Penggunaan Metode Backward Untuk Menentukan Persamaan Regresi Linier Berganda (Studi Kasus : Jumlah Penyalahgunaan Narkoba di POLRESTA Medan)

BAB II

LANDASAN TEORY

2.1. Prosedur regresi dengan Menggunakan Metode Backward

Metode Backward merupakan langkah mundur, dimana semua variabel Xi

diregresikan dengan variabel dependen Y. pengeleminasian variabel Xi didasarkan

pada nilai Fpar dari masing-masing variable Xi yaitu variable yang mempunyai nilai

Fpar tangkah pokok terkecil dan turut tidaknya variabel tersebut didalam model

didasarkan pada Ftab

Langkah 1 : Membentuk persamaan regresi linier berganda lengkap (membuat semua variabel bebas X1).

Menentukan persamaan yang membuat semua variabel bebas X1 dimana

koefisien regresi a₁,a₂,...,a_k

Dihitung berdasarkan persamaan:

                k a a a a  2 1 0 =         







k x x x n  2 1









1 1 2 12 1 x x x x x x k 









2 1 2 2 1 2 x x x x x x       1 2 2 1          









k k k k x x x x x x                  Y x Y x Y x Y k  2 1

Langkah 2: Menentukan nilai F- parsial dari masing variabel Xi.

Untuk menentukan nilai F- parsial dari masing-masing variabel Xi diperlukan

Tabel 1 : Analisa Variansi

Sumber Dk Jumlah Kuadrat Rata-rata F hitung

Variansi Jumlah Kuadrat

Total n-1 JKT JKR/V

Regresi V JKR JKR/v

Residu n-1-v JKT – JKR (JKT-JKR)/n-1-v (JKT-JKR)/n-1-v

Dengan: Jumlah Kwadrat total JKT =



Y2 nȲ2

Jumlah kwadrat regresi JKR = a₀



Y a₁



x₁Y ...a_k



x_kYnȲ2

Kemudian dihitung F Parsial dari masing-masing variabel bebas xi dengan

menggunakan tabel sebagai berikut:

Tabel 2: Uji Korelasi Parsial

no Koefisien regresi Galat baku F parsial

1 a₁ s1 a₁2/s₁2

2 a₂ s2 a₂2/s₂2

.

.

.

K k

a

sk ak2/sk2

si = RJK(res)Bij

si = Galat taksiran Y atas xi, untuk i = 1,2,3,...,k

dengan : RJK (Res) = Rata-rata jumlah kuadrat residu

Langkah 3: Pemilihan Variabel yang Pertama Keluar dari Model.

Variabel yang pertama diuji apakah terpilih keluar dari model atau tidak adalah variabel yang mempunyai harga F parsial terkecil pada tabel 3 diatas, misalnya xi. Untuk menentukan apakah xi keluar atau tidak, maka nilai F parsial dari xi

dibandingkan dengan niali F tabel, dengan hipotesa sebagai berikut: Uji Hipotesa:

H0 : Regresi antara Y dengan Xi tidak signifikan

H1 : Regresi antara Y dengan Xi signifikan

Keputusan:

Bila Fuji < Ftabel maka terima H0

Bila Fuji≥ Ftabel maka tolak H0

Dengan :

Ftabel=F(p-1,n-p,0,5)

Langkah 4 : Membentuk Persamaan Regresi Linier Berganda yang Kedua.

Bila pada langkah 3, H0 ditolak maka proses berakhir dan penduga yang

digunakan adalah persamaan regresi linier berganda lengkap. Sebaliknya jika H0

diterima maka langkah selanjutnya adalah membentuk persamaan regresi linier berganda yang membuat semua variabel xi (untuk i ≠ 1). Untuk itu prosedur yang

digunakan adalah sama seperti pada langkah 1.

Langkah 5 : Pemilihan Variabel yang Kedua Keluar dari Model.

Untuk memilih variabel yang kedua keluar dari model didasarkan pada nilai F parsial dari variabel bebas yang termuat pada persamaan regresi linier berganda yang kedua (pada langkah 4).

Proses ini diulang secara berurutan sampai akhirnya nilai F parsial terkecil dari variabel bebas akan lebih besar dari F tabel.

2.2. Ujian Sampel

Sebagai ketentuan dalam melakukan penelitian yang berhubbungan dengan pengambilan data adalah harus diketahui untuk dianalisa. Untuk menentukan ukuran sampel memenuhi unntuk dianalisa, maka dilakukan uji kecukupan sampel dengan taraf signifikan α = 0,5.

Hipotesa : H0 : ukuran sampel telah memenuhi syarat

H1 : ukuran sampel tidak memenuhi syarat

Statistik penguji :

N’ =





2

1

2 1 2

1 20

    

 

 _







X

X X

N

Dengan : N’= ukuran variabel tak bebas ke-i observasi N = Ukuran sampel pengambilan

Xt = Data yang diuji

Kriteria pengujian: H0 diterima jika N1≤ N

2.3. Model Regresi Linier Dengan Pendekatan Matriks

Menggunakan matriks: Y= Xb + ε Dimana:

=

Berdasarkan sifat dari transpose matriks yaitu karena adalah

suatu scalar (bilangan nyata = real number) maka sama dengan transposenya

Sehingga:

Kemudian disamakan dengan nol, maka diperoleh

, dengan syarat ada invers Bentuk penulisan dalam matriks adalah

Koefisien regresi b0, b1, b2, …, bk adalah

Bentuk umum persamaan regresi linier berganda adalah: Y = b₀b₁X₁b₂X₂...b_kX_k e₁

Dengan : Y = Nilai Variabel tak bebas ke-i observasi

0

b = Konstanta Regresi

k b b

b₁, ₂,..., = Koefisien regresi

Xk = Nilai variabel bebas untuk k =1,2,...,i

Ej = Galat

Bentuk data yang diolah adalah sebagai berikut :

Tabel 3 : Data Observasi

No Respon Variabel

Observasi (Y) X1 X2 X3 ... Xk

1 Y1 X11 X21 X31 ... Xk1

2 Y2 X12 X22 X32 ... Xk2

. . . .

. . . .

. . . .

Kemudian data observasi diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan regresi linier berganda yangmerupakanpenduga berbentuk:

= b₀ b₁x₁...b_kx_k

Dengan: = Y – ej dengan asumsi bahwa ej ≈ N(0,σ2). Hal inipenting berarti bahwa

residu ej mengikuti distibusi normal dengan nilai rata-rata pengganggu = 0 dan

variansi (ej) = σ2.

Untuk penganalisa kecocokan penduga yang diperoleh, ketiga asumsi ini harus diperiksa.

i. Rata-rata residu (ē) = 0.

ii. Tidak ada autokorelasi antar residu, artinya (ej,ek) = 0. Sehingga penduga

yang diperoleh merupakan penduga yang tak biasa.

iii. Nilai rata-ra residu dan variansi (ej) = variansi (ek) = σ2. Asumsi ini disebut

dengan asumsi homoscedastisitas.

2.4. Membentuk Model Penduga

Apabila proses pengeluaran variabel bebas dari persamaan regresi telah selesai, maka dietapkan persamaan regresi yang menjadi penduga linier yang diinginkan.

2.4.1. Persamaan Penduga Pada Metode Backward

Bentuk penduga ditetapkan adalah : = b₀ 



b_pX_p dimana Xp dalah

semua variabel X yang tinggal di dalam persamaan dan bp adalah koefisien regresi

2.4.2. Koefisien Korelasi determinasi (Indeks Determinasi).

Koefisien korelasi determinasi ditanyakan dengan R2. Koefisien ini

menyatakan besar promosi atau sumbangan dari X1, X2, ..., Xk secara bersama-sama

terhadap variasi atau naik turunnya Y. Harga R2 diperoleh :

R2 = (JK (REG)/JK (Total)) * 100%

Harga R2 yang diperoleh akan sesuai dengan variasi yang dijelaskan

masing-masing variabel yg tinggal dalam regresi. Hal ini berakibat bahwa variasi yang dijelaskan penduga hanya disebabkan oleh variabel ang berpengaruh saja (yang bersifat nyata atau lebih). Sebagai penduga sering digunakan dalam satuan persen dimana persentase variasi penduga tersebut adalah: R2 x 100%.

2.4.3. Pertimabangan Terhadap Penduga.

a. Pertimbangan Berdasarkan R2.

Diterima atau tidaknya suatu penduga yang diperoleh atas besarnya R2 adalah tergantung kepada yang menilainya atau yang membuat keputusan. Suatu penduga sangat baik digunakan bila persentase variasi yang dijelaskan sangat besar (mendekati satu).

b. Pertimbangan Berdasarkan Residu (Sisa)

Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok apabila ketiga asumsi dipenuhi. Ketiga asumsi itu dibuktikan (ditunjukkan kebenarannya) dengan analisa residu dari penduga, yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan predictor observasi.

2.4.4. Pembuktian Asumsi

Asumsi (i) : Rata-rata residu sama dengan nol (0).

Keberartian dari keadaan ini akan terlihat pada perhitungan seperti tabel dibawah ini.

Asumsi (ii): Variansi (ej) = variansi (ek) = σ2.

Keadaan ini akan dibuktikan melalui uji statistika yaituujit, dengan terlebih dahulu menghitung koefisien korelasi Rank Sperman (membandingkan harga thitung

dengan ttabel.

Untuk uji ini, data yang diperlakukan dengan tabel sebagai berikut: Tabel 4 : Koefisien Korelasi Rank Spearman

No. Penduga Residu Rank Rank (ej) dj

2 j

d

Obs ( j) (ej) ( j) ry-re

1 Y1 e1 rY1 re1 d1 d12

2 Y2 e2 rY2 re2 d2 d₂2

3 Y3 e3 rY3 re3 d3

2 3 d . . . . . .

No. Yn en RYn ren dn dn2

Jumlah



d2j

Koefisien korelasi Rank Spearman : rs = 1-6

        



) 1 ( 2 2 n n j d

, kemudia di uji dengan

menggunakan uji t, dimana harga dari thitung =

2 1 2 s s r n r  

, dan selanjutnya dicari harga

ttabel yaitu: ttabel = t(n-2;1,α) , dimana n-2 adalah derajat kebebasan dan adalah taraf nyata

bila thitung < ttabel maka variansi (ej) = variansi (ek) sehingga variansi seluruh residu

adalah sama (homoscedasitisitas).

Asumsi (iii): Convarian (ej,ek) = 0.

Asumsi ini dibuktikan dengan plot residu (diagram pencar dari residu). Bila plot residu menunjukkan pola tertentu yang beraturan maka asumsi dilanggar atau covarian (ej,ek) ≠ 0. Sedangkan sebaliknya asumsi dipenuhi. Aabila asumsi ini

=

Berdasarkan sifat dari transpose matriks yaitu karena adalah suatu scalar (bilangan nyata = real number) maka sama dengan transposenya

Sehingga:

Kemudian disamakan dengan nol, maka diperoleh

, dengan syarat ada invers Bentuk penulisan dalam matriks adalah

Koefisien regresi b0, b1, b2, …, bk adalah

Bentuk umum persamaan regresi linier berganda adalah: Y = b₀b₁X₁b₂X₂...b_kX_k e₁

Dengan : Y = Nilai Variabel tak bebas ke-i observasi

0

b = Konstanta Regresi

k b b

b₁, ₂,..., = Koefisien regresi

Xk = Nilai variabel bebas untuk k =1,2,...,i

Ej = Galat

Bentuk data yang diolah adalah sebagai berikut :

Tabel 3 : Data Observasi

No Respon Variabel

Observasi (Y) X1 X2 X3 ... Xk

1 Y1 X11 X21 X31 ... Xk1

2 Y2 X12 X22 X32 ... Xk2

. . . .

. . . .

. . . .

Kemudian data observasi diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan regresi linier berganda yangmerupakanpenduga berbentuk:

= b₀ b₁x₁...b_kx_k

Dengan: = Y – ej dengan asumsi bahwa ej ≈ N(0,σ2). Hal inipenting berarti bahwa

residu ej mengikuti distibusi normal dengan nilai rata-rata pengganggu = 0 dan

variansi (ej) = σ2.

Untuk penganalisa kecocokan penduga yang diperoleh, ketiga asumsi ini harus diperiksa.

i. Rata-rata residu (ē) = 0.

ii. Tidak ada autokorelasi antar residu, artinya (ej,ek) = 0. Sehingga penduga

yang diperoleh merupakan penduga yang tak biasa.

iii. Nilai rata-ra residu dan variansi (ej) = variansi (ek) = σ2. Asumsi ini disebut

dengan asumsi homoscedastisitas.

2.4. Membentuk Model Penduga

Apabila proses pengeluaran variabel bebas dari persamaan regresi telah selesai, maka dietapkan persamaan regresi yang menjadi penduga linier yang diinginkan.

2.4.1. Persamaan Penduga Pada Metode Backward

Bentuk penduga ditetapkan adalah : = b₀ 



b_pX_p dimana Xp dalah

semua variabel X yang tinggal di dalam persamaan dan bp adalah koefisien regresi

2.4.2. Koefisien Korelasi determinasi (Indeks Determinasi).

Koefisien korelasi determinasi ditanyakan dengan R2. Koefisien ini menyatakan besar promosi atau sumbangan dari X1, X2, ..., Xk secara bersama-sama

terhadap variasi atau naik turunnya Y. Harga R2 diperoleh : R2 = (JK (REG)/JK (Total)) * 100%

Harga R2 yang diperoleh akan sesuai dengan variasi yang dijelaskan masing-masing variabel yg tinggal dalam regresi. Hal ini berakibat bahwa variasi yang dijelaskan penduga hanya disebabkan oleh variabel ang berpengaruh saja (yang bersifat nyata atau lebih). Sebagai penduga sering digunakan dalam satuan persen dimana persentase variasi penduga tersebut adalah: R2 x 100%.

2.4.3. Pertimabangan Terhadap Penduga.

a. Pertimbangan Berdasarkan R2.

Diterima atau tidaknya suatu penduga yang diperoleh atas besarnya R2 adalah tergantung kepada yang menilainya atau yang membuat keputusan. Suatu penduga sangat baik digunakan bila persentase variasi yang dijelaskan sangat besar (mendekati satu).

b. Pertimbangan Berdasarkan Residu (Sisa)

Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok apabila ketiga asumsi dipenuhi. Ketiga asumsi itu dibuktikan (ditunjukkan kebenarannya) dengan analisa residu dari penduga, yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan predictor observasi.

2.4.4. Pembuktian Asumsi

Asumsi (i) : Rata-rata residu sama dengan nol (0).

Keberartian dari keadaan ini akan terlihat pada perhitungan seperti tabel dibawah ini.

Asumsi (ii): Variansi (ej) = variansi (ek) = σ2.

Keadaan ini akan dibuktikan melalui uji statistika yaituujit, dengan terlebih dahulu menghitung koefisien korelasi Rank Sperman (membandingkan harga thitung

dengan ttabel.

Untuk uji ini, data yang diperlakukan dengan tabel sebagai berikut: Tabel 4 : Koefisien Korelasi Rank Spearman

No. Penduga Residu Rank Rank (ej) dj

2

j

d

Obs ( j) (ej) ( j) ry-re

1 Y1 e1 rY1 re1 d1 d12

2 Y2 e2 rY2 re2 d2 d₂2

3 Y3 e3 rY3 re3 d3

2 3 d . . . . . .

No. Yn en RYn ren dn dn2

Jumlah



d2j

Koefisien korelasi Rank Spearman : rs = 1-6

        



) 1 ( 2 2 n n j d

, kemudia di uji dengan

menggunakan uji t, dimana harga dari thitung =

2 1 2 s s r n r  

, dan selanjutnya dicari harga ttabel yaitu: ttabel = t(n-2;1,α) , dimana n-2 adalah derajat kebebasan dan adalah taraf nyata

bila thitung < ttabel maka variansi (ej) = variansi (ek) sehingga variansi seluruh residu

adalah sama (homoscedasitisitas).

Asumsi (iii): Convarian (ej,ek) = 0.

Asumsi ini dibuktikan dengan plot residu (diagram pencar dari residu). Bila plot residu menunjukkan pola tertentu yang beraturan maka asumsi dilanggar atau covarian (ej,ek) ≠ 0. Sedangkan sebaliknya asumsi dipenuhi. Aabila asumsi ini