SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
Waktu : 210 Menit
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2013
This file was downloaded from
http://stenlyivan.wordpress.com
SELEKSI TINGKAT PROVINSI
CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2013
MATEMATIKA SMA/MA
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
1.
Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian
kedua terdiri dari 5 soal uraian.
2.
Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
3.
Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4.
Untuk soal bagian pertama:
a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta
memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai hanya
akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak di
sebelah kanan setiap soal.
5.
Untuk soal bagian kedua:
a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,
Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai
kepada jawaban akhir tersebut.
c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6.
Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada
sketsa gambar.
7.
Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.
Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8.
Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah
pengawas memberi tanda.
9.
Selamat bekerja.
Nama : ................................ Kelas : ...........
Sekolah : .....................................................
No. Peserta : ................................................
Kabupaten : .................................................
Provinsi : .....................................................
BAGIAN PERTAMA
1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r = 2, yang saling bersinggungan. Total luas dari ketiga
lingkaran tersebut berikut daerah yang dibatasinya sama dengan …
2. 2013 lampu dikontrol oleh 2013 tombol saklar yang diberi nomor 1, 2, 3, ... , 2013. Menekan tombol
saklar satu kali akan merubah nyala lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam
keadaan mati. Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari kedua, semua
tombol saklar bernomor 2 atau kelipatan 2 ditekan sekali. Dengan melakukan hal yang sama pada
hari ke-n, semua tombol saklar lampu bernomor n atau kelipatan n ditekan sekali. Demikian
seterusnya. Berapa banyak lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke 2013 dilakukan ?
3. Diberikan fungsi real f dengan �
f(2013) adalah ...
=
��
�−
,
≠
dan �(�
)=
untuk semua
≠ . Nilai
4. Pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi
+
bilangan prima adalah ....
5. Jika | | +
+
=
dan
+| |−
=
, maka nilai dari x + y adalah ...
6. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi
n2 – 660
merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah ...
7. Ada berapa barisan sembilan suku , , … , 9 , yang masing-masing sukunya adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, atau 9, dan memuat tepat satu urutan a i, a j dimana a i genap dan a j ganjil?
8. Bilangan asli n dikatakan “cantik” jika n terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit
penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123
bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmetika. Banyak bilangan cantik adalah ...
9. Misalkan M adalah titik tengah sisi BC pada segitiga ABC dan CAB = 45, ABC = 30, maka
tanAMC adalah ...
10. Diberikan bilangan prima p > 2013. Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan asli sehingga a + b
habis dibagi p tetapi tidak habis dibagi p2. Jika diketahui a 2013 + b2013 habis dibagi p2 maka banyak
bilangan asli n 2013 sehingga a 2013 + b2013 habis dibagi pn adalah ...
11. Ada enam anak TK masing-masing membawa suatu makanan. Mereka akan mengadakan kado
silang, yaitu makanannya dikumpulkan dan kemudian dibagi lagi sehingga masing-masing anak
menerima makanan yang bukan makanan yang dibawa semula. Banyaknya cara untuk melakukan hal
tersebut adalah ...
12. Grafik parabola y = x2 – a dan x = y2 – b dengan a > 0 dan b > 0, berpotongan di empat titik (x1, y1),
(x2, y2), (x3, y3), dan (x4, y4). Nilai (x1 + x2)(x1 + x3)(x1 + x4) adalah ...
13. Sebuah dadu dilempar 2 (dua) kali. Misalkan a dan b berturut-turut adalah angka yang muncul pada
pelemparan pertama dan kedua. Besarnya peluang terdapat bilangan real x, y, dan z yang memenuhi
persamaan
x + y + z = a dan x2 + y2 + z2 = b
sebesar ...
14. Misalkan 1, 2, 3, adalah barisan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 adalah 1. Untuk n 1,
segitiga n+1 didefinisikan dengan cara sebagai berikut: pertama didefinisikan P n sebagai persegi
yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi n, selanjutnya didefinisikan Ln sebagai lingkaran
terbesar di dalam P n , kemudian didefinisikan n+1, sebagai segitiga sama sisi yang titik-titik sudutnya
terletak pada keliling lingkaran. Panjang sisi dari 2013 adalah ...
15. Suatu barisan , , … ,
bilangan asli n. Nilai
�, …
didefinisikan dengan:
adalah ...
=
dan
�+
=
+
�
�
+ untuk setiap
�
16. Diberikan bujursangkar dengan panjang sisi sama dengan √ . Didalam bujursangkar tersebut
terdapat dua segitiga sama sisi dengan alas merupakan sisi-sisi bujursangkar yang berhadapan.
Perpotongan kedua segitiga sama sisi membentuk rhombus. Luas rhombus sama dengan ...
17. Bilangan bulat positif a dan b yang memenuhi FPB (a , b) = 1 dan
bilangan bulat ada sebanyak ...
+
18. Diberikan segitiga ABC; AB = 20, AC = 21 dan BC = 29. Titik D dan E terletak pada segmen BC,
sehingga BD = 8 dan EC = 9. Besarnya DAE sama dengan ...
19. Suatu kompetisi diikuti oleh 20 peserta. Pada setiap ronde, dua peserta bertanding. Setiap peserta
yang kalah dua kali dikeluarkan dari kompetisi, peserta yang terakhir berada di kompetisi adalah
pemenangnya. Jika diketahui pemenang kompetisi tidak pernah kalah, banyaknya pertandingan yang
dilangsungkan pada kompetisi tersebut adalah ...
20. Jumlah dari semua bilangan bulat x yang memenuhi 2log (x2 – 4x – 1) merupakan bilangan bulat
adalah ...
Nama : ................................ Kelas : ...........
Sekolah : .....................................................
No. Peserta : ................................................
Kabupaten : .................................................
Provinsi : .....................................................
BAGIAN KEDUA
Soal 1. Ada dua gelas, gelas A berisi 5 bola merah, dan gelas B berisi 4 bola merah dan satu bola putih.
Satu gelas dipilih secara acak dan kemudian satu bola diambil secara acak dari gelas tersebut. Hal ini
dilakukan berulang kali sampai salah satu gelas kosong. Tentukan probabilitas bahwa bola putih tidak
terambil.
Soal 2. Untuk sebarang bilangan real x, didefinisikan
sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang
dari atau sama dengan x. Tentukan banyak bilangan asli n 1.000.000 sehingga
√� − ⌊√�⌋ <
Soal 3. Suatu bilangan asli n dikatakan “valid” jika 1n + 2n + 3n + ... + mn habis dibagi 1 + 2 + 3 + ...
+ m untuk setiap bilangan asli m.
1. Tunjukkan bahwa 2013 valid.
2. Buktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan yang tidak valid.
Soal 4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan real positif a , b, c dengan a + b + c 6 berlaku
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
Soal 5. Diberikan segitiga ABC lancip. Garis tinggi terpanjang adalah dari titik sudut A tegak lurus pada
BC, dan panjangnya sama dengan panjang median (garis berat) dari titik sudut B.
Buktikan bahwa ABC 60o.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
BAGIAN PERTAMA
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Pert ama
BAGIAN PERTAMA
1. ABC adalah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi 4.
Luas daerah = 3 ∙
300
∙
360
1
2
� ∙ 22 + ∙ 42 ∙ sin 60� = 10� + 4√3
∴ Jadi, luas dari ket iga lingkaran berikut daerah yang dibat asi sama dengan ��� + �√�.
2. Masing-masing lampu akan dit ekan sebanyak f akt or posit if nya.
Bilangan kuadrat sempurna akan memiliki f akt or sebanyak ganj il sedangkan bilangan bukan
kuadrat sempurna memiliki f akt or posit if sebanyak genap.
Karena kondisi lampu awalnya mat i. Maka lampu akan hidup j ika dit ekan sebanyak ganj il.
Maka banyaknya lampu yang hidup sama dengan banyaknya bilangan kuadrat sempurna ≤ 2013.
Mengingat 442 = 1936 dan 452 = 2025 maka bilangan kuadrat sempurna ≤ 2013 ada sebanyak 44.
∴ Jadi, banyaknya lampu dalam kondisi hidup set el ah operasi pada hari ke-2013 ada 44 .
3. �(�) =
��
2�−3
,
�≠
3
2
���(�)� = �
��
� �2� − 3�
=�
��
2 �2� − 3� − 3
� 2 = 2�� − 3(2� − 3)
(� − 3)(� − 2� + 3) = 0
� = 3 at au � = 2� − 3
Karena � adalah konst ant a maka � = 3.
3�
3
�(�) =
, �≠
2� − 3
2
671
3(2013)
=
�(2013) =
2(2013) − 3 447
671
∴ Jadi, nilai �(2013) adalah
.
447
4. Misalkan
�� 2
�+�
= � dengan p adalah bilangan prima.
xy = p(x + y) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
Maka p x at au p y.
Jika p y maka y = bp dengan b ∈ N.
2
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Pert ama
xb 2p = x + bp
Maka p x
Jadi, didapat f akt a bahwa p x.
Misalkan x = ap dengan a ∈ N.
ay2 = ap + y
Maka ay.
y(ay − 1) = ap
Karena ay maka (ay − 1) p
Karena p adalah bilangan prima maka ay − 1 = 1 at au p.
• Jika ay − 1 = 1
ay = 2.
Karena ay maka a = 1 dan y = 2.
(2)((1)(2) − 1) = (1)(p)
p=2
Subt it usikan ke persamaan (1) didapat
x(2) 2 = 2(x + 2)
x=2
Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (2, 2).
• Jika ay − 1 = p
Maka a = y
p = y2 − 1 = (y + 1)(y − 1)
Karena p adalah bilangan prima maka nilai y yang memenuhi adalah y = 2 sehingga p = 3.
Subt it usikan ke persamaan (1) didapat
x(2) 2 = 3(x + 2)
x=6
Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (6, 2).
∴ Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (2, 2) dan (6, 2) .
5. x + x + y = 10 dan x + y − y = 12
* Jika x dan y di kuadran I maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x = 12 sehingga y = −14 (t idak memenuhi (x, y) di kuadran I)
* Jika x dan y di kuadran II maka x = −x dan y = y
y = 10 dan x = 12 (t idak memenuhi (x, y) di kuadran II)
* Jika x dan y di kuadran III maka x = −x dan y = −y
y = 10 dan x − 2y = 12 sehingga x = 32 (t idak memenuhi (x, y) di kuadran III)
* Jika x dan y di kuadran IV maka x = x dan y = −y
2x + y = 10 dan x − 2y = 12
Nilai (x, y) yang memenuhi adalah (
�+� =
32
5
14
−
5
∴ Jadi, � +
18
=
5
��
�=
�
32
,
5
−
14
−)
5
(memenuhi (x, y) di kuadran IV)
6. �2 − 600 = �2 unt uk suat u bilangan bulat posit if �, �.
(� + �)(� − �) = 660 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11
Jelas bahwa � + � > � − �
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
� + � dan � − � keduanya memiliki parit as yang sama. Maka keduanya merupakan bilangan
genap.
Banyaknya f akt or 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ada 8 maka banyaknya pasangan (�, �) yang memenuhi ada 4.
∴ Jadi, banyaknya pasangan (�, �) yang memenuhi ada 4 .
7. Barisan it u akan membent uk kelompok bilangan ganj il, diikut i kelompok bilangan genap, lalu
diikut i kelompok bilangan ganj il dan diakhiri kelompok bilangan genap.
Misalkan a adalah banyaknya bilangan ganj il pada bagian pal ing kiri, b menyat akan banyaknya
bilangan genap di sebelah kanan kelompok bilangan ganj il, c menyat akan banyaknya bilangan
ganj il di sebelah kanan kelompok bilangan genap dan d menyat akan banyaknya bilangan ganj il di
bagian paling kanan.
Maka 0 ≤ a ≤ 4 ; 1 ≤ b ≤ 5 ; 1 ≤ c ≤ 5 ; 0 ≤ d ≤ 4 sert a a + c = 4 at au 5
Karena ada 4 bilangan ganj il dan 5 genap at au 5 bilangan ganj il dan 4 genap, maka masingmasing susunan 9 bilangan ada 4! ⋅ 5! = 2880 kemungkinan.
Unt uk mencari banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi maka dapat dibagi 2 kasus :
• Kasus 1, j ika a + c = 4
Maka b + d = 5
Banyaknya cara memilih 4 bilangan ganj il = 5C4 = 5.
Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 4 sebab c ≥ 1.
Karena b + d = 5 maka banyaknya nilai b yang memenuhi ada 5.
Jadi, banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi ada 5 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 100.
• Kasus 2, j ika a + c = 5
Maka b + d = 4
Banyaknya cara memilih 4 bilangan genap = 5C4 = 5.
Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 5 sebab c ≥ 1.
Karena b + d = 4 maka banyaknya nilai b yang memenuhi ada 4.
Jadi, banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi ada 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 100.
Jadi, banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi = 100 + 100 = 200.
Jadi, banyaknya susunan = 200 ⋅ 2880 = 576000.
∴ Jadi, banyaknya susunan 576000 .
8. Jika abc adalah bilangan cant ik maka cba j uga bilangan cant ik.
Maka cukup dengan membuat daf t ar bilangan cant ik dengan a < b.
Bilangan-bilangan cant ik dengan a < b adalah 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678,
123456789, 124, 1248, 135, 1357, 13579, 139, 147, 159, 234, 2345, 23456, 234567, 2345678,
23456789, 246, 2468, 248, 258, 345, 3456, 34567, 345678, 3456789, 357, 3579, 369, 456, 4567,
45678, 456789, 468, 469, 567, 5678, 56789, 579, 678, 6789, 789 yang banyaknya ada 46.
∴ Jadi, banyaknya bilangan cant i ada 92 .
9. Diket ahui ∠BAC = 45o dan ∠ABC = 30o. Misalkan panj ang BC = 2a ; AC = 2b dan AB = 2c.
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
Dengan dalil sinus pada ∆ABC didapat
� sin 45�
=
= √2
� sin 30�
Misalkan ∠AMC = y maka ∠CAM = 75o − y
Dengan dalil sinus pada ∆AMC didapat
sin(75� − �)
�
=
sin �
2�
√2 sin � = 2 sin(75� − �) = 2 sin 75� cos � − 2cos 75� sin �
sin �
2 sin 75�
√3 + 1
tan � =
=
=
=1
cos � √2 + 2 cos 75� √3 + 1
∴ Jadi, nilai dari tan ∠��� = � .
10. a + b = kp dengan k ∈ N dan k t idak habis dibagi p sert a p adalah bilangan prima.
b = kp − a
a2013 + b 2013 = a2013 + (kp − a) 2013
a2013 + b 2013 = (kp) 2013 + 2013(kp) 2012a + 2013C2(kp) 2011a2 + ⋅⋅⋅ + 2013C2 (kp) 2a2011 + 2013(kp)a2012
Karena a2013 + b 2013 habis dibagi p 2 sedangkan p > 2013 t idak membagi k maka a habis dibagi p.
Karena p a dan p (a + b) maka p b.
Maka a2013 + b 2013 habis dibagi p 2013.
∴ Jadi, banyak bilangan asli n ≤ 2013 yang memenuhi ada 2013 .
11. Keenam anak TK akan dibagi dalam beberapa kelompok yang pert ukaran hadiah dalam kelompok
akan membent uk suat u lingkaran.
Berdasarkan pembagian maka ada 4 kasus :
• Kasus 1, keenam anak TK t erbagi dalam 3 kelompok masing-masing 2 orang.
Pada masing-masing kel ompok banyaknya cara = (2 − 1)! = 1.
•
•
•
Maka banyaknya cara seluruh =
6 4 2
� �� �� �
2 2 2
∙
3!
(2 − 1)! ∙ (2 − 1)! ∙ (2 − 1)! = 15.
Kasus 2, keenam anak TK t erbagi dalam 2 kelompok, 1 kelompok 2 orang dan kelompok lain
4 orang.
Pada kelompok t erdiri dari 4 orang, orang pert ama akan memberikan ke orang kedua dengan
3 cara, orang kedua akan memberikan ke orang ket iga dengan 2 cara, orang ket iga akan
memberikan ke orang keempat dengan 1 cara dan orang keempat akan memberikan ke orang
pert ama dengan 1 cara. Banyaknya cara = (4 − 1)! .
6
2
Maka banyaknya cara seluruh = � � ∙ (2 − 1)! ∙ (4 − 1)! = 90.
Kasus 3, keenam anak TK t erbagi dalam 2 kelompok masing-masing 3 orang.
Banyaknya cara =
6 3
� �� �
3 3
2!
∙ (3 − 1)! ∙ (3 − 1)! = 40.
Kasus 4, keenam anak TK t erbagi dalam 1 kelompok t erdiri dari 6 orang.
Banyaknya cara = (6 − 1)! = 120
Jadi, banyaknya cara pert ukaran hadiah = 15 + 90 + 40 + 120 = 265
∴ Jadi, banyaknya cara melakukan hal t ersebut adalah 265 .
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
12. � = �2 − � dan � = � 2 − �
� = (� 2 − �)2 − � = � 4 − 2��2 + �2 − �
� 4 − 2��2 − � + �2 − � = 0 memiliki akar-akar �1 , �2 , �3 dan �4 . Maka
�1 + �2 + �3 + �4 = 0
�1 �2 �3 + �1 �2 �4 + �1 �3 �4 + �2 �3 �4 = 1
(�1 + �2 )(�1 + �3 )(�1 + �4 ) = �12 (�1 + �2 + �3 + �4 ) + �1 �2 �3 + �1 �2 �4 + �1 �3 �4 + �2 �3 �4
(�1 + �2 )(�1 + �3 )(�1 + �4 ) = 1
∴ Jadi, nilai (�1 + �2 )(�1 + �3 )(�1 + �4 ) adalah 1 .
13. � + � + � = � dan � 2 + � 2 + � 2 = � dengan 1 ≤ �, � ≤ 6 sert a �, � ∈ �.
� 2 + � 2 + � 2 + 2�� + 2�� + 2�� = �2
�2 − �
�� + �� + �� =
2
Berdasarkan ket aksamaan AM-GM didapat
� 2 + � 2 + � 2 ≥ �� + �� + ��
2� ≥ �2 − �
3� ≥ �2
• Jika � = 1 maka nilai � yang memenuhi adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Jika � = 2 maka nilai � yang memenuhi adalah 2, 3, 4, 5, 6.
• Jika � = 3 maka nilai � yang memenuhi adalah 3, 4, 5, 6.
• Jika � = 4 maka nilai � yang memenuhi adalah 5, 6.
• Jika � = 5 at au 6 maka t idak ada nilai � yang memenuhi.
Jadi, banyaknya pasangan (a, b) yang memenuhi ada 17.
∴ Jadi, besarnya peluang t erdapat bilangan real � , �, � yang memenuhi adalah
��
.
��
14. Misalkan ABC adalah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi �. DEFG adalah persegi dengan
keempat t it ik sudut nya t erlet ak pada sisi ABC dengan D, E t erlet ak pada sisi AB. Lingkaran O
adalah lingkaran dalam persegi DEFG. Segit iga PQR adalah segit iga sama sisi yang ket iga t it ik
sudut nya t erlet ak pada lingkaran O.
Misalkan panj ang sisi persegi DEFG sama dengan �.
CGF adalah segit iga sama sisi maka panj ang �� = �.
Panj ang �� = � − �.
�� = �� sin 60�
1
� = (� − �) ∙ √3
2
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
�=
�√3
2 + √3
Jar-j ari lingkaran O = � =
Bagian Pert ama
� √3
.
4+2√3
Misalkan panj ang sisi ∆PQR sama dengan �.
1 2
�3 �3 �4 + 2√3�
∙ � ∙ sin 60� =
=
2
4�
4�√3
3�
[���] =
�=
4 + 2√3
Maka panj ang sisi ∆1 , ∆2 , ∆3 , ⋅⋅⋅ bert urut -t urut adalah 1,
suat u barisan geomet ri dengan rasio
3
.
4+2√3
∴ Jadi, panj ang sisi dari ∆2013 adalah �
����
�
�
.
�+�√�
3
,
4+2√3
2
3
� ,
4+2√3
�
⋅⋅⋅ yang membent uk
15. �1 = 2
2
1
��+1 = �1 + � �� +
�
�
�2 = 6
�3 = 10
�4 = 14
Jika diambil �� = 4� − 2 maka
��+1 = 4(� + 1) − 2 = 4� + 2
2
1
2
1
�1 + � �� + = �1 + � (4� − 2) + = 4� + 2
�
�
�
�
Maka �� = 4� − 2
�2013 = 4(2013) − 2 = 8050
∴ Jadi, nilai �2013 adalah ����.
16. Misalkan ���� adalah persegi dengan panj ang 2√3.
���� adalah rhombus (belah ket upat ) dimaksud dengan t it ik � t erlet ak di dalam ∆���.
��� j uga merupakan segit iga sama sisi.
Misalkan perpot ongan �� dan �� adalah t it ik � dan pert engahan �� adalah �.
�� = �� tan 60� = √3 ∙ √3 = 3
�� = �� − �� = 3 − √3
�� ��
=
�� ��
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
��
3 − √3
=
3
2√3
�� = 2√3 − 2
1
2
Bagian Pert ama
2
Luas rhombus = 2 ∙ ∙ �2√3 − 2� ∙ sin 60� = 8√3 − 12
∴ Jadi, luas rhombus = �√� − ��.
17.
�
�
25�
+
= � dengan �, �, � ∈ � dan ���(�, �) = 1.
21�
2
21� + 25� 2 = 21���
Karena ���(�, �) = 1 maka �25 dan �21.
Maka kemungkinan pasangan (�, �) yang mungkin memenuhi adalah (1, 1), (1, 3), (1, 7), (1, 21),
(5, 1), (5, 3), (5, 7), (5, 21), (25, 1), (25, 3), (25, 7), (25, 21).
Melalui penguj ian ke persamaan semula didapat f akt a bahwa t idak ada pasangan (�, �) yang
memenuhi.
∴ Jadi, bilangan bulat posit if � dan � yang memenuhi ada sebanyak 0 .
18. Karena 202 + 212 = 292 maka ∆��� siku-siku di �.
Pada ∆��� berlaku :
�� 2 = ��2 + �� 2 − 2 ∙ �� ∙ �� ∙ cos ∠���
20 7056
�� 2 = 202 + 82 − 2 ∙ 20 ∙ 8 ∙
=
29
29
Pada ∆��� berlaku :
�� 2 = �� 2 + �� 2 − 2 ∙ �� ∙ �� ∙ cos ∠���
21 7200
=
�� 2 = 212 + 92 − 2 ∙ 21 ∙ 9 ∙
29
29
Pada ∆��� berlaku :
�� 2 = �� 2 + �� 2 − 2 ∙ �� ∙ �� ∙ cos ∠���
122 =
7056 7200
7056 7200
+
−2∙�
∙�
∙ cos ∠���
29
29
29
29
10080 10080√2
=
∙ cos ∠���
29
29
1
cos ∠��� = √2
2
∴ Jadi, besarnya ∠��� = 45 o.
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
19. Dalam sat u pert andingan sat u t im akan menang dan sat u t im lagi akan kalah.
Karena j umlah t im ada 20 sedangkan t im yang j uara t idak pernah kalah maka j umlah kekalahan
ada 2x19 = 38.
Maka j umlah pert andingan ada 38.
∴ Jadi, banyaknya pert andingan yang dilangsungkan pada kompet isi t ersebut adalah 38 .
20. 2log (x 2 − 4x − 1) = m unt uk suat u bilangan bulat m.
(x − 2) 2 − 5 = 2m
(x − 2) 2 = 5 + 2m
Jika m < 0 maka ruas kanan merupakan pecahan. Tidak ada x bulat yang memenuhi.
Jika m = 0 maka (x − 2) 2 = 6. Tidak ada x bulat yang memenuhi.
Jadi, m > 0.
Alt ernat if 1 :
• Jika m ganj il
Angka sat uan 2m berulang dengan periode 4. Jika m ganj il maka angka sat uan 2m adalah 2
at au 8 sehingga angka sat uan 5 + 2m adalah 7 at au 3 unt uk m ganj il. Bilangan kuadrat t idak
mungkin memiliki angka sat uan 3 at au 7 sehingga t idak mungkin ada x bulat yang memenuhi.
• Jika m genap
Misalkan m = 2n maka
(x − 2) 2 − (2n) 2 = 5
(x − 2 + 2n) (x − 2 − 2n) = 5
Karena x − 2 + 2n > x − 2 − 2n maka ada 2 kasus
• Kasus 1, x − 2 + 2n = 5 dan x − 2 − 2n = 1
Maka didapat x − 2 = 3 dan 2n = 2 sehingga x = 5 dan m = 2n = 2
• Kasus 2, x − 2 + 2n = −1 dan x − 2 − 2n = −5
Maka didapat x − 2 = −3 dan 2n = 2 sehingga x = −1 dan m = 2n = 2
Maka j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 5 − 1 = 4.
∴ Jadi, j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 4 .
Alt ernat if 2 :
Jika m ≥ 3 maka ruas kanan dibagi 8 akan bersisa 5. Bilangan kuadrat j ika dibagi 8 akan bersisa
0, 1 at au 4. Jadi, t idak akan ada x bulat yang memenuhi. Maka 1 ≤ m ≤ 2.
Jika m = 1 maka (x − 2) 2 = 7 sehingga t idak ada x bulat yang memenuhi.
Jika m = 2 maka (x − 2) 2 = 9. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 at au x = −1.
Maka j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 5 − 1 = 4.
∴ Jadi, j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 4.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
BAGIAN KEDUA
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Kedua
BAGIAN KEDUA
1. Akan ada 5 kasus :
• Kasus 1, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-5.
•
1 5
2
Peluang = � � =
1
.
32
Kasus 2, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-6.
Pengambilan bola ke-6 harus dari gelas A.
5
1
Banyaknya urut an pengambilan bola dari gelas B = � � = 5.
Peluang t erambilnya sat u bola merah dari gelas B =
•
1 6
2
5
1
Peluang = � � ∙ � � ∙
4
5
=
1
16
4
5
Kasus 3, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-7.
Pengambilan bola ke-7 harus dari gelas A.
6
2
Banyaknya urut an pengambilan 2 bola dari gelas B = � � = 15.
Peluang t erambilnya dua bola merah dari gelas B =
•
1 7
2
6
2
Peluang = � � ∙ � � ∙
3
5
=
9
128
4 3
∙
5 4
=
3
5
Kasus 4, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-8.
Pengambilan bola ke-8 harus dari gelas A.
7
3
Banyaknya urut an pengambilan 3 bola dari gelas B = � � = 35.
Peluang t erambilnya dua bola merah dari gelas B =
•
1 8
2
7
3
Peluang = � � ∙ � � ∙
2
5
=
7
128
4 3 2
∙ ∙
5 4 3
=
2
5
Kasus 5, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-9.
Pengambilan bola ke-9 harus dari gelas A.
8
4
Banyaknya urut an pengambilan 4 bola dari gelas B = � � = 70.
Peluang t erambilnya dua bola merah dari gelas B =
1 9
2
8
4
Peluang = � � ∙ � � ∙
1
5
=
7
256
Maka probabilit as bahwa bola put ih t idak t erambil =
1
32
4 3 2 1
∙ ∙ ∙
5 4 3 2
+
∴ Jadi, probabilit as bahwa bola put ih t idak t erambil =
=
1
5
1
9
7
7
+
+
+
16
128
128
256
��
.
���
=
63
256
1
2. √� − �√�� <
dengan � ∈ � dan � ≤ 1.000.000.
2013
2
Misalkan � = � + � unt uk suat u � bulat t ak negat if dengan � ≤ 2� dan � ∈ � sert a � ≤ 1000.
Maka �√�� = �
1
2013
1 2
2�
1 2
� 2 + � < �� +
� = �2 +
+�
�
2013
2013
2013
�� 2 + � − � <
Mengingat bahwa j ika � ≤ 1000 maka � <
Nilai � yang memenuhi hanya � = 0.
2
1
2�
+�
�
2013
2013
< 1 unt uk semua nilai � ∈ �.
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Kedua
1
Jadi, � = � 2 yang memenuhi √� − �√�� = 0 <
unt uk semua nilai �.
2013
Karena banyaknya nilai � ada 1000 maka banyaknya nilai � yang memenuhi j uga ada 1000.
∴ Jadi, banyaknya bilangan asli � ≤ 1.000.000 yang memenuhi ada 1000 .
3. 1 + 2 + 3 + ⋯ + � =
�(�+1)
2
a. Jika � = 2013.
Jelas bahwa � 2013 + (� − �)2013 unt uk suat u � ∈ � habis dibagi �
• Jika � genap
� 2013
2
Maka � �
dan �2013 t idak memil iki pasangan. Tet api kedua bilangan t ersebut habis
dibagi �.
Jika � ganj il
Maka �2013 t idak memiliki pasangan. Tet api �2013 habis dibagi �.
Terbukt i bahwa 12013 + 22013 + 32013 + ⋯ + �2013 habis dibagi � unt uk semua � ∈ � .
Jelas bahwa � 2013 + (� + 1 − �)2013 unt uk suat u � ∈ � habis dibagi � + 1.
• Jika � genap
Maka semua bilangan memiliki pasangannya.
• Jika � ganj il
•
�+1 2013
�
t idak memiliki pasangan. Tet api
2
2013
2013
2013
2013
Maka �
�
�+1 2013
�
2
habis dibagi � + 1.
Terbukt i bahwa 1
+2
+3
+ ⋯+ �
habis dibagi � + 1 unt uk semua � ∈ � .
Jadi, t erbukt i bahwa 12013 + 22013 + 32013 + ⋯ + �2013 habis dibagi � dan � + 1 yang
art inya habis dibagi
�(�+1)
2
unt uk semua � ∈ � .
∴ Jadi, t erbukt i bahwa 2013 valid.
b. Ambil � = 2� dan � = 2.
12� + 22� = 2�12�−1 + 22�−1 � − 1
Karena (1 + 2)|�12�−1 + 22�−1 � maka (1 + 2) t idak membagi 12� + 22� .
Maka � = 2� t idak valid unt uk � = 2.
Jadi, 2� t idak valid.
Ada t ak hingga banyaknya bilangan berbent uk 2� .
∴ Jadi, t erbukt i bahwa ada t ak hingga banyak bilangan yang t idak valid.
4. Berdasarkan ket aksamaan AM-HM maka
1
1
1
3
2� + 2� + 2� ≥
3
2� + 2� + 2�
1
1
9
3
1
+
+
≥
=
2� 2� 2� 2� + 2� + 2� 4
Berdasarkan ket aksamaan AM-HM maka
1
1
1
3
2� + 8 + 2� + 8 + 2� + 8 ≥
(2� + 8) + (2� + 8) + (2� + 8)
3
1
1
1
9
9
1
+
+
≥
=
=
2� + 8 2� + 8 2� + 8 2(� + � + �) + 24 36 4
1
1
�+2
Mengingat bahwa
+
=
maka
2�
2�+8
�(�+4)
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
�+2
�+2
�+2
+
+
≥1
�(� + 4) �(� + 4) �(� + 4)
�+�
∴ Jadi, terbukti bahwa
+
�(�+�)
�+�
�+�
+
�(�+�)
�(�+�)
Bagian Kedua
≥ �.
5. Misalkan garis t inggi dari t it ik A memot ong t egak lurus sisi BC di t it ik D dan garis median dari B
memot ong sisi AC di t it ik E.
Dari t it ik E dibuat garis memot ong t egak lurus sisi BC di M.
Karena ∆CEM dan ∆CAD sebangun dengan E pert engahan AC maka EM =
1
2
AD.
Karena BE = AD = 2 EM maka ∠EBM = 30 .
Misalkan t it ik N merupakan pert engahan AB.
Karena E dan N bert urut -t urut pert engahan AC dan AB maka EN akan sej aj ar BC.
Karena EN sej aj ar CB maka ∠BEN = ∠EBM = 30o.
o
Karena luas segit iga =
dari segit iga ABC.
1
1
�� ≤ ��
2
2
EN ≤ BN
1
2
alas ⋅ t inggi dan AD adalah sisi t erpanj ang maka BC adalah sisi t erpendek
Sisi yang lebih panj ang dari suat u segit iga akan menghadap sudut yang l ebih besar.
Karena EN ≤ BN maka pada ∆BEN akan berlaku ∠EBN ≤ ∠BEN = 30o.
Maka ∠ABC = ∠EBM + ∠EBN ≤ 30o + 30o = 60o.
Jadi, ∠ABC ≤ 60o.
∴ Jadi, t erbukt i bahwa ∠ABC ≤ 60 o.
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
Waktu : 210 Menit
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2013
This file was downloaded from
http://stenlyivan.wordpress.com
SELEKSI TINGKAT PROVINSI
CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2013
MATEMATIKA SMA/MA
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
1.
Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian
kedua terdiri dari 5 soal uraian.
2.
Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
3.
Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4.
Untuk soal bagian pertama:
a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta
memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai hanya
akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak di
sebelah kanan setiap soal.
5.
Untuk soal bagian kedua:
a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,
Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai
kepada jawaban akhir tersebut.
c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6.
Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada
sketsa gambar.
7.
Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.
Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8.
Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah
pengawas memberi tanda.
9.
Selamat bekerja.
Nama : ................................ Kelas : ...........
Sekolah : .....................................................
No. Peserta : ................................................
Kabupaten : .................................................
Provinsi : .....................................................
BAGIAN PERTAMA
1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r = 2, yang saling bersinggungan. Total luas dari ketiga
lingkaran tersebut berikut daerah yang dibatasinya sama dengan …
2. 2013 lampu dikontrol oleh 2013 tombol saklar yang diberi nomor 1, 2, 3, ... , 2013. Menekan tombol
saklar satu kali akan merubah nyala lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam
keadaan mati. Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari kedua, semua
tombol saklar bernomor 2 atau kelipatan 2 ditekan sekali. Dengan melakukan hal yang sama pada
hari ke-n, semua tombol saklar lampu bernomor n atau kelipatan n ditekan sekali. Demikian
seterusnya. Berapa banyak lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke 2013 dilakukan ?
3. Diberikan fungsi real f dengan �
f(2013) adalah ...
=
��
�−
,
≠
dan �(�
)=
untuk semua
≠ . Nilai
4. Pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi
+
bilangan prima adalah ....
5. Jika | | +
+
=
dan
+| |−
=
, maka nilai dari x + y adalah ...
6. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi
n2 – 660
merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah ...
7. Ada berapa barisan sembilan suku , , … , 9 , yang masing-masing sukunya adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, atau 9, dan memuat tepat satu urutan a i, a j dimana a i genap dan a j ganjil?
8. Bilangan asli n dikatakan “cantik” jika n terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit
penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123
bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmetika. Banyak bilangan cantik adalah ...
9. Misalkan M adalah titik tengah sisi BC pada segitiga ABC dan CAB = 45, ABC = 30, maka
tanAMC adalah ...
10. Diberikan bilangan prima p > 2013. Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan asli sehingga a + b
habis dibagi p tetapi tidak habis dibagi p2. Jika diketahui a 2013 + b2013 habis dibagi p2 maka banyak
bilangan asli n 2013 sehingga a 2013 + b2013 habis dibagi pn adalah ...
11. Ada enam anak TK masing-masing membawa suatu makanan. Mereka akan mengadakan kado
silang, yaitu makanannya dikumpulkan dan kemudian dibagi lagi sehingga masing-masing anak
menerima makanan yang bukan makanan yang dibawa semula. Banyaknya cara untuk melakukan hal
tersebut adalah ...
12. Grafik parabola y = x2 – a dan x = y2 – b dengan a > 0 dan b > 0, berpotongan di empat titik (x1, y1),
(x2, y2), (x3, y3), dan (x4, y4). Nilai (x1 + x2)(x1 + x3)(x1 + x4) adalah ...
13. Sebuah dadu dilempar 2 (dua) kali. Misalkan a dan b berturut-turut adalah angka yang muncul pada
pelemparan pertama dan kedua. Besarnya peluang terdapat bilangan real x, y, dan z yang memenuhi
persamaan
x + y + z = a dan x2 + y2 + z2 = b
sebesar ...
14. Misalkan 1, 2, 3, adalah barisan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 adalah 1. Untuk n 1,
segitiga n+1 didefinisikan dengan cara sebagai berikut: pertama didefinisikan P n sebagai persegi
yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi n, selanjutnya didefinisikan Ln sebagai lingkaran
terbesar di dalam P n , kemudian didefinisikan n+1, sebagai segitiga sama sisi yang titik-titik sudutnya
terletak pada keliling lingkaran. Panjang sisi dari 2013 adalah ...
15. Suatu barisan , , … ,
bilangan asli n. Nilai
�, …
didefinisikan dengan:
adalah ...
=
dan
�+
=
+
�
�
+ untuk setiap
�
16. Diberikan bujursangkar dengan panjang sisi sama dengan √ . Didalam bujursangkar tersebut
terdapat dua segitiga sama sisi dengan alas merupakan sisi-sisi bujursangkar yang berhadapan.
Perpotongan kedua segitiga sama sisi membentuk rhombus. Luas rhombus sama dengan ...
17. Bilangan bulat positif a dan b yang memenuhi FPB (a , b) = 1 dan
bilangan bulat ada sebanyak ...
+
18. Diberikan segitiga ABC; AB = 20, AC = 21 dan BC = 29. Titik D dan E terletak pada segmen BC,
sehingga BD = 8 dan EC = 9. Besarnya DAE sama dengan ...
19. Suatu kompetisi diikuti oleh 20 peserta. Pada setiap ronde, dua peserta bertanding. Setiap peserta
yang kalah dua kali dikeluarkan dari kompetisi, peserta yang terakhir berada di kompetisi adalah
pemenangnya. Jika diketahui pemenang kompetisi tidak pernah kalah, banyaknya pertandingan yang
dilangsungkan pada kompetisi tersebut adalah ...
20. Jumlah dari semua bilangan bulat x yang memenuhi 2log (x2 – 4x – 1) merupakan bilangan bulat
adalah ...
Nama : ................................ Kelas : ...........
Sekolah : .....................................................
No. Peserta : ................................................
Kabupaten : .................................................
Provinsi : .....................................................
BAGIAN KEDUA
Soal 1. Ada dua gelas, gelas A berisi 5 bola merah, dan gelas B berisi 4 bola merah dan satu bola putih.
Satu gelas dipilih secara acak dan kemudian satu bola diambil secara acak dari gelas tersebut. Hal ini
dilakukan berulang kali sampai salah satu gelas kosong. Tentukan probabilitas bahwa bola putih tidak
terambil.
Soal 2. Untuk sebarang bilangan real x, didefinisikan
sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang
dari atau sama dengan x. Tentukan banyak bilangan asli n 1.000.000 sehingga
√� − ⌊√�⌋ <
Soal 3. Suatu bilangan asli n dikatakan “valid” jika 1n + 2n + 3n + ... + mn habis dibagi 1 + 2 + 3 + ...
+ m untuk setiap bilangan asli m.
1. Tunjukkan bahwa 2013 valid.
2. Buktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan yang tidak valid.
Soal 4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan real positif a , b, c dengan a + b + c 6 berlaku
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
Soal 5. Diberikan segitiga ABC lancip. Garis tinggi terpanjang adalah dari titik sudut A tegak lurus pada
BC, dan panjangnya sama dengan panjang median (garis berat) dari titik sudut B.
Buktikan bahwa ABC 60o.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
BAGIAN PERTAMA
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Pert ama
BAGIAN PERTAMA
1. ABC adalah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi 4.
Luas daerah = 3 ∙
300
∙
360
1
2
� ∙ 22 + ∙ 42 ∙ sin 60� = 10� + 4√3
∴ Jadi, luas dari ket iga lingkaran berikut daerah yang dibat asi sama dengan ��� + �√�.
2. Masing-masing lampu akan dit ekan sebanyak f akt or posit if nya.
Bilangan kuadrat sempurna akan memiliki f akt or sebanyak ganj il sedangkan bilangan bukan
kuadrat sempurna memiliki f akt or posit if sebanyak genap.
Karena kondisi lampu awalnya mat i. Maka lampu akan hidup j ika dit ekan sebanyak ganj il.
Maka banyaknya lampu yang hidup sama dengan banyaknya bilangan kuadrat sempurna ≤ 2013.
Mengingat 442 = 1936 dan 452 = 2025 maka bilangan kuadrat sempurna ≤ 2013 ada sebanyak 44.
∴ Jadi, banyaknya lampu dalam kondisi hidup set el ah operasi pada hari ke-2013 ada 44 .
3. �(�) =
��
2�−3
,
�≠
3
2
���(�)� = �
��
� �2� − 3�
=�
��
2 �2� − 3� − 3
� 2 = 2�� − 3(2� − 3)
(� − 3)(� − 2� + 3) = 0
� = 3 at au � = 2� − 3
Karena � adalah konst ant a maka � = 3.
3�
3
�(�) =
, �≠
2� − 3
2
671
3(2013)
=
�(2013) =
2(2013) − 3 447
671
∴ Jadi, nilai �(2013) adalah
.
447
4. Misalkan
�� 2
�+�
= � dengan p adalah bilangan prima.
xy = p(x + y) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
Maka p x at au p y.
Jika p y maka y = bp dengan b ∈ N.
2
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Pert ama
xb 2p = x + bp
Maka p x
Jadi, didapat f akt a bahwa p x.
Misalkan x = ap dengan a ∈ N.
ay2 = ap + y
Maka ay.
y(ay − 1) = ap
Karena ay maka (ay − 1) p
Karena p adalah bilangan prima maka ay − 1 = 1 at au p.
• Jika ay − 1 = 1
ay = 2.
Karena ay maka a = 1 dan y = 2.
(2)((1)(2) − 1) = (1)(p)
p=2
Subt it usikan ke persamaan (1) didapat
x(2) 2 = 2(x + 2)
x=2
Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (2, 2).
• Jika ay − 1 = p
Maka a = y
p = y2 − 1 = (y + 1)(y − 1)
Karena p adalah bilangan prima maka nilai y yang memenuhi adalah y = 2 sehingga p = 3.
Subt it usikan ke persamaan (1) didapat
x(2) 2 = 3(x + 2)
x=6
Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (6, 2).
∴ Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (2, 2) dan (6, 2) .
5. x + x + y = 10 dan x + y − y = 12
* Jika x dan y di kuadran I maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x = 12 sehingga y = −14 (t idak memenuhi (x, y) di kuadran I)
* Jika x dan y di kuadran II maka x = −x dan y = y
y = 10 dan x = 12 (t idak memenuhi (x, y) di kuadran II)
* Jika x dan y di kuadran III maka x = −x dan y = −y
y = 10 dan x − 2y = 12 sehingga x = 32 (t idak memenuhi (x, y) di kuadran III)
* Jika x dan y di kuadran IV maka x = x dan y = −y
2x + y = 10 dan x − 2y = 12
Nilai (x, y) yang memenuhi adalah (
�+� =
32
5
14
−
5
∴ Jadi, � +
18
=
5
��
�=
�
32
,
5
−
14
−)
5
(memenuhi (x, y) di kuadran IV)
6. �2 − 600 = �2 unt uk suat u bilangan bulat posit if �, �.
(� + �)(� − �) = 660 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11
Jelas bahwa � + � > � − �
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
� + � dan � − � keduanya memiliki parit as yang sama. Maka keduanya merupakan bilangan
genap.
Banyaknya f akt or 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ada 8 maka banyaknya pasangan (�, �) yang memenuhi ada 4.
∴ Jadi, banyaknya pasangan (�, �) yang memenuhi ada 4 .
7. Barisan it u akan membent uk kelompok bilangan ganj il, diikut i kelompok bilangan genap, lalu
diikut i kelompok bilangan ganj il dan diakhiri kelompok bilangan genap.
Misalkan a adalah banyaknya bilangan ganj il pada bagian pal ing kiri, b menyat akan banyaknya
bilangan genap di sebelah kanan kelompok bilangan ganj il, c menyat akan banyaknya bilangan
ganj il di sebelah kanan kelompok bilangan genap dan d menyat akan banyaknya bilangan ganj il di
bagian paling kanan.
Maka 0 ≤ a ≤ 4 ; 1 ≤ b ≤ 5 ; 1 ≤ c ≤ 5 ; 0 ≤ d ≤ 4 sert a a + c = 4 at au 5
Karena ada 4 bilangan ganj il dan 5 genap at au 5 bilangan ganj il dan 4 genap, maka masingmasing susunan 9 bilangan ada 4! ⋅ 5! = 2880 kemungkinan.
Unt uk mencari banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi maka dapat dibagi 2 kasus :
• Kasus 1, j ika a + c = 4
Maka b + d = 5
Banyaknya cara memilih 4 bilangan ganj il = 5C4 = 5.
Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 4 sebab c ≥ 1.
Karena b + d = 5 maka banyaknya nilai b yang memenuhi ada 5.
Jadi, banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi ada 5 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 100.
• Kasus 2, j ika a + c = 5
Maka b + d = 4
Banyaknya cara memilih 4 bilangan genap = 5C4 = 5.
Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 5 sebab c ≥ 1.
Karena b + d = 4 maka banyaknya nilai b yang memenuhi ada 4.
Jadi, banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi ada 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 100.
Jadi, banyaknya t upel (a, b, c, d) yang memenuhi = 100 + 100 = 200.
Jadi, banyaknya susunan = 200 ⋅ 2880 = 576000.
∴ Jadi, banyaknya susunan 576000 .
8. Jika abc adalah bilangan cant ik maka cba j uga bilangan cant ik.
Maka cukup dengan membuat daf t ar bilangan cant ik dengan a < b.
Bilangan-bilangan cant ik dengan a < b adalah 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678,
123456789, 124, 1248, 135, 1357, 13579, 139, 147, 159, 234, 2345, 23456, 234567, 2345678,
23456789, 246, 2468, 248, 258, 345, 3456, 34567, 345678, 3456789, 357, 3579, 369, 456, 4567,
45678, 456789, 468, 469, 567, 5678, 56789, 579, 678, 6789, 789 yang banyaknya ada 46.
∴ Jadi, banyaknya bilangan cant i ada 92 .
9. Diket ahui ∠BAC = 45o dan ∠ABC = 30o. Misalkan panj ang BC = 2a ; AC = 2b dan AB = 2c.
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
Dengan dalil sinus pada ∆ABC didapat
� sin 45�
=
= √2
� sin 30�
Misalkan ∠AMC = y maka ∠CAM = 75o − y
Dengan dalil sinus pada ∆AMC didapat
sin(75� − �)
�
=
sin �
2�
√2 sin � = 2 sin(75� − �) = 2 sin 75� cos � − 2cos 75� sin �
sin �
2 sin 75�
√3 + 1
tan � =
=
=
=1
cos � √2 + 2 cos 75� √3 + 1
∴ Jadi, nilai dari tan ∠��� = � .
10. a + b = kp dengan k ∈ N dan k t idak habis dibagi p sert a p adalah bilangan prima.
b = kp − a
a2013 + b 2013 = a2013 + (kp − a) 2013
a2013 + b 2013 = (kp) 2013 + 2013(kp) 2012a + 2013C2(kp) 2011a2 + ⋅⋅⋅ + 2013C2 (kp) 2a2011 + 2013(kp)a2012
Karena a2013 + b 2013 habis dibagi p 2 sedangkan p > 2013 t idak membagi k maka a habis dibagi p.
Karena p a dan p (a + b) maka p b.
Maka a2013 + b 2013 habis dibagi p 2013.
∴ Jadi, banyak bilangan asli n ≤ 2013 yang memenuhi ada 2013 .
11. Keenam anak TK akan dibagi dalam beberapa kelompok yang pert ukaran hadiah dalam kelompok
akan membent uk suat u lingkaran.
Berdasarkan pembagian maka ada 4 kasus :
• Kasus 1, keenam anak TK t erbagi dalam 3 kelompok masing-masing 2 orang.
Pada masing-masing kel ompok banyaknya cara = (2 − 1)! = 1.
•
•
•
Maka banyaknya cara seluruh =
6 4 2
� �� �� �
2 2 2
∙
3!
(2 − 1)! ∙ (2 − 1)! ∙ (2 − 1)! = 15.
Kasus 2, keenam anak TK t erbagi dalam 2 kelompok, 1 kelompok 2 orang dan kelompok lain
4 orang.
Pada kelompok t erdiri dari 4 orang, orang pert ama akan memberikan ke orang kedua dengan
3 cara, orang kedua akan memberikan ke orang ket iga dengan 2 cara, orang ket iga akan
memberikan ke orang keempat dengan 1 cara dan orang keempat akan memberikan ke orang
pert ama dengan 1 cara. Banyaknya cara = (4 − 1)! .
6
2
Maka banyaknya cara seluruh = � � ∙ (2 − 1)! ∙ (4 − 1)! = 90.
Kasus 3, keenam anak TK t erbagi dalam 2 kelompok masing-masing 3 orang.
Banyaknya cara =
6 3
� �� �
3 3
2!
∙ (3 − 1)! ∙ (3 − 1)! = 40.
Kasus 4, keenam anak TK t erbagi dalam 1 kelompok t erdiri dari 6 orang.
Banyaknya cara = (6 − 1)! = 120
Jadi, banyaknya cara pert ukaran hadiah = 15 + 90 + 40 + 120 = 265
∴ Jadi, banyaknya cara melakukan hal t ersebut adalah 265 .
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
12. � = �2 − � dan � = � 2 − �
� = (� 2 − �)2 − � = � 4 − 2��2 + �2 − �
� 4 − 2��2 − � + �2 − � = 0 memiliki akar-akar �1 , �2 , �3 dan �4 . Maka
�1 + �2 + �3 + �4 = 0
�1 �2 �3 + �1 �2 �4 + �1 �3 �4 + �2 �3 �4 = 1
(�1 + �2 )(�1 + �3 )(�1 + �4 ) = �12 (�1 + �2 + �3 + �4 ) + �1 �2 �3 + �1 �2 �4 + �1 �3 �4 + �2 �3 �4
(�1 + �2 )(�1 + �3 )(�1 + �4 ) = 1
∴ Jadi, nilai (�1 + �2 )(�1 + �3 )(�1 + �4 ) adalah 1 .
13. � + � + � = � dan � 2 + � 2 + � 2 = � dengan 1 ≤ �, � ≤ 6 sert a �, � ∈ �.
� 2 + � 2 + � 2 + 2�� + 2�� + 2�� = �2
�2 − �
�� + �� + �� =
2
Berdasarkan ket aksamaan AM-GM didapat
� 2 + � 2 + � 2 ≥ �� + �� + ��
2� ≥ �2 − �
3� ≥ �2
• Jika � = 1 maka nilai � yang memenuhi adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Jika � = 2 maka nilai � yang memenuhi adalah 2, 3, 4, 5, 6.
• Jika � = 3 maka nilai � yang memenuhi adalah 3, 4, 5, 6.
• Jika � = 4 maka nilai � yang memenuhi adalah 5, 6.
• Jika � = 5 at au 6 maka t idak ada nilai � yang memenuhi.
Jadi, banyaknya pasangan (a, b) yang memenuhi ada 17.
∴ Jadi, besarnya peluang t erdapat bilangan real � , �, � yang memenuhi adalah
��
.
��
14. Misalkan ABC adalah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi �. DEFG adalah persegi dengan
keempat t it ik sudut nya t erlet ak pada sisi ABC dengan D, E t erlet ak pada sisi AB. Lingkaran O
adalah lingkaran dalam persegi DEFG. Segit iga PQR adalah segit iga sama sisi yang ket iga t it ik
sudut nya t erlet ak pada lingkaran O.
Misalkan panj ang sisi persegi DEFG sama dengan �.
CGF adalah segit iga sama sisi maka panj ang �� = �.
Panj ang �� = � − �.
�� = �� sin 60�
1
� = (� − �) ∙ √3
2
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
�=
�√3
2 + √3
Jar-j ari lingkaran O = � =
Bagian Pert ama
� √3
.
4+2√3
Misalkan panj ang sisi ∆PQR sama dengan �.
1 2
�3 �3 �4 + 2√3�
∙ � ∙ sin 60� =
=
2
4�
4�√3
3�
[���] =
�=
4 + 2√3
Maka panj ang sisi ∆1 , ∆2 , ∆3 , ⋅⋅⋅ bert urut -t urut adalah 1,
suat u barisan geomet ri dengan rasio
3
.
4+2√3
∴ Jadi, panj ang sisi dari ∆2013 adalah �
����
�
�
.
�+�√�
3
,
4+2√3
2
3
� ,
4+2√3
�
⋅⋅⋅ yang membent uk
15. �1 = 2
2
1
��+1 = �1 + � �� +
�
�
�2 = 6
�3 = 10
�4 = 14
Jika diambil �� = 4� − 2 maka
��+1 = 4(� + 1) − 2 = 4� + 2
2
1
2
1
�1 + � �� + = �1 + � (4� − 2) + = 4� + 2
�
�
�
�
Maka �� = 4� − 2
�2013 = 4(2013) − 2 = 8050
∴ Jadi, nilai �2013 adalah ����.
16. Misalkan ���� adalah persegi dengan panj ang 2√3.
���� adalah rhombus (belah ket upat ) dimaksud dengan t it ik � t erlet ak di dalam ∆���.
��� j uga merupakan segit iga sama sisi.
Misalkan perpot ongan �� dan �� adalah t it ik � dan pert engahan �� adalah �.
�� = �� tan 60� = √3 ∙ √3 = 3
�� = �� − �� = 3 − √3
�� ��
=
�� ��
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
��
3 − √3
=
3
2√3
�� = 2√3 − 2
1
2
Bagian Pert ama
2
Luas rhombus = 2 ∙ ∙ �2√3 − 2� ∙ sin 60� = 8√3 − 12
∴ Jadi, luas rhombus = �√� − ��.
17.
�
�
25�
+
= � dengan �, �, � ∈ � dan ���(�, �) = 1.
21�
2
21� + 25� 2 = 21���
Karena ���(�, �) = 1 maka �25 dan �21.
Maka kemungkinan pasangan (�, �) yang mungkin memenuhi adalah (1, 1), (1, 3), (1, 7), (1, 21),
(5, 1), (5, 3), (5, 7), (5, 21), (25, 1), (25, 3), (25, 7), (25, 21).
Melalui penguj ian ke persamaan semula didapat f akt a bahwa t idak ada pasangan (�, �) yang
memenuhi.
∴ Jadi, bilangan bulat posit if � dan � yang memenuhi ada sebanyak 0 .
18. Karena 202 + 212 = 292 maka ∆��� siku-siku di �.
Pada ∆��� berlaku :
�� 2 = ��2 + �� 2 − 2 ∙ �� ∙ �� ∙ cos ∠���
20 7056
�� 2 = 202 + 82 − 2 ∙ 20 ∙ 8 ∙
=
29
29
Pada ∆��� berlaku :
�� 2 = �� 2 + �� 2 − 2 ∙ �� ∙ �� ∙ cos ∠���
21 7200
=
�� 2 = 212 + 92 − 2 ∙ 21 ∙ 9 ∙
29
29
Pada ∆��� berlaku :
�� 2 = �� 2 + �� 2 − 2 ∙ �� ∙ �� ∙ cos ∠���
122 =
7056 7200
7056 7200
+
−2∙�
∙�
∙ cos ∠���
29
29
29
29
10080 10080√2
=
∙ cos ∠���
29
29
1
cos ∠��� = √2
2
∴ Jadi, besarnya ∠��� = 45 o.
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Bagian Pert ama
19. Dalam sat u pert andingan sat u t im akan menang dan sat u t im lagi akan kalah.
Karena j umlah t im ada 20 sedangkan t im yang j uara t idak pernah kalah maka j umlah kekalahan
ada 2x19 = 38.
Maka j umlah pert andingan ada 38.
∴ Jadi, banyaknya pert andingan yang dilangsungkan pada kompet isi t ersebut adalah 38 .
20. 2log (x 2 − 4x − 1) = m unt uk suat u bilangan bulat m.
(x − 2) 2 − 5 = 2m
(x − 2) 2 = 5 + 2m
Jika m < 0 maka ruas kanan merupakan pecahan. Tidak ada x bulat yang memenuhi.
Jika m = 0 maka (x − 2) 2 = 6. Tidak ada x bulat yang memenuhi.
Jadi, m > 0.
Alt ernat if 1 :
• Jika m ganj il
Angka sat uan 2m berulang dengan periode 4. Jika m ganj il maka angka sat uan 2m adalah 2
at au 8 sehingga angka sat uan 5 + 2m adalah 7 at au 3 unt uk m ganj il. Bilangan kuadrat t idak
mungkin memiliki angka sat uan 3 at au 7 sehingga t idak mungkin ada x bulat yang memenuhi.
• Jika m genap
Misalkan m = 2n maka
(x − 2) 2 − (2n) 2 = 5
(x − 2 + 2n) (x − 2 − 2n) = 5
Karena x − 2 + 2n > x − 2 − 2n maka ada 2 kasus
• Kasus 1, x − 2 + 2n = 5 dan x − 2 − 2n = 1
Maka didapat x − 2 = 3 dan 2n = 2 sehingga x = 5 dan m = 2n = 2
• Kasus 2, x − 2 + 2n = −1 dan x − 2 − 2n = −5
Maka didapat x − 2 = −3 dan 2n = 2 sehingga x = −1 dan m = 2n = 2
Maka j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 5 − 1 = 4.
∴ Jadi, j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 4 .
Alt ernat if 2 :
Jika m ≥ 3 maka ruas kanan dibagi 8 akan bersisa 5. Bilangan kuadrat j ika dibagi 8 akan bersisa
0, 1 at au 4. Jadi, t idak akan ada x bulat yang memenuhi. Maka 1 ≤ m ≤ 2.
Jika m = 1 maka (x − 2) 2 = 7 sehingga t idak ada x bulat yang memenuhi.
Jika m = 2 maka (x − 2) 2 = 9. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 at au x = −1.
Maka j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 5 − 1 = 4.
∴ Jadi, j umlah semua bilangan x yang memenuhi = 4.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
BAGIAN KEDUA
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Kedua
BAGIAN KEDUA
1. Akan ada 5 kasus :
• Kasus 1, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-5.
•
1 5
2
Peluang = � � =
1
.
32
Kasus 2, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-6.
Pengambilan bola ke-6 harus dari gelas A.
5
1
Banyaknya urut an pengambilan bola dari gelas B = � � = 5.
Peluang t erambilnya sat u bola merah dari gelas B =
•
1 6
2
5
1
Peluang = � � ∙ � � ∙
4
5
=
1
16
4
5
Kasus 3, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-7.
Pengambilan bola ke-7 harus dari gelas A.
6
2
Banyaknya urut an pengambilan 2 bola dari gelas B = � � = 15.
Peluang t erambilnya dua bola merah dari gelas B =
•
1 7
2
6
2
Peluang = � � ∙ � � ∙
3
5
=
9
128
4 3
∙
5 4
=
3
5
Kasus 4, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-8.
Pengambilan bola ke-8 harus dari gelas A.
7
3
Banyaknya urut an pengambilan 3 bola dari gelas B = � � = 35.
Peluang t erambilnya dua bola merah dari gelas B =
•
1 8
2
7
3
Peluang = � � ∙ � � ∙
2
5
=
7
128
4 3 2
∙ ∙
5 4 3
=
2
5
Kasus 5, j ika salah sat u gelas kosong set elah pengambilan ke-9.
Pengambilan bola ke-9 harus dari gelas A.
8
4
Banyaknya urut an pengambilan 4 bola dari gelas B = � � = 70.
Peluang t erambilnya dua bola merah dari gelas B =
1 9
2
8
4
Peluang = � � ∙ � � ∙
1
5
=
7
256
Maka probabilit as bahwa bola put ih t idak t erambil =
1
32
4 3 2 1
∙ ∙ ∙
5 4 3 2
+
∴ Jadi, probabilit as bahwa bola put ih t idak t erambil =
=
1
5
1
9
7
7
+
+
+
16
128
128
256
��
.
���
=
63
256
1
2. √� − �√�� <
dengan � ∈ � dan � ≤ 1.000.000.
2013
2
Misalkan � = � + � unt uk suat u � bulat t ak negat if dengan � ≤ 2� dan � ∈ � sert a � ≤ 1000.
Maka �√�� = �
1
2013
1 2
2�
1 2
� 2 + � < �� +
� = �2 +
+�
�
2013
2013
2013
�� 2 + � − � <
Mengingat bahwa j ika � ≤ 1000 maka � <
Nilai � yang memenuhi hanya � = 0.
2
1
2�
+�
�
2013
2013
< 1 unt uk semua nilai � ∈ �.
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
Solusi
Bagian Kedua
1
Jadi, � = � 2 yang memenuhi √� − �√�� = 0 <
unt uk semua nilai �.
2013
Karena banyaknya nilai � ada 1000 maka banyaknya nilai � yang memenuhi j uga ada 1000.
∴ Jadi, banyaknya bilangan asli � ≤ 1.000.000 yang memenuhi ada 1000 .
3. 1 + 2 + 3 + ⋯ + � =
�(�+1)
2
a. Jika � = 2013.
Jelas bahwa � 2013 + (� − �)2013 unt uk suat u � ∈ � habis dibagi �
• Jika � genap
� 2013
2
Maka � �
dan �2013 t idak memil iki pasangan. Tet api kedua bilangan t ersebut habis
dibagi �.
Jika � ganj il
Maka �2013 t idak memiliki pasangan. Tet api �2013 habis dibagi �.
Terbukt i bahwa 12013 + 22013 + 32013 + ⋯ + �2013 habis dibagi � unt uk semua � ∈ � .
Jelas bahwa � 2013 + (� + 1 − �)2013 unt uk suat u � ∈ � habis dibagi � + 1.
• Jika � genap
Maka semua bilangan memiliki pasangannya.
• Jika � ganj il
•
�+1 2013
�
t idak memiliki pasangan. Tet api
2
2013
2013
2013
2013
Maka �
�
�+1 2013
�
2
habis dibagi � + 1.
Terbukt i bahwa 1
+2
+3
+ ⋯+ �
habis dibagi � + 1 unt uk semua � ∈ � .
Jadi, t erbukt i bahwa 12013 + 22013 + 32013 + ⋯ + �2013 habis dibagi � dan � + 1 yang
art inya habis dibagi
�(�+1)
2
unt uk semua � ∈ � .
∴ Jadi, t erbukt i bahwa 2013 valid.
b. Ambil � = 2� dan � = 2.
12� + 22� = 2�12�−1 + 22�−1 � − 1
Karena (1 + 2)|�12�−1 + 22�−1 � maka (1 + 2) t idak membagi 12� + 22� .
Maka � = 2� t idak valid unt uk � = 2.
Jadi, 2� t idak valid.
Ada t ak hingga banyaknya bilangan berbent uk 2� .
∴ Jadi, t erbukt i bahwa ada t ak hingga banyak bilangan yang t idak valid.
4. Berdasarkan ket aksamaan AM-HM maka
1
1
1
3
2� + 2� + 2� ≥
3
2� + 2� + 2�
1
1
9
3
1
+
+
≥
=
2� 2� 2� 2� + 2� + 2� 4
Berdasarkan ket aksamaan AM-HM maka
1
1
1
3
2� + 8 + 2� + 8 + 2� + 8 ≥
(2� + 8) + (2� + 8) + (2� + 8)
3
1
1
1
9
9
1
+
+
≥
=
=
2� + 8 2� + 8 2� + 8 2(� + � + �) + 24 36 4
1
1
�+2
Mengingat bahwa
+
=
maka
2�
2�+8
�(�+4)
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2013
�+2
�+2
�+2
+
+
≥1
�(� + 4) �(� + 4) �(� + 4)
�+�
∴ Jadi, terbukti bahwa
+
�(�+�)
�+�
�+�
+
�(�+�)
�(�+�)
Bagian Kedua
≥ �.
5. Misalkan garis t inggi dari t it ik A memot ong t egak lurus sisi BC di t it ik D dan garis median dari B
memot ong sisi AC di t it ik E.
Dari t it ik E dibuat garis memot ong t egak lurus sisi BC di M.
Karena ∆CEM dan ∆CAD sebangun dengan E pert engahan AC maka EM =
1
2
AD.
Karena BE = AD = 2 EM maka ∠EBM = 30 .
Misalkan t it ik N merupakan pert engahan AB.
Karena E dan N bert urut -t urut pert engahan AC dan AB maka EN akan sej aj ar BC.
Karena EN sej aj ar CB maka ∠BEN = ∠EBM = 30o.
o
Karena luas segit iga =
dari segit iga ABC.
1
1
�� ≤ ��
2
2
EN ≤ BN
1
2
alas ⋅ t inggi dan AD adalah sisi t erpanj ang maka BC adalah sisi t erpendek
Sisi yang lebih panj ang dari suat u segit iga akan menghadap sudut yang l ebih besar.
Karena EN ≤ BN maka pada ∆BEN akan berlaku ∠EBN ≤ ∠BEN = 30o.
Maka ∠ABC = ∠EBM + ∠EBN ≤ 30o + 30o = 60o.
Jadi, ∠ABC ≤ 60o.
∴ Jadi, t erbukt i bahwa ∠ABC ≤ 60 o.