Persamaan Diferensial Legendre dan penerapannya - USD Repository
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE DAN PENERAPANNYA Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Mamperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Oleh:
Eny Noviati Nomor Mahasiswa: 043114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA LEGENDRE DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Final Project
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics By:
Eny Noviati Student Number: 043114005
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
Merasa takut bukannya masalah besar, yang menjadi masalah adalah bila kita tidak berusaha mengatasinya. Dan keyakinan sendiri adalah jalan terbaik untuk maju.
Semua yang benar, semua yang mulia, semua yang adil, semua yang suci, semua yang
manis, semua yang sedap didengar, semua yang patut disebut kebajikan dan patut dipuji,
pikirkanlah semua itu. (Filipi 4:8)Kupersembahkan kepada yang terkasih: Bapak dan Mamak Yadi terkasih,
Kakakku Martinus Agus Sulistyo, Adikku Terrius Triadi Kulistianto,
Dan segenap keluarga
ABSTRAK
Persamaan diferensial Legendre merupakan persamaan diferensial linear homogen orde kedua dengan koefisien variabel yang mempunyai bentuk 2 ( 1 − x ) y ′′ 2 x y ′ n ( n + + + 1 ) y = dengan n adalah bilangan bulat positif.
Persamaan diferensial Legendre ini mempunyai titik singular untuk x = ± 1 . Oleh karena itu titik x = merupakan titik biasa dari persamaan diferensial Legendre. Untuk menentukan penyelesaian persamaan diferensial Legendre dapat digunakan metode deret pangkat dan metode Frobenius. Dengan menggunakan metode deret pangkat ini akan dihasilkan suatu penyelesaian dalam bentuk deret pangkat, sedangkan dengan mengunakan menggunakan metode Frobenius, kita akan r ∞ n peroleh penyelesaian deret pangkat berbentuk
y ( x ) = x − x a ( x − x ) n ∑ n =
dengan r adalah akar dari persamaan indisial dari masing-masing titik singular regular. Jika titik x = merupakan titik biasa dan dengan mensubstitusi
∞ m
y ( x ) = a x dan turunannya ke dalam persamaan diferensial Legendre maka
m m = ∑( + + (n − m)(n m 1) )
akan di dapat relasi berulangnya a = − a = 0, m ≥ 2 . Dari
- m 2 m
(m 1)(m 2) + + relasi berulang ini dapat ditentukan bentuk umum dari polinomial Legendre dan dinyatakan sebagai M
(
2 2 )! ( 2 )! (
2 2 )!
n − m − n
- P ( x ) (
∑ m = 2 m ! ( n − m )! ( n − 2 m )! 2 ( n ! ) 2 ( n − 1 )! ( n − 2 )! n
1 ) x x x L n = − = − m n m n n m n n 2 n − − 2 n 2
dengan M = . Penerapan dari Persamaan Diferensial Legendre dalam
2 penyelesaian Persamaan Diferensial Linear homogen orde kedua dengan koefisien variabel dapat diterapkan pada elektrostatik yaitu pada kajian potensial dalam koordinat bola.
ABSTRACT
Legendre differential equation is a homogeneous linear differential equations second order with variable coefficients which has the form 2 ′′ ′ with n is a positive integer. Legendre differential
( 1 − x ) y + + + 2 x y n ( n 1 ) y = equation has a singular point for x = ± 1 . Therefore point x = is a regular point of the Legendre differential equation. To determine the Legendre differential equation solution can be used power series method and the method of Frobenius. By using this method of power series will produce a solution in the form of power series, while by using the Frobenius method, we will obtain power series form of r ∞ n solution y ( x ) = x − x a ( x − x ) where r is the root of the equation indicial n
∑ n = of each regular singular point.
∞ m
( ) If point x = is a regular point and by substituting y x = a x and their m ∑ m = derivatives into the Legendre differential equation can then be in the recurrence
( ) + − + (n m)(n m 1)
relation a = − a = 0, m ≥ 2 . From this relation can be m 2 m
- (m 1)(m 2)
- determined over the general form of the Legendre polynomial and is expressed as M
(
2 2 )! ( 2 )! (
2 2 )!
- P ( x ) (
1 ) x x x
n n n n= − = − L
m n − m n − m n n n − n − 2 2 2 m ∑ m = − − − − 2 m ! ( n m )! ( n 2 m )! 2 ( n ! ) 2 ( n 1 )! ( n 2 )! nwith
M = . Application of the Legendre differential equation in differential
2 equation solving linear homogeneous second order with variable coefficients can be applied to the study of the electrostatic potential in spherical coordinates. Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Kasih karena rahmat dan kasih- Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Persamaan Diferensial Legendre dan Penerapannya”.
Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam proses pembuatan skripsi ini, penulis menyadari banyak memperoleh bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan kerendahan hati, penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M,Sc selaku dosen pembimbing skripsi yang telah sabar memberikan arahan dan bimbingan dalam penyusunan skripsi ini.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si dan Ibu MV. Any Herawati, S.Si., M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku Kaprodi Matematika yang telah memberikan dorongan bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi.
4. Bapak dan Ibu dosen yang telah membimbing dan mendidik penulis selama belajar di Universitas Sanata Dharma.
5. Bapak A. Prasetyadi, S.Si dan Bapak Drs. Asan Damanik, M.Si atas
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL........................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.................................. ii HALAMAN PENGESAHAN............................................................. iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.............................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN.......................................................... v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI.............. vi ABSTRAK........................................................................................... vii ABSTRACT......................................................................................... viii KATA PENGANTAR......................................................................... ix DAFTAR ISI........................................................................................ xi BAB I PENDAHULUAN....................................................................
1 1.1 Latar Belakang....................................................................
1 1.2 Perumusan Masalah............................................................
5 1.3 Tujuan Penulisan................................................................
5 1.4 Pembatasan Masalah...........................................................
5 1.5 Metode Penulisan..............................................................
6 BAB II LANDASAN TEORI..............................................................
7
2.1 Barisan................................................................................
7 2.2 Deret Tak Hingga...............................................................
10 2.3 Deret Pangkat.......................................................................
15
2.4 Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua dengan Koefisien Variabel..............................................................
27
2.5 Deret Pangkat sebagai Penyelesaian Disekitar Titik Biasa................................................................................... 29
2.6 Deret Pangkat sebagai Penyelesaian Disekitar Titik Singular Regular.................................................................
34 2.7 Metode Frobenius...............................................................
37 2.8 Persamaan Diferensial Legendre........................................
58 BAB III PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE.......................................................................... 64 3.1 Kapasitor Bola....................................................................
75 3.2 Kapasitor Bola Berongga....................................................
78 BAB IV PENUTUP.............................................................................
81 DAFTAR PUSTAKA..........................................................................
85
# ! "
#
# % $ # & & ' % $
( % $
! " # # ) # # #
% $ % $ *
" " )
) "
! " ! " ' & #
% $ % # $% $ % # # $% $ # % $ ) # #
" ) )
" ! " % $ # # ! " % $ % $ ) % $ "
% $ % $ % $ % $ % $ % $ ) ) % $ )
% $ " % $ % $ % $ % $ % $ ) )
, % $ ) + % $ ,
- " # ) #
% $ % $ % $ ) % $ ) , -
- #
" + + % $ # % $ )
- .
/
"
- 1
- #
1
. + !
. +
" #$
44 !
% &'
- & # & #
- 5
(
- )
7
)# # #
# "
) " #
# # # % $ # # #
& &
& % $ &
& &
) ) &
& #
# #
# )# #
- #
$ % "
# #
# #
# 5 $ % #
$ % # #
# $ %
- & #
& #
9 & #
& #
( : / & #
# )# #
( #
#
" # #
%#$ # #
%#$ " #
%&$ # # ' # #
%#$ %&$ " # #
# # ' # # # #
# #
# #
# #
# # # ) # # 5 #
# - # #
( #
- # & '
)
# & '
) ( ) # &
# ;
# # )
" # ;
# ' & # # & 2 ' # 2 ' & # ' # #
$ % $ % $ % $ %
$ %
# # # # 2 ' #
# #
- #
; # &
# # # # ' & # # # # ' & # #
5 # ; # # # # # # # ) # # # # #
5 # - -
)# #
- ' & #
1 "
' & # # #
% $ )
' & # ' & # ) )
' & #
- " # # ) )
%'$
) # ) # ) ) ) )
%0$ $ % ) )
; ) %0$
%'$ ;
, %'$ *
# < )
% $ )
% $ % = =$ = =
" ) / )
- <
) ) ) ) % $ >
> > % $
, > = % $ # &
% $ ) % $
)# #
- )
$ % & $ %
"
)
& &
& $ % $ % $ & % $ %
$ % "
& ) $ % &
& & < &
& & & & & &
< (
# $ %
$ % & $ % 5 $ % $ %
$ % &
& #
# $ %
$ % &
#$ % & ! " #
< = $ % &
$ %
>
$ % & $ %
" ) >
# & ) )
$ % $ % )
& & < $ % ) ) )
& & & '
(
& & '
> > )
< & & )
5 &
$ % ) ) ) )
$ & % $ % $ % &
& $ % $ % &
$ % $ % &
" ' & #
$ % & $ %
- $ % )
$ %> ) ) ? =
)# #
- ) #
$@ # % % $
" ) # $@ # %
% $ 5 $ % $ % < =
# $ #%
$@ %# $@ $ %#% # & #
$@ %# &$@ %#
#$ &$%# %# # #$ &$%# %# #
5 > >
) # % $ ) % # $@
% $ )# # )
- " )
< = #
% $ #
# #
> > > <
) < )
" ' & #
$ % ) < )
" ' & # ) 5 >
> ) ' *
&+ + $ $ + ) ) ) )
- (
- (
- (
- (
) ) &
) & &
# ) # # ) ) ) & ) & # ) # ) ) & ) & # ) # ) ) ) ) ) )> > > >
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > >
) )
$ % %>$ ? %>$
) ) &
) & &
# ) # # ) ) ) & ) & # ) # ) ) & ) & # ) # ) ) ) ) ) )> > > >
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > >
)
)
$ % %>$ ; %>$
)
) )
# ) ) # # ) ) ) ) ) ) # ) # ) ) # ) # ) ) ) ) ) )> > > >
> > > > > > > > > > > >
) ) ) %>$ %>$ ) ) # ) ) ) ) # # % $ # & # ) & ) ) ) ) % $ )
#
- %>$ > > > > > > > > ) ) # ) )
(
- # & # ) ) ) ) ) > > > > > > > > !
- (
- " >
- > A #
- # & # # # # # ) #
- $ % ) )
- "
- )
- %3$ "
- DD D ) % $ )
- %3$
- %2$ )
- ! % $ % $
- )
- ) )
* (
- ) )
- %#6$
- % $ $ !
- $ )
- % $
- #
- ) ) )
- % 6$
- % $
- ) ) % $ #
- % $ # % $% $ # % $ ) ) )
- % $ # % $% $ # % $ ) )
- 5
- ( $ % ) )
- "
- ( "
- (
- # 2 % $ "
- ( #
- % $ )
- (
- ( "
- ) )
- )
- # 0 (
- ( # # & ) #
- ( # # & ) #
- ) #
- %&'$
- $ % # ) #
- $ %
- %= J $ % $ %&8$ / .
- % $ .
- "
- %''$ %' $ / .
- %'3$ %'6$
- " # # #
# & ) > > ! ) ) > %>$ %>$ > ) 4 (
<
%>$ ) )
% $ % $
%)$ %)$ %)$ # %>$ > %)$ %)$> > > ) @ #@ @
( %>$ > > ) % $ %>$ > > * )
%> $ ) %>$ > > ) ) @ % $
%> $ %> $ ) ) # %> $ %> $%> > $ %> > $ > > ) ) ) ) )
#@ @ )# #
/ %>$ > %)$
%>$ > %)$
%>$ > %)$
%>$ > %)$ %'$ > %>$ %'$
%)$ % $ > %>$ % $ %)$ % $
%>$ % $ % $ > > > % $ %>$ % $ > > > # & ' > % $
> > > > >
%#$
$ % @
) ) ) $ %
#$ %> #$ %> @ ( ,- .
#$ %> #@
#$ %> &@
#$ %> @
%>$ %>$ %>$ %>$ %>$ # % $ %#$ %#$ %#$ %#$ %#$
> % $
%#$ %#$
%#$ %#$
# % $ # # # #
%>$
%>$ %>$
%>$ %>$
> % $ > > > >
%>$
" / >
)# # "
$ % $ %
( # # & $ / $ $ /# ( !
) $ % $ % $ % ) # %2$
) $ % # /
) $ % $ % %3$
$ % $ %
$ % # $ % $ %
$ % # ) %2$
$ % ) ) / ( )
(
%2$ # # ) %6$ )
%6$ ) ) %2$
)# # !
# % $ # ) "
# % $ # ) % $ # % $ % $ # 5 %>$ B%>$
# % $ # ) )# #
! % $ )
" % $ )
) % $ % $
% $ % $ % $ % $
C %>$ B%>$
" + ! + 1 $ ! %2$
$ % $ % $ % $ % ) ) # ) # ) ) ) ) )
, , # "
%>$ B%>$ ) %>$ B%>$
$ % ) , )
%3$ ( ) ) $ % ) $ % )
) )
$ % $ % , )
" ) )
) ) %2$ %>$
B%>$ %3$ ) ) ) $ % $ % ) $ % $ %
,
$ % &
$ % $ # $% % $ % $ % $ %
) $ % $ # $% % ) # ! " #
" ) $ % $ # $% % ) ) #
$ % &
! " #
) $ % $ % $ # $% % ) ) ) ) ) # ) $ % $ # $% % ) ) ) #
) )
) # )
" ) $ % $ % $ % $ %
$ %
) )
$ % $ % $ % $ % $ %
) )
$ % $ # $% % $ % $ % $ %
) # # #
& # # % $ ) # %8$ $ !
% $% # $ ) % "
< %8$ = %8$ #
& # % $ ) # % )$ # #
$ ! % $ )
% " # & ' ) ) % )$ % $ )
%2$ ) ) )# # "
) "
DD D ) DD D )
% $ % $ - C % $ > 5 %>$ B%>$ 5 ( )
) ) ) ) ) ) "
% $ % $ ) # % $ % $ % $ % $% # $ # ) % # $
% $ " % $ % $% # $ % $ ) ) ) ) % # $ % $ ) ) ) ) % $% # $ % $% # $ % $ ) % # $ % # $ % $ # # # #
) # F # E ) # # ( *
# F # E ) # #
= 4 # ) # # ) #
# # # # #
# & ' # ( ) ) # # @ ' & # ) #
& # & @ & @ @ ) ) @
2 + ! + 1 $ (
2 ) %2$ -
# # ) ) ) ) ) % $ % $ % #$ # # )
% #$ ) ) )# #
2 # # * % $ % $ )
" # # # % $ % $ ) % $
" ) # # # % $ % $ % $ % $
% $ # % $ # % $ % $% $ % $ % $
C %>$ C B%>$
# 2 - < " )
% $ % $ % $ # # % $ % $ % $ % $ #
% $
5 )
)
) " # # # # # # % &$ # # # ' & # % '$ # # # %3$ " -
& # ' & # & # # )
$ # ! $ !
% " % " # ' & # & # # # ) $ ! % "
% 2$ ) %3$
%3$
% 3$ C ) (
$ % & # ' #
! " #
# # #
$ % &
< ) % #$ ! " #
% 0$ )
# $ % # $ % ' % 2$
% 0$
$ $ $ $ % &
! ! ! ! " #
) # ' #
$ $ $ $ % &
! ! ! ! " #
) # ' # # #
G C C
3 #$ - #!
H D ) # # % 6$
H ! % $ D % $ ) ! % $ % $ )
#
% $ % $ % 8$ ) ) # ) ) ) %2$ # % 6$
% $ H % $ ! % $ D % $ ) %#)$ ) ) ! % $ % $ ) / ( ) %#)$
% $ % $ ) ) ) ) ) , < ) ) 5 ) ) ) -
)
) $ % )
I ) ) %# $ 5 ) )
%2$ $ % $ % # ) )
$ % ! ) # $ % ,
%##$ %3$ #
" ) $ % $ % # # #
) $ % $ % # # %#&$
%##$ %#&$ " ) ) ) # !
%#'$
$ ) % ) , - -
) %# $ ( )
$ % # $ $% %
%#'$ " )
$ % $ % $ $% % ) ) ) ) ) # # ! ) $ % $ $% % ) ) ) ) )
!
) $ % $ $% % ) ) ) ) )
!
) $ % $ $% % ) ) ) !"
) $ % $ $% % ) ) !
< )
) $ % ) ) ) ) ) !
%#0$
) $ % ) ) !
) $ % ) ) # ! <
) $ % $ $% % ) !
%#2$
$ % $ % ! ) $ %
%2$ )
%#0$ % $ ) ) ) ) ) % $ % % $ ! $ %#3$ 5 ) % $ ) ) 7 % $ )
% $ ) %#2$ ( "
% $% $ % $ ! ) ) % $% $ % $ ! % $ ! ) )
% $% $ % $ ! % $ ! ) ) ) (
)
% $ ) % $ % $% $ % $ ! ) )
%#&$ - ) * % $ $ ! ) %#8$
(
%&)$ ) (
% $ ) # & %& $
) ) %& $ # &
% $ ) )
%2$ #
2 / ) # ) % $ % $ % $ ) # # %2$
% $ ) ) " #
7 %2$ # ) ) # ) ) ) ) % $ % $
) # %2$ ) ) ) $ %
$ % # )
! ) ) ) ) # $ % $ % #
7 %2$
) ) )
$ %
)
) ) ) #$ % $ % # "
) ) %2$ #
) $ %
) ) )
$ % $ %
$ % %&#$
< # #
) ) ) #
$ % # ) $ % #
) ' $ % ) # ) !
$ % # )
!
5 & #
) )
$ % / ) ) ) ) #
$ % $ % $ %
$ % $ % $ % # D D D #
H D D # H H #
) $ D D % $ H D D # H % ) # !
5 % 6$ # # "
H # D D ! D ) ) # "
D ! ) H # D )
%&#$ "
D ) ) ( ) ) * ( ) ) ) % $ ) ) ) ) ) ) ) ( * ) ) ) ) ) "
# ! ) H D ) %&&$ ) )
# ! ) 5 % ! $ ) # ) )
H D ) D " ) ) H D ) )
" D ) % $ ) ) ) ) # > ) # @ @ ) ) # ) # " # # " - # ) ) ) # ) ) # ) ) )
#
# ) ) ) % $ % $ % $ )/ #
7 % $
" ) ) ) % $ / ( " # # ) ) ) % $ % $ )
% $ + %&&$ ! )
%#0$ ! % $ % $ # ) #
# ! D " - ) H D )
% $ + "
D % $ % $ ) D )
> D ) ) ) # ) # ) ) ) ) "
) # " - # ) ) ) ) ) % $
% $ # ) ) ) ) % $ % $ # ) ) ) % $ % $ % $ ) )# #
2 ) ) * # )
" # )
# " )
# % $ % $ - 5 %>$ B%>$
) )
# #
$ % $ % ) $ % $ % # # )
5 ) )
# 2 ) ) ) ) $ % $ %
" ) $ % $ %
) #
$ $% % $ % "
) $ % # $ $% % ) ) ) # ) $ % # $ $% % ) ) )
) $ % # $ $% % ) ) ) ) # $ $% % $ %
) $ % #
(
(
( " % $ % $ # % $
% $ "
% $% $ # % $ ) # #
% $% $ # % $ % $% $ ) ) " # % $% # $ ) # & % # $% & $ % $% # $ % & $ # ) # # % & $% ' $ % $% # $ % & $ % ' $ ) ( -
% $ # # # % $% # $ % $ % $
% $ ( ) #
< ) % $
# #
# $ % #
# $@ % @
$ % & # # # ) )
! " #
$ % &
# " ! " #
#
# &
$ % $ % # $ & % # $ # % # # #
$ % # # $ % $ % $ # % # #
% $ # " $ % $ % $ # $% %
$ # % $ % $ % $ % $ % # # )
) # # # 2 % $ # )
$ %
# 2 % $ ) ) ) $@ % @
# $@ % @ $ % & # & # $ % $ % $ # % ) ) # # )
$ % # 2 % $ "
% $ " % $ ! % $ / # % $ % $ #
)# #
2 # ) ) * % $ % $ )
" # % $ % $ )
% $ " # # )
% $ % $ )
% $ % $ - % $
% $ 5 %>$ B%>$ ) ) )
% $ % $ ) # # % $ % $ )
% $
5 ) ) )
# 2 % $ % $ ) ) ) )
" % $ % $ ) #
% $ % $% $ ) # # " % $ % $% $ % $ % $ ) ) ) ) ) ) ) % $% $ % $% $ % $ ) ) % $ ) ) % $% $ % $% # $ % $ )
% $ ) % $ % $% $ % $% # $ ) ) % $ % $ )
% $ % $% $ % $ % $% # $
( * * )
$ % # $ %
$ & % $ # %
$ % # ) # # #
# $ % #
< ) % $
% $ ( ) #
$ % $ % ) # # # # # # % $
# $ % $ # % $ %
$ & % $ # % $ % $ % $ # %
( " # $ % $ %
) # # # # # # # # # &
$ # % $ %
$ # % $ % $ %
( " ) # # $ % ) # # # # # # #
$ % $ % # # )
$ % $ # $% % $ % $ $% % / #
% $ #
$ ) % # $ ) % # ) ! " #
)# #
! " / $ % $ % #
# $ % $ % $ % $ % $ % #
$ @ % $ $ %% #
$ % #
$ % & # # # #
! " #
# 2 % $ "
$ % &
$ % #
$ ) % ) #
$ % # #
# $ %
$ # % # # #
$ % # $ %
# # #
$ % # $ % # $ % $ % # # #
$ % $ %
" # # # # # # $ % $ # % $ %
2
" # # ) # # #
# " ) # #
# # # )
# #
% $
% $ -
% $
5 %>$ B%>$ ) ) )
" - #
% $ % $ ) # # # % $ % $ ) #
# #
5 ) ) )
# 2 % $ % $ ) ) ) )
% $ % $ ) # % $ % $% $ ) # # # "
% $% $ % $ ) ) ) ) # # % $% $ % $ % $ ) ) ) ) ) # # % $% $ % $ % $ ) ) ) ) # #
% $ % $% $ % $ ) ) #
% $ ) ) # # #
& % $ % $% $ % $ )
# # # # $%
% $ )
(
( " % $ % $
% $ # # #
" % $% $ % $ % $
# #
% $% $ % $ % $ # % $ # #
% $ ( # #
< % $ #
% $ % $ # # # # )
( " # ) & # # ) # #
& & & # ) # #
3 3 & #
% $ # - ) % # $% # $ &
# 2 % $ "
% # $ % # $ % $ % $ % $ ) ) % # $% # $ & % # $% # $ &
< % $ # # #
& # $ !
# # # # # # % "
# ) ) & # ) # #
& & % $ # - )
@ # # 2 % $ " # # % $ % $ % $ ) ) @ @ % $ " % $ ! % $ / #
% $ % $ # 4 ( $ # " +
%&'$ % > $ #> % $ )
%&'$ ) + )
I ) )
)
)
> %>$ "
> %>$ #
#
> $ % %>$ %&'$ "
) > $ % > #> > $ % $ > % ) # # # ) > $ % > # > $ % > $ % ) # # #
) > $ % > # > $ % > $ # $% % ) # # )
# ) # # # # & #
> $ % > $ % $ % > # > # > $ % > #$ $% % > 2 #
) > $ % # $ % $ #$% % > $ % #
% 2 $ #
) > $ $% % $ #$% % > $ % #
% 2 $ #
# ) $ $% % #$ $% % # /
!" #
$@ # % $ # % $ & $% # # % $ # %
)
$ % #
@ # $ %
@ ' $ & $% % $ # %
$ % / $ % $ % $ % # ) ' #
@ # $ %
@ ' $ # $% % $ # %
@ & $ # $% %
@ $ ' $% # $% $% & %
$% & & ' # )
!" #
$% &
$ % $ %
# ) #$ $% %
$ # $% % @ #
" & ) # ) ) ) @ &
' $ ' $% & %
@ ' $ & $% # $% $% & %
&
& ' $ & $% # %
@ ' $ & $% $% # %
) # '
@ & $ # $% %
&
$ %
" ) # @ #
$ $% % # %&0$ )
$ %
% $% # $ % & $% $% # $% ' $ & # % $ & @ @
% $% & $ % # $% # $% ' $ % # $ # % $ ) % # $@
%&'$ ) # ' + ( % $
& ( % $ % $ +
% $% $ % $ %&0$ # #
% $% # $ % $% # $
# %&2$ # ' % $% $
) % # $@ & % # $ # # %&3$
# % @ $ @ %&2$ %&3$ ( " # % $ % $% # $@ % # # $@ #
# % # $ # % # $ # % @ $ # % $@ % # $@ ' % # ' $@ # # @ % # $@ % ' $@
A) +
& # # &
& $ % # #
2 # #
#
# $ %
) ) $ % )
$ % $ %
# #
# #
$@ # % #
$@ # # % $ @ % #
$ % $ % # # $@ # % $@ % #
$@ # % $@ % @ # $@ # # %
%&6$ %&6$
$@ # # % $ % #
( " $@ # % $@ % @ #
# $ % & &
' #)
6 &
'
6 &0
$ % # ' ' &)
6
6 3)
6 2&
$ % & G +
' '% - ' % 5 ' 444 .
5 +
" . /
$ . / . / .
< " # # # $
$
. / # # # " # # # )
%')$ > K
. / %' $
> > > > . /
. /
$ % $ % $ % $ % $ % $ % > # #
$% &
$ % $ %
$ % $ % >
$ % $ % > # # / .
/ . / . / .
%'6$
! " #
$ % & / .
/ . / . / . / .
$ % $ %
! " #
$% &
$ % & / .
/ . / . / . . / .
$ % $ %
$ % $ % $ % $ % $ % $ % ! " #
$ % & / .
/ . / . / . / . /
$ % $ %
$ % $ % $ % $ % $ % $ %
$ % & .
/ . . / . / . / .
!" #
!" #
$ % $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ %
> # # # # #$ % $ % $ % $ % $ % .
K K K K /
/ . .
%'&$
$ % $ %
> $ % $ %
> $ % $ %
> .
/ / / . .
/ .
%''$ $ %
/ / / . .
$% &
/ .
%'0$ )
> $ %
K $ %
K / . .
.
%'2$
/ . / . / .
$ % $ %
$ % $ % $ % $ % >
%'3$ !" #
#
& % $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ % $
. / . / . / . / $ . .
% # # #
% / $ % . $ % / $ % . $ % / $ # # !
% $ % $ . . / . . / # "
% $ / &
% $ % $ % $ % $ % $ % $ . / . / . /
$% # # % $ % $ #
% $ . . .
/ / % $ % $
. / # !
% $ % $ . / . / . / # "
> # & # # # #
% $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ # # # . / . . / . . / $
% # #
> . .
% $ % $ % $ % $ # ! / / / / / /
" # & # # # #