MATERI DIMENSI TIGA LENGKAP pelajaran
Standart Kompetensi :
Indikator :
6.
1.
2.
Menggunakan sifat dan aturan
geometri
dalam
menentukan
kedudukan titik, garis dan bidang ;
jarak ; sudut dan volum
Kompetensi dasar :
6.1 Menentukan
kedudukan titik, garis,
dan bidang dalam ruang dimensi tiga.
A.
4.
5.
Kedudukan Titik, Garis dan Bidang
1.
38
3.
Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang
Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam
ruang
Menentukan kedudukan antara dua garis dalam
ruang
Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam
ruang
Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam
ruang
Titik, Garis dan Bidang
a. Titik
Titik tidak dapat didefinisikan, tetapi dapat dinyatakan dengan tanda noktah ( . ) atau
dengan tanda silang (x). Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital
seperti A, B, C, P, Q, atau R.
b.
Garis
Garis yang dimaksud disini adalah garis lurus. Garis tidak memiliki lebar atau tebal
tetapi memiliki panjang yang tidak terhingga. Sehingga hanya digambarkan sebagian
(wakil garis) dari garis tersebut, Nama dari sebuah garis dapat dinyatakan dengan
menyebut nama dari wakil garis itu dengan memakai huruf kecil seperti g, h, l atau
dengan menggunakan dua huruf kapital yang terletak pada pangkal dan ujung garis
tersebut, misal : AB, AC.
c.
Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar yang dapat diperluas seluasluasnya. Sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil
bidang. Wakil dari sebuah bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Nama dari
wakil bidang dituliskan pada pojok bidang dengan memakai huruf greek misal : , ,
atau huruf kapital H, U, V, K atau dengan menyebut titik sudut dari wakil bidang itu.
2.
Kedudukan Titik dan Garis
Kedudukan titik dan garis ada dua macam yaitu :
a. Titik terletak pada garis
Sebuah titik A dikatakan terletak pada garis ℓ , jika titik A dapat dilalui oleh garis ℓ.
b. Titik diluar garis
Sebuah titik B dikatakan berada di luar garis k, jika titik B tidak dapat dilalui garis k.
3.
Kedudukan Titik dan Bidang
Kedudukan titik dan bidang ada dua macam yaitu :
a. Titik terletak pada bidang.
Titik A dikatakan terletak pada bidang U jika titik A dapat dilalui oleh bidang U.
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
b.
Titik di luar bidang.
Titik B dikatakan di luar bidang V jika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang V
4.
Kedudukan dua buah garis
Kedudukan dua garis dalam ruang kemungkinannya ada empat yaitu :
a. berimpit
b. berpotongan
kedua garis terletak pada satu bidang
c. sejajar
d. bersilangan (kedua garis tidak satu bidang).
5.
Kedudukan garis dan bidang
Kedudukan sebuah garis terhadap bidang di dalam suatu ruang, kemungkinannya adalah :
a. garis terletak pada bidang.
b. garis sejajar bidang.
c. garis memotong / menembus bidang.
a. Garis terletak pada bidang
Sebuah garis k dikatakan terletak pada bidang U, jika garis k dan bidang U itu
sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.
b. Garis sejajar bidang
Sebuah garis ℓ dikatakan sejajar bidang V, jika garis ℓ dan bidang V itu tidak
mempunyai satupun titik persekutuan.
c. Garis memotong atau menembus bidang.
Sebuah garis m dikatakan memotong atau menembus bidang W, jika garis m dan
bidang W hanya mempunyai titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik
potong atau titik tembus.
Kedudukan dua buah bidang
Kedudukan dua buah bidang di dalam suatu ruang, kemungkinannya adalah :
a. Berimpit
b. Sejajar
c. Berpotongan
a. dua bidang berimpit
Bidang U dan bidang V dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang
U juga terletak pada bidang V atau sebaliknya.
b. dua bidang sejajar
Bidang U dan V dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai satupun
titik persekutuan.
c. dua bidang berpotongan
Bidang U dan V dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat sebuah
garis persekutuan.
6.
Isilah titik-titik di bawah ini dengan menyatakan hubungan kedudukan titik, garis dan bidang pada
kubus ABCD, EFGH seperti gambar berikut :
1. a.
b.
c.
d.
e.
f.
39
Titik P
Titik C
Titik D
Titik P
Titik G
Titik A
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
garis HF
garis AQ
garis BF
bidang ACGE
bidang EFH
bidang BDHF
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
2. a.
b.
c.
d.
e.
garis AC
garis CP
garis EP
garis AP
garis FQ
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
garis BDf.
garis QE
garis CQ
garis CG
garis DH
garis BP
g. garis CG
h. garis AP
i. garis AG
j. garis HB
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
3. a.
b.
c.
d.
e.
garis AE
garis AG
garis PQ
garis BD
garis GE
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
bidang BDHF
bidang ACGE
bidang CDHG
bidang ADHE
bidang ABCD
f.
g.
h.
i.
j.
……………..
……………..
……………..
……………..
……………..
4. a.
b.
c.
d.
bidang ADHE ………… bidang BCGF
bidang ACGE ………… bidang BDHF
bidang ACP ………… bidang ACGE
bidang GEQ ………… bidang ABCD
garis DF
garis BD
garis AP
garis GQ
garis EF
garis CD
garis AD
garis BC
garis PQ
garis AC
bidang BCGF
bidang AFH
bidang CDHG
bidang ABFE
bidang EFGH
e. bidang AFH ………… bidang BDG
f. bidang BCHE ………… bidang ACGE
g. bidang ABCD ………… bidang AFH
Nyatakan kedudukan titik, garis dan bidang pada kubus ABCD, EFGH dengan ketentuan CP =
DC, BR = CR dan EQ =
1
AE seperti gambar berikut :
2
1. a. Titik P dan garis DC
b. Titik P dan garis AR
c. Titik R dan garis AB
d. Titik C dan garis AP
e. Titik P dan bidang ABCD
f. Titik P dan bidang DCGH
g. Titik R dan bidang BDG
h. Titik Q dan bidang EFGH
2. a.
b.
c.
d.
e.
garis AR dan garis DC
garis PQ dan garis FG
garis PR dan garis AD
garis BP dan garis AC
garis BP dan garis GE
f.
g.
h.
i.
j.
garis HG dan garis AQ
garis RQ dan garis HE
garis AR dan garis AP
garis BG dan garis PF
garis CH dan garis BP
3. a.
b.
c.
d.
e.
garis AQ dan bidang ADHE
garis PQ dan bidang EFGH
garis RC dan bidang ADHE
garis RG dan bidang ABFE
garis RQ dan bidang CDHG
f.
g.
h.
i.
j.
garis PG dan bidang BCHE
garis PH dan bidang DCGH
garis DQ dan bidang ADHE
garis HB dan bidang BCHE
garis RG dan bidang BCGF
d.
e.
f.
bidang GEQ dan bidang ACGE
bidang BDG dan bidang FHQ
bidang BPF dan bidang ACGE
4. a. bidang ACGE dan bidang FHQ
b. bidang ACGE dan bidang PFR
c. bidang DEG dan ACF
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
40
Kompetensi dasar
:
6.2 Menentukan jarak dari titik ke
garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga.
6.3 Menentukan besar sudut
antara garis dan bidang dan
antara dua bidang dalam
ruang dimensi tiga
Indikator :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke
bidang
Menggambar dan menghitung jarak dua garis yang
bersilangan pada benda ruang
Menggambar dan menghitung jarak dua bidang sejajar pada
benda ruang
Menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidang
Menggambar dan menghitung sudut antara dua bidang
Mengambar irisan suatu bidang dengan benda ruang
B. Proyeksi
1. Proyeksi titik pada garis
Proyeksi titik pada garis adalah titik kaki dari garis yang dibuat melalui titik itu tegak lurus
garis tersebut.
A
Garis g disebut garis proyeksi
Titik A disebut titik yang diproyeksikan
A/ disebut titik hasil proyeksi
Garis AA/ garis pemroyeksi
2.
Proyeksi titik pada bidang
Proyeksi titik pada bidang adalah titik kaki dari
garis yang dibuat melalui titik itu tegak lurus
bidang tersebut.
Bidang U disebut bidang proyeksi
Titik A disebut titik yang diproyeksikan
A/ disebut titik hasil proyeksi atau Proyeksi A pada bidang U
Garis g garis pemproyeksi
3.
Proyeksi garis pada bidang
Perhatikan gambar disamping :
Langkah untuk menentukan proyeksi garis g pada
bidang U adalah sebagai berikut :
a. Ambil dua titik sembarang pada garis g misal
titik A dan B
b. Proyeksikan titik A dan B pada bidang U
(diperoleh A/ dan B/)
c. Hubungkan titik A/ dan B/. Misal garis g/.
d. Garis g/ merupakan proyeksi garis g pada
bidang U
Contoh :
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm,
tentukan proyekasi :
a. Titik H pada garis FG
b. Titik H pada bidang ACGE
c. Garis AG pada bidang ABCD
Jawab :
a. Proyeksi titik H Pada garis FG adalah titik G
(karena haris HG FG )
b. Proyeksi titik H Pada bidang ACGE adalah titik H/
(H/ titik tengah-tengah GE atau tengah-tengah FH)
c. Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC. (Proyeksi A pada ABCD adalah A,
Proyeksi G pada ABCD adalah C)
41
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
C. Jarak
1. Jarak antara dua buah titik
Jarak antara dua titik adalah ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu.
2.
Jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis adalah ruas garis yang menghubungkan titik dan proyeksi titik
tersebut pada garis.
Perhatikan gambar disamping.
A/ adalah proyeksi titik A pada garis g . Jarak antara titik
A dan garis g adalah ruas garis AA/ = d.
3.
Jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik dan bidang adalah ruas garis yang
menghubungkan titik dan proyeksi titik tersebut pada bidang.
Perhatikan gambar disamping.
A/ adalah proyeksi titik A pada Bidang V . Jarak antara
titik A dan bidang V adalah ruas garis AA/ = d.
4.
Jarak dua buah garis sejajar
Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan
proyeksi titik itu pada garis yang lain.
Perhatikan gambar disamping.
Langkah untuk menentukan jarak dua garis sejajar :
a. Tentukan sebuah titik pada garis g, misal titik A
b. Proyeksikan titik A pada garis k didapat titik A/.
c. Jarak antara garis g dan k adalah ruas garis AA/ = d.
5.
Jarak antara garis dan bidang saling sejajar.
Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik pada garis dengan proyeksi titik itu pada bidang.
Perhatikan gambar disamping.
Langkah untuk menentukan jarak antara garis h
dan bidang yang saling sejajar :
a. Proyeksikan garis h pada bidang , misal garis k.
b. Tentukan sebuah titik pada garis h, misal titik A.
c. Proyeksikan titik A pada garis k, didapat titik A/.
d. Jarak antara garis h dan adalah ruas garis AA/
= d.
6.
Jarak antara dua bidang sejajar
Jarak antara dua bidang sejajar adalah ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik pada bidang yang satu
dengan proyeksi titik itu pada bidang yang lain.
Perhatikan gambar disamping.
Langkah untuk menentukan jarak dua garis sejajar :
a. Tentukan sebuah titik pada bidang , misal titik A.
b. Proyeksikan titik A pada bidang . Didapat titik A/.
c. Jarak antara bidang dan adalah ruas garis
AA/ = d.
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
42
Contoh :
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan :
a. Jarak antara titik A dan B
b. Jarak antara titik E dan garis FG
c. Jarak antara titik H dan bidang ABCD
d. Jarak antara garis EH dan garis BC
e. Jarak antara garis EH dan bidang BCGF
f. Jarak antara bidang EFGH dan ABCD
Jawab :
a. Jarak antara titik A dan B adalah ruas garis AB = 6 cm
b. Proyeksi titik E pada garis FG adalah titik F
Jarak antara titik E dan garis FG adalah ruas garis EF = 6 cm.
c. Proyeksi titik H pada bidang ABCD adalah titik D.
Jarak titik H dan bidang ABCD adalah ruas garis HD = 6 cm.
d. Titik E pada garis EH, proyeksi titik E pada garis BC adalah titik B.
Jarak antara garis EH dan garis BC adalah ruas garis EB = 6 2 cm.
e. Titik E pada garis EH, proyeksi titik E pada bidang BCGF adalah titik F.
Jarak garis EH dan bidang BCGF adalah ruas garis EF = 6 cm.
f. Titik E pada bidang EFGH, proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah titik A.
Jarak antara bidang EFGH dan bidang ABCD adalah ruas garis EA = 6 cm.
7.
Jarak dua garis bersilangan
Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua
garis itu.
Pada kenyataannya untuk menentukan garis yang
memotong tegak lurus dua garis yang bersilangan
tidak mudah. Untuk itu perlu dilakukan langkahlangkah berikut :
Garis h dan k saling bersilangan
Cara I :
a. Buatlah bidang melalui garis h yang sejajar
garis k. Misal bidang .
b. Proyeksikan garis k pada bidang , didapat
garis k/.
c. Tentukan titik potong garis h dan k/. Misal titik B.
d. Proyeksikan titik B pada garis k, didapat titik A.
e. Jarak antara garis h dan k saling bersilangan
adalah ruas garis AB = d
Cara II :
a. Buatlah bidang tegak lurus garis k yang
sejajar garis k.
b. Tentukan titik tembus garis k pada bidang ,
misal titik P.
c. Proyeksikan garis h pada bidang , didapat
garis h/.
d. Buat sebuah garis melalui P memotong tegak
lurus garis h/ di Titik Q,
e. Buat garis melalui Q tegak lurus bidang , dan memotong garis h di titik B.
f. Buat garis melalui B sejajar garis QP, dan memotong garis k dititik A.
g. Jarak antara garis h dan k saling bersilangan adalah ruas garis AB = d
Contoh :
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.
a. Tentukan jarak antara garis AE dan garis FG
b. Lukis dan dan tentukan jarak AE dan DF.
43
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
Jawab :
a. Jarak garis AE dan FG
Bidang melalui FG sejajar AE adalah bidang BCGF
Proyeksi garis AE pada bidang BCGF adalah garis BF
Titik potong garis BF dan dan FG adalah titik F
Proyeksi garis F pada garis AE adalah titik E.
jarak garis FG dan AE adalah ruas garis EF = 12 cm
b.
Jarak garis AE dan DF
Bidang yang tegak lurus garis AE adalah bidang ABCD.
Proyeksi garis DF pada bidang ABCD adalah garis DB
Garis melalui A tegak lurus DB adalah AC, memotong DB di P.
Garis melalui P tegak lurus bidang ABCD adalah garis PR.
RS sejajar AP.
Jarak garis AE dan DF adalah ruas garis SR
Panjang garis SR = AP =
1.
2.
3.
1
AC = 6 2
2
Pada kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan proyeksi :
a. Titik E pada garis AD
e. Titik G pada bidang BDHE
b. Titik E pada garis AH
f. Garis EF pada bidang DCHG
c. Titik E pada garis HB
g. Garis EF pada bidang ABGH
d. Titik G pada bidang ADHE
h. Garis AG pada bidang BDE
Pada limas segiempat beraturan tegak dengan panjang rusuk alas 4 cm, rusuk tegak 4
cm. Tentukan proyeksi :
a. Titik A pada garis TC
c. Garis AT pada ABCD
b. Titik T pada bidang ABCD
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm, hitunglah jarak antara :
a. Titik A dan F
h. Garis AE dan CG
b. Titik C dan E
i. Garis AE dan bidang CGHD
c. Titik A dan garis CG
j. Garis AE dan bidang BFHD
d. Titik A dan garis BG
k. Bidang ABFE dan DCGH
e. Titik A dan bidang BDHF
l. Bidang AFH dan BDG
f. Titik A dan bidang BDE
m. Garis AE dan BC
g. Garis AE dan BF
n. Garis dan BG
2
1.
Pada Kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 6 cm, titik P tengah-tengah FG, titik Q
tengah-tengah AE dan O tengah-tengah AC. tentukan proyeksi :
a. Titik G pada garis FC
h. Titik E pada bidang BDG
b. Titik G pada garis HB
i. Titik Q pada bidang BDG
c. Titik P pada garis BG
j. Garis PQ pada bidang ABCD dan hitung panjangnya
d. Titik Q pada garis HB
k. Garis QO pada bidang BDE dan hitung panjangnya
e. Titik O pada garis EH
l. Garis FE pada bidang ACH dan hitung panjangnya
f. Titik P pada bidang ABCD
m. Garis CG pada bidang BDG dan hitung panjangnya
g. Titik Q pada bidang BDHF
n. Garis AG pada bidang BDG dan hitung panjangnya
2.
Pada limas segietiga beraturan tegak T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk
tegak 8. tentukan proyeksi :
a. Titik T pada garis AB
d. Titik A pada bidang TBC
b. Titik A pada garis AB
e. Garis TC pada bidang TAB dan hitung panjangnya
c. Titik T pada bidang ABC
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
44
3.
Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, titik P, Q dan O masing-masing
tengah-tengah EF, BC dan BD. Hitung jarak antara :
a. Titik P dan D
j. Garis PO dan garis FQ
b. Titik Q dan H
k. Garis PQ dan EO
c. Titik P dan garis BC
l. Garis OG dan bidang AFH
d. Titik H dan garis OQ
m. Garis PO dan bidang BCGF
e. Titik P dan ABGH
n. Bidang BCGF dan bidang ADHE
f. Titik Q dan bidang BDHF
o. Bidang ACF dan bidang DEG
g. Titik C dan bidang BDE
p. Garis DE dan garis FG
h. Titik O dan bidang BDE
r. Garis FQ dan garis AD
i. Garis EH dan garis BC
s. Garis PO dan garis CG
D. Sudut
1. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksi
garis tersebut pada bidang proyensi.
Sudut antara garis h dan bidang dapat
ditentukan dengan langkah berikut :
a. Tentukan titik tembus garis h pada
bidang , dititik titik P.
b. Titik Q pada garis h, proyeksikan pada
bidang , di titik Q/.
c. Garis PQ/ atau h/ proyeksi garis h pada bidang .
d. Sudut antara garis h dan bidang adalah QPQ/ =
2.
Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang saling
berpotongan dan tegak lurus garis perpotongan kedua bidang.
Sudut antara bidang dan bidang dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
a. Tentukan garis perpotongan antara
bidang dan bidang , misal garis k
b. Buat garis pada bidang yang tegak
lurus garis k di titik A, misal garis g
c. Buat garis melalui titik A pada bidang
dan tegak lurus garis k, misal garis h.
d. Sudut antara bidang dan bidang adalah susut antara garis g dan h
Contoh :
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tunjukkan :
a. Sudut antara garis AH dan bidang ABCD.
b. Sudut antara garis CE dan bidang ABCD
c. Sudut antara bidang BCGF dan bidang BCHE
d. Sudut antara bidang ACH dan bidang ABCD
Jawab :
a. Sudut antara garis AH dan bidang ABCD.
Titik tembus garis AH pada bidang ABCD adalah titik A.
Titik H pada garis AH, proyeksi titik H pada bidang
ABCD adalah titik D.
Proyeksi garis AH pada ABCD adalah garis AD.
Sudut antara garis AH dan Bidang ABCD adalah DAH
b. Sudut antara garis CE dan bidang ABCD
Titik tembus garis CE pada bidang ABCD adalah titik C.
Titik C terletak pada garis CE, proyeksi titik C pada bidang ABCD adalah titik A
Proyeksi garis CE pada bidang ABCD adalah garis AC.
Sudut antara garis CE dan bidang ABCD adalah ACE.
45
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
3.
c.
Sudut antara bidang BCGF dan bidang BCHE
Garis potong bidang BCGF dan BCHE adalah garis BC.
Garis pada bidang BCGF yang tegak lurus garis BC, garis BE.
Titik potong garis EB dan BC, titik B.
Garis melalui B terletak pada bidang BCGF tegak lurus BC,
garis BF
sudut antara bidang BCGF dan bidang BCHE adalah EBF.
d.
Sudut antara bidang ACH dan bidang ABCD
Garis potong bidang ACH dan bidang ABCD, garis AC
Garis pada bidang ACH tegak lurus garis AC, garis HO
( O tengah-tengah AC)
Garis terletak di O pada bidang ABCD yang tegak lurus
AC, garis OD.
sudut antara bidang ACH dan bidang ABCD adalah
DOH.
Sudut antara dua garis yang bersilangan
Untuk menentukan sudut antara dua garis g dan h yang bersilangan dapat dilakukan
dengan langkah sebagai berikut :
a. Buat bidang melalui garis g.
b. Proyeksikan garis h pada bidang , misal garis h/.
c. Tentukan perpotongan garis g dan h/.
d. Sudut antara garis g dan h adalah .
Contoh :
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm, tunjukkan :
a. Sudut antara garis AH dan DC.
b. Sudut antara garis CF dan DH.
Jawab :
a. Sudut antara garis AH dan DC.
Buat bidang memuat garis AH, bidang ABGH
Proyeksi garis DC pada bidang ABGH, garis PQ
Tentukan perpotongan garis AH dan PQ.
Sudut antara garis AH dan DC adalah QPH.
b.
Sudut antara garis CF dan DH.
Buat bidang yang memuat garis CF, bidang BCGF
Proyeksi garis DH pada bidang BCGF, garis CG
Tentukan perpotongan garis CG dan BC, titik C
Sudut antara garis CG dan BC adalah FCG
1.
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tunjukkan dengan gambar sudut antara :
a. Garis AF dan bidang ABCD
d. Bidang AFH dan ABCD
b. Garis CE dan bidang AFH
e. Garis AD dan BF
c. Bidang ABGH dan CDEF
f. Garis AG dan DC
2.
Pada limas segiempat tegak beraturan dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk tegak 8 cm.
a. Sudut antara garis AT dan Bidang ABCD adalah . Tentukan Cos .
b. Sudut antara bidang TAB dan TDC adalah . Tentukan cos .
c. Sudut antara garis TB dan DC adalah . Tentukan tg
3.
Pada bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuknya 8 cm. Tentukan cosinus sudut
antara :
a. Garis TA dan bidang ABC
c. Garis TA dan BC
b. Bidang TBC dan ABC
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
46
1.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P tengah-tengah AE dan Q
tengah-tengah GE. Tunjukkan sudut antara :
a. Garis BG dan bidang ABCD
h. Bidang BCHE dan bidang ACGE
b. Garis BG dan bidang BFHD
i. Bidang PFH dan bidang AFH
c. Garis BG dan bidang AFGD
j. Bidang PFH dan bidang CFH
d. Garis CE dan bidang BDG
k. Garis CF dan garis AE
e. Garis AG dan bidang BDHF
l. Garis CF dan garis BE
f. Garis PQ dengan bidang AFH
m. Garis CG dan garis PQ
g. Bidang EFGH dan bidang ABGH
n. Garis CP dan garis AD
2.
Diketahui segi empat beraturan tegak T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm, rusuk tegak
6 2 . Hitunglah :
a. Tg sudut antara bidang TAB dan bidang ABCD
b. Cosinus sudut antara garis AP dan bidang ABCD (titik P tengah-tengah TC).
Diketahui bidang empat tegak T.ABC dengan TA tegak lurus bidang alas ABC. ABC siku di B
dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Panjang TA = 24 cm. Tg sudut antara bidang TBC dan
bidang ABC.
Diketahui bidang empat beraturan A.BCD dengan panjang rusuk 6 cm. E tengah-tengah BC.
Hitunglah :
a. Tg sudut antara bidang ABD dan bidang BCD
b. Cos sudut antara garis AE dan bidang BCD
3.
4.
I.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
1.
Pada kubus ABCD.EFGH, Titik P terletak di
perpanjangan DH, sehingga DH:DP = 1: 2,
Pernyataan berikut yang benar adalah ... .
A. Titik P terletak pada garis AH
B. Titik P terletak pada garis BH
C. Titik P terletak pada bidang CDHG
D. Titik P di luar bidang ADHE
E. Titik P diluar garis DH
H
Pada balok ABCD.EFGH
disamping, kedudukan E
F
antara garis BD dan CH
D
saling … .
A. sejajar
B
A
B. berpotongan
C. berpotongan tegak lurus
D. bersilangan tegak lurus
E. bersilangan
2.
3.
47
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik
tengah rusuk AE dan CG pada kubus
ABCD.EFGH. Diantara pasangan garis di
bawah ini yang berpotongan adalah … .
A. CE dan BG
D. BD dan EC
B. PQ dan CH
E. EQ dan CH
C. PG dan AC
G
4.
Pada balok ABCD.EFGH, garis yang tidak
menembus bidang BCHE adalah… .
H
A. DG
G
B. AF
E
F
C. DF
D. AG
D
C
E. AD
5.
Pada kubus ABCD.EFGH, bidang yang
sejajar dengan bidang ACF adalah … .
A. DEG
D. DHE
B. EHG
E. ABC
C. DHG
Dalam kubus ABCD.EFGH, bidang CDHG
mewakili bidang , bidang BFHD mewakili
bidang , dan bidang ABGH mewakili
mewakili bidang . Pernyataan berikut ini
yang benar adalah … .
A. bidang BCGF, sejajar dengan bidang
B. bidang ACGE,sejajar dengan bidang
C. bidang CDEF, berpotongan dengan
bidang
C
6.
A
B
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
D. bidang ABFE, berpotongan dengan
bidang
E. bidang BCHE,sejajar dengan bidang
7.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk a cm, Panjang proyeksi garis BF ke
bidang ABGH adalah ... cm.
A.
A.
8.
1
2
3
2
a
3
D.
a
3
E.
1
2
1
3
a
2
2
B. a
Pada
Kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm, panjang proyeksi
garis BE ke bidang diagonal ACGE sama
dengan ... .
a
2
D. a 3
2
a
2
B.
E. a 6
3
a
C.
6
2
Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4
dm, titik P tengah-tengah EH. Jarak titik P
ke garis BG adalah ... dm
A. 2 2
D. 3 2
B. 3 3
E. 2 3
5
C. 2
Dalam kubus ABCD.EFGH terletak titik P
pada tengah-tengah garis BH. Panjang
rusuk = 2a cm. Panjang jarak titik P ke
garis AD adalah ... cm.
A. a 3
D. 2a 2
B. 2a 3
E. a 2
C. a
T.ABCD adalah bidang empat dengan
panjang rusuk 4 cm. Jika P tengah-tengah
AB dan Q tengah-tengah TC, maka
panjang PQ sama dengan ... .
A. 2 3
D. 3 2
B. 2 2
E. 5 6
C. 8
Jarak antara titik C dengan bidang BDG
dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang
rusuknya 6 cm adalah ... cm.
A. 3 2
D. 3
B. 2 6
E. 2 3
C.
6
Pada kubus ABCD.EFGH panjang rusuk a
cm. Titik P dan Q masing-masing titik
tengah garis AC dan EG. Jarak antara
garis PF dan DQ adalah ... cm.
A.
9.
10.
11.
12.
13.
A.
B.
1
3
2
3
a
3
D.
a
3
E.
3
2
1
3
a
2
a
2
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
C. a
14. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang
masing-masing rusuknya a cm. Titik C
diangkat setinggi a cm. Titik A tetap di
lantai dan letak titik B dan D sama
jaraknya dari lantai. Jarak titik G dari lantai
adalah ... cm.
A.
2a
D.
B.
a(1 +
2)
3
2
a
E. 3a
3
1
2
C. a(1 +
2)
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang
rusuk a cm. Sudut antara garis AF dan
garis BH adalah ... .
A. 30o
D. 75o
o
B. 45
E. 90o
C. 60o
16. Besar sudut antara garis AH dan EG pada
kubus ABCD.EFGH adalah ... .
A. 0o
D. 60o
o
B. 30
E. 90o
C. 45o
17. Pada
Kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm. Nilai tangen sudut
antara CG dan bidang BDG adalah ... .
A.
B.
C.
3
1
3
D.
E.
2
3
6
2
1
2
18. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut
antara garis BG dengan bidang BDHF
adalah ... .
A. 30o
D. 75o
o
B. 45
E. 90o
C. 60o
19. Pada Balok ABCD.EFGH dengan alas
ABCD bujur sangkar AB = 20 cm, AE a
2 cm. Besar sudut antara bidang
ABCD dan ACH adalah ... .
A. 900
D. tg sudutnya
B. 600
C. 450
E. tg sudutnya
1
2
3
2
20. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang tiap
rusuknya a cm. T suatu titik pada
perpanjangan AE sehingga TE =
1
2
a cm.
Jika sudut antara bidang TBD dan bidang
ABCD adalah , maka tg = ... .
A.
B.
1
2
C.
3
2
2
D. 3
E. 3
2
2
2
48
49
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
Indikator :
6.
1.
2.
Menggunakan sifat dan aturan
geometri
dalam
menentukan
kedudukan titik, garis dan bidang ;
jarak ; sudut dan volum
Kompetensi dasar :
6.1 Menentukan
kedudukan titik, garis,
dan bidang dalam ruang dimensi tiga.
A.
4.
5.
Kedudukan Titik, Garis dan Bidang
1.
38
3.
Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang
Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam
ruang
Menentukan kedudukan antara dua garis dalam
ruang
Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam
ruang
Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam
ruang
Titik, Garis dan Bidang
a. Titik
Titik tidak dapat didefinisikan, tetapi dapat dinyatakan dengan tanda noktah ( . ) atau
dengan tanda silang (x). Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital
seperti A, B, C, P, Q, atau R.
b.
Garis
Garis yang dimaksud disini adalah garis lurus. Garis tidak memiliki lebar atau tebal
tetapi memiliki panjang yang tidak terhingga. Sehingga hanya digambarkan sebagian
(wakil garis) dari garis tersebut, Nama dari sebuah garis dapat dinyatakan dengan
menyebut nama dari wakil garis itu dengan memakai huruf kecil seperti g, h, l atau
dengan menggunakan dua huruf kapital yang terletak pada pangkal dan ujung garis
tersebut, misal : AB, AC.
c.
Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar yang dapat diperluas seluasluasnya. Sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil
bidang. Wakil dari sebuah bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Nama dari
wakil bidang dituliskan pada pojok bidang dengan memakai huruf greek misal : , ,
atau huruf kapital H, U, V, K atau dengan menyebut titik sudut dari wakil bidang itu.
2.
Kedudukan Titik dan Garis
Kedudukan titik dan garis ada dua macam yaitu :
a. Titik terletak pada garis
Sebuah titik A dikatakan terletak pada garis ℓ , jika titik A dapat dilalui oleh garis ℓ.
b. Titik diluar garis
Sebuah titik B dikatakan berada di luar garis k, jika titik B tidak dapat dilalui garis k.
3.
Kedudukan Titik dan Bidang
Kedudukan titik dan bidang ada dua macam yaitu :
a. Titik terletak pada bidang.
Titik A dikatakan terletak pada bidang U jika titik A dapat dilalui oleh bidang U.
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
b.
Titik di luar bidang.
Titik B dikatakan di luar bidang V jika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang V
4.
Kedudukan dua buah garis
Kedudukan dua garis dalam ruang kemungkinannya ada empat yaitu :
a. berimpit
b. berpotongan
kedua garis terletak pada satu bidang
c. sejajar
d. bersilangan (kedua garis tidak satu bidang).
5.
Kedudukan garis dan bidang
Kedudukan sebuah garis terhadap bidang di dalam suatu ruang, kemungkinannya adalah :
a. garis terletak pada bidang.
b. garis sejajar bidang.
c. garis memotong / menembus bidang.
a. Garis terletak pada bidang
Sebuah garis k dikatakan terletak pada bidang U, jika garis k dan bidang U itu
sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.
b. Garis sejajar bidang
Sebuah garis ℓ dikatakan sejajar bidang V, jika garis ℓ dan bidang V itu tidak
mempunyai satupun titik persekutuan.
c. Garis memotong atau menembus bidang.
Sebuah garis m dikatakan memotong atau menembus bidang W, jika garis m dan
bidang W hanya mempunyai titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik
potong atau titik tembus.
Kedudukan dua buah bidang
Kedudukan dua buah bidang di dalam suatu ruang, kemungkinannya adalah :
a. Berimpit
b. Sejajar
c. Berpotongan
a. dua bidang berimpit
Bidang U dan bidang V dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang
U juga terletak pada bidang V atau sebaliknya.
b. dua bidang sejajar
Bidang U dan V dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai satupun
titik persekutuan.
c. dua bidang berpotongan
Bidang U dan V dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat sebuah
garis persekutuan.
6.
Isilah titik-titik di bawah ini dengan menyatakan hubungan kedudukan titik, garis dan bidang pada
kubus ABCD, EFGH seperti gambar berikut :
1. a.
b.
c.
d.
e.
f.
39
Titik P
Titik C
Titik D
Titik P
Titik G
Titik A
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
garis HF
garis AQ
garis BF
bidang ACGE
bidang EFH
bidang BDHF
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
2. a.
b.
c.
d.
e.
garis AC
garis CP
garis EP
garis AP
garis FQ
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
garis BDf.
garis QE
garis CQ
garis CG
garis DH
garis BP
g. garis CG
h. garis AP
i. garis AG
j. garis HB
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
3. a.
b.
c.
d.
e.
garis AE
garis AG
garis PQ
garis BD
garis GE
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
bidang BDHF
bidang ACGE
bidang CDHG
bidang ADHE
bidang ABCD
f.
g.
h.
i.
j.
……………..
……………..
……………..
……………..
……………..
4. a.
b.
c.
d.
bidang ADHE ………… bidang BCGF
bidang ACGE ………… bidang BDHF
bidang ACP ………… bidang ACGE
bidang GEQ ………… bidang ABCD
garis DF
garis BD
garis AP
garis GQ
garis EF
garis CD
garis AD
garis BC
garis PQ
garis AC
bidang BCGF
bidang AFH
bidang CDHG
bidang ABFE
bidang EFGH
e. bidang AFH ………… bidang BDG
f. bidang BCHE ………… bidang ACGE
g. bidang ABCD ………… bidang AFH
Nyatakan kedudukan titik, garis dan bidang pada kubus ABCD, EFGH dengan ketentuan CP =
DC, BR = CR dan EQ =
1
AE seperti gambar berikut :
2
1. a. Titik P dan garis DC
b. Titik P dan garis AR
c. Titik R dan garis AB
d. Titik C dan garis AP
e. Titik P dan bidang ABCD
f. Titik P dan bidang DCGH
g. Titik R dan bidang BDG
h. Titik Q dan bidang EFGH
2. a.
b.
c.
d.
e.
garis AR dan garis DC
garis PQ dan garis FG
garis PR dan garis AD
garis BP dan garis AC
garis BP dan garis GE
f.
g.
h.
i.
j.
garis HG dan garis AQ
garis RQ dan garis HE
garis AR dan garis AP
garis BG dan garis PF
garis CH dan garis BP
3. a.
b.
c.
d.
e.
garis AQ dan bidang ADHE
garis PQ dan bidang EFGH
garis RC dan bidang ADHE
garis RG dan bidang ABFE
garis RQ dan bidang CDHG
f.
g.
h.
i.
j.
garis PG dan bidang BCHE
garis PH dan bidang DCGH
garis DQ dan bidang ADHE
garis HB dan bidang BCHE
garis RG dan bidang BCGF
d.
e.
f.
bidang GEQ dan bidang ACGE
bidang BDG dan bidang FHQ
bidang BPF dan bidang ACGE
4. a. bidang ACGE dan bidang FHQ
b. bidang ACGE dan bidang PFR
c. bidang DEG dan ACF
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
40
Kompetensi dasar
:
6.2 Menentukan jarak dari titik ke
garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga.
6.3 Menentukan besar sudut
antara garis dan bidang dan
antara dua bidang dalam
ruang dimensi tiga
Indikator :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke
bidang
Menggambar dan menghitung jarak dua garis yang
bersilangan pada benda ruang
Menggambar dan menghitung jarak dua bidang sejajar pada
benda ruang
Menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidang
Menggambar dan menghitung sudut antara dua bidang
Mengambar irisan suatu bidang dengan benda ruang
B. Proyeksi
1. Proyeksi titik pada garis
Proyeksi titik pada garis adalah titik kaki dari garis yang dibuat melalui titik itu tegak lurus
garis tersebut.
A
Garis g disebut garis proyeksi
Titik A disebut titik yang diproyeksikan
A/ disebut titik hasil proyeksi
Garis AA/ garis pemroyeksi
2.
Proyeksi titik pada bidang
Proyeksi titik pada bidang adalah titik kaki dari
garis yang dibuat melalui titik itu tegak lurus
bidang tersebut.
Bidang U disebut bidang proyeksi
Titik A disebut titik yang diproyeksikan
A/ disebut titik hasil proyeksi atau Proyeksi A pada bidang U
Garis g garis pemproyeksi
3.
Proyeksi garis pada bidang
Perhatikan gambar disamping :
Langkah untuk menentukan proyeksi garis g pada
bidang U adalah sebagai berikut :
a. Ambil dua titik sembarang pada garis g misal
titik A dan B
b. Proyeksikan titik A dan B pada bidang U
(diperoleh A/ dan B/)
c. Hubungkan titik A/ dan B/. Misal garis g/.
d. Garis g/ merupakan proyeksi garis g pada
bidang U
Contoh :
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm,
tentukan proyekasi :
a. Titik H pada garis FG
b. Titik H pada bidang ACGE
c. Garis AG pada bidang ABCD
Jawab :
a. Proyeksi titik H Pada garis FG adalah titik G
(karena haris HG FG )
b. Proyeksi titik H Pada bidang ACGE adalah titik H/
(H/ titik tengah-tengah GE atau tengah-tengah FH)
c. Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC. (Proyeksi A pada ABCD adalah A,
Proyeksi G pada ABCD adalah C)
41
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
C. Jarak
1. Jarak antara dua buah titik
Jarak antara dua titik adalah ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu.
2.
Jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis adalah ruas garis yang menghubungkan titik dan proyeksi titik
tersebut pada garis.
Perhatikan gambar disamping.
A/ adalah proyeksi titik A pada garis g . Jarak antara titik
A dan garis g adalah ruas garis AA/ = d.
3.
Jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik dan bidang adalah ruas garis yang
menghubungkan titik dan proyeksi titik tersebut pada bidang.
Perhatikan gambar disamping.
A/ adalah proyeksi titik A pada Bidang V . Jarak antara
titik A dan bidang V adalah ruas garis AA/ = d.
4.
Jarak dua buah garis sejajar
Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan
proyeksi titik itu pada garis yang lain.
Perhatikan gambar disamping.
Langkah untuk menentukan jarak dua garis sejajar :
a. Tentukan sebuah titik pada garis g, misal titik A
b. Proyeksikan titik A pada garis k didapat titik A/.
c. Jarak antara garis g dan k adalah ruas garis AA/ = d.
5.
Jarak antara garis dan bidang saling sejajar.
Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik pada garis dengan proyeksi titik itu pada bidang.
Perhatikan gambar disamping.
Langkah untuk menentukan jarak antara garis h
dan bidang yang saling sejajar :
a. Proyeksikan garis h pada bidang , misal garis k.
b. Tentukan sebuah titik pada garis h, misal titik A.
c. Proyeksikan titik A pada garis k, didapat titik A/.
d. Jarak antara garis h dan adalah ruas garis AA/
= d.
6.
Jarak antara dua bidang sejajar
Jarak antara dua bidang sejajar adalah ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik pada bidang yang satu
dengan proyeksi titik itu pada bidang yang lain.
Perhatikan gambar disamping.
Langkah untuk menentukan jarak dua garis sejajar :
a. Tentukan sebuah titik pada bidang , misal titik A.
b. Proyeksikan titik A pada bidang . Didapat titik A/.
c. Jarak antara bidang dan adalah ruas garis
AA/ = d.
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
42
Contoh :
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan :
a. Jarak antara titik A dan B
b. Jarak antara titik E dan garis FG
c. Jarak antara titik H dan bidang ABCD
d. Jarak antara garis EH dan garis BC
e. Jarak antara garis EH dan bidang BCGF
f. Jarak antara bidang EFGH dan ABCD
Jawab :
a. Jarak antara titik A dan B adalah ruas garis AB = 6 cm
b. Proyeksi titik E pada garis FG adalah titik F
Jarak antara titik E dan garis FG adalah ruas garis EF = 6 cm.
c. Proyeksi titik H pada bidang ABCD adalah titik D.
Jarak titik H dan bidang ABCD adalah ruas garis HD = 6 cm.
d. Titik E pada garis EH, proyeksi titik E pada garis BC adalah titik B.
Jarak antara garis EH dan garis BC adalah ruas garis EB = 6 2 cm.
e. Titik E pada garis EH, proyeksi titik E pada bidang BCGF adalah titik F.
Jarak garis EH dan bidang BCGF adalah ruas garis EF = 6 cm.
f. Titik E pada bidang EFGH, proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah titik A.
Jarak antara bidang EFGH dan bidang ABCD adalah ruas garis EA = 6 cm.
7.
Jarak dua garis bersilangan
Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua
garis itu.
Pada kenyataannya untuk menentukan garis yang
memotong tegak lurus dua garis yang bersilangan
tidak mudah. Untuk itu perlu dilakukan langkahlangkah berikut :
Garis h dan k saling bersilangan
Cara I :
a. Buatlah bidang melalui garis h yang sejajar
garis k. Misal bidang .
b. Proyeksikan garis k pada bidang , didapat
garis k/.
c. Tentukan titik potong garis h dan k/. Misal titik B.
d. Proyeksikan titik B pada garis k, didapat titik A.
e. Jarak antara garis h dan k saling bersilangan
adalah ruas garis AB = d
Cara II :
a. Buatlah bidang tegak lurus garis k yang
sejajar garis k.
b. Tentukan titik tembus garis k pada bidang ,
misal titik P.
c. Proyeksikan garis h pada bidang , didapat
garis h/.
d. Buat sebuah garis melalui P memotong tegak
lurus garis h/ di Titik Q,
e. Buat garis melalui Q tegak lurus bidang , dan memotong garis h di titik B.
f. Buat garis melalui B sejajar garis QP, dan memotong garis k dititik A.
g. Jarak antara garis h dan k saling bersilangan adalah ruas garis AB = d
Contoh :
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.
a. Tentukan jarak antara garis AE dan garis FG
b. Lukis dan dan tentukan jarak AE dan DF.
43
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
Jawab :
a. Jarak garis AE dan FG
Bidang melalui FG sejajar AE adalah bidang BCGF
Proyeksi garis AE pada bidang BCGF adalah garis BF
Titik potong garis BF dan dan FG adalah titik F
Proyeksi garis F pada garis AE adalah titik E.
jarak garis FG dan AE adalah ruas garis EF = 12 cm
b.
Jarak garis AE dan DF
Bidang yang tegak lurus garis AE adalah bidang ABCD.
Proyeksi garis DF pada bidang ABCD adalah garis DB
Garis melalui A tegak lurus DB adalah AC, memotong DB di P.
Garis melalui P tegak lurus bidang ABCD adalah garis PR.
RS sejajar AP.
Jarak garis AE dan DF adalah ruas garis SR
Panjang garis SR = AP =
1.
2.
3.
1
AC = 6 2
2
Pada kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan proyeksi :
a. Titik E pada garis AD
e. Titik G pada bidang BDHE
b. Titik E pada garis AH
f. Garis EF pada bidang DCHG
c. Titik E pada garis HB
g. Garis EF pada bidang ABGH
d. Titik G pada bidang ADHE
h. Garis AG pada bidang BDE
Pada limas segiempat beraturan tegak dengan panjang rusuk alas 4 cm, rusuk tegak 4
cm. Tentukan proyeksi :
a. Titik A pada garis TC
c. Garis AT pada ABCD
b. Titik T pada bidang ABCD
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm, hitunglah jarak antara :
a. Titik A dan F
h. Garis AE dan CG
b. Titik C dan E
i. Garis AE dan bidang CGHD
c. Titik A dan garis CG
j. Garis AE dan bidang BFHD
d. Titik A dan garis BG
k. Bidang ABFE dan DCGH
e. Titik A dan bidang BDHF
l. Bidang AFH dan BDG
f. Titik A dan bidang BDE
m. Garis AE dan BC
g. Garis AE dan BF
n. Garis dan BG
2
1.
Pada Kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 6 cm, titik P tengah-tengah FG, titik Q
tengah-tengah AE dan O tengah-tengah AC. tentukan proyeksi :
a. Titik G pada garis FC
h. Titik E pada bidang BDG
b. Titik G pada garis HB
i. Titik Q pada bidang BDG
c. Titik P pada garis BG
j. Garis PQ pada bidang ABCD dan hitung panjangnya
d. Titik Q pada garis HB
k. Garis QO pada bidang BDE dan hitung panjangnya
e. Titik O pada garis EH
l. Garis FE pada bidang ACH dan hitung panjangnya
f. Titik P pada bidang ABCD
m. Garis CG pada bidang BDG dan hitung panjangnya
g. Titik Q pada bidang BDHF
n. Garis AG pada bidang BDG dan hitung panjangnya
2.
Pada limas segietiga beraturan tegak T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk
tegak 8. tentukan proyeksi :
a. Titik T pada garis AB
d. Titik A pada bidang TBC
b. Titik A pada garis AB
e. Garis TC pada bidang TAB dan hitung panjangnya
c. Titik T pada bidang ABC
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
44
3.
Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, titik P, Q dan O masing-masing
tengah-tengah EF, BC dan BD. Hitung jarak antara :
a. Titik P dan D
j. Garis PO dan garis FQ
b. Titik Q dan H
k. Garis PQ dan EO
c. Titik P dan garis BC
l. Garis OG dan bidang AFH
d. Titik H dan garis OQ
m. Garis PO dan bidang BCGF
e. Titik P dan ABGH
n. Bidang BCGF dan bidang ADHE
f. Titik Q dan bidang BDHF
o. Bidang ACF dan bidang DEG
g. Titik C dan bidang BDE
p. Garis DE dan garis FG
h. Titik O dan bidang BDE
r. Garis FQ dan garis AD
i. Garis EH dan garis BC
s. Garis PO dan garis CG
D. Sudut
1. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksi
garis tersebut pada bidang proyensi.
Sudut antara garis h dan bidang dapat
ditentukan dengan langkah berikut :
a. Tentukan titik tembus garis h pada
bidang , dititik titik P.
b. Titik Q pada garis h, proyeksikan pada
bidang , di titik Q/.
c. Garis PQ/ atau h/ proyeksi garis h pada bidang .
d. Sudut antara garis h dan bidang adalah QPQ/ =
2.
Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang saling
berpotongan dan tegak lurus garis perpotongan kedua bidang.
Sudut antara bidang dan bidang dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
a. Tentukan garis perpotongan antara
bidang dan bidang , misal garis k
b. Buat garis pada bidang yang tegak
lurus garis k di titik A, misal garis g
c. Buat garis melalui titik A pada bidang
dan tegak lurus garis k, misal garis h.
d. Sudut antara bidang dan bidang adalah susut antara garis g dan h
Contoh :
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tunjukkan :
a. Sudut antara garis AH dan bidang ABCD.
b. Sudut antara garis CE dan bidang ABCD
c. Sudut antara bidang BCGF dan bidang BCHE
d. Sudut antara bidang ACH dan bidang ABCD
Jawab :
a. Sudut antara garis AH dan bidang ABCD.
Titik tembus garis AH pada bidang ABCD adalah titik A.
Titik H pada garis AH, proyeksi titik H pada bidang
ABCD adalah titik D.
Proyeksi garis AH pada ABCD adalah garis AD.
Sudut antara garis AH dan Bidang ABCD adalah DAH
b. Sudut antara garis CE dan bidang ABCD
Titik tembus garis CE pada bidang ABCD adalah titik C.
Titik C terletak pada garis CE, proyeksi titik C pada bidang ABCD adalah titik A
Proyeksi garis CE pada bidang ABCD adalah garis AC.
Sudut antara garis CE dan bidang ABCD adalah ACE.
45
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
3.
c.
Sudut antara bidang BCGF dan bidang BCHE
Garis potong bidang BCGF dan BCHE adalah garis BC.
Garis pada bidang BCGF yang tegak lurus garis BC, garis BE.
Titik potong garis EB dan BC, titik B.
Garis melalui B terletak pada bidang BCGF tegak lurus BC,
garis BF
sudut antara bidang BCGF dan bidang BCHE adalah EBF.
d.
Sudut antara bidang ACH dan bidang ABCD
Garis potong bidang ACH dan bidang ABCD, garis AC
Garis pada bidang ACH tegak lurus garis AC, garis HO
( O tengah-tengah AC)
Garis terletak di O pada bidang ABCD yang tegak lurus
AC, garis OD.
sudut antara bidang ACH dan bidang ABCD adalah
DOH.
Sudut antara dua garis yang bersilangan
Untuk menentukan sudut antara dua garis g dan h yang bersilangan dapat dilakukan
dengan langkah sebagai berikut :
a. Buat bidang melalui garis g.
b. Proyeksikan garis h pada bidang , misal garis h/.
c. Tentukan perpotongan garis g dan h/.
d. Sudut antara garis g dan h adalah .
Contoh :
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm, tunjukkan :
a. Sudut antara garis AH dan DC.
b. Sudut antara garis CF dan DH.
Jawab :
a. Sudut antara garis AH dan DC.
Buat bidang memuat garis AH, bidang ABGH
Proyeksi garis DC pada bidang ABGH, garis PQ
Tentukan perpotongan garis AH dan PQ.
Sudut antara garis AH dan DC adalah QPH.
b.
Sudut antara garis CF dan DH.
Buat bidang yang memuat garis CF, bidang BCGF
Proyeksi garis DH pada bidang BCGF, garis CG
Tentukan perpotongan garis CG dan BC, titik C
Sudut antara garis CG dan BC adalah FCG
1.
Pada Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tunjukkan dengan gambar sudut antara :
a. Garis AF dan bidang ABCD
d. Bidang AFH dan ABCD
b. Garis CE dan bidang AFH
e. Garis AD dan BF
c. Bidang ABGH dan CDEF
f. Garis AG dan DC
2.
Pada limas segiempat tegak beraturan dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk tegak 8 cm.
a. Sudut antara garis AT dan Bidang ABCD adalah . Tentukan Cos .
b. Sudut antara bidang TAB dan TDC adalah . Tentukan cos .
c. Sudut antara garis TB dan DC adalah . Tentukan tg
3.
Pada bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuknya 8 cm. Tentukan cosinus sudut
antara :
a. Garis TA dan bidang ABC
c. Garis TA dan BC
b. Bidang TBC dan ABC
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
46
1.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P tengah-tengah AE dan Q
tengah-tengah GE. Tunjukkan sudut antara :
a. Garis BG dan bidang ABCD
h. Bidang BCHE dan bidang ACGE
b. Garis BG dan bidang BFHD
i. Bidang PFH dan bidang AFH
c. Garis BG dan bidang AFGD
j. Bidang PFH dan bidang CFH
d. Garis CE dan bidang BDG
k. Garis CF dan garis AE
e. Garis AG dan bidang BDHF
l. Garis CF dan garis BE
f. Garis PQ dengan bidang AFH
m. Garis CG dan garis PQ
g. Bidang EFGH dan bidang ABGH
n. Garis CP dan garis AD
2.
Diketahui segi empat beraturan tegak T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm, rusuk tegak
6 2 . Hitunglah :
a. Tg sudut antara bidang TAB dan bidang ABCD
b. Cosinus sudut antara garis AP dan bidang ABCD (titik P tengah-tengah TC).
Diketahui bidang empat tegak T.ABC dengan TA tegak lurus bidang alas ABC. ABC siku di B
dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Panjang TA = 24 cm. Tg sudut antara bidang TBC dan
bidang ABC.
Diketahui bidang empat beraturan A.BCD dengan panjang rusuk 6 cm. E tengah-tengah BC.
Hitunglah :
a. Tg sudut antara bidang ABD dan bidang BCD
b. Cos sudut antara garis AE dan bidang BCD
3.
4.
I.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
1.
Pada kubus ABCD.EFGH, Titik P terletak di
perpanjangan DH, sehingga DH:DP = 1: 2,
Pernyataan berikut yang benar adalah ... .
A. Titik P terletak pada garis AH
B. Titik P terletak pada garis BH
C. Titik P terletak pada bidang CDHG
D. Titik P di luar bidang ADHE
E. Titik P diluar garis DH
H
Pada balok ABCD.EFGH
disamping, kedudukan E
F
antara garis BD dan CH
D
saling … .
A. sejajar
B
A
B. berpotongan
C. berpotongan tegak lurus
D. bersilangan tegak lurus
E. bersilangan
2.
3.
47
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik
tengah rusuk AE dan CG pada kubus
ABCD.EFGH. Diantara pasangan garis di
bawah ini yang berpotongan adalah … .
A. CE dan BG
D. BD dan EC
B. PQ dan CH
E. EQ dan CH
C. PG dan AC
G
4.
Pada balok ABCD.EFGH, garis yang tidak
menembus bidang BCHE adalah… .
H
A. DG
G
B. AF
E
F
C. DF
D. AG
D
C
E. AD
5.
Pada kubus ABCD.EFGH, bidang yang
sejajar dengan bidang ACF adalah … .
A. DEG
D. DHE
B. EHG
E. ABC
C. DHG
Dalam kubus ABCD.EFGH, bidang CDHG
mewakili bidang , bidang BFHD mewakili
bidang , dan bidang ABGH mewakili
mewakili bidang . Pernyataan berikut ini
yang benar adalah … .
A. bidang BCGF, sejajar dengan bidang
B. bidang ACGE,sejajar dengan bidang
C. bidang CDEF, berpotongan dengan
bidang
C
6.
A
B
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2
D. bidang ABFE, berpotongan dengan
bidang
E. bidang BCHE,sejajar dengan bidang
7.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk a cm, Panjang proyeksi garis BF ke
bidang ABGH adalah ... cm.
A.
A.
8.
1
2
3
2
a
3
D.
a
3
E.
1
2
1
3
a
2
2
B. a
Pada
Kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm, panjang proyeksi
garis BE ke bidang diagonal ACGE sama
dengan ... .
a
2
D. a 3
2
a
2
B.
E. a 6
3
a
C.
6
2
Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4
dm, titik P tengah-tengah EH. Jarak titik P
ke garis BG adalah ... dm
A. 2 2
D. 3 2
B. 3 3
E. 2 3
5
C. 2
Dalam kubus ABCD.EFGH terletak titik P
pada tengah-tengah garis BH. Panjang
rusuk = 2a cm. Panjang jarak titik P ke
garis AD adalah ... cm.
A. a 3
D. 2a 2
B. 2a 3
E. a 2
C. a
T.ABCD adalah bidang empat dengan
panjang rusuk 4 cm. Jika P tengah-tengah
AB dan Q tengah-tengah TC, maka
panjang PQ sama dengan ... .
A. 2 3
D. 3 2
B. 2 2
E. 5 6
C. 8
Jarak antara titik C dengan bidang BDG
dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang
rusuknya 6 cm adalah ... cm.
A. 3 2
D. 3
B. 2 6
E. 2 3
C.
6
Pada kubus ABCD.EFGH panjang rusuk a
cm. Titik P dan Q masing-masing titik
tengah garis AC dan EG. Jarak antara
garis PF dan DQ adalah ... cm.
A.
9.
10.
11.
12.
13.
A.
B.
1
3
2
3
a
3
D.
a
3
E.
3
2
1
3
a
2
a
2
Matematika SMA/MA Kelas X Semester 2
C. a
14. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang
masing-masing rusuknya a cm. Titik C
diangkat setinggi a cm. Titik A tetap di
lantai dan letak titik B dan D sama
jaraknya dari lantai. Jarak titik G dari lantai
adalah ... cm.
A.
2a
D.
B.
a(1 +
2)
3
2
a
E. 3a
3
1
2
C. a(1 +
2)
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang
rusuk a cm. Sudut antara garis AF dan
garis BH adalah ... .
A. 30o
D. 75o
o
B. 45
E. 90o
C. 60o
16. Besar sudut antara garis AH dan EG pada
kubus ABCD.EFGH adalah ... .
A. 0o
D. 60o
o
B. 30
E. 90o
C. 45o
17. Pada
Kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm. Nilai tangen sudut
antara CG dan bidang BDG adalah ... .
A.
B.
C.
3
1
3
D.
E.
2
3
6
2
1
2
18. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut
antara garis BG dengan bidang BDHF
adalah ... .
A. 30o
D. 75o
o
B. 45
E. 90o
C. 60o
19. Pada Balok ABCD.EFGH dengan alas
ABCD bujur sangkar AB = 20 cm, AE a
2 cm. Besar sudut antara bidang
ABCD dan ACH adalah ... .
A. 900
D. tg sudutnya
B. 600
C. 450
E. tg sudutnya
1
2
3
2
20. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang tiap
rusuknya a cm. T suatu titik pada
perpanjangan AE sehingga TE =
1
2
a cm.
Jika sudut antara bidang TBD dan bidang
ABCD adalah , maka tg = ... .
A.
B.
1
2
C.
3
2
2
D. 3
E. 3
2
2
2
48
49
Matematika SMA / MA Kelas X semeter 2