ada selisih harga sebesar 10 unit,

yaitu dari 20 unit sampai dengan 30 unit. Di sinilah kita menggunakan Integral tertentu.

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 5 10 15 20 25 30 35

30

20

0

Surplus Konsumen

Q

Surplus Konsumen (SK)

dan Surplus Produsen

(SP)

Integral Tertentu dari Q = 90 - 3P = {90(30) – 1,5(30)2} – {90(20) –

1,5(20)2}

= (2700 – 1350) – (1800 – 600) = 1350 – 1300

= 50

Jadi akan terdapat surplus konsumen

sebesar 50 jika kuantitas ekuilibriumnya berada di tingkat 30 unit

  

30 20