BAB 8 Peluang fixs docx

BAB 8
PELUANG
Peluang merupakan cabang dari matematika yang mempelajari tentang
kemungkinan suatu hal, baik itu kejadian pasti, ataupun kejadian mustahil.
Selain itu, dalam materi peluang akan disajikan bagaimana penerapan dalam
keseharian yang ternyata itu disebut dengan peluang.
1.

RUANG SAMPEL SUATU PERCOBAAN
Ruang sampel merupakan seluruh anggota titik sampel dari suatu kejadian
yang mungkin terjadi.
a. Pelemparan n buah dadu
Jika n buah dadu bermata 6 ( enam ) ditos/dilempar bersamaan
sebanyak sekali, atau sebuah dadu dilempar/ditos sebanyak n buah
kali, maka ruang sampelnya adalah 6n
b. Pelemparan / pengetosan n buah koin/ mata uang logam
Jika n buah koin logam ditos/dilempar bersamaan sebanyak sekali,
atau sebuah koin dilempar/ditos sebanyak n buah kali, maka ruang
sampelnya adalah 2n
c. Pelemparan n buah dadu dan m buah koin
Ruang sampel pada pengetosan n buah dadu dan m buah koin adalah

6n �2n
d. Seperangkat kartu bridge (remi)
Ruang sampel seperangkat kartu bridge = 52

2.

ATURAN PENCACAHAN, PERMUTASI, DAN KOMBINASI
a. Aturan Pencacahan (aturan kotak)
Kaidah pencacahan digunakan untuk menentukan banyak
kemungkinan / cara. Aturan kotak biasa dipakai dalam bentuk soal :
 Menentukan banyak unsur yang sama
 Menentukan banyak unsur yang berbeda
 Menentukan banyak bilangan, cara duduk, dst.
Metode supertrik :
Ingat : menentukan banyak cara menyusun bilangan genap /
ganjil/habis dibagi mulai isi kotak dari belakang. Sedangkan untuk
menyusun bilangan kurang dari/ lebih dari/antara, isi kotak dari
depan.
Contoh :

100

Disediakan angka – angka : 1,2,3,4,5,6 dan 7. Banyak bilangan yang
tersusun 3 angka kurang dari 500 dan tidak ada angka yang berulang
adalah…
Jawab :
Pakai aturan kotak : 3 angka berarti 3 kotak
4
6
5
Kotak pertama = 4 kemungkinan kurang dari 500 berarti yang
mungkin untuk mengisi kotak pertama adalah 1,2,3, atau 4
Kotak kedua = ada 7 angka, dipakai 1 tinggal 6 kemungkinan.
Kotak ketiga = 5 kemungkinan, karena tidak ada angka berulang
Jadi, banyak bilangan yang tersusun = 4 x 6 x 5 = 120 bilangan.
Notasi Faktorial
Notasi faktorial adalah hasil perkalian dari n bilangan asli pertama
yang terurut sampai 1. Nilai n faktorial didefinisikan sebagai berikut :
n !   n  � n  1  � n  2  ... �3 �2 �1
0 !  1 dan 1 !  1

b.

Contoh :
Nilai dari 4 ! dan 5 ! adalah…
Jawab :
4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Permutasi
Basic concept :
Permutasi adalah banyaknya cara menyusun r objek yang diambil n
objek yang ada. Aturan permutasi biasanya dipakai untuk
menentukan URUTAN juara, pemilihan ketua, sekretaris, bendahara,
karena URUTAN diperhatikan.
Rumus permutasi secara umum :

P nr 

n!
 n r  !

Beberapa jenis permutasi yaitu :
 Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Jika dalam n objek terdapat k,l,m objek yang sama maka
dirumuskan :

P nk,l,m 


n!
k! l! m!

Permutasi Siklik (melingkar)

101

Permutasi siklik biasa digunakan untuk menentukan banyak
susunan tempat duduk pada posisi melingkar.

 n  1 !

Rumus permutasi siklik :
Metode supertrik :
Ingat : untuk menghitung banyak cara duduk pada meja bundar,
dengan
sarat
m
orang
harus
berdampingan/
berdekatan/mengelompok dari n orang yang ada = m ! (n – 1)!
c.

Kombinasi
Basic concept :
Kombinasi adalah banyaknya cara mengelompokkan r objek dari n
objek TANPA memperhatikan URUTAN. Kombinasi biasanya dipakai
untuk menentukan banyak cara pemilihan anggota tim basket, volley,
badminton, perwakilan kelas di lomba, pemilihan soal, banyaknya
salaman (jabat tangan).

Rumus umum kombinasi r objek dari n objek :

C nr 

n!
 n  r  ! r!

Contoh :
Banyaknya pemilihan tim basket jika ada 8 kandidat yang akan dipilih
jadi tim inti adalah…
Jawab :
n = 8 ; r = tim basket ada 5 orang
8!
8 �7 �6 �5!
C 85 

 56 cara
8

5

!
5!
3! �5!


3.

PELUANG SUATU KEJADIAN
a. Peluang suatu kejadian
Rumus menghitung peluang suatu kejadian, dengan ruang sampel n(s)
dan n(A) adalah :

P A  

n  A
n  S

b. Kisaran peluang

0 �P  A  �1

Kisaran peluang adalah
Dengan :
Kejadian pasti = 1, kejadian mustahil = 0

102

c. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah perkalain antara peluang
dengan banyak percobaan.
Rumus Frekuensi Harapan :
F.H  A   P  A  �banyak percobaan
d.

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Ada 2 macam peluang kejadian majemuk, yaitu :
 Peluang Kejadian Saling Lepas (atau)
Rumus :
P  A �B   P  A   P  B   P  A �B 
Basic concept :
Ingat : pada peluang kejadian saling lepas masih dikurangi dengan

A �B
unsur yang sama
.
 Peluang Kejadian Saling Bebas (dan)
Rumus :

P  A �B   P  A  �P  B 

Contoh :
Sebuah dadu dilempar sekali, peluang muncul mata dadu faktor dari 8
atau genap adalah…
Jawab : ada kata ATAU = saling lepas
Banyak kejadian muncul mata dadu faktor 8 : {1,2,4} = 3
Banyak kejadian muncul mata dadu genap : {2,4,6} = 3
Irisan kedua kejadian = {2,4} = 2
Ruang sampel sebuah dadu = 6
Maka, peluang muncul mata dadu faktor dari 8 atau genap adalah :
P  A �B   P  A   P  B   P  A �B 
3
3

2



6
6
6
4 2
 
6 3
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1.

UN 2010

103

Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan
diduduki oleh 4 pemuda dan 3 pemudi. Banyak cara duduk berjajar agar
mereka dapat duduk selang – seling pemuda dan pemudi dalam satu

kelompok adalah…
A. 12
D. 288
B. 84
E. 576
C. 144
Pembahasan :
Dalam sebaris selang – seling = n ! m ! = 4 ! .3 ! = 24 x 6 = 144 cara
Jawaban:C
2.

3.

UN 2010
Diketahui 7 titik dan tidak ada atau lebih yang segaris. Banyak segitiga
yang dapat dibentuk dari titik – titik tersebut adalah…
A. 10
D. 35
B. 21
E. 70
C. 30
Pembahasan :
Pakai aturan kombinasi :
7��
6 5
7!
C73 

 35
4!3!
3!
Jawaban:D
UN 2010
Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam.
Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambilnya bola merah atau
hitam adalah…
4
2
A. 5
D. 6

7
10
B.
3
C. 6

1
10
E.

Pembahasan :
Peluang terambilnya bola merah ATAU bola hitam :
C14
C13 4  3 7



C10
C10
10
10
1
1
Jawaban:B

104

4.

UN 2011
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1
sampai dengan 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil
siswa tersebut ada…
A. 10
D. 25
B. 15
E. 30
C. 20
Pembahasan :
Metode supertrik :
Jika diminta memilih m buah soal dari n buah soal yang disediakan, dan k
buah soal harus dikerjakan rumusnya :
10 – 4 (wajib) = 6
8–4=4
Maka pakai aturan kombinasi :
6 �5
6!
C64 

 15
2!4!
2

5.

Cnmkk

Jawaban:B
UN 2011
Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih
akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2
kelereng putih adalah…
20
56
A. 153
D. 153

28
B. 153
45
153
C.

90
E. 153

Pembahasan :
10
2
18
2

C
C
Peluang terambilnya 2 kelereng putih =
6.

UN 2012

105

10!
10 �9
8!2!
45
2



18! 18 �17 153
16!2!
2
Jawaban:B

7.

Bilangan yang terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka – angka
1,2,3,5,6, dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka – angkanya tidak
boleh berulang adalah…
A. 20
D. 120
B. 40
E. 360
C. 80
Pembahasan :
Pakai aturan kotak :
6
5
4
3
= 6 x 5 x 4 x 3 = 360
Jawaban:E
UN 2012
Dua buah dadu dilempar undi bersama – sama satu kali. Peluang muncul
mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah…
1
2
A. 9
D. 3

1
B. 6
5
18
C.

5
E. 9

Pembahasan :
S = kejadian melempar dua mata dadu = n(S) = 36
A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 = n (A) = 4
B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 7 = n(B) = 6
Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 =
4
6 10 5
P  A �B  
  
36 36 36 18
8.

Jawaban:C
UN 2012
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah…
A. 360 kata
D. 60 kata
B. 180 kata
E. 30 kata
C. 90 kata
Pembahasan :
n!
k!l!m!
Permutasi dari n objek dengan k, l, m objek yang sama :
WIYATA ada 6 huruf

106

6!
6!
  6 ��
5 4 �3  360 kata
1!1!1!2!1! 2!
Jawaban:A
9.

UN 2012
Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian
diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2
kelereng putih adalah…
3
12
A. 35
D. 35

4
22
35
B.
E. 35
7
C. 35
Pembahasan :
Peluang terambilnya PALING SEDIKIT 2 kelereng putih =
C42 .C31  C43 .C30 6.3  4.1
22


7!
C73
7�6 �5
4!3!
3!
22

35

Jawaban:E
10. Dalam rapat OSIS, ada 2 orang siswa perwakilan dari kelas X , 3 orang
siswa dari kelas XI, dan 4 orang siswa dari kelas XII. Jika mereka
mengelilingi meja bundar dan perwakilan kelas harus mengelompok,
banyak cara mereka duduk adalah…
A. 7 !
D. 2 ! 7 !
B. 2 ! 3 ! 3 !
E. 8 !
C. 2 ! 2 ! 3 ! 4 !
Pembahasan :
Perhatikan skema berikut !
2

4

3

Permutasi siklik dari 3 objek = (3 – 1)! = 2!
Jadi banyak cara mereka duduk = 2!. 2! . 3!. 4 !
Metode supertrik :

107

Ingat : untuk menghitung banyak cara duduk pada meja bundar, dengan
sarat m orang harus berdampingan/ berdekatan/mengelompok dari n
orang yang ada = m ! (n – 1)!
Jadi, 2 ! 3 ! 4 ! (3 – 1)! = 2 ! 2 ! 3 ! 4 !
Jawaban:C
PAKET SOAL LATIHAN
1.

2.

3.

4.

5.

6.

Dari 10 finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang
terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut adalah…
A. 70 cara
D. 360 cara
B. 80 cara
E. 720 cara
C. 120 cara
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WISATA” adalah…
A. 30 kata
D. 180 kata
B. 60 kata
E. 360 kata
C. 90 kata
Pada suatu bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap
dua titik yang berbeda akan dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus
yang dapat dibuat adalah…
A. 65
D. 105
B. 75
E. 210
C. 90
Seorang siswa harus mengerjakan 5 soal dari 10 soal yang tersedia, tetapi
soal nomor 3 dan 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat
diambil siswa tersebut adalah…
A. 28
D. 228
B. 56
E. 336
C. 112
Dari 15 soal yang disediakan pada ulangan fisika, seorang siswa wajib
mengerjakan 10 soal. Jika soal nomor ganjil wajib dikerjakan, maka
banyaknya cara memilih soal tersebut adalah…
A. 10
D. 42
B. 15
E. 108
C. 21
Dari 8 orang akan dibentuk tim basket sekolah. Jika Leo pasti menjadi
kapten tim, banyak cara memilih anggota tim basket adalah…
A. 30 cara
D. 64 cara
B. 35 cara
E. 72 cara
C. 56 cara

108

7.

Disediakan angka – angka 2,3,4,5,6,7. Banyak cara membentuk bilangan
antara 2000 dan 6000, dengan angka – angka yang berlainan adalah…
A. 120 cara
D. 480 cara
B. 240 cara
E. 640 cara
C. 360 cara
8. Pada suatu pertemuan, terdapat 8 orang mengelilingi meja bundar. 3
orang utusan komite, 3 orang guru, dan 2 orang siswa. Jika utusan dari
masing – masing, duduknya harus mengelompok, maka banyak cara
mereka duduk adalah…
A. 72 cara
D. 720 cara
B. 144 cara
E. 5.040 cara
C. 336 cara
9. Ada 9 orang siswa akan menginap di suatu hotel yang mempunyai dua
jenis kamar. Kamar A berkapasitas 5 orang, sedangkan kamar B
berkapasitas 7 orang. Jika paling sedikit setiap kamar harus terisi 3 orang
siswa, maka banyak cara menyusun adalah…
A. 72 cara
D. 336 cara
B. 144 cara
E. 512 cara
C. 210 cara
10. Dua buah dadu dilambungkan bersama – sama sebanyak satu kali.
Peluang muncul mata dadu pertama 2 atau mata dadu kedua 6 adalah…
A.
B.

1
36
6
36
7
36

11
D. 36
12
E. 36

3
28
1
7
14
28

15
28
D.
5
E. 7

C.
11. Suatu kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Jika dari kotak
tersebut diambil 2 kelereng satu demi satu tanpa pengembalian, maka
peluang terambil keduanya kelereng putih adalah…
A.
B.
C.

109

12. Kotak I berisi 5 bola biru dan 3 bola kuning. Sedangkan kotak II berisi 2
bola biru dan 6 bola kuning. Dari masing – masing kotak, diambil sebuah
bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama
adalah…
A.
B.

1
8
5
16
7
16

9
D. 16
7
E. 8

5
21
2
7
1
3

27
D. 42
37
E. 42

9
22
13
22
15
22

17
D. 22
19
E. 22

C.
13. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 5 bola biru. Jika tiga bola diambil
sekaligus dari kotak tersebut, peluang yang terambil minimal 1 bola merah
adalah…
A.
B.

C.
14. Dalam suatu kelas terdapat 20 orang siswa laki – laki dan 24 orang siswa
perempuan. 10 % dari siswa laki – laki berkacamata, dan 25 % dari siswa
perempuan berkacamata. Akan dipilih 1 orang secara acak untuk mewakili
sekolah dalam lomba karya tulis ilmiah. Peluang terpilihnya seorang
tersebut siswa laki – laki atau siswa berkacamata adalah…
A.
B.

C.
15. Dalam sebuah kotak, terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola
kuning. Dari dalam kotak, akan diambil dua buah bola secara acak, satu
per satu tanpa pengembalian. Peluang terambilnya kedua bola berbeda
warna adalah…

110

A.
B.
C.

31
60
32
60
31
90

62
D. 90
78
E. 90

111