Ruang `2 yang dilengkapi dengan inner product hx, yi =
J. Math. and Its Appl.
ISSN: 1829-605X
Vol. 4, No. 2, November 2007, 45–51
KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN
YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR
Sadjidon1 , H. Gunawan2
1
1
Jurusan Matematika, 2 Departemen Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
2
Institut Teknologi Bandung, Bandung
2
hgunawan@dns.math.itb.ac.id
Abstrak
Pada paper ini akan dikaji tentang pengkonstruksian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat orthogonalitas dari dua vektor sehingga diperoleh pendefinisikan ruang 2-norm,
khususnya untuk ruang ℓ2 .
2
Katakunci: Ruang ℓ , orthogonalitas, ruang 2-norm.
1. Pendahuluan
Ruang ℓ2 yang dilengkapi dengan inner product hx, yi =
P
xj yj , merupak-
j
an ruang inner product. Begitu juga ruang ℓ2 yang dilengkapi dengan nor1
∞
2
P
2
merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari
|xk |
ma kxk =
k=1
ruang ℓ2 yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang
∗
∗
ℓ2 yang dinotasikan dengan ℓ2 adalah ruang ℓ2 juga. Jika f ∈ ℓ2 ,
45
46
Konstruksi Ruang 2-Norm Sebagai Luasan
maka f ∈ ℓ2 dan dapat diinterpretasikan untuk f (x) =
∗
dengan x ∈ ℓ2 , z ∈ ℓ2 = ℓ2 .
P
xj zj = hx, zi,
j
Sekarang pandang S himpunan semua barisan bilangan real dan merupakan ruang vektor atas field R. Setiap subruang vektor S juga merupakan
ruang barisan. Untuk X subruang S didefinisikan suatu fungsi bernilai real
k•, ..., •k pada X n yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. kx1 , x2 , ..., xn k = 0, jika dan hanya jika x1 , x2 , ..., xn dependen linier
2. kx1 , x2 , ..., xn k invarian terhadap permutasi
3. kx1 , x2 , ..., αxn k = |α| kx1 , x2 , ..., xn k untuk setiap α ∈ R
4. kx1 , x2 , ..., xn−1 , y + zk ≤ kx1 , x2 , ..., xn−1 , yk + kx1 , x2 , ..., xn−1 , zk
disebut n-norma pada X dan pasangan (X, k•, ..., •k) disebut ruang nnorma.
Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang
disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan sifatsifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga diperoleh pendefinisian ruang 2-norm.
2. Ruang ℓ2 dan n-norma Standarnya
Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang ℓ2
yang diberikan sebagai berikut :
(
hx, zi hy, zi
kx, yk = Sup
hx, wi hy, wi
)
: z, w ∈ ℓ2 , kzk , kwk ≤ 1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx, zi
hx, wi
hy, zi hx, xi
≤
hy, wi hy, xi
1
hx, yi 2 hz, zi
hy, yi hw, zi
1
hx, xi
hz, wi 2
≤
hy, xi
hw, wi
1
hx, yi 2
.
hy, yi
47
Sadjidon, H. Gunawan
1
hx, xi hx, yi 2
merupakan batas atas dari himHasil ini menunjukkan bahwa
hy, xi hy, yi
hx, zi hy, zi
: z, w ∈ ℓ2 , kzk , kwk ≤ 1 dan ini berarti bahwa :
punan
hx, wi hy, wi
hx, zi
Sup
hx, wi
hx, xi
hy, zi
2
: z, w ∈ ℓ , kzk , kwk ≤ 1 ≤
hy, xi
hy, wi
′
1
hx, yi 2
hy, yi
(1)
y−αx
x
; w = ky−αxk
= kyy′ k dengan z dan y ′ orthogonal, juga
Selanjutnya untuk z = kxk
memenuhi kzk , kwk ≤ 1, maka diperoleh
D
E D
E
x
x
y, kxk
hx, zi hy, zi
x, kxk
= D
E
D
E
hx, wi hy, wi
y′
y′
y, ky′ k
x, ky′ k
hx, xi hy, xi
hx, y ′ i hy, y ′ i
=
kxk ky ′ k
hx, xi hy, xi
hx, yi hy, yi
=
.
kxk ky ′ k
dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh
juga bahwa
1
1
1
hx, xi hy, xi 2
hx, xi hy ′ , xi 2
hx, xi hy, xi 2
′
hx, yi hy, yi = hx, y ′ i hy, y ′ i = hx, y ′ i hy ′ , y ′ i = kxk ky k
sehingga
hx, zi
hx, wi
hx, xi hy, xi
kxk ky ′ k
hy, xi hy, yi
hy, zi
=
hy, wi
kxk ky ′ k
Hasil ini menunjukkan bahwa
1
hx, xi hy, xi 2
hx, zi hy, zi
=
hx, yi hy, yi
hx, wi hy, wi
hx, zi hy, zi
≤ Sup
hx, wi hy, wi
12
hx, xi
=
hx, yi
1
hy, xi 2
.
hy, yi
: z, w ∈ ℓ2 , kzk , kwk ≤ 1
(2)
Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada
ruang ℓ2 adalah
1
hx, xi hx, yi 2
hx, zi hy, zi
2
: z, w ∈ ℓ , kzk , kwk ≤ 1 =
kx, yk = Sup
hy, xi hy, yi
hx, wi hy, wi
48
Konstruksi Ruang 2-Norm Sebagai Luasan
dan 2-Norma kx, yk tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor
x dan y. Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang ℓ2 yang
P
dikenal sebagai ruang inner product dengan inner product hx, yi =
xj yj , dapat
j
dilengkapi dengan n-normanya
hx1 , x1 i
kx1 , x2 , ..., xn k =
..
hx , x i
n
1
...
..
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
21
merupakan ruang n-norma standar sehingga ruang ℓ2 merupakan ruang n-norma.
Khususnya jika n = 2 , maka 2-norma standar untuk ruang ℓ2 adalah :
hx, xi
kx, yk =
hy, xi
1
hx, yi 2
.
hy, yi
Untuk n-norma pada ruang ℓp khususnya ruang ℓ2 , penjabarannya dan pengembangannya dalam [2].
Sekarang akan dijabarkan n-norma pada ruang ℓ2 menurut pendefinisian [1]
dengan n-norma nya sebagai berikut :
kx1 , ..., xn k
f1 (x1 )
= Sup
..
fn (x1 )
...
...
...
f1 (xn )
..
fn (xn )
atau dapat dituliskan
kx1 , ..., xn k
hx1 , z1 i
= Sup
..
hxn , z1 i
...
...
...
∗
: f1 , ..., fn ∈ ℓ2 = ℓ2 , kf1 k , ..., kfn k ≤ 1
hx1 , zn i
..
hxn , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 , kz1 k , ..., kzn k ≤ 1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan
hx1 , z1 i
..
hx , z i
n 1
...
...
...
hx1 , zn i
..
hxn , zn i
hx1 , x1 i
≤
..
hx , x i
n
1
hx1 , x1 i
≤
..
hx , x i
n
1
...
...
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
...
...
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
21
21
hz1 , z1 i
..
hz , z i
n 1
...
...
...
hz1 , zn i
..
hzn , zn i
12
.
49
Sadjidon, H. Gunawan
1
hx1 , x1 i ... hx1 , xn i 2
batas atas dari himpunan
ini menunjukkan
..
...
..
hx , x i ... hx , x i
n
1
n
n
hx1 , z1 i ... hx1 , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 , kz1 k , ..., kzn k ≤ 1
..
...
..
hxn , z1 i ... hxn , zn i
berarti bahwa
kx1 , ..., xn k
f1 (x1 )
= Sup
..
f (x )
n
hx1 , x1 i
≤
..
hx , x i
n
1
1
...
...
...
f1 (xn )
..
fn (xn )
1
hx1 , xn i 2
.
..
hxn , xn i
...
...
...
: f1 , ..., fn ∈ ℓ2 ∗ = ℓ2 , kf1 k , ..., kfn k ≤ 1
Selanjutnya untuk {z1 , z2 , ..., zn } yang merupakan hasil proses orthonormalisasi
Gram-Schmidt terhadap {x1 , x2 , ..., xn }, juga memenuhi kz1 k , kz2 k , ....., kzn k = 1,
maka diperoleh
hx1 , z1 i
..
hx , z i
n 1
...
...
...
hx1 , zn i
..
hxn , zn i
Hasil ini menunjukkan bahwa
hx1 , x1 i
=
..
hx , x i
n
1
...
...
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
21
1
hx1 , x1 i ... hx1 , xn i 2
hx1 , z1 i ... hx1 , zn i
=
..
...
..
..
...
..
hx , x i ... hx , x i
hx , z i ... hz , z i
n
1
n
n
n 1
n n
hx1 , z1 i ... hx1 , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 , kz1 k , ..., kzn k ≤ 1
≤ Sup
..
...
..
hxn , z1 i ... hxn , zn i
Dengan demikian dapat diperoleh
( hx , z i
1 1
kx1 , ..., xn k = Sup
..
hx , z i
n 1
hx1 , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 ,
..
hxn , zn i
1
) hx , x i ... hx , x i 2
1
1
1
n
kz1 k , ..., kzn k ≤ 1 =
..
...
..
hx , x i ... hx , x i
n
1
n
n
...
...
...
50
Konstruksi Ruang 2-Norm Sebagai Luasan
Sekarang diberikan fungsional linier pada ℓ2 × ℓ2 yang diberikan
f (u) =
∞
X
k=1
x1k + x2k wk = hx1 , wi + hx2 , wi
∗
dengan u = (x1 , x2 ) ∈ ℓ2 × ℓ2 dan w ∈ ℓ2 = ℓ2 dan kuk = kx1 k + kx2 k Maka
2-Norma pada ruang ℓ2 × ℓ2 didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan
f (u)
ku, vk = Sup
f (v)
f (v)
2 ∗
2
,
f,
g
∈
ℓ
=
ℓ
,
kf
k
,
kgk
≤
1
g(v)
dengan u = (x1 , x2 ) , v = (y1 , y2 ). Sehingga dapat dituliskan dengan
hx + x2 , wi
ku, vk = Sup 1
hx1 + x2 , zi
hy1 + y2 , wi
2 ∗
2
, w, z ∈ ℓ
= ℓ , kwk , kzk ≤ 1 .
hy1 + y2 , zi
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx1 + x2 , wi
hx1 + x2 , zi
hy1 + y2 , wi
≤ kx1 , y1 k+kx1 , y2 k+kx2 , y1 k+kx2 , y2 k = kuk kvk
hy1 + y2 , zi
Hasil ini menunjukkan bahwa kuk kvk batas atas dari himpunan
hx1 + x2 , wi
hx1 + x2 , zi
dengan demikian
hy1 + y2 , wi
2
2 ∗
, w, z ∈ ℓ
= ℓ , kwk , kzk ≤ 1
hy1 + y2 , zi
ku, vk
hx + x2 , wi
= Sup 1
hx1 + x2 , zi
≤ kuk kvk
hy1 + y2 , wi
2 ∗
2
, w, z ∈ ℓ
= ℓ , kwk , kzk ≤ 1
hy1 + y2 , zi
Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma pada ℓ2 × ℓ2 dapat dilanjutkan
n
2-norma untuk ruang ℓ2 = ℓ2 ×.....× ℓ2 . Untuk itu dalam ℓ2 × ℓ2 apakah suatu
luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu (x1 + x2 ) dan (y1 + y2 ), begitu
n
juga dalam ℓ2 = ℓ2 × ..... × ℓ2 .apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan
dari vektor.
Pustaka
[1] C.R. Diminnie, A New Orthogonality Relation for Normed Linear Spaces,
Math.Nachr.114 (197-203), 1983.
Sadjidon, H. Gunawan
51
[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci, (to appear).
[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm,
Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.
[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces, Bull.Austral.Math.Soc.33
(449-455), 1986.
[5] Kreyszig, Introductory Fuctional Analysis with Applications, John Wiley and
Son. Inc, 1978.
ISSN: 1829-605X
Vol. 4, No. 2, November 2007, 45–51
KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN
YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR
Sadjidon1 , H. Gunawan2
1
1
Jurusan Matematika, 2 Departemen Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
2
Institut Teknologi Bandung, Bandung
2
hgunawan@dns.math.itb.ac.id
Abstrak
Pada paper ini akan dikaji tentang pengkonstruksian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat orthogonalitas dari dua vektor sehingga diperoleh pendefinisikan ruang 2-norm,
khususnya untuk ruang ℓ2 .
2
Katakunci: Ruang ℓ , orthogonalitas, ruang 2-norm.
1. Pendahuluan
Ruang ℓ2 yang dilengkapi dengan inner product hx, yi =
P
xj yj , merupak-
j
an ruang inner product. Begitu juga ruang ℓ2 yang dilengkapi dengan nor1
∞
2
P
2
merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari
|xk |
ma kxk =
k=1
ruang ℓ2 yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang
∗
∗
ℓ2 yang dinotasikan dengan ℓ2 adalah ruang ℓ2 juga. Jika f ∈ ℓ2 ,
45
46
Konstruksi Ruang 2-Norm Sebagai Luasan
maka f ∈ ℓ2 dan dapat diinterpretasikan untuk f (x) =
∗
dengan x ∈ ℓ2 , z ∈ ℓ2 = ℓ2 .
P
xj zj = hx, zi,
j
Sekarang pandang S himpunan semua barisan bilangan real dan merupakan ruang vektor atas field R. Setiap subruang vektor S juga merupakan
ruang barisan. Untuk X subruang S didefinisikan suatu fungsi bernilai real
k•, ..., •k pada X n yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. kx1 , x2 , ..., xn k = 0, jika dan hanya jika x1 , x2 , ..., xn dependen linier
2. kx1 , x2 , ..., xn k invarian terhadap permutasi
3. kx1 , x2 , ..., αxn k = |α| kx1 , x2 , ..., xn k untuk setiap α ∈ R
4. kx1 , x2 , ..., xn−1 , y + zk ≤ kx1 , x2 , ..., xn−1 , yk + kx1 , x2 , ..., xn−1 , zk
disebut n-norma pada X dan pasangan (X, k•, ..., •k) disebut ruang nnorma.
Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang
disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan sifatsifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga diperoleh pendefinisian ruang 2-norm.
2. Ruang ℓ2 dan n-norma Standarnya
Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang ℓ2
yang diberikan sebagai berikut :
(
hx, zi hy, zi
kx, yk = Sup
hx, wi hy, wi
)
: z, w ∈ ℓ2 , kzk , kwk ≤ 1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx, zi
hx, wi
hy, zi hx, xi
≤
hy, wi hy, xi
1
hx, yi 2 hz, zi
hy, yi hw, zi
1
hx, xi
hz, wi 2
≤
hy, xi
hw, wi
1
hx, yi 2
.
hy, yi
47
Sadjidon, H. Gunawan
1
hx, xi hx, yi 2
merupakan batas atas dari himHasil ini menunjukkan bahwa
hy, xi hy, yi
hx, zi hy, zi
: z, w ∈ ℓ2 , kzk , kwk ≤ 1 dan ini berarti bahwa :
punan
hx, wi hy, wi
hx, zi
Sup
hx, wi
hx, xi
hy, zi
2
: z, w ∈ ℓ , kzk , kwk ≤ 1 ≤
hy, xi
hy, wi
′
1
hx, yi 2
hy, yi
(1)
y−αx
x
; w = ky−αxk
= kyy′ k dengan z dan y ′ orthogonal, juga
Selanjutnya untuk z = kxk
memenuhi kzk , kwk ≤ 1, maka diperoleh
D
E D
E
x
x
y, kxk
hx, zi hy, zi
x, kxk
= D
E
D
E
hx, wi hy, wi
y′
y′
y, ky′ k
x, ky′ k
hx, xi hy, xi
hx, y ′ i hy, y ′ i
=
kxk ky ′ k
hx, xi hy, xi
hx, yi hy, yi
=
.
kxk ky ′ k
dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh
juga bahwa
1
1
1
hx, xi hy, xi 2
hx, xi hy ′ , xi 2
hx, xi hy, xi 2
′
hx, yi hy, yi = hx, y ′ i hy, y ′ i = hx, y ′ i hy ′ , y ′ i = kxk ky k
sehingga
hx, zi
hx, wi
hx, xi hy, xi
kxk ky ′ k
hy, xi hy, yi
hy, zi
=
hy, wi
kxk ky ′ k
Hasil ini menunjukkan bahwa
1
hx, xi hy, xi 2
hx, zi hy, zi
=
hx, yi hy, yi
hx, wi hy, wi
hx, zi hy, zi
≤ Sup
hx, wi hy, wi
12
hx, xi
=
hx, yi
1
hy, xi 2
.
hy, yi
: z, w ∈ ℓ2 , kzk , kwk ≤ 1
(2)
Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada
ruang ℓ2 adalah
1
hx, xi hx, yi 2
hx, zi hy, zi
2
: z, w ∈ ℓ , kzk , kwk ≤ 1 =
kx, yk = Sup
hy, xi hy, yi
hx, wi hy, wi
48
Konstruksi Ruang 2-Norm Sebagai Luasan
dan 2-Norma kx, yk tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor
x dan y. Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang ℓ2 yang
P
dikenal sebagai ruang inner product dengan inner product hx, yi =
xj yj , dapat
j
dilengkapi dengan n-normanya
hx1 , x1 i
kx1 , x2 , ..., xn k =
..
hx , x i
n
1
...
..
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
21
merupakan ruang n-norma standar sehingga ruang ℓ2 merupakan ruang n-norma.
Khususnya jika n = 2 , maka 2-norma standar untuk ruang ℓ2 adalah :
hx, xi
kx, yk =
hy, xi
1
hx, yi 2
.
hy, yi
Untuk n-norma pada ruang ℓp khususnya ruang ℓ2 , penjabarannya dan pengembangannya dalam [2].
Sekarang akan dijabarkan n-norma pada ruang ℓ2 menurut pendefinisian [1]
dengan n-norma nya sebagai berikut :
kx1 , ..., xn k
f1 (x1 )
= Sup
..
fn (x1 )
...
...
...
f1 (xn )
..
fn (xn )
atau dapat dituliskan
kx1 , ..., xn k
hx1 , z1 i
= Sup
..
hxn , z1 i
...
...
...
∗
: f1 , ..., fn ∈ ℓ2 = ℓ2 , kf1 k , ..., kfn k ≤ 1
hx1 , zn i
..
hxn , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 , kz1 k , ..., kzn k ≤ 1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan
hx1 , z1 i
..
hx , z i
n 1
...
...
...
hx1 , zn i
..
hxn , zn i
hx1 , x1 i
≤
..
hx , x i
n
1
hx1 , x1 i
≤
..
hx , x i
n
1
...
...
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
...
...
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
21
21
hz1 , z1 i
..
hz , z i
n 1
...
...
...
hz1 , zn i
..
hzn , zn i
12
.
49
Sadjidon, H. Gunawan
1
hx1 , x1 i ... hx1 , xn i 2
batas atas dari himpunan
ini menunjukkan
..
...
..
hx , x i ... hx , x i
n
1
n
n
hx1 , z1 i ... hx1 , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 , kz1 k , ..., kzn k ≤ 1
..
...
..
hxn , z1 i ... hxn , zn i
berarti bahwa
kx1 , ..., xn k
f1 (x1 )
= Sup
..
f (x )
n
hx1 , x1 i
≤
..
hx , x i
n
1
1
...
...
...
f1 (xn )
..
fn (xn )
1
hx1 , xn i 2
.
..
hxn , xn i
...
...
...
: f1 , ..., fn ∈ ℓ2 ∗ = ℓ2 , kf1 k , ..., kfn k ≤ 1
Selanjutnya untuk {z1 , z2 , ..., zn } yang merupakan hasil proses orthonormalisasi
Gram-Schmidt terhadap {x1 , x2 , ..., xn }, juga memenuhi kz1 k , kz2 k , ....., kzn k = 1,
maka diperoleh
hx1 , z1 i
..
hx , z i
n 1
...
...
...
hx1 , zn i
..
hxn , zn i
Hasil ini menunjukkan bahwa
hx1 , x1 i
=
..
hx , x i
n
1
...
...
...
hx1 , xn i
..
hxn , xn i
21
1
hx1 , x1 i ... hx1 , xn i 2
hx1 , z1 i ... hx1 , zn i
=
..
...
..
..
...
..
hx , x i ... hx , x i
hx , z i ... hz , z i
n
1
n
n
n 1
n n
hx1 , z1 i ... hx1 , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 , kz1 k , ..., kzn k ≤ 1
≤ Sup
..
...
..
hxn , z1 i ... hxn , zn i
Dengan demikian dapat diperoleh
( hx , z i
1 1
kx1 , ..., xn k = Sup
..
hx , z i
n 1
hx1 , zn i
: z1 , ..., zn ∈ ℓ2 ,
..
hxn , zn i
1
) hx , x i ... hx , x i 2
1
1
1
n
kz1 k , ..., kzn k ≤ 1 =
..
...
..
hx , x i ... hx , x i
n
1
n
n
...
...
...
50
Konstruksi Ruang 2-Norm Sebagai Luasan
Sekarang diberikan fungsional linier pada ℓ2 × ℓ2 yang diberikan
f (u) =
∞
X
k=1
x1k + x2k wk = hx1 , wi + hx2 , wi
∗
dengan u = (x1 , x2 ) ∈ ℓ2 × ℓ2 dan w ∈ ℓ2 = ℓ2 dan kuk = kx1 k + kx2 k Maka
2-Norma pada ruang ℓ2 × ℓ2 didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan
f (u)
ku, vk = Sup
f (v)
f (v)
2 ∗
2
,
f,
g
∈
ℓ
=
ℓ
,
kf
k
,
kgk
≤
1
g(v)
dengan u = (x1 , x2 ) , v = (y1 , y2 ). Sehingga dapat dituliskan dengan
hx + x2 , wi
ku, vk = Sup 1
hx1 + x2 , zi
hy1 + y2 , wi
2 ∗
2
, w, z ∈ ℓ
= ℓ , kwk , kzk ≤ 1 .
hy1 + y2 , zi
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx1 + x2 , wi
hx1 + x2 , zi
hy1 + y2 , wi
≤ kx1 , y1 k+kx1 , y2 k+kx2 , y1 k+kx2 , y2 k = kuk kvk
hy1 + y2 , zi
Hasil ini menunjukkan bahwa kuk kvk batas atas dari himpunan
hx1 + x2 , wi
hx1 + x2 , zi
dengan demikian
hy1 + y2 , wi
2
2 ∗
, w, z ∈ ℓ
= ℓ , kwk , kzk ≤ 1
hy1 + y2 , zi
ku, vk
hx + x2 , wi
= Sup 1
hx1 + x2 , zi
≤ kuk kvk
hy1 + y2 , wi
2 ∗
2
, w, z ∈ ℓ
= ℓ , kwk , kzk ≤ 1
hy1 + y2 , zi
Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma pada ℓ2 × ℓ2 dapat dilanjutkan
n
2-norma untuk ruang ℓ2 = ℓ2 ×.....× ℓ2 . Untuk itu dalam ℓ2 × ℓ2 apakah suatu
luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu (x1 + x2 ) dan (y1 + y2 ), begitu
n
juga dalam ℓ2 = ℓ2 × ..... × ℓ2 .apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan
dari vektor.
Pustaka
[1] C.R. Diminnie, A New Orthogonality Relation for Normed Linear Spaces,
Math.Nachr.114 (197-203), 1983.
Sadjidon, H. Gunawan
51
[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci, (to appear).
[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm,
Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.
[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces, Bull.Austral.Math.Soc.33
(449-455), 1986.
[5] Kreyszig, Introductory Fuctional Analysis with Applications, John Wiley and
Son. Inc, 1978.