Luas daerah dan Volum benda putar
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
5. 4.
Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.
Aplikasi Integral
Luas Daerah
Volume Benda Putar
Luas Daerah Dibatasi Kurva
Diputar Mengelilingi Sumbu X
=
=
=
=
=
� = � ∫(
=
=
� = −∫
�=∫
=
=
=
=
=
=
=
� = −∫
�=∫
� = � ∫(
=
=
=
=
=
+∫
� = −∫
� = � ∫ [(
=
=
=
� = ∫[
=
) −(
=
Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva
=
=
� = ∫[
−
=
=
=
]
) ]
=
=
=
−
)
Volume Benda Antara Dua Kurva
=
=
)
Diputar Mengelilingi Sumbu Y
=
=
=
=
]
� = � ∫ [(
) −(
) ]
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)
Luas Daerah
Dibatasi
Dua Kurva
Diketahui
Lebar dan Tinggi
Garis Memotong
Kurva di Titik Puncak
Y
Y
Tinggi
Tinggi
X
X
Lebar
�=
× Lebar × Tinggi
�
Y
�=
�
=
�=
× Lebar × Tinggi
�
Y
,
�√�
�=
−
adalah nilai diskriminan
persamaan kuadrat:
+
+ = .
Persamaan kuadrat tersebut diperoleh
dari persekutuan kedua kurva.
Lebar
�
=
,
X
�
=
X
�
=
Contoh Soal 1a:
Luas daerah yang dibatasi parabola
a. 36 satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
=
−
dan garis
=
adalah ....
d. 46 satuan luas
e.
satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= −
=
⇔
− −
⇔
− +
=
⇔
+
− =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
=
X
=
−
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = .
Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
]
−
−
Nah, sekarang kita menentukan
dan
. Pada interval batas integrasi −
Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
= − dan
=
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
−
−
]
�=∫ [
−
−
]
−
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
−
=∫ −
−
= [−
= −
−
−
+
−
= (− − +
− −
=(
=
=
=
=
− (−
+
+
+
]
−
+
)−(
)
satuan luas
)−(
−
−
+ −
−
−
)
−
)
− −
+
−
, berlaku
.
Contoh Soal 1b:
Luas daerah yang dibatasi parabola
a. 36 satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
=
−
dan garis
=
adalah ....
d. 46 satuan luas
e.
satuan luas
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva.
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= −
=
⇔
− −
⇔
− +
=
⇔
+
− =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
Dari persamaan kuadrat +
−
�=
−
⇒�=
−
= +
=
Stop sampai sini aja.
Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
= , diperoleh nilai diskriminan:
−
Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
×
�√�
√
=
=
=
satuan luas
�=
Contoh Soal 2a:
=
Luas daerah yang dibatasi kurva
a.
satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
d.
e.
8
,
=
+ , sumbu Y di kuadran I adalah ....
satuan luas
satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
=
=
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= +
⇔
− + =
⇔
− − =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
+
X
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = .
Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis = dan = .
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
]
−
Nah, sekarang kita menentukan
dan
. Pada interval batas integrasi
Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
= + dan
=
, berlaku
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
+
]
−
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
�=∫ [
=∫ −
= [−
= −
+
+ +
+
]
−
+
+
= (− + + ) −
=
=
− + +
satuan luas
]
+
+ −
+
+
.
Contoh Soal 2b:
Luas daerah yang dibatasi kurva
a.
satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
d.
8
=
,
=
+ , sumbu Y di kuadran I adalah ....
satuan luas
satuan luas
e.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
=
=
4
+
2
2
X
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= +
⇔
− + =
⇔
− − =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:
Y
Y
4
=
2
2
X
Y
4
2
2
X
−
4
2
2
X
{Luas daerah arsir} = { luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi −
�
�
= �□ − �∆
=
−
=
−
=
satuan luas
=
−
= }
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)
Volume Benda Putar
Dibatasi Kurva
dan Garis Sumbu
X
�=
� √�
�
�=
−
adalah nilai diskriminan
persamaan kuadrat:
+
+ = .
Persamaan kuadrat tersebut adalah
persamaan kurva pada soal.
Contoh Soal 1a:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva
a.
b.
c.
d.
e.
8
� satuan volume
=
−
dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
=
Titik potong parabola dengan sumbu X adalah:
=
⇒
−
=
⇔
− =
⇔ = atau − =
⇔ = atau =
−
X
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = dan = .
Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.
Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
]
� = �∫ [
Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa:
=
−
Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
� = �∫ [
−
]
� = �∫ [
−
]
Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.
= �∫
−
= �[
−
= � [(
−
= � [(
= �[
=
−
−
+
+
+
+
]
+
)−
]
� satuan volume
]
)+(
−
+
)]
Contoh Soal 1b:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva
a.
b.
c.
d.
e.
8
� satuan volume
=
−
dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar.
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
−
=
⇔
− =
⇔ = atau − =
⇔ = atau =
Dari persamaan kuadrat −
�=
−
⇒�=
=
Stop sampai sini aja.
Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
= , diperoleh nilai diskriminan:
−
Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
×
� √�
√
�=
�=
�=
� satuan volume.
�=
15
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 4 x 3 dan y 3 x adalah ....
Luas daerah diarsir:
Y
TRIK SUPERKILAT:
41
A.
satuan
luas
=
�=∫
−
6
⇒
−
+ = −
=
−
+
19
⇔
−
=
B.
satuan luas
=∫
− −
−
+
3
� ��=
−
=
9
C.
satuan luas
�√�
√
=∫ − +
=
�=
2
∙
3
8
satuan luas
D.
=
+
]
= [−
3
X
= satuan luas E. 11 satuan luas
1
3
= (−
+
) − (−
6
1.
=
= (− +
−
=
+
)−
)
satuan luas
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 3 x 4 dan y 1 x adalah ....
TRIK SUPERKILAT:
Luas daerah diarsir:
Y
TRIK SUPERKILAT:
2
satuan luas = + +
A.
=
�=∫
−
3
⇒
+
+ = −
−
4
4
=∫
− −
+
+
⇔
+
+ =
satuan luas
B.
−
2
−
3
� ��=
−
=
=∫ − −
−
1
7
−
X
C.
satuan luas
−
�√�
√
-1
-3
�=
=
4
= [−
−
− ]
=
−
∙
−
8
D.
satuan
luas
− −
− −
−
= − −
=
3
=( − + )− −
+
= satuan luas E. 15 satuan luas
3
= satuan luas
2.
−
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 4 x 3 dan y x 1 adalah ....
Luas daerah diarsir:
41
satuan
luas
A.
TRIK SUPERKILAT:
�=∫
−
=
−
+
6
=
Y
19
⇒
−
+ = −
=∫
− −
−
+
B.
satuan
luas
⇔
−
+ =
3
=∫ − +
−
� ��=
−
=
3
9
satuan luas
C.
2
�√�
+
− ]
= [−
√
�=
=
8
∙
X
D.
satuan luas -1 1
3 4
= (−
+
−
) − (−
3
=
= −
11
= (− +
− ) − (− + − )
satuan luas
= satuan luas E.
6
−
−
−
−
−
3.
=
satuan luas
+
−
)
4.
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 dan y 4 x 3 diputar 360°
Volume benda putar
mengelilingi sumbu X adalah ....
Y
� = �∫
−
= �∫
−
−
11
A. 13 π satuan volume =
15
= �∫
−
−
4
B. 13 π satuan volume
= �∫ − +
−
+
15
=
11
+
−
+ ]
= [−
C. 12 π satuan volume − +
15
= −
+
−
+
7
D. 12 π satuan volume
− −
+
−
+
15
X
4
1
3
E. 12 π satuan volume
+
−
+ )
= (−
15
=
5.
6.
− (− +
−
= (
=
)−(
=
−
+ )
)
satuan volume
2
Volume benda putar yang terjadi untuk
= − daerah yang dibatasi oleh kurva y x dan y 2 x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....
Volume benda putar
Y
11
� = �∫
−
= − �∫ −
− −
=−
A. 3 π satuan volume
15
4
2
= − �∫
−
B. 4 π satuan volume
X
15
= −
4
−
]
= −� [
C. 6 π satuan volume
15
-4
−
)−(
−
)]
= −� [(
6
D. 6 π satuan volume
15
=−
= −� ( − )
1
E. 17 π satuan volume
−
= −� (
)
15
=
−
+
=
�=
� satuan volume
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y x dengan y 2 x diputar
Volume benda putar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....
Y
A. 2π satuan volume =
� = �∫
−
−
= − �∫
1
B. 3 π satuan volume 4
15
= − �∫
−
4
= −
C. 4 π satuan volume
15
−
]
= −� [
X
4
2
D. 12 π satuan volume
−
)−(
−
)]
= −� [(
15
=
2
= −� ( − )
E. 14 π satuan volume
15
=
−
+
= −� (
=
−
�=
2
)
� satuan volume
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
5. 4.
Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.
Aplikasi Integral
Luas Daerah
Volume Benda Putar
Luas Daerah Dibatasi Kurva
Diputar Mengelilingi Sumbu X
=
=
=
=
=
� = � ∫(
=
=
� = −∫
�=∫
=
=
=
=
=
=
=
� = −∫
�=∫
� = � ∫(
=
=
=
=
=
+∫
� = −∫
� = � ∫ [(
=
=
=
� = ∫[
=
) −(
=
Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva
=
=
� = ∫[
−
=
=
=
]
) ]
=
=
=
−
)
Volume Benda Antara Dua Kurva
=
=
)
Diputar Mengelilingi Sumbu Y
=
=
=
=
]
� = � ∫ [(
) −(
) ]
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)
Luas Daerah
Dibatasi
Dua Kurva
Diketahui
Lebar dan Tinggi
Garis Memotong
Kurva di Titik Puncak
Y
Y
Tinggi
Tinggi
X
X
Lebar
�=
× Lebar × Tinggi
�
Y
�=
�
=
�=
× Lebar × Tinggi
�
Y
,
�√�
�=
−
adalah nilai diskriminan
persamaan kuadrat:
+
+ = .
Persamaan kuadrat tersebut diperoleh
dari persekutuan kedua kurva.
Lebar
�
=
,
X
�
=
X
�
=
Contoh Soal 1a:
Luas daerah yang dibatasi parabola
a. 36 satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
=
−
dan garis
=
adalah ....
d. 46 satuan luas
e.
satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= −
=
⇔
− −
⇔
− +
=
⇔
+
− =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
=
X
=
−
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = .
Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
]
−
−
Nah, sekarang kita menentukan
dan
. Pada interval batas integrasi −
Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
= − dan
=
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
−
−
]
�=∫ [
−
−
]
−
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
−
=∫ −
−
= [−
= −
−
−
+
−
= (− − +
− −
=(
=
=
=
=
− (−
+
+
+
]
−
+
)−(
)
satuan luas
)−(
−
−
+ −
−
−
)
−
)
− −
+
−
, berlaku
.
Contoh Soal 1b:
Luas daerah yang dibatasi parabola
a. 36 satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
=
−
dan garis
=
adalah ....
d. 46 satuan luas
e.
satuan luas
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva.
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= −
=
⇔
− −
⇔
− +
=
⇔
+
− =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
Dari persamaan kuadrat +
−
�=
−
⇒�=
−
= +
=
Stop sampai sini aja.
Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
= , diperoleh nilai diskriminan:
−
Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
×
�√�
√
=
=
=
satuan luas
�=
Contoh Soal 2a:
=
Luas daerah yang dibatasi kurva
a.
satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
d.
e.
8
,
=
+ , sumbu Y di kuadran I adalah ....
satuan luas
satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
=
=
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= +
⇔
− + =
⇔
− − =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
+
X
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = .
Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis = dan = .
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
]
−
Nah, sekarang kita menentukan
dan
. Pada interval batas integrasi
Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
= + dan
=
, berlaku
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
�=∫ [
+
]
−
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
�=∫ [
=∫ −
= [−
= −
+
+ +
+
]
−
+
+
= (− + + ) −
=
=
− + +
satuan luas
]
+
+ −
+
+
.
Contoh Soal 2b:
Luas daerah yang dibatasi kurva
a.
satuan luas
b.
satuan luas
c.
satuan luas
d.
8
=
,
=
+ , sumbu Y di kuadran I adalah ....
satuan luas
satuan luas
e.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
=
=
4
+
2
2
X
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
= +
⇔
− + =
⇔
− − =
⇔
+
− =
⇔ + = atau − =
⇔
= − atau =
Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:
Y
Y
4
=
2
2
X
Y
4
2
2
X
−
4
2
2
X
{Luas daerah arsir} = { luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi −
�
�
= �□ − �∆
=
−
=
−
=
satuan luas
=
−
= }
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)
Volume Benda Putar
Dibatasi Kurva
dan Garis Sumbu
X
�=
� √�
�
�=
−
adalah nilai diskriminan
persamaan kuadrat:
+
+ = .
Persamaan kuadrat tersebut adalah
persamaan kurva pada soal.
Contoh Soal 1a:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva
a.
b.
c.
d.
e.
8
� satuan volume
=
−
dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Y
=
Titik potong parabola dengan sumbu X adalah:
=
⇒
−
=
⇔
− =
⇔ = atau − =
⇔ = atau =
−
X
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = dan = .
Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.
Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
]
� = �∫ [
Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa:
=
−
Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
� = �∫ [
−
]
� = �∫ [
−
]
Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.
= �∫
−
= �[
−
= � [(
−
= � [(
= �[
=
−
−
+
+
+
+
]
+
)−
]
� satuan volume
]
)+(
−
+
)]
Contoh Soal 1b:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva
a.
b.
c.
d.
e.
8
� satuan volume
=
−
dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
� satuan volume
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar.
Titik potong parabola dengan garis adalah:
=
⇒
−
=
⇔
− =
⇔ = atau − =
⇔ = atau =
Dari persamaan kuadrat −
�=
−
⇒�=
=
Stop sampai sini aja.
Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
= , diperoleh nilai diskriminan:
−
Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
×
� √�
√
�=
�=
�=
� satuan volume.
�=
15
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 4 x 3 dan y 3 x adalah ....
Luas daerah diarsir:
Y
TRIK SUPERKILAT:
41
A.
satuan
luas
=
�=∫
−
6
⇒
−
+ = −
=
−
+
19
⇔
−
=
B.
satuan luas
=∫
− −
−
+
3
� ��=
−
=
9
C.
satuan luas
�√�
√
=∫ − +
=
�=
2
∙
3
8
satuan luas
D.
=
+
]
= [−
3
X
= satuan luas E. 11 satuan luas
1
3
= (−
+
) − (−
6
1.
=
= (− +
−
=
+
)−
)
satuan luas
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 3 x 4 dan y 1 x adalah ....
TRIK SUPERKILAT:
Luas daerah diarsir:
Y
TRIK SUPERKILAT:
2
satuan luas = + +
A.
=
�=∫
−
3
⇒
+
+ = −
−
4
4
=∫
− −
+
+
⇔
+
+ =
satuan luas
B.
−
2
−
3
� ��=
−
=
=∫ − −
−
1
7
−
X
C.
satuan luas
−
�√�
√
-1
-3
�=
=
4
= [−
−
− ]
=
−
∙
−
8
D.
satuan
luas
− −
− −
−
= − −
=
3
=( − + )− −
+
= satuan luas E. 15 satuan luas
3
= satuan luas
2.
−
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 4 x 3 dan y x 1 adalah ....
Luas daerah diarsir:
41
satuan
luas
A.
TRIK SUPERKILAT:
�=∫
−
=
−
+
6
=
Y
19
⇒
−
+ = −
=∫
− −
−
+
B.
satuan
luas
⇔
−
+ =
3
=∫ − +
−
� ��=
−
=
3
9
satuan luas
C.
2
�√�
+
− ]
= [−
√
�=
=
8
∙
X
D.
satuan luas -1 1
3 4
= (−
+
−
) − (−
3
=
= −
11
= (− +
− ) − (− + − )
satuan luas
= satuan luas E.
6
−
−
−
−
−
3.
=
satuan luas
+
−
)
4.
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 dan y 4 x 3 diputar 360°
Volume benda putar
mengelilingi sumbu X adalah ....
Y
� = �∫
−
= �∫
−
−
11
A. 13 π satuan volume =
15
= �∫
−
−
4
B. 13 π satuan volume
= �∫ − +
−
+
15
=
11
+
−
+ ]
= [−
C. 12 π satuan volume − +
15
= −
+
−
+
7
D. 12 π satuan volume
− −
+
−
+
15
X
4
1
3
E. 12 π satuan volume
+
−
+ )
= (−
15
=
5.
6.
− (− +
−
= (
=
)−(
=
−
+ )
)
satuan volume
2
Volume benda putar yang terjadi untuk
= − daerah yang dibatasi oleh kurva y x dan y 2 x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....
Volume benda putar
Y
11
� = �∫
−
= − �∫ −
− −
=−
A. 3 π satuan volume
15
4
2
= − �∫
−
B. 4 π satuan volume
X
15
= −
4
−
]
= −� [
C. 6 π satuan volume
15
-4
−
)−(
−
)]
= −� [(
6
D. 6 π satuan volume
15
=−
= −� ( − )
1
E. 17 π satuan volume
−
= −� (
)
15
=
−
+
=
�=
� satuan volume
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y x dengan y 2 x diputar
Volume benda putar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....
Y
A. 2π satuan volume =
� = �∫
−
−
= − �∫
1
B. 3 π satuan volume 4
15
= − �∫
−
4
= −
C. 4 π satuan volume
15
−
]
= −� [
X
4
2
D. 12 π satuan volume
−
)−(
−
)]
= −� [(
15
=
2
= −� ( − )
E. 14 π satuan volume
15
=
−
+
= −� (
=
−
�=
2
)
� satuan volume