Modul Matematika SMA dan Soal Latihan 05 Hiperbola

IRISAN KERUCUT

C. Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu F (focus) dan garis tertentu d (direktriks), maka hiperbola adalah tempat

kedudukan titik-titik P(x, y) yang bergerak sedemikian sehingga perbandingan jaraknya dari titik F dan garis d konstan lebih besar dari 1, yaitu .

PR PF

.= e Terdapat dua macam bentuk hiperbola,

yakni

1. hiperbola horizontal 2. hiperbola vertical.

Untuk hiperbola vertical persamaannya didapat dengan cara memutar hiperbola horizontal 900 , Sedangkan untuk

hiperbola dengan pusat M(p, q) persamaannya didapat dengan cara menggeser (translasi) hiperbola pusat O(0, 0) menurut matriks T =

   

q p

Berikut akan diuraikan proses mendapatkan persamaan hiperbola horizontal dengan pusat O(, 0). Dengan memperhatikan garis d1 tegak lurus dengan sumbu-x, maka terdapat titik A1 pada sumbu-x dengan

1 1 KA F A

= e, dan terdapat titik A2 pada sumbu-x

sedemikian sehingga 2 2 KA F A

= e, sehingga A1 dan A2 terletak pada hiperbola.

Misalkan A2 A1 = 2a, dan O titik titik tengah, maka A2O = A1O = a. Akan ditentukan KO dan FO dalam suku-suku a dan e.

Karena FA1 = e. KA1 ……… (1) A2F = e. KA2 ……… (2) maka diperoleh: A2F – FA1 = e(KA2– KA1) dan

A2F – FA1 = 2a Sehingga e(KA2 – KA1) = 2a

e((a + OK) – (a – OK)) = 2a e. 2OK = 2a

OK =

e a

Dari (1) dan (2) diperoleh juga : FA1 + A2F = e.KA1 + e.KA2 FA1 + A2F = e.(KA1 + KA2)

(FO – a) + (FO+ a) = e.([a – KO] + [a + KO]) 2.FO = e.2a

FO = ea Dari sini diperoleh koordinat titik focus F(–ea, 0)

Dengan mengambil titik P(x, y) sebarang titik pada hiperbola, maka persamaan hiperbola diperoleh dari kondisi

PR PF

= e atau PF = e.PR Karena F(ea, 0) dan P(x, y), maka . PF = (xae)2 y2 Karena PR = x – KO , maka .

Dengan demikian PF = e.PR

2 2

y ae)

(x  = e.( x – KO)

2 2

y ae)

(x  = e.(x –

e a

)

2 2

y ae)

(x  = (ex – a) (x – ae)2 + y2 = (ex – a)2

x2– 2aex + a2e2 + y2 = e2x2– 2aex + a2 (e2– 1)x2– y2 = a2(e2– 1)

) 1 (e a

)x 1 (e

2 2

2 2



 _–

) 1 (e a

y

2 2

2

 = 1 2

2

a x

–

) e (1 a

y

2 2

2

 = 1

Ambil a2(e2– 1) = b2. diperoleh :   1 2 2

2 2

b y a x

Jika ae = c maka diperoleh : a2(e2– 1) = b2 a2e2– a2 = b2

c2– a2 = b2 maka c2 = a2 + b2

Selanjutnya akan diuraikan unsur-unsur hiperbola dengan pusat di O(0, 0), yakni sebagai berikut:

Karena ae =c, maka nilai eksentrisitas hiperbola adalah e =

a c

Titik puncak hiperbola ada dua, yang kesemuanya berada pada sumbu-x, sehingga : 1

 ₂ 

2

2 2

b 0 a x x2 = a2

Sumbu-x dinamakan sumbu nyata dan sumbu-y dinamakan sumbu sekawan Titik fokus hiperbola ada di F1(c, 0) dan F2(–c, 0)

Untuk menentukan persamaan direktris hiperbola terlebih dahulu dicari jarak dari O ke K yakni: OK =

e a

(dari persamaan (3)) OK = c/a a = c a2

Maka persamaan direktriks hiperbola adalah x =

c a2

dan x = –

c a2

Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus hiperbola dan tegak lurus dengan sumbu nyata (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan hiperbola, sehingga untuk x = c diperoleh :

1   2 2 2 2 b y a c 2 2 b y

= 1 2 2 a c 2 2 b y = 2 2 2 a a c  2 2 b y = 2 2 a b

y2 =

2 4

a b

maka M1 (c ,

a b2

) dan M2(c , –

a b2

) Sehingga panjang latus rectum : LR = M1 M2 =

a 2b2

Perhatikan bentuk   1 2 2 2 2 b y a x

berakibat 

      b y a x .        b y a x

= 1. Hal ini berarti

b y a x

 ≠ 0 dan

b y a x

 ≠ 0 .

Jadi kurva hiperbola tidak pernah memotong atau menyinggung garis

b y a x

 = 0 atau y =

a b

x serta garis

b y a x

 = 0 atau y = –

a b

x. Kedua garis tersebut dinamakan asimtot hiperbola

1. Hiperbola Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum :   1 2 2

2 2

b y a x

, Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0) dan A2(–a, 0)

Sumbu nyata adalah sumbu-X dan Sumbu sekawan adalah sumbu-Y Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c2 = a2 + b2

Nilai eksentrisitas elips dinyatakan dengan e = a c

Persamaan asimtoot dirumuskan y =

a b

x dan y = –

a b

x

Panjang latus rectum : LR =

a 2b2

2. Hiperbola Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum    1

2 2

2 2

a y b x

Titik puncaknya di A1(0, a) dan A2(0, –a) Sumbu nyata adalah sumbu-Y dan Sumbu sekawan adalah sumbu-X Titik focus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c2 = a2 + b2

Garis asimtoot dirumuskan : y =

b a

x dan y = –

b a

x Panjang latus rectum : LR =

a 2b2

01. Tentukan koordinat titik fokus hiperbola x2 – 3y2 = 48 Jawab

x2 – 3y2 = 48

48 48 48

3y 48

x2 2

 

1  

16 y 48

x2 2

Maka a2 = 48 dan b2 = 16, sehingga c2 = 48 + 16

c2= 64, c = 8

Jadi koordinat titik fokusnyanya (8, 0) dan (–8, 0)

02. Tentukan persamaan garis asimtoot hiperbola 3x2 – y2 = 48 Jawab

3x2 – y2 = 48

48 48 48 y 48

3x2 2

 

1  

48 y 16

x2 2

Maka a2 = 16 a = 4

b2 = 48 b = 48 = 4 3 Jadi persamaan asimtootnya y =

4 3 4

x atau y = 3x y = –

4 3 4

x atau y = – 3x

03. Tentukan panjang Latus rectum hiperbola   1

144 x 25

y2 2

Jawab

a = 5 dan b = 12 sehingga panjang Latus rectum =

5 2(12 2)

=

5 144

04. Diketahui hiperbola –9x2 + 16y2 = 576. Tentukan Nilai eksentrisitasnya Jawab

–9x2 + 16y2 = 576

1  



16 y 64

x2 2

Maka a = 4 dan b = 8 sehingga c = 6416 c = 4 5 Sehingga nilai eksentrisitasnya e =

4 5 4

05. Tentukan persamaan hiperbola dengan titik puncaknya di (4, 0) dan (–4, 0) serta panjang panjang latus rectum 16/3 satuan

Jawab

Hiperbola horizontal dengan puncak (–4, 0) dan (4, 0), maka a = 4 Panjang latus rectum 9 satuan sehingga

b 2(4 2)

=

3 16

maka b = 6 Jadi persamaan elips :   1

36 y 16

x2 2

9x2– 4y2 = 144

06. Tentukan persamaan hiperbola jika puncaknya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 8) dan salah satu puncaknya di titik (0, –4) adalah …

Jawab

Hiperbola berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 8) maka c = 8 salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4

Sehingga c2 = a2 + b2 82 = 42 + b2 64 = 16 + b2 b2 = 48

Jadi persamaan hiperbola :    1

64 y 48

x2 2

–4x2 + 3y2 = 192 4x2– 3y2 = –192

07. Tentukan persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di O(0, 0) dan mempunyai eksentrisitas e = 2 serta melalui titik (2 3, 3)

Jawab e =

a c

= 2 maka c = 2a sehingga a2 + b2 = 4a2. Jadi b2 = 3a2

Hiperbola berbentuk horizontal dengan pusat O(0, 0) melalui (2 3, 3) maka : 1

b 3 a

) 3 (2

2 2 2

2



 salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4 12b2– 9a2 = a2b2

12(3a2) – 9a2 = a2(3a2) a2 = 9

maka b2 = 3a2 = 3(9) = 27

Jadi persamaan hiperbola :   1

27 y 9

x2 2

3. Hiperbola Horizontal dengan Pusat M(p, q)

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : p)  p)  1 2

2

2 2

b (y a

(x

, Koordinat titik puncaknya di A1(a+p, q) dan A2(–a+p, q)

Sumbu utama adalah garis x = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q Titik fokus di F1(c+p, q) dan F2(–c+p, q) dimana c2 = a2 + b2

Nilai eksentrisitas hiperbola dinyatakan dengan e = a c

> 1 Persamaan asimtoot dirumuskan y – q =

a b

(x –p) dan y – q = –

a b

(x –p)

Panjang latus rectum : LR=

a 2b2

3. Hiperbola Vertikal dengan Pusat M(p, q)

Hperbola ini mempunyai bentuk Umum :  p)  q)  1

2 2

2 2

a (y b

(x

Puncaknya di A1(p, a+q) dan A2(p, –a+q) Sumbu Nyata adalah garis y = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q Titik focus di F1(p, c+q) dan F2(p, –c+q) dimana c2 = a2 + b2

Nilai eksentrisitas dirumuskan e = a c

> 1 Garis asimtoot dirumuskan:

y – q =

b a

(x – p) dan y – q = –

b a

Panjang latus rectum : LR =

a 2b2

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

08. Tentukan titik fokus hiperbola 4x2– 5y2 – 40x – 30y + 245 = 0 adalah … Jawab

4x2– 5y2 – 40x – 30y + 245 = 0 4(x2– 10x) – 5(y2 + 6y) = –245

4(x2– 10x + 25) – 5(y2 + 6y + 45) = –245 + 4(25) + 5(45) 4(x – 5)2– 5(y + 3)2 = 80

80 80 5

5 4

 

 

80 ) 3 (y 80

)

(x 2 2

1

5

 

 

16 ) 3 (y 20

)

(x 2 2

Maka p = 5 , q = –3 dan c = 2016 = 36 = 6 2016 Titik fokus hiperbola adalah F1(–6+5, –3) = F1(–1, –3)

F2(6+5, –3) = F2(11, –3)

09. Tentukan persamaan asimtot hiperbola –9x2 + 25y2 – 18x – 200y + 166 = 0 Jawab

–9x2 + 25y2 – 18x – 200y + 166 = 0

–9x2– 18x + 25y2 – 200y = –166

–9(x2 + 2x + 1) + 25(y2 – 8y + 16) = –166 – 9 + 400

–9(x + 1)2 + 25(y – 4)2 = 225 225 225 4 25 1 9

 

  

225 ) (y

225 )

(x 2 2

1 4 1

 

  

9 ) (y

25 )

(x 2 2

Maka a = 3 , b = 5 , p = –1 dan q = 4 Persamaan asimtot adalah : y – 4 =

5 3

(x + 1) 5(y – 4) = 3(x + 1) 3x – 5y + 23 = 0 dan y – 4 = –

5 3

(x + 1) 5(y – 4) = –3(x + 1) 3x + 5y – 17 = 0

10. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di (–5, 4), puncaknya di (–11, 4) dan salah satu asimtotnya adalah 4x – 3y + 32 = 0

Hiperbola diatas adalah hiperbola horizontal, dimana: Pusat hiperbola (–5, 4) maka p = –5 dan q = 4

Puncak hiperbola (–11, 4) = (–a+p, q) maka –a – 5 = –11 a = 6 asimtotnya : y – q =

a b

(x – p) 4x – 3y + 32 = 0 y – 4 =

6 b

(x + 5) 4x – 3y + 32 = 0 6y – 24 = bx + 5b 4x – 3y + 32 = 0 bx – 6y + 5b + 24 = 0 4x – 3y + 32 = 0

2 b

x – 3y +

2 5b

+ 12 = 0 4x – 3y + 32 = 0 Sehingga

2 b

= 4 , b = 8

Jadi persamaan hiperbolanya : 5  4  1 64

) (y

36 )

(x 2 2

1. Hiperbola Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum :   1 2 2 2 2

b y a x

, Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0) dan A2(–a, 0)

Sumbu nyata adalah sumbu-X dan Sumbu sekawan adalah sumbu-Y Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c2 = a2 + b2

Nilai eksentrisitas elips dinyatakan dengan e =

a c

Persamaan asimtoot dirumuskan y =

a b

x dan y = –

a b

x

Panjang latus rectum : LR =

a 2b2

2. Hiperbola Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum    1

2 2 2 2

a y b x

Titik puncaknya di A1(0, a) dan A2(0, –a) Sumbu nyata adalah sumbu-Y dan Sumbu sekawan adalah sumbu-X Titik focus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c2 = a2 + b2

Garis asimtoot dirumuskan : y =

b a

x dan y = –

b a

x Panjang latus rectum : LR =

a 2b2

01. Tentukan koordinat titik fokus hiperbola x2 – 3y2 = 48 Jawab

x2 – 3y2 = 48

48 48 48

3y 48

x2 2

 

1  

16 y 48 x2 2

Maka a2 = 48 dan b2 = 16, sehingga c2 = 48 + 16

c2= 64, c = 8

Jadi koordinat titik fokusnyanya (8, 0) dan (–8, 0)

02. Tentukan persamaan garis asimtoot hiperbola 3x2 – y2 = 48 Jawab

3x2 – y2 = 48

48 48 48 y 48

3x2 2

 

1  

48 y 16 x2 2

Maka a2 = 16 a = 4

b2 = 48 b = 48 = 4 3

Jadi persamaan asimtootnya y =

4 3 4

x atau y = 3x y = –

4 3 4

x atau y = – 3x

03. Tentukan panjang Latus rectum hiperbola   1

144 x 25

y2 2 Jawab

a = 5 dan b = 12 sehingga panjang Latus rectum =

5 2(12 2)

=

5 144

04. Diketahui hiperbola –9x2 + 16y2 = 576. Tentukan Nilai eksentrisitasnya Jawab

–9x2 + 16y2 = 576 1  



16 y 64 x2 2

Maka a = 4 dan b = 8 sehingga c = 6416 c = 4 5

Sehingga nilai eksentrisitasnya e = 4

5 4

05. Tentukan persamaan hiperbola dengan titik puncaknya di (4, 0) dan (–4, 0) serta panjang panjang latus rectum 16/3 satuan

Jawab

Hiperbola horizontal dengan puncak (–4, 0) dan (4, 0), maka a = 4 Panjang latus rectum 9 satuan sehingga

b 2(4 2)

=

3 16

maka b = 6 Jadi persamaan elips :   1

36 y 16 x2 2

9x2– 4y2 = 144

06. Tentukan persamaan hiperbola jika puncaknya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 8) dan salah satu puncaknya di titik (0, –4) adalah …

Jawab

Hiperbola berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 8) maka c = 8 salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4

Sehingga c2 = a2 + b2 82 = 42 + b2 64 = 16 + b2 b2 = 48

Jadi persamaan hiperbola :    1

64 y 48 x2 2

–4x2 + 3y2 = 192 4x2– 3y2 = –192

07. Tentukan persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di O(0, 0) dan mempunyai eksentrisitas e = 2 serta melalui titik (2 3, 3)

Jawab e =

a c

= 2 maka c = 2a sehingga a2 + b2 = 4a2. Jadi b2 = 3a2

Hiperbola berbentuk horizontal dengan pusat O(0, 0) melalui (2 3, 3) maka :

1 b 3 a

) 3 (2

2 2 2

2



 salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4 12b2– 9a2 = a2b2

12(3a2) – 9a2 = a2(3a2) a2 = 9

maka b2 = 3a2 = 3(9) = 27

Jadi persamaan hiperbola :   1

27 y 9

x2 2

3. Hiperbola Horizontal dengan Pusat M(p, q)

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : p)  p)  1 2

2 2

2

b (y a

(x

, Koordinat titik puncaknya di A1(a+p, q) dan A2(–a+p, q)

Sumbu utama adalah garis x = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q Titik fokus di F1(c+p, q) dan F2(–c+p, q) dimana c2 = a2 + b2

Nilai eksentrisitas hiperbola dinyatakan dengan e =

a c

> 1 Persamaan asimtoot dirumuskan y – q =

a b

(x –p) dan y – q = –

a b

(x –p)

Panjang latus rectum : LR=

a 2b2

3. Hiperbola Vertikal dengan Pusat M(p, q)

Hperbola ini mempunyai bentuk Umum :  p)  q)  1

2 2 2

2

a (y b

(x

Puncaknya di A1(p, a+q) dan A2(p, –a+q) Sumbu Nyata adalah garis y = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q Titik focus di F1(p, c+q) dan F2(p, –c+q) dimana c2 = a2 + b2

Nilai eksentrisitas dirumuskan e =

a c

> 1 Garis asimtoot dirumuskan:

y – q =

b a

(x – p) dan y – q = –

b a

Panjang latus rectum : LR =

a 2b2

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

08. Tentukan titik fokus hiperbola 4x2– 5y2 – 40x – 30y + 245 = 0 adalah … Jawab

4x2– 5y2 – 40x – 30y + 245 = 0 4(x2– 10x) – 5(y2 + 6y) = –245

4(x2– 10x + 25) – 5(y2 + 6y + 45) = –245 + 4(25) + 5(45) 4(x – 5)2– 5(y + 3)2 = 80

80 80 5 5 4     80 ) 3 (y 80 )

(x 2 2

1 5     16 ) 3 (y 20 )

(x 2 2

Maka p = 5 , q = –3 dan c = 2016 = 36 = 6 2016

Titik fokus hiperbola adalah F1(–6+5, –3) = F1(–1, –3) F2(6+5, –3) = F2(11, –3)

09. Tentukan persamaan asimtot hiperbola –9x2 + 25y2 – 18x – 200y + 166 = 0 Jawab

–9x2 + 25y2 – 18x – 200y + 166 = 0

–9x2– 18x + 25y2 – 200y = –166

–9(x2 + 2x + 1) + 25(y2 – 8y + 16) = –166 – 9 + 400

–9(x + 1)2 + 25(y – 4)2 = 225

225 225 4 25 1 9      225 ) (y 225 )

(x 2 2

1 4 1      9 ) (y 25 )

(x 2 2

Maka a = 3 , b = 5 , p = –1 dan q = 4 Persamaan asimtot adalah : y – 4 =

5 3

(x + 1) 5(y – 4) = 3(x + 1) 3x – 5y + 23 = 0 dan y – 4 = –

5 3

(x + 1) 5(y – 4) = –3(x + 1) 3x + 5y – 17 = 0

10. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di (–5, 4), puncaknya di (–11, 4) dan salah satu asimtotnya adalah 4x – 3y + 32 = 0

Hiperbola diatas adalah hiperbola horizontal, dimana: Pusat hiperbola (–5, 4) maka p = –5 dan q = 4

Puncak hiperbola (–11, 4) = (–a+p, q) maka –a – 5 = –11 a = 6 asimtotnya : y – q =

a b

(x – p) 4x – 3y + 32 = 0 y – 4 =

6 b

(x + 5) 4x – 3y + 32 = 0 6y – 24 = bx + 5b 4x – 3y + 32 = 0 bx – 6y + 5b + 24 = 0 4x – 3y + 32 = 0

2 b

x – 3y +

2 5b

+ 12 = 0 4x – 3y + 32 = 0 Sehingga

2 b

= 4 , b = 8

Jadi persamaan hiperbolanya : 5  4  1 64

) (y

36 )

(x 2 2