Barisan geometri adalah suatu barisan

Barisan dan Deret
Geometri

Kelompok 2:
Adnin Ulfa (02)
Dining Nika (08)
Lisa Nurfalah (14)
Novi Indriani (20)
Sheila Paramitha (26)
SMA NEGERI 1
BANGKALAN

Jln.

Pemuda Kaffa 10 Bangkalan
2012

1. Barisan Geometri
Definisi
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali)
antara dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Bentuk umum

barisan geometri adalah
U1,U2,U3…… Un atau a, ar, ar2, arn-1 dengan r ≠ 0
Sehinggga berdasarkan definisi diatas berlaku hubungan
r=
Dengan r = rasio (pembanding/ pengali) antara dua suku yang berurutan
a = suku pertama
un = suku ke-n
n = banyak suku
Rumus suku ke- n
Suku ke-n dari barisan geometri

adalah un =

Untuk sembarang suku berlaku :








Barisan geometri dapat dikelompokkan menjadi 3 macam, yaitu
1) Barisan geometri naik, jika a>o dan r 0 dan r 0 dan y > 0. Perhatikan bahwa barisan bilangan x,

menyatakan barisan geometri dnegan rasio

.

,y

Sejalan dengan uraian diatas dapat dikemukakan bahwa jika tiga buah
bilangan membentuk barisan geometri, maka bentuk sederhananya adalah

adalah rasio . Jika bilangan-bilangan u1, u2, u3 membentuk

barisan geometri, maka

c) Perkalian Suku-Suku Barisan Geometri
Hasil kali suku-suku barisan geometri adalah

Bukti :
Barisan geometri

(TERBUKTI)

d) Suku Tengah pada barisan Geometri
Jika barisan geometri mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a,
dan suku akhir un, maka suku tengah u1 ditentukan oleh rumus :

Hasil kali suku- sukunya adalah

e) Sisipan pada barisan Geometri
Apabila antara setiap dua suku yang berurutan harus disisipkan k buah
suku baru yang dengan suku-suku lama merupakan barisan geometri baru,
maka
Barisan geometri lama :
Barisan geometri baru :

Sehingga :

Dengan: r’ = rasio barisan geometri baru
r = rasio barisan geometri lama
k = banyak suku yang disisipkan
Banyaknya suku barisan geometri baru sama dengan banyaknya suku barisan
geometri lama n ditambah dengan (n-1) kali banyaknya suku-suku yang
disisipkan k, dengan demikian

Dengan: n’ = banyak suku barisan geometri baru
n = banyak suku barisan geometri lama

2. Deret Geometri
Definisi
Deret geometri (deret ukur) adalah jumlah suku-suku barisan geometri.
Bentuk umum deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

untuk r >1 atau

untuk r 0 dan r > 1, sehingga
dan deret geometri bergoyang, yang suku-sukunya bergantian positif dan
negative, jika r < 0.

a. Sifat deret geometri
Jumlah n suku pertama deret geometri yang dirumuskan sebgai

Merupakan fungsi eksponen dalam n, dengan
Sifat
Jika dari sebuah deret, jumlah n suku pertama merupakan fungsi
eksponen dalam n yang mengandung suku tetapan, maka deret itu adalah
deret geometri.
Misalkan jumlah n suku pertama suatu deret
membuktikan bahwa
Bukti :

Kita harus

adalah jumlah n suku pertama deret geometri

,

Tetapi

Sehingga
Karena itu, maka persamaan (1) menjadi

yang

merupakan fungsi eksponen dalam n tanpa suku tetapan sehingga

Perhatikan untuk setiap nilai n, rasio antara dua suku yang berurutan
adalah konstan (=r). Pernyataan ini sejalan dengan definisi barisan geometri.
Dengan demikian, terbukti bahwa deret itu adalah deret geometri
Berdasarkan uraian diatas dapat dituliskan rumus-rumus sebgai berikut :

b. sisipan pada deret geometri
Sifat-sifat sisipan pada barisan geometri berlaku pula pada sisipan deret
geometri, sehingga
dan n’ = n + (n-1) k

Jumlah n’ suku deret geometri baru adalah

Contoh soal

1.

Suku pertama, rasio dan suku ke-n.
Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan 2, 6, 18, 54, ….
Jawab:
1) Suku pertama: a=2
2) Rasio: r= U2/U1 = 6/2 = 3
3) Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah U n = arn-1 maka
U7 = 2(37-1)
= 2 x 729
= 1.458
Jadi,
 Suku pertama =

 Rasio = 3

 U7 = 1.458

2
2. Ketiga bilangan.

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21
dan hasil kalinya 216. tentukan ketiga bilangan itu …, …, …
Jawab:
Misalkan ketiga bilangan itu a, ar, ar2 .
Dengan membagi r pada suku-suku itu, diperoleh a/r, a, ar.
Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21
a/r + a + ar = 21 ………………………………………………………………… (1)

Hasil kali ketiga bilangan adalah 216
a/r x a x ar = 216
a3 = 216, diperoleh a = 6
Subs. nilai a = 6 ke pers. (1)
6/r + 6 + 6r = 21

(dikalikan r)

6 + 6r + 6r2 = 21r
2r2 - 5r + 2 = 0
(2r – 1)(r-2) =0
r=1/2 atau r=2

Jadi,
 Untuk r = ½ dan a = 6 ketiga bilangan tersebut adalah 12, 6, 3.
 Untuk r = 2 dan a = 6 ketiga bilangan tersebut adalah 3, 6, 12.
3.

Jumlah dari deret geometri.
Tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + … (8 suku)
Jawab:
Dari deret diatas, diperoleh a=2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn =

S8 =
= 2 (256 – 1)
=510
 Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510
4. Suku pertama, rasio dan banyak suku
Diketahui deret 3 + 32 + 33 + …. + 3n = 363
Tentukan :
a. Suku pertama

b. Rasio
c. Banyak suku
Jawab:
a. Suku pertama: a = 3
b. Rasio: r = U2/U1 = 32 / 3 = 3
c. Untuk Sn = 363
karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus
Sn =

363 =

726 = 3n+1 – 3
3n+1 =729
3n+1 = 36
n+1=6
n=5
Jadi,
 Suku pertama:

 Rasio: r=3

 Banyak suku: Sn

a=3
5.

=5

Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah

p² dan px . Jika suku ke-5 deret tersebut adalah p 18 , maka x = . . . .
A. 1

C. 4

B. 2

D. 6

E. 8

Jawab:




U1 = a = p 2
U2 = a.r = px

(p(x-2) ) 4 = p16

U5 = a.r4 = p18

4x-8 = 16

U2 = a.r = px
2

= p .r = p

p2 (p(x-2) ) 4 = p18

4x = 24
x

x=6

r = px / p2
r = px-2

 Jawaban : D. 6

Soal
1. SPMB ‘03
Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jika hasil kalinya adalah 216
dan jumlahnya 26, maka rasio deret tersebut adalah ….
2. UMPTN ’94
suku pertama dan suku keempat suatu deret geometri berturut-turut adalah
2 dan ¼. Jumlah 6 suku pertama deret itu adalah ….
3. UMPTN ’96
Dalam suatu barisan geometri, U1 + U3 = p dan U2 + U4 = q, maka U4 = ….
4. UMPTN ’99
Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p, dan U2 x U8 = 1/p, maka U1 = ….
5. Diberikan sebuah barisan dengan Un = 7 x 2n. buktikan bahwa barisan itu
adalah barisan geometri.