REGRESI ROBUST DENGAN METODE ESTIMASI MM

REGRESI ROBUST DENGAN METODE ESTIMASI-MM PADA
PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN GROBOGAN

Proposal TA
Program Studi Matematika

Diajukan oleh
HEDIANA LUKMAWATI

M0114020

RINA DWI HASTUTIK

M0114044

RIZCKA INDAH HANI P

M0114046

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2016

1. LATAR BELAKANG
Jagung merupakan tanaman pangan penting di Indonesia selain padi dan
kedelai. Salah satu daerah penghasil jagung terbesar di Indonesia adalah Jawa
Tengah. Kabupaten Grobogan merupakan sentra produksi jagung terbesar
nasional dan salah satu daerah pengembangan jagung yang cukup berpotensi.
Tanaman jagung dapat digunakan sebagai bahan baku industri makanan,
minuman dan pakan ternak. Permintaan industri hilir terutama industri pangan
ternak dan ikan terhadap jagung terus meningkat. Bahan baku pakan ternak
unggas sekitar 50% berasal dari jagung. Akan tetapi produksi jagung di dalam
negeri belum bisa mengimbangi konsumsi jagung sehingga menyebabkan
tingginya volume impor jagung. Oleh karena itu, upaya peningkatan produksi
jagung di Indonesia perlu ditingkatkan agar mampu mengurangi bahkan
menghilangkan ketergantungan impor jagung. Peningkatan produksi jagung
dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain, tenaga kerja, luas panen, curah
hujan.
Analisis regresi merupakan analisis statistik yang mempelajari hubungan
atau pengaruh suatu variabel independen dengan variabel dependen. Hasil
analisis regresi berupa persamaan regresi yang merupakan fungsi prediksi suatu

variabel dependen dengan menggunakan variabel independen. Jika Y variabel
dependen dan X1 , X2 , . . . ,Xn variabel independen, maka model regresi linier
sederhana dapat dituliskan sebagai,
= � +�

+�

+ ⋯ + ��

�.

Metode kuadrat terkecil (MKT) merupakan salah satu metode yang sering
digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi. Metode ini sangat peka
terhadap adanya pencilan. Menurut Sembiring [1], adanya pencilan dalam data
mengakibatkan estimasi koefisien model regresi yang diperoleh tidak tepat.
Pencilan tidak dapat ditolak begitu saja, karena adakalanya pengamatan pencilan
memberikan informasi yang cukup berarti, misalnya karena pencilan timbul dari
keadaan yang tidak biasa dan perlu diselidiki lebih lanjut. Oleh karena itu,

diperlukan suatu metode estimasi yang bersifat robust (kekar) terhadap pencilan

yang dikenal dengan regresi robust.
Menurut Chen [2], regresi robust merupakan metode regresi yang
digunakan ketika distribusi dari sisaan tidak normal atau adanya beberapa
pencilan yang berpengaruh pada model. Dalam regresi robust terdapat beberapa
metode estimasi seperti estimasi-M, estimasi Least Median Square (LMS),
estimasi Least Trimmed Squarre (LTS), estimasi-S, dan estimasi-MM.
Oleh sebab itu, pada penelitian ini akan dibahas regresi robust dengan
metode estimasi-MM pada produksi jagung di Kabupaten Grobogan, karena pada
variabel independen dan dependen ditemukan adanya outlier (pencilan).

2. PERUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah dapat dirumuskan suatu permasalahan
yaitu bagaimana menentukan model regresi robust dengan metode estimasi-MM
pada produksi jagung di Kabupaten Grobogan.
3. TUJUAN
Tujuan dalam penelitian ini adalah menentukan model regresi robust
dengan model estimasi-MM pada produksi jagung di Kabupaten Grobogan.

4. TINJAUAN PUSTAKA

Anisah [3] telah melakukan penelitian mengenai estimasi-MM yang
diterapkan pada beberapa kasus antara lain pada kasus total curah ujan di kota
Malang, produktivitas jagung di Indonesia, dan tingkat pendapatan pengrajin pada
industri kecil. Estimasi-MM tersebut digunakan sebagai pembanding terhadap
metode kuadrat terkecil ketika terdapat pencilan dalam data. Dari penelitian
tersebut disimpulkan bahwa estimasi-MM lebih baik dari metode kuadrat terkecil
ketika terdapat pencilan dalam data.

5. LANDASAN TEORI
Berikut dipaparkan teori-teori yang relevan dan mendukung dalam
penelitian ini.
4.1. Estimasi M
Menurut Montgomery dan Peck [4], pada prinsipnya estimasi-M
merupakan estimasi yang meminimumkan suatu fungsi
�∑

=

=

�∑

−∑

=

dari sisaan
. .

�

=

Untuk memperoleh skala invariant persamaan (4.1.1), adalah dengan
menyelesaikan persamaan
�∑

=

� =

�∑

�

=

Dipilih estimasi untuk � adalah
̂=
�

.

�

=

�∑

=

| −
.

=

−∑=

(

�

|

�

)

̂ suatu estimator yang mendekati tak
Pemilihan konstanta 0.6745 membuat �

bias dari � jika n besar dari sisaan berdistribusi normal (Montgomery dan
Peck [4]) .
̂=
Berikut dibuktikan jika �

.

�

̂ suatu estimator dari �.
, maka �

� |�� | ≤

�

�� −
|) ≤
� (|
�

� (−

� | | ≤
�
�

≤

�( ≤

�
�

≤

= .

�
= .
�

= .

�
)= .
�

�
)= .
�

�
)= .
�

−�( >

�
)= .
�

�( >

�
) = ∅−
�

�( >

.

Berdasarkan Tabel Distribusi Normal diperoleh nilai ∅−

Sehingga diperoleh

.

= .

,

�
= .
�
Fungsi

.

�

= �.

yang digunakan adalah fungsi objektif Tukey bisquare
�� =

4.2. Estimasi S

��

�� =

−

��

+

��

, |�� | ≤

, |�� > |

Estimasi S diperkenalkan oleh Yohai [5]. Dinamalam estimasi-S karena
estimasi ini berdasarkan pada skala, estimasi-S berdasarkan pada skala dari
sisaan estimasi-M. Skala estimasi-M didefinisikan sebagai penyelesaian dari
�

∑��=

��
�

=�

(4.2.2)

Dengan K adalah suatu konstanta yang didefinisikan sebagai

∅

�

yang

merupakan nilai ekspektasi dari fungsi objektif jika diasumsikan bahwa �

berdistribusi normal standar.

Persamaan (4.2.2 ) dapat ditulis menjadi

�

∑
=

�

=

�
�
�

=

�

�
=√

�

�

=

�

�

=

∑=

�

�

�

( 4.2.3)

�

� (�

=

ditulis dengan

�

=

∑=

Didefinisikan pembobot

�

∑

=

�

)=

�

�

maka persamaan (4.2.3 ) dapat

∑=

∑=

( 4.2.4)

Dengan estimasi nilai awal untuk � adalah
| −
.

� =

|

̂� .
Estimator skala yang memenuhi persamaan ( 4.2.5) dinotasikan dengan �

Estimasi-S mempunyai breakdown point tinggi yaitu 50%. Breakdown point
dari estimasi-S dapat ditulis

�

=

. Ketika menggunakan fungsi objektif

Tukey Bisquare, Yohai [] menunjukkan bahwa penetapan

memenuhi

�

= , sehingga menghasilkan estimai-S dengan

point 50%. Berikut dibuktikan jika

Untuk �~

= .

memenuhi

, ), fungsi densitas probabilitas adalah
�=

∅(

� )=∫

∞

−∞

�

�

�

� =
�

= .

= .

breakdown

exp −
�

�2

)

=

=

∫

,

�2

−

= ∫

�4

=√ ∫
.

+
=√ ∫

.

�

�
.

−

+∞
.

�
√

+

�

�
4

× ,

.

∫

∞

�6

+
4

× ,

∫

∞

−

�
exp −

�
�

exp −

�
.

�

+

� −

�
.

�

�

�2

�
.

� −

�2

) �

� −

�

�

+∞

�

�+ .

×

sehingga diperoleh

�

Nilai

.

=

.

2

+ .
= .

�

×

− .

�

exp −

�2

−∅ .

.

= .

= .

sehingga diperoleh nilai
=

∅

.

�

=

.

.

=

4.3. Estimasi MM
Estimasi-MM merupakan metode estimasi regresi robust yang
diperkenalkan oleh Yohai [5]. Prosedur estimasi-MM diawali dengan
mengestimasi parameter model regresi menggunakan estimasi-S dan
dilanjutkan dengan mengestimasi parameter model regresi dengan estimasiM.

)

�

Berdasarkan Tabel Distribusi Normal diperoleh nilai ∅−
�=√ × .

2

,

�+ ∫.

;

Estimasi-MM terdiri dari dua fungsi objektif, yaitu

dan

menentukan breakdown point dan efisiensi. Fungsi objektif

yang
menggunakan

konstanta dengan aktif 1,547 supaya diperoleh breakdown point mendekati
50% dan

menggunakan konstanta dengan nilai 4,685 supaya diperoleh

efisiensi 95% sebagaimana MKT digunakan pada sisaan berdistribusi normal.
Estimasi-MM merupakan penyelesaian dari
∑

dengan

−∑=

=

(

−∑=

�

̂�
�

)=

� adalah sisaan yang diperoleh dari estimasi

̂ � merupakan penyelesaian
parameter model regresi dengan estimasi-S dan �

dari

∑=

�

−∑ =
̂�
�

̃
�

= �.

6. KERANGKA PEMIKIRAN
Berdasarkan tinjauan pustaka dan landasan teori, diperoleh kerangka
pemikiran dalam menentukan model regresi pada produksi jagung di Kabupaten
Grobogan. Penentuan model regresi menggunakan regresi robust dengan
metode-MM. Sebab, pada variabel independen dan dependen ditemukan adanya
outlier (pencilan). Variabel independen adalah faktor-faktor yang mempengaruhi
banyaknya poduksi jagung (luas panen, tenaga kerja dan curah hujan per bulan) dan
variabel dependen adalah banyaknya produksi jagung Kabupaten Grobogan. Pencilan
pada variabel independen terdapat pada faktor luas panen.

7. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, berupa
data statistik pertanian, geografis dan kependudukan dari Badan Pusat Statistik

Kabupaten Grobogan tahun 2015. Berdasarkan data statistik, banyaknya produksi
jagung Kabupaten Grobogan sebagai variabel dependen, dan faktor-faktor yang
mempengaruhi banyaknya poduksi jagung (luas panen, tenaga kerja dan curah
hujan per bulan) sebagai variabel independen. Sampel diambil dari Badan Pusat
Statistik Kabupaten Grobogan tahun 2015, dimana terdapat 19 sampel dari
masing-masing kecamatan di Kabupaten Grobogan.
Penelitian ini dilakukan dengan regresi robust menggunakan metode
estimasi-MM karena terdapat pencilan (outlier ) pada variabel dependen dan
variabel independen. Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam
penentuan model regresi robust dengan metode estimasi-MM:
1. Membuat tabulasi silang antara variabel dependen dan variabel
independen,
2. Melakukan estimasi parameter model regresi dengan metode kuadrat
terkecil,
3. Menguji secara serentak model regresi
4. Menguji secara parsial model regresi
5. Menguji kesesuaian model regresi
6. Melakukan uji asumsi klasik terhadap data,
7. Mendeteksi pencilan pada data dengan metode DFFITS dan Cook’s
Distance,

8. Melakukan estimasi model regresi robust menggunakan estimasi-MM.
Prosedur estimasi-MM diawali dengan mengestimasi parameter model
regresi dengan estimasi-S dan dilanjutkan dengan estimasi-M

PUSTAKA

[1] Sembiring, R.K. (1995). Analisis Regresi. Penerbit ITB, Bandung.
[2] Chen, C. (2002). Robust Regression and Outlier Detection with the
ROBUSTREG Procedure. SUGI paper. North Carolina: SAS Institute.

[3] Anisah, D. (2009). Pendugaan Parameter Regresi Robust Dengan Penduga
MM. Universitas Brawijaya . Malang.

[4] Montgomery, D.C, and Peck, E.A. (1992). Introduction to Linear Regression
Analysis second edition. John Wiley & Sons, Inc. New York.

[5] Yohai V.J. (1987). High Breakdown Point and High Efficiency Robust
Estimatesfor Regression. Annals of Statistics, Vol. 15, pp: 642-656.