Sistem Kontrol PID ayunan sederhana 2 ba

Sistem kontrol proporsional, Derivatif, dan Integral pada
sistem gerak bandul dengan 2 massa
X1 = l1sin

1

Y1 = - l1cos

1

1

= l1cos

1

1

1

= l1sin

1

1

X2 = l1sin

+ l2sin

1

Y2 = - l1cos

Persamaan Lagrangian :
L=T
•

-

l2cos

2

2

= l1cos

1

1+ l2cos

2

2

2

= l1sin

1

1+ l2sin

2

2

=0

V
Energi Kinetik Sistem
T = ½ mv2
T = ½ m1 (

1

2

+

1

= ½ m1 (l12 cos2
1+ l2sin

= ½ m1 [l1
cos

1

2
1

2
1

= ½ m1 l1

2
1

1

2
1 +

1

2

2

2
2 )

+

+ l12 sin2

2

1 )

1

+ ½ m2 [ (l1cos

1

1+ l2cos

2)

2

2

+ (l1sin

2

]

2

+ sin2

1
2

2

+ l1 sin

+ ½ m2 [l1

2(cos
2

) + ½ m2 (

(cos2

cos

1

2

2

2)

2

2

1

= ½ m1 l1

•

1-

2

cos

½ m2[l1

2

2
2

2
1

2

+

] + ½ m2 (l12 cos2
1

(cos

+ sin
2
1

1)

1

l22

2

2

1
1

+

l22

+ sin

sin

2

sin

2)

2
2

+ 2l1l2

Energi Potensial Sistem
V = mgh
V = m1g y1 + m2gy2
= m1 g(l1 + l2 - l1cos 1) + m2g (l1 + l2 - l1cos

2

1)

1

1

2

+ l2

1
2
2

2

2cos(

- l2cos

1

2

+ l22 cos2

+ 2l1l2 sin
2
2

1

(cos

-

2)

2

2)]

2

1

2

2
2

1

sin

+ sin

2

+ 2l1l2

2)

2

2)

+ 2l1l2

1

L=T

V

=½ m1 l12

2
1 +

½ m2[l12

m2g (l1 + l2 - l1cos
L = ½ (m1+m2) l12

2
1

2
1

1

+ l22

2
2

- l2cos

2)

+ ½ m2 l22

m2g (l1 + l2 -l1cos

1

2

- l2cos

2

+ 2l1l2

2cos

1

+ m2l1l2

1

2

(

-

1

cos(

1

2)]

-

2)

- m1 g(l1 + l2 - l1cos

1)

- m1 g(l1 + l2 - l1cos

1)

-

-

2)

Persamaan Gerak Sistem adalah
-

= 0 ;

-

= 0

= - m2l1l2

1

2

sin (

1

-

2)

- m1 gl1sin

= - m2l1l2

1

2

sin (

1

-

2)

m2 gl1sin

= m1 l12

1+

m2l1

= m2 l22

2+

m2l1l2

•

+ m2l1l2

1

1

cos (

2

1

sin (
-

1

1-

m2gl1sin

1

2

-

2)

2))

=- m2l1l2

2)

=

(m1 l12

1+

m2l1

1

+ m2l1l2

2

sin(

1

-

1

sin (

2

- m2gl1sin

m1 l12

1

+ m2 l12

= - m2l1l2

1

2

1

+ m2l1l2

sin (

1

-

2 cos(
2)

1

-

- m1 gl1sin

2)

1

- m2l1l2

2
2

- m2gl1sin

(

1

-

2)

- m1 gl1sin

1

1

1-

2)

sin (

-

2)

1

-

2)

1

Dengan demikian beberapa langkah aljabar, diperoleh
(m1 + m 2) l12

•
( m2 l22

1

+ m2l1l2

2 cos(

1

-

2)

2
2

+ m2l1l2

sin (

1

= - (m1 + m 2)gl1sin

=

2

+ m2l1l2

1

cos (

1

-

2)

= - m2l1l2

1

2

sin (

1

-

2)

m2 gl2sin

2

1

m2 l22

2

+ m2l1l2

= - m2l1l2

1

2

1 cos(

sin (

1

1

-

-

2)

- m2l1l2

2)

- m2gl2sin

1

(

1-

2)

sin (

1

-

2)

2

Dengan demikian beberapa langkah aljabar, diperoleh
m2 l22

2

+ m2l1l2

1 cos(

1

-

2)-

m2l1l2

2
1

sin (

1

-

2)

= - m2gl2sin

2

U ntuk menyederhanakan sistem ini, harus dibuat dengan osilasi yang kecil dimana dapat
dianggap sin = dan cos =1 sehingga :
Bandul pertama :
(m1 + m 2) l12

1

+ m2l1l2

2

+ (m1 + m 2)gl1

1

= 0

Bandul kedua :
l22

2

+ l1

1

+g

2 .=

0

 jika m1 = m2, maka persamaan gerak sistem ini menjadi :
Bandul pertama :
2ml12

1

+ ml1l2

2

2l12

+ l1l2

1

+ 2mgl1
2

1=

0

+ 2gl1

1

Bandul kedua :
l22

2

+ l1

1

+g

2 .=

0

= 0

Transformasi laplace
I. 2l12
•

2l12

1

+ l1l2

2

= 2l12

1

+ 2gl1

•

l1l2

2

1(s))

= 2l12 s2

1(s)

= l1l2

2(t)

= l1l2 s (s.
= l1l2 s2
•

2gl1

1=

2gl1

= 2gl1

= 0

laplace, t

1(t)

= 2l12 s (s.

1

laplace, t

2(s))

2(s)

1(t)

laplace, t

1(s)

Maka persamaan nya menjadi
2l12 s2

( )
( )

l22

2

2

+ l1

1

= l22

+g

2(t)

2

= l2 s (s.

•

s2

l1

1

2 .=

laplace, t

2(s)

= l1

1(t)

laplace, t

1(s))

= l1 s2 1(s)
g

2

=g
=g

2(t)
2(s)

0

2(s))

= l22 s2

= l1 s (s.

•

2(s)

=

II. l22
•

1(s)+ l1l2

laplace, t

+ 2gl1

1(s)

=0

Maka persamaan nya menjadi :
l22 s2
( )
( )

2(s)

+ l1 s2 1(s) + g

2(s)

=0

=

Dik.

l1 = 20 cm = 0.2 m
l2 = 15 cm = 0.15 m
g = 10 m/s2

maka persamaan alami bandul pertama

0.03
( )
=
0.08 + 4
( )
Dan persamaan alami bandul kedua

( )
( )

=

.
.

Aplikasi dengan menggunakan matlab
Pada sistem ini digunakan 2 sistem kontrol, yang pertama untuk bandul pertama
dan kedua untuk bandul kedua dimana persamaan gerak bandul pertama dan kedua pada
sistem ini tidak dapat digabungkan karena persamaan gerak nya kompleks.
Keterangan untuk grafik :
Step

: kuning

step 1 : ungu
step 2 : biru
Bandul pertama

Alami

Jika kita melihat pada gambar hasil runing pada matlap dan hanya melihatnya
sekilas, maka kita bisa katakan sistem alami ini cukup responsif di karenakan sistem
mulai merespon tepat pada detik yang pertama. Namun bila di lihat dengan seksama awal
respon sistem ini malah bergerak menjauhi nilai setpoint. Yang seharusnya bergerak ke
atas menuju angka 1, ternyata sistem meresponnya dengan bergerak ke bawah yaitu

barisan angka minus. Respon sistem yang seperti ini di sebabkan oleh output pada
persamaannya yang bernilai negatif. Setelah mencapai minus -0.375 sistem mulai
bergerak ke atas dan membentuk osilasi. Dengan mencapai puncak pertama pada detik
ke 0.358 atau peak timenya 0.358 sistem terus mengalami osilasi untuk seterusnya.
Dengan adanya osilasi yang terus-menerus menandakan bahwa semakin lama, semakin
sistem ini tidak akan stabil. Dalam kasus yang di angkat yaitu bandul dengan dua masa
ini, yang akan di kontrol adalah

1

dan

2

. fungsi pengontrolan kedua tetha ini agar

bandul dengan dua masa yang berbeda ini akan terus bergerak tanpa ada yang
mendahului pergerakan akibat perbedaan panjang tali. Maka pada persamaan alami tentu
sistem tidak akan bergerak bersamaan( pada waktu yang sama benda A bisa lebih cepat
atau lebih lambat berayun sesuai dengan panjang tali yang dimilikinya) tanpa
pengontrolan apa-apa. Maka hasil yang di peroleh sesuai dengan kenyataan yang ada.

Kontrol Proporsional

Ket :

kuning : kp= 2
Ungu : kp = 10
Biru

: kp = 100

Hasil yang di peroleh setelah salah satu kontroler di masukkan, hasilnya tetap berupa
osilasi yang terus menerus. Semakin besar nilai kp yang di berikan maka sinyal yang di
timbulkan oleh pengaruh kontroler ini akan menambah ketidakstabilan sistem, di tandai
dengan semakin besar nilai kp maka semakin banyak osilasi yang terbentuk. Salah satu
kontroler telah di gunakan namun hasilnya tetap tidak stabil. Bandul tidak bisa bergerak
secara bersamaan dengan masa yang berbeda jika hanya menggunakan kontroler
proporsional.

Kontrol Proporsional Derivatif

Ket :

kuning : kp= 10 ; kd=10
Ungu : kp = 10 ; kd = 100
Biru

: kp = 100 ; kd = 100

Dari gambar kita dapat melihat bahwa sistem tidak berosilasi lagi ketika kontrol
proporsional disertai dengan kontrol derivatif. Namun tetap risetime nya mengarah
kebawah karena masih ada tanda minus pada persamaan.
settling time (waktu untuk mencapai kestabilan) untuk biru pada detik 4.35, dan
kuning pada detik 4.6 dan dari gambar kita dapat melihat bahwa error steady state
pada sistem berwarna biru lebih kecil yang berwarna biru yaitu 0.0384 walaupun belum
mencapai ke angka 1 namun sistem tidak berosilasi. Untuk yang warna ungu sistem
mengalami asilasi karena nilai kd lebih besar dari nilai kp.

Kontrol Proporsional Integral

Ket : kuning : kp= 10 ; ki=10
Ungu : kp = 100 ; ki = 10
Biru

: kp = 100 ; ki= 100

Dengan menambah satu kontroler yaitu kontroler integral, sistem menunjukan kemajuan.
Sistem mulai bergerak perlahan-lahan menuju nilai setpoint. Rise timenya baik karena
mulai bergerak naik pada detik yang pertama. Osilasi yang di timbulkan sebelumnya
akhirnya hilang. Pemberian nilai kp yang semakin besar akan mempercepat sistem
mencapi kestabilan sedangkan nilai ki yang besar akan menghilangkan error steady state.
Pada warna biru sistem perlahan mulai mencapai kestabilan. Dengan settling timenya 8,6.
Dengan kombinasi kedua kontroler ini maka sistem bisa lebih cepat mencapai stabil(yang
sebelumnya tidak pernah stabil), dan dapat menghilangkan ess dari respon sistem.
Dengan adanya kombinasi kedua kontroler ini, sesuai hasil yang di peroleh maka bandul
dengan dua masa yang berbeda ini akan beranyun bersama sama pada detik yang ke 8,6.

Kontrol Proporsional Integral Derivatif

Ket : kuning : kd = 20 ; kp= 400 ; ki=700
Ungu : kd = 30 ;kp = 1000 ; ki = 700
Biru

: kd = 30 ; kp = 400 ; ki= 300

Pada sistem ini variasi kp, kd dan ki yang lebih baik adalah pada warna kuning dimana
nilai kd yang digunakan adalah 20. Apabila kd diperbesar maka sistem akan menjadi
tidak stabil dimana akan berosilasi seperti pada warna biru.
Dengan menggunakan kontrol PID rise time nya menjadi sangat baik dimana tidak
mengarah ke arah bawah lagi karena tanda minus tidak ada lagi karena adanya tambahan
kontrol derivatif pada persamaan gerak.
Pada kontrol yang berwarna kuning rise time nya pada detik ke 1.0031 dan ini
sudah sangat baik namun mengalami overshot sampai 1.0559 dan setling time nya pada
detik ke 4.0163 dan sistem stabil.untuk yang berwarna biru sistem mencapai kestabilan
pada 7.59. jadi dengan variasi kd 20 kp 400 dan ki 700 sistem dapat mencapai
kestabilan.

Bandul kedua

Alami

Rise time pada sistem ini mengarah ke bawah karena ada tanda minus pada
persamaan gerak sistem. Dan sistem ini masih memiliki osilasi yang besar dimana puncak
tertinggi nya di 8.14 sehingga sistem ini dapat dikatakan masih jauh dari kestabilan.

Kontrol Proporsional

Ket :

kuning : kp= -8
Ungu : kp = 1
Biru

: kp = 2

Dengan adanya kontrol proporsional, terjadi perubahan pada besarnya osilasi.
Dimana dengan kp -8 puncak pertaman nya pada 0.85 namun rise time nya tetap
mengarah kebawah karena masih ada tanda minus pada persamaan. Dan dengan kontrol
proporsional, jika kp nya di perbesar maka osilasi akan semakin besar pula sehingga
error pada sistem juga semakin besar.

Kontrol Proporsional derivatif

Zoom :
Ket :

kuning : kp= 100 ; kd=10
Ungu : kp = 200 ; kd = 10
Biru

: kp = 1000 ; kd = 10

Dari gambar kita dapat melihat bahwa sistem tidak berosilasi lagi ketika kontrol
proporsional disertai dengan kontrol derivatif. Namun tetap risetime nya mengarah
kebawah karena masih ada tanda minus pada persamaan.
Pada sistem terjadi overshot dimana biru sampai 2.26, ungu sampai1.36 dan
kuning sampai 1.19, settling time (waktu untuk mencapai kestabilan) untuk biru pada
detik 1.06,ungu pada detik 1.26 dan kuning pada detik 1.31 dan dari gambar kita dapat
melihat bahwa error steady state pada sistem lebih kecil yang berwarna biru yaitu
0.0099 walaupun belum mencapai ke angka 1 namun sistem tidak berosilasi. Dan dapat
diketahui juga bila nilai kp besar maka setling time nya lebih cepat dan error steady
state nya semakin kecil. Namun bila sangat besar maka error sistem dapat semakin
besar pula.

Kontrol Proporsional Integral

Zoom

Ket : kuning : kp= 10 ; ki=100
Ungu : kp = 20 ; ki = 100
Biru

: kp = 30 ; ki= 100

Rise time nya masih ke arah bawah namun pada sistem tidak terjadi overshot lagi. Dari
gambar dapat diketahui bahwa biru kurang baik karena sistem masih mengalami osilasi.
Dimana bila kp diperbesar maka osilasi yang terjadi semakin besar.
Untuk yang berwarna kuning dan ungu, sistem sudah baik dimana tidak terjadi
osilasi dan error steady state nya 0 atau dapat dikatakan sistem sudah stabil. Dan

setling time pada warna kuning pada detik ke 3.02 dan ungu pada detik ke 3.80 jadi
sistem dengan kp 10 dan juga ki 100 yang lebih baik.

Kontrol Proporsional Integral Derivatif

Ket : kuning : kd = 25 ; kp= 1500 ; ki=2000
Ungu : kd = 20 ;kp = 1000 ; ki = 2000
Biru

: kd = 20 ; kp = 500 ; ki= 700

Pada sistem ini variasi kp, kd dan ki yang lebih baik adalah pada warna ungu dimana nilai
kd yang digunakan adalah 20. Apabila kd diperbesar maka sistem akan menjadi tidak
stabil dimana akan berosilasi seperti pada warna kuning.

Dengan menggunakan kontrol PID rise time nya menjadi sangat baik dimana tidak
mengarah ke arah bawah lagi karena tanda minus tidak ada lagi karena adanya tambahan
kontrol derivatif pada persamaann gerak.
Pada kontrol yang berwarna ungu rise time nya pada detik ke 1.0021 dan ini sudah
sangat baik namun mengalami overshot sampai 1.0335 dan setling time nya pada detik ke
3.6131 dan sistem stabil.untuk yang berwarna biru sistem tidak pernah mencapai
kestabilan dan memiliki error steady state sebesar 0.0006. jadi dengan variasi kd 20 kp
1000 dan ki 2000 sitem dapat mencapai kestabilan.

Jadi dari hasil yang sudah didapatkan, dapat diketahui bahwa sistem kontrol akan lebih
baik jika dikerjakan dengan sistem kontrol proporsional integral derivatif.