Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng

PERMUTASI
dan
KOMBINASI

Betha Nurina Sari,S.Kom

Ilustrasi
2

Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah
(m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah
kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.
Kaleng 1
Kelereng

sama
m

Kaleng
1

Kaleng 2 Kaleng 3

h
2

3

sama

sama

3 cara

Ilustrasi (Cont.)
3

Jumlah cara
memasukkan
kelereng ke dalam3
1

P 3 , 2 
P 3 , 2 


kaleng
2
2 !
2

!
!

!

3 2 
2

Matematika Diskrit

 3

Defnisi
Kombinasi r elemen dari n elemen
adalah :
jumlah pemilihan yang tidak
terurut r elemen yang diambil
dari n buah elemen
 Kombinasi merupakan bentuk
khusus dari permutasi
 Perbedaan permutasi dengan
kombinasi :
 Permutasi : urutan kemunculan
4
diperhitungkan


Defnisi
5



Jumlah pemilihan yang tidak terurut
dari r elemen yang diambil dari n
elemen disebut dengan kombinasi-r :
n 
n!
n

C (n, r )  C 

C

r  r r !n  r !
 



C(n,r) dibaca “n diambil r”  r objek
diambil dari n buah objek

Interpretasi Kombinasi
1.

Persoalan kombinasi sama dengan menghitung
banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r
elemen yang dapat dibentuk dari himpunan
dengan n elemen. Dua atau lebih elemenelemen yang sama dianggap sebagai himpunan
yang sama meskipun urutan elemen-elemennya
berbeda
Contoh :
Misal A = {1,2,3}
Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang
dibentuk dari himpunan A :
{1,2} = {2,1}
{1,3} = {3,1} 3 buah
3 
32  3
3!
3


C (3,2)  C 

C


2  2 2!3  2 ! 62!1 !
{2,3} = {3,2}
 

Interpretasi Kombinasi
(Cont.)
Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai
cara memilih r buah elemen dari n buah
elemen yang ada, tetapi urutan elemen di
dalam susunan hasil pemilihan tidak penting
Contoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20
orang anggota, kemudian dipilih 5 orang
sebagai delegasi, dimana delegasi merupakan
kelompok yang tidak terurut (artinya setiap
anggota di dalam delegasi kedudukannya

sama).
Sehingga banyaknya cara
20 memilih
20anggota
!
20


C
(
20
,
5
)

C

C

 15504 cara

5
delegasi yang terdiri dari
5 anggota
delegasi
5 
5!20  5 !
 
yang terdiri dari 5 orang anggota adalah7 :
2.

Contoh 1
8



Ada berapa cara dapat
memilih 3 dari 4 elemen
himpunan A = {a,b,c,d} ?

Solusi



Merupakan persoalan kombinasi karena
urutan kemunculan ketiga elemen
tersebut tidak penting
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}
Sehingga : 4 
4!
4
3

C (4,3)  C 
3 
 C  3!4  3!  4 cara
 

9

Contoh 2
10

Berapa cara
menyusun menu nasi
goreng 3 kali
seminggu untuk
sarapan pagi ?



Solusi


Diketahui:
Nasi goreng = r = 3 kali
 Hari dalam 1 minggu = n = 7
hari
Maka : 7 
7!
7
C (7,3)  C 

3 
 C3  3!7  3!  35 cara
 


11

Contoh 3
12



Sebuah karakter dalam sistem
ASCII berukuran 1 byte atau 8
bit (1 atau 0)
a)
b)
c)

Berapa banyak pola bit yang
terbentuk ?
Berapa banyak pola bit yang
mempunyai 3 bit 1 ?
Berapa banyak pola bit yang
mempunyai bit 1 sejumlah
genap ?

Solusi




1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)
1 bit terdiri dari “1” atau “0”
Maka :
a)

Posisi bit dalam 1 byte :
7

6

5

4

3

2

1

0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
:
Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang
terbentuk :
(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28
b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

8 
8!
8

C (8,3)  C 

C

3  3 3!8  3 !  56 cara
 
13

14

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit
1 = C(8,0)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit
1 = C(8,2)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit
1 = C(8,4)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit
1 = C(8,6)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit
1 = C(8,8)
Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai
bit 1 sejumlah genap :
C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =
1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

Contoh 4
15



Sebuah kelompok belajar
beranggotakan 7 pria dan 5
wanita. Berapa banyak cara
memilih delegasi yang terdiri
dari 4 orang dengan jumlah
pria lebih banyak daripada
jumlah wanita ?

Solusi
16







Pria = 7 orang
Wanita = 5 orang
delegasi = 4 orang, jumlah pria lebih banyak
daripada jumlah wanita
Maka :





delegasi terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita
 C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35
delegasi terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita
 C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

Sehingga jumlah cara pembentukan delegasi
seluruhnya :
cara

C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210

Contoh 5
17



Sebuah rumah rawat inap
pasien ada 3 buah kamar A, B
dan C. Tiap kamar dapat
menampung 3 atau 4 orang.
Berapa jumlah cara pengisian
kamar untuk 10 orang ?



Diketahui :



18



Kamar = r = 3 buah (A, B dan C)
Penghuni = n = 10 orang

Misalkan :
Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3
orang.
Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) =
C(10,4)xC(6,3)
ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3
orang.
Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) =
C(10,3)xC(7,4)
iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4
orang.
Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) =
C(10,3)xC(7,3)
i.



Sehingga total jumlah cara pengisian
kamar :
C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) +

Permutasi dan Kombinasi Bentuk
Umum
19



Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda
warna (beberapa bola yang warnanya sama)
n1 bola diantaranya berwarna 1
n2 bola diantaranya berwarna 2
…
nk bola diantaranya berwarna k
Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola
tersebut dimasukkan ke dalam n buah
kotak, masing-masing kotak berisi paling
banyak 1 buah bola.
Berapa banyak jumlah cara pengaturan n







Jika n buah bola dianggap berbeda
semua, maka jumlah cara pengaturan n
buah bola ke dalam n buah kotak adalah :
P(n,n) = n !
Karena tidak seluruh bola berbeda maka
pengaturan n buah bola :
n1! cara memasukkan bola berwarna 1
n2! cara memasukkan bola berwarna 2
…
nk! cara memasukkan bola berwarna k
Sehingga permutasi n buah bola dikenal
dengan permutasi bentuk umum :

Pn, n 
n!
P(n; n1 , n2 ,..., nk ) 

n1!n2 !...nk ! n1!n2 !...nk !
20

Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1
ke dalam n buah kotak
 ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1
 Bola berkurang n sehingga sisa n - n kotak
1
1
 ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2
 Bola berkurang (n + n )sehingga sisa n - n - n
1
2
1
2
kotak
 ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3
 Dan seterusnya sampai bola berwarna k
ditempatkan dalam kotak
 Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola
Cke
(n; ndalam
 C n, ndikenal
 n2 ...nk 1 , nk  bentuk
dengan
1 , n2 ,..., nk )kotak
1 C n  n1 , n
2 ...C n  n1kombinasi
umum adalah :n!
n  n1 !
n  n1  n2 ...nk 1 !





n1!n  n1 ! n2 !n  n1  n2 !
n!
n1!n2 !...nk !



nk !n  n1  n2 ...nk 1  nk !
21



Jika S adalah himpunan ganda dengan n
buah objek yang di dalamnya terdiri dari
k jenis objek berbeda dan tiap objek
memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk
(jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … +
nk = n) maka jumlah cara menyusun
n!
seluruh
objek
adalah
:
P(n; n , n ,..., n )  C (n; n , n ,..., n ) 
1

2

k

1

2

k

n1!n2 !...nk !

22

Contoh 6
23

Berapa banyak string
yang dapat dibentuk
dengan menggunakan
huruf-huruf dari kata
MISSISSIPPI ?



Solusi
24





S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}
Huruf M = 1 buah
Huruf I = 4 buah
Huruf S = 4 buah
Huruf P = 2 buah
Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah 
jumlah elemen himpunan S
Ada 2 cara :
i.

ii.

Permutasi :
Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2)
= 34650 buah
Kombinasi :
Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) =

Contoh 7
25



Ada 12 lembar karton akan
diwarnai sehingga ada 3
diantaranya berwarna
merah, 2 berwarna jingga,
2 berwarna ungu dan
sisanya berwarna coklat.
Berapa jumlah cara

Solusi




Diketahui :
n1 = 3
n2 = 2
n = 12
n3 = 2
n4 = 5
Jumlah cara pewarnaan :
P(n; n1 , n2 , n3 , n4 )  P(12;3,2,2,5) 

P12,12
12!

 166320 cara
3!2!2!5! 3!2!2!5!

26

Kombinasi
Pengulangan
27





Misalkan terdapat r buah bola yang semua
warnanya sama dan n buah kotak
 Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi
1 buah bola maka jumlah cara memasukkan
bola ke dalam kotak adalah :
C(n,r)
 Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1
buah bola, maka jumlah cara memasukkan
bola ke dalam kotak adalah :
C(n+r-1, r)
C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya
pengulangan elemen  n buah objek akan
diambil r buah objek dengan pengulangan
diperbolehkan

Contoh 8
28



Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk
dibagikan kepada 5 orang anak, tiap
anak boleh mendapat lebih dari 1
buah apel atau jeruk, atau tidak sama
sekali.
Berapa jumlah cara pembagian yang
dapat dilakukan ?

Solusi
29









Diketahui :
n = 5 orang anak
r1 = 20 buah  apel
r1 = 15 buah  jeruk
20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak
 C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)
15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak
 C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)
Jika setiap anak boleh mendapat apel dan
jeruk maka jumlah cara pembagian kedua
buah tersebut adalah :
C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3
= 41.186.376 cara

Contoh 9
30



Toko roti “Lezat” menjual 8
macam roti.
Berapa jumlah cara
mengambil 1 lusin roti ? (1
lusin = 12 buah)

Solusi
31







Diketahui :
n = 8 macam roti
r = 1 lusin = 12 buah roti
Misalkan macam-macam roti
dianalogikan sebagai kotak. Setiap
kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah
roti.
Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin
roti (sama dengan jumlah cara
memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8
macam roti) yaitu :
C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)

Contoh 10
32

Ada 3 buah dadu
dilempar secara
bersama-sama.
Berapa banyaknya hasil
berbeda yang mungkin
terjadi ?



Solusi
33





Diketahui :
n = 6  6 buah mata dadu
r = 3  3 dadu dilemparkan
bersamaan
Sehingga banyaknya hasil berbeda
yang mungkin terjadi adalah :
C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)
= C(8,3) = 56 cara

Latihan
34

1.

Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik
Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan
Teknik Elektro. Berapa banyak cara
membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang
jika :
a. Tidak ada batasan jurusan
b. Semua anggota delegasi harus dari jurusan
Teknik Informatika
c. Semua anggota delegasi harus dari jurusan
Teknik Elektro
d. Semua anggota panita harus dari jurusan
yang sama
e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus
mewakili

LATIHAN
35

1.

2.

Berapa banyak cara membagikan 7
buah kartu remi yang diambil dari
tumpukan kartu ke masing-masing
dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52
buah)
Di ruang baca Teknik Informatika
terdapat 4 buah jenis buku yaitu
buku Basis Data, buku Matematika
Diskrit dan buku Pemograman
dengan Visual Basic. Ruang baca
memiliki paling sedikit 6 buah buku
untuk masing-masing jenis.
Berapa
Matematika Diskrit
banyak cara memilih 6 buah buku ?

Latihan (cont.)
36

3.

4.

Carilah jumlah himpunan bagian dari A
= {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke
himpunan B dengan 2 elemen ?
Di dalam sebuah kelas terdapat 100
mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.
3.
4.
5.

5.

Berapa banyak cara dapat dibentuk
sebuah delegasi 10 orang ?
Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria
harus sama dengan banyaknya wanita
Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus
terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria
dan 6 wanita

Berapakah jumlah himpunan bagian
dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang
mempunyai anggota paling sedikit 6?

Latihan (Cont.)
37

6.

7.

Sebuah klub mobil antik
branggotakan 6 orang pria dan 5
orang wanita. Mereka akan
membentuk delegasi yang terdiri
dari 5 orang. Berapa banyak
jumlah delegasi yang dapat
dibentuk jika delegasinya terdiri
dari paling sedikit 1 pria dan 1
wanita ?
Sebuah kelompok terdiri dari 7
orang waita dan 4 orang pria.
Berapa banyak delegasi 4 orang
yang dapat dibentuk dari

Latihan (Cont.)
38

8.

9.

Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f.
berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika
:
a) Tidak ada huruf pengulangan
b) Boleh ada huruf pengulangan
c) Tidak boleh ada huruf yang
diulang tetapi huruf d harus ada
d) Boleh ada huruf yang berulang,
huruf d harus ada
Berapa banyak string yang dapat
dibentuk dari huruf-huruf kata
“WEAKNESS” sedemikian sehingga 2
buah huruf “S” tidak terletak