Pertemuan 2-3 – DERET Doctrina Aeternam

Tujuan Pembelajaran Umum

•

_{Mahasiswa mampu memahami}

konsep matematika yang dapat

digunakan pada penerapan

ekonomi sehingga dapat

diaplikasikan untuk

memecahkan

persoalan-persoalan ekonomi.

Tujuan Pembelajaran Khusus

•

_{Mampu menjelaskan mengenai}

pengertian deret.

•

_{Mampu memahami barisan dan}

deret hitung (aritmatika)

•

Mampu memahami barisan dan

deret ukur (geometrika)

A. Barisan dan Deret

Hitung

Pengantar

•Deret = rangkaian bilangan yang

tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

•_{Suku = bilangan-bilangan yang}

merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret

•Pola perubahan = keteraturan rangkaian bilangan-bilangan dari sebuah deret,

Pengantar

•Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret dibedakan menjadi:

▫Deret berhingga  deret yang jumlah sukunya tertentu

▫Deret tak berhingga  deret yang jumlah sukunya tak terbatas

•Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi

deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni.

Barisan Hitung (Aritmatika)

•_{Barisan hitung adalah suatu barisan bilangan}

yang selisih setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan tetap.

•_{Bilangan yang tetap tersebut disebut dengan}

istilah “beda” dan dilambangkan dengan b. •_{Perhatikan juga barisan-barisan bilangan}

berikut ini:

a) 1, 4, 7, 9, 11, 13, …..

b) 2, 8, 14, 20, ….

Contoh Barisan Hitung

(Aritmatika)

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

Contoh Barisan Hitung

(Aritmatika)

c. 30, 25, 20, 15, ...

–5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:

Jika

S

_n

adalah suku ke-

n

dari

suatu barisan aritmetika

Rumus Barisan Hitung

(Aritmatika)

•Pembentuk rumus/formulasi umum suku ke-n barisan aritmetika adalah:

▫suku pertama (U ) dilambangkan dengan a

Barisan Hitung (Aritmatika)

S₁ = a

S₂ = S₁ + b = a + b

S₃ = S₂ + b = (a + b) + b = a + 2b S₄ = S₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b S₅ = S₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

. . .

S_n = S_n-1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: S_n = suku ke-n

a = suku pertama b = beda

n = banyak suku

S

_n

= a

+

Contoh 1

• Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan: [ –3, 2, 7, 12, .... ]

• Langkah 1: Suku pertama adalah a = –3

• Langkah 2: Bedanya adalah b = 2 – (–3) = 5

• Langkah 3: Subtitusikan a dan b, maka akan diperoleh rumusnya  Sn = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : S8 = –3 + (8 – 1)5 = 32

Contoh 2

• Diketahui barisan aritmetika [ –2, 1, 4, 7, ..., 40 ]

• Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab:

• Langkah 1 dan 2  a = –2 dan b = 1 – (–2) = 3

• Langkah 3  S_n = 40

• Langkah 4  Rumus suku ke-n adalah S_n = a + (n – 1)b, sehingga

40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5

3n = 45

• Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Deret Hitung (Aritmatika)

•Deret hitung adalah jumlah n suku pertama dari barisan hitungnya.

• Misalkan S1, S2, S3, ..., Sn merupakan suku-suku

dari suatu barisan aritmetika.

• Maka Jn = S1 + S2 + S3 + ... + Sn disebut deret

aritmetika

•Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan sebagai J.

Deret Hitung (Aritmatika)

• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai

suku-sukunya, sejak suku pertama (S₁, atau bisa juga ditulis a) sampai dengan suku ke-n (S_n) dapat ditulis demikian:

Deret Hitung (Aritmatika)

• Dengan menguraikan setiap suku maka , , dan akan menjadi seperti di bawah ini:

• a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b

• a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) = 5a + 10b

• a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) = 6a + 15b

Deret Hitung (Aritmatika)

•Masih ingat dengan rumus  Sn = a + (n – 1)b ??

Masing-masing Ji tersebut dapat pula ditulis ulang

dalam bentuk sebagai berikut:

•Rumus umum 

atau 

atau 

atau  • 

Contoh Deret Hitung

(Aritmatika)

• Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret [2 + 4 + 6 + 8 +....]

• Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

J100 = {2 . (2) + (100 – 1) . 2}

= 50 {4 + 198} = 50 (202)

= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah

10.100 • 

Contoh Deret Hitung

(Aritmatika)

• Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

• Jawab:

Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh  a = 3, b = 3, dan S_n = 99.

Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

S_n = a + (n – 1)b

99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99

Contoh Deret Hitung

(Aritmatika)

• Jumlah dari deret tersebut adalah

Jn = (a + Sn )

J33 = (3 + 99)

= 1.683

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

TUGAS MANDIRI 2

1. Carilah suku ke – 20 dari barisan hitung (aritmatika) 3, 8, 13, 18, …

2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan hitung (aritmatika) berikut ini :

a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, … c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …

3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan hitung (aritmatika) adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah S₃₀ dan J₃₀

4. Carilah jumlah dari:

a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama c. 60 bilangan bulat positif yang pertama

B. Barisan dan Deret

Ukur

Barisan Ukur (Geometri)

• Barisan Ukur (Geometri) adalah susunan

bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku

yang berurutan mempunyai rasio yang tetap (dilambangkan dengan huruf r).

• Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio

yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah

a2 = a1r

a3 = a2r = a1r . r = a1r2

Barisan Ukur (Geometri)

• Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah

a_n = a₁rn-1 atau S

n = a1rn-1

Di mana, a_n = S_n = suku ke – n a₁ = suku pertama

r = rasio yang tetap n = banyaknya suku

Contoh 1

• Carilah suku kedelapan dari barisan ukur di mana suku pertamanya adalah 16 dan rasionya (r) adalah 2

• _Jawab:

Diketahui : a₁ atau S₁ = 16 , r = 2, n=8 Ditanyakan: S₈ = …?

S₈ = a₁r8-1= a

Contoh 2

• Carilah suku kesebelas dari barisan ukur di

mana suku keempat adalah 24 dan suku kesembilan adalah 768.

• Jawab:

a4 = a1r3 = 24 & a7 = a1r8 = 768

Maka,  r = 2

Karena, a₁r3 = 24 dan r = 2  a₁ = 3

Sehinga, a11 = S11 = a1r10 = 3 x (2)10 = 3.072

Deret Ukur

•Adalah jumlah suku – suku atau bilangan – bilangan dalam suatu barisan ukur

•_{Bentuk deret ukur}

Dn = a1 + a1r + a1r2 +…..+ a1rn-1

•_{Atau dapat ditulis secara singkat:}

Dn =

Rumus Deret Ukur

•Jika rasionya l r l kurang dari 1,

•Jika rasionya l r l lebih dari 1,

•Jika rasionya l r l sama dengan 1, Dn = a1 + a1 +……….+ a1

Dn = n.a1

Contoh

•Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari barisan ukur berikut ini:

3, 6, 12, 24, ….

•Jawab:

Diketahui: a₁ = 3 ; r = 2 ; n = 8 Maka,

Tugas Mandiri 3.1

1. Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari setiap deret ukur dengan a dan r diketahui di bawah ini

a. a = 4; r =1/4

b. a = 10; r = -2/3

Model Perkembangan Usaha

•Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha—misalnya produksi, biaya,

pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau

penanaman modal—berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel

tersebut.

•Berpola deret hitung di sini maksudnya adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya

Model Perkembangan Usaha: Contoh

•Besarnya penjualan PT. Cemerlang adalah Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp

980 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka:

▫Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun?

▫Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa

Model Perkembangan Usaha: Contoh

•Asumsi angka dalam jutaan. S7 = 980  a + 6b = 980

S5 = 720  a + 4b = 720 2b = 260  b = 130

•Penerimaan pada tahun pertama:

a + 4b = 720  a = 720 – 4(130) = 200

•Penerimaan sebesar 460 juta pada tahun ke?? Sn = a + (n-1)b  460 = 200 + (n-1).130 460 = 200 + 130.n – 130

130n = 390 n = 3

Model Bunga Majemuk

•Merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan investasi.

Dengan model ini, dapat dihitung

besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya.

•Bisa juga untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang

Rumus Model Bunga Majemuk

•Fn = P.(1+i)n  bila bunga dibayarkan per tahun

•Fn = P.(1+)m.n  bila bunga dibayarkan beberapa kali dalam setahun

Dimana, Fn = Jumlah akumulatif modal di masa depan

P = Nilai saat ini

i = tingkat bunga per tahun

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

n = jumlah tahun

Rumus ini identik dengan rumus deret ukur Sn+1

Rumus Model Bunga Majemuk

• dan/atau

• Suku (1 + i) dan (1 + ) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk”

(compounding interest factor)

• _{Suku dan dalam dunia bisnis dinamakan “faktor}

diskonto” (discount factor) • 

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Seorang nasabah meminjam uang di bank

Rp 10 juta, dengan masa pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 10% per tahun.

▫Berapa total uang yang harus

dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)

▫Seandainya pembayaran bunganya

dilakukan setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus kembalikan?

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Jawab:

P = 10.000.000 Fn = P.(1+i)n

N = 3 F3 = 10.000.000 (1+0,1)3

i = 10% = 0,1 F3 = 13.310.000

• Bunga yang dibayarkan setiap bulan = 10% / 12 = 0,83%

Fn = P.(1+i/m)m.n  F3 = 10.000.000 (1+0,0083)12.3

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Diperkirakan tabungan milik seorang

mahasiswa akan menjadi Rp 10.000.000 pada masa 5 tahun mendatang jika

menabung di Bank Joker. Jika tingkat

bunga Bank Joker adalah 5% per tahun, maka berapa jumlah uang yang harus

disiapkan mahasiswa tersebut saat mulai menabung?

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Jawab:

F = 10.000.000 n = 5

i = 5% = 0,05

Tugas Mandiri 3.2

1. Besarnya penjualan PT. Sentosa adalah Rp 520 juta pada tahun keempat dan Rp 970 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola

perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka:

▫Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun?

▫Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa

Tugas Mandiri 3.2

2. Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 5 juta, dengan masa

pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 8% per tahun.

▫Berapa total uang yang harus

dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)

▫Seandainya pembayaran bunganya

dilakukan setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus kembalikan?

Tugas Mandiri 3.3

3. Diperkirakan tabungan milik seorang salesman akan menjadi Rp 20.000.000 pada masa 10 tahun mendatang jika menabung di Bank BNI. Jika tingkat

bunga BNI Syariah adalah 2% per tahun, maka berapa jumlah uang salesman

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Jawab:

P = 10.000.000 Fn = P.(1+i)n

N = 3 F3 = 10.000.000 (1+0,1)3 i = 10% = 0,1 F3 = 13.310.000

• Bunga yang dibayarkan setiap bulan = 10% / 12 = 0,83%

Fn = P.(1+i/m)m.n  F3 = 10.000.000 (1+0,0083)12.3

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Diperkirakan tabungan milik seorang

mahasiswa akan menjadi Rp 10.000.000 pada masa 5 tahun mendatang jika

menabung di Bank Joker. Jika tingkat

bunga Bank Joker adalah 5% per tahun, maka berapa jumlah uang yang harus

disiapkan mahasiswa tersebut saat mulai menabung?

Model Bunga Majemuk: Contoh

•Jawab:

F = 10.000.000 n = 5

i = 5% = 0,05

Tugas Mandiri 3.2

1. Besarnya penjualan PT. Sentosa adalah Rp 520 juta pada tahun keempat dan Rp 970 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola

perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka:

▫Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun?

▫Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa

Tugas Mandiri 3.2

2. Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 5 juta, dengan masa

pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 8% per tahun.

▫Berapa total uang yang harus

dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)

▫Seandainya pembayaran bunganya

dilakukan setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus kembalikan?

Tugas Mandiri 3.3

3. Diperkirakan tabungan milik seorang salesman akan menjadi Rp 20.000.000 pada masa 10 tahun mendatang jika menabung di Bank BNI. Jika tingkat

bunga BNI Syariah adalah 2% per tahun, maka berapa jumlah uang salesman